Nếu bạn đã theo dõi tin tức toán học trong tháng này, bạn biết rằng nhà lý thuyết số 35 tuổi James Maynard đã giành được một Huy chương Fields - vinh dự cao quý nhất dành cho một nhà toán học. Maynard thích những câu hỏi toán học “đủ đơn giản để giải thích cho một học sinh trung học nhưng đủ khó để khiến các nhà toán học phải bối rối trong nhiều thế kỷ” Quanta báo cáo, và một trong những câu hỏi đơn giản đó là: Khi bạn di chuyển dọc theo trục số, có phải luôn luôn có các số nguyên tố gần nhau không?
Bạn có thể nhận thấy rằng các nhà toán học bị ám ảnh bởi các số nguyên tố. Điều gì thu hút họ? Có thể thực tế là các số nguyên tố là hiện thân của một số cấu trúc và bí ẩn cơ bản nhất của toán học. Các số nguyên tố vạch ra vũ trụ của phép nhân bằng cách cho phép chúng ta phân loại và phân loại mọi số với một thừa số duy nhất. Nhưng mặc dù con người đã chơi với các số nguyên tố kể từ buổi bình minh của phép nhân, chúng ta vẫn không chắc chắn chính xác vị trí các số nguyên tố sẽ xuất hiện, trải rộng ra sao hoặc chúng phải ở gần nhau như thế nào. Theo như chúng ta biết, các số nguyên tố không theo một khuôn mẫu đơn giản nào.
Niềm đam mê của chúng ta với những đối tượng cơ bản này đã dẫn đến việc phát minh hoặc khám phá ra hàng trăm loại số nguyên tố khác nhau: Số nguyên tố Mersenne (số nguyên tố có dạng 2n - 1), số nguyên tố cân bằng (số nguyên tố là trung bình của hai số nguyên tố lân cận) và số nguyên tố Sophie Germain (một số nguyên tố p như vậy 2p + 1 cũng là số nguyên tố), để kể tên một số.
Sự quan tâm đến những số nguyên tố đặc biệt này đã tăng lên nhờ việc chơi đùa với các con số và khám phá điều gì đó mới. Điều đó cũng đúng với “các số nguyên tố tinh tế về mặt kỹ thuật số”, một bổ sung gần đây cho danh sách đã dẫn đến một số kết quả đáng ngạc nhiên về câu hỏi cơ bản nhất: Các loại số nguyên tố nhất định có thể hiếm hoặc phổ biến đến mức nào?
Để đánh giá cao câu hỏi này, chúng ta hãy bắt đầu với một trong những sự thật hấp dẫn đầu tiên mà một người đam mê số học khao khát biết được: Có vô hạn số nguyên tố. Euclid đã chứng minh điều này cách đây 2,000 năm bằng cách sử dụng một trong những chứng minh nổi tiếng nhất bằng sự mâu thuẫn trong lịch sử toán học. Ông bắt đầu bằng cách giả định rằng chỉ có rất nhiều số nguyên tố và tưởng tượng ra tất cả n trong số họ trong danh sách:
$ latexp_1, p_2, p_3,…, p_n $.
Sau đó, anh ấy đã làm một điều thông minh: Anh ấy nghĩ về số $ latexq = p_1 lần p_2 lần p_3 lần… lần p_n + 1 $.
Thông báo rằng q không thể nằm trong danh sách các số nguyên tố, vì nó lớn hơn mọi thứ trong danh sách. Vì vậy, nếu tồn tại một danh sách hữu hạn các số nguyên tố, số này q không thể là số nguyên tố. Nhưng nếu q không phải là một số nguyên tố, nó phải chia hết cho một cái gì đó khác với chính nó và 1. Điều này, đến lượt nó, có nghĩa là q phải chia hết cho một số nguyên tố trong danh sách, nhưng vì cách q được xây dựng, phân chia q bởi bất kỳ thứ gì trong danh sách đều để lại phần còn lại là 1. Vì vậy, dường như q không phải là số nguyên tố cũng không chia hết cho bất kỳ số nguyên tố nào, đó là một mâu thuẫn dẫn đến việc giả định rằng chỉ có vô số số nguyên tố. Vì vậy, để tránh mâu thuẫn này, trong thực tế phải có vô số số nguyên tố.
Cho rằng có vô số chúng, bạn có thể nghĩ rằng các số nguyên tố đều dễ tìm, nhưng một trong những điều tiếp theo mà một thám tử số nguyên tố học được là mức độ lan truyền của các số nguyên tố. Một kết quả đơn giản về khoảng cách giữa các số nguyên tố liên tiếp, được gọi là khoảng trống nguyên tố, nói lên một điều khá ngạc nhiên.
Trong số 10 số nguyên tố đầu tiên - 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 và 29 - bạn có thể thấy khoảng trống bao gồm một hoặc nhiều số tổng hợp (các số không phải là số nguyên tố, như 4, 12 hoặc 27). Bạn có thể đo những khoảng trống này bằng cách đếm các số tổng hợp ở giữa: Ví dụ: có khoảng trống kích thước 0 giữa 2 và 3, khoảng cách kích thước 1 giữa cả 3 và 5 và 5 và 7, khoảng cách kích thước 3 giữa 7 và 11, v.v. Khoảng cách nguyên tố lớn nhất trong danh sách này bao gồm năm số tổng hợp - 24, 25, 26, 27 và 28 - từ 23 đến 29.
Bây giờ cho một kết quả đáng kinh ngạc: Khoảng cách nguyên tố có thể dài tùy ý. Điều này có nghĩa là tồn tại các số nguyên tố liên tiếp cách xa nhau như bạn có thể tưởng tượng. Có lẽ thật khó tin là sự thật này dễ chứng minh như thế nào.
Chúng ta đã có một khoảng trống nguyên tố có độ dài 5 ở trên. Có thể có một trong chiều dài 6? Thay vì tìm kiếm danh sách các số nguyên tố với hy vọng tìm được một, chúng ta sẽ tự xây dựng nó. Để làm như vậy, chúng ta sẽ sử dụng hàm giai thừa được sử dụng trong các công thức đếm cơ bản: Theo định nghĩa, $ latexn! = N lần (n-1) lần (n-2) lần… lần 3 lần 2 lần 1 $, chẳng hạn như $ latex3! = 3 lần 2 lần 1 = 6 $ và $ latex5! = 5 lần 4 lần 3 lần 2 lần 1 = 120 $.
Bây giờ chúng ta hãy xây dựng khoảng cách chính của chúng ta. Xét dãy số liên tiếp sau:
$ latex 7! + 2 $, $ latex7! + 3 $, $ latex 7! + 4 $, $ latex7! + 5 $, $ latex 7! + 6 $, $ latex 7! + 7 $.
Vì $ latex7! = 7 lần 6 lần 5 lần 4 lần 3 lần 2 lần 1 $, nên số đầu tiên trong dãy số của chúng ta, $ latex7! + 2 $, chia hết cho 2, mà bạn có thể thấy sau một chút tính toán:
$ latex7! + 2 = 7 lần 6 lần 5 lần 4 lần 3 lần 2 lần 1 + 2 $
$ latex = 2 (7 lần 6 lần 5 lần 4 lần 3 lần 1 + 1) $.
Tương tự như vậy, số thứ hai, $ latex7! + 3 $, chia hết cho 3, vì
$ latex7! + 3 = 7 lần 6 lần 5 lần 4 lần 3 lần 2 lần 1 + 3 $
$ latex = 3 (7 lần 6 lần 5 lần 4 lần 2 lần 1 + 1) $.
Tương tự, 7! + 4 chia hết cho 4, 7! + 5 x 5, 7! + 6 x 6 và 7! + 7 x 7, tương ứng với 7! + 2, 7! + 3, 7! + 4, 7! + 5, 7! + 6, 7! + 7 một dãy gồm sáu số hợp liên tiếp. Chúng ta có khoảng cách cơ bản ít nhất là 6.
Chiến lược này rất dễ tổng quát hóa. Trình tự
$ latexn! + 2 $, $ latexn! + 3 $, $ latexn! + 4 $, $ latex… $, $ latexn! + n $.
là một chuỗi các số tổng hợp liên tiếp $ latexn-1 $, có nghĩa là, đối với bất kỳ n, có một khoảng trống chính với độ dài ít nhất là $ latexn-1 $. Điều này cho thấy rằng có những khoảng cách số nguyên tố dài tùy ý, và do đó dọc theo danh sách các số tự nhiên có những vị trí mà các số nguyên tố gần nhất cách nhau 100, 1,000, hoặc thậm chí 1,000,000,000 số.
Một sự căng thẳng cổ điển có thể được nhìn thấy trong các kết quả này. Có vô hạn số nguyên tố, nhưng các số nguyên tố liên tiếp cũng có thể xa nhau vô hạn. Hơn nữa, có vô số số nguyên tố liên tiếp gần nhau. Khoảng 10 năm trước, công trình đột phá của Yitang Zhang đã đặt ra một cuộc chạy đua để thu hẹp khoảng cách và chứng minh giả thuyết số nguyên tố sinh đôi, điều này khẳng định rằng có vô số cặp số nguyên tố chỉ chênh lệch nhau 2 lần. những câu hỏi mở nổi tiếng trong toán học, và James Maynard đã có những đóng góp quan trọng của riêng mình trong việc chứng minh kết quả khó nắm bắt này.
Sự căng thẳng này cũng xuất hiện trong các kết quả gần đây về cái gọi là số nguyên tố tinh vi kỹ thuật số. Để hiểu những con số này là gì và chúng có thể ở đâu hoặc có thể không, hãy dành một chút thời gian để suy nghĩ về câu hỏi kỳ lạ sau: Có một số nguyên tố có hai chữ số luôn trở thành hợp số với bất kỳ sự thay đổi nào đối với chữ số hàng đơn vị của nó không?
Để cảm nhận sự tinh tế của kỹ thuật số, hãy cùng chơi với số 23. Chúng ta biết nó là số nguyên tố, nhưng điều gì sẽ xảy ra nếu bạn thay đổi chữ số hàng đơn vị của nó? Chà, 20, 22, 24, 26 và 28 đều là số chẵn, và do đó hợp thành; 21 chia hết cho 3, 25 chia hết cho 5 và 27 chia hết cho 9. Cho đến nay, rất tốt. Nhưng nếu bạn thay đổi chữ số hàng đơn vị thành 9, bạn nhận được 29, vẫn là một số nguyên tố. Vì vậy, 23 không phải là loại số nguyên tố mà chúng ta đang tìm kiếm.
Còn 37 thì sao? Như chúng ta đã thấy ở trên, chúng ta không cần phải bận tâm kiểm tra các số chẵn hoặc các số kết thúc bằng 5, vì vậy chúng ta sẽ chỉ kiểm tra 31, 33 và 39. Vì 31 cũng là số nguyên tố, nên 37 cũng không hoạt động.
Một con số như vậy có tồn tại không? Câu trả lời là có, nhưng chúng ta phải đi đến hết con số 97 để tìm nó: 97 là một số nguyên tố, nhưng 91 (chia hết cho 7), 93 (chia hết cho 3) và 99 (cũng chia hết cho 3) đều là hợp số , cùng với các số chẵn và 95.
Một số nguyên tố là “tinh tế” nếu khi bạn thay đổi bất kỳ một trong các chữ số nào của nó thành bất kỳ chữ số nào khác, nó sẽ mất đi tính “nguyên tố” (hoặc tính nguyên thủy, để sử dụng thuật ngữ kỹ thuật). Cho đến nay chúng ta thấy rằng 97 là tinh tế ở chữ số hàng đơn vị - vì việc thay đổi chữ số đó luôn tạo ra một số tổng hợp - nhưng liệu 97 có đáp ứng đầy đủ các tiêu chí của chữ số tinh tế không? Câu trả lời là không, bởi vì nếu bạn thay đổi chữ số hàng chục thành 1, bạn sẽ nhận được 17, một số nguyên tố. (Lưu ý rằng 37, 47 và 67 đều là số nguyên tố.)
Trên thực tế, không có số nguyên tố có hai chữ số. Bảng sau đây về tất cả các số có hai chữ số, với các số nguyên tố có hai chữ số được tô bóng, cho biết lý do tại sao.
Tất cả các số trong bất kỳ hàng nào đều có cùng chữ số hàng chục và tất cả các số trong bất kỳ cột nào đã cho đều có cùng chữ số hàng đơn vị. Thực tế là 97 là số được tô bóng duy nhất trong hàng của nó phản ánh thực tế là nó tinh tế ở chữ số hàng đơn vị, nhưng nó không phải là số nguyên tố duy nhất trong cột của nó, có nghĩa là nó không tinh tế ở chữ số hàng chục.
Một số nguyên tố có hai chữ số tinh vi sẽ phải là số nguyên tố duy nhất trong hàng và cột của nó. Như bảng cho thấy, không tồn tại số nguyên tố có hai chữ số như vậy. Điều gì về một số nguyên tố có ba chữ số tinh vi? Dưới đây là một bảng tương tự hiển thị bố cục của các số nguyên tố có ba chữ số từ 100 đến 199, với các số tổng hợp bị bỏ qua.
Ở đây chúng ta thấy rằng 113 nằm ở hàng riêng của nó, có nghĩa là nó tinh tế ở chữ số hàng đơn vị. Nhưng 113 không có trong cột riêng của nó, vì vậy một số thay đổi đối với chữ số hàng chục (như 0 cho 103 hoặc thành 6 cho 163) tạo ra số nguyên tố. Vì không có số nào xuất hiện trong cả hàng riêng và cột riêng của nó, nên chúng tôi nhanh chóng thấy rằng không có số có ba chữ số nào được đảm bảo là hợp số nếu bạn thay đổi chữ số hàng đơn vị hoặc chữ số hàng chục của nó. Điều này có nghĩa là không thể có số nguyên tố tinh vi có ba chữ số. Lưu ý rằng chúng tôi thậm chí đã không kiểm tra chữ số hàng trăm. Để thực sự tinh tế về mặt kỹ thuật số, một số có ba chữ số sẽ phải tránh các số nguyên tố theo ba hướng trong bảng ba chiều.
Các số nguyên tố tinh vi kỹ thuật số có tồn tại không? Khi bạn đi xa hơn trên dòng số, các số nguyên tố có xu hướng trở nên thưa thớt hơn, khiến chúng ít có khả năng đi qua các đường dẫn trong các hàng và cột của các bảng có chiều cao này. Nhưng các số lớn hơn có nhiều chữ số hơn và mỗi chữ số bổ sung làm giảm khả năng một số nguyên tố trở nên tinh vi về mặt kỹ thuật số.
Nếu bạn tiếp tục, bạn sẽ phát hiện ra rằng có tồn tại các số nguyên tố tinh vi về mặt kỹ thuật số. Nhỏ nhất là 294,001. Khi bạn thay đổi một trong các chữ số của nó, số bạn nhận được - 794,001, hoặc 284,001 - sẽ là tổng hợp. Và còn nhiều hơn nữa: Các số tiếp theo là 505,447; 584,141; 604,171; 971,767; và 1,062,599. Trên thực tế, họ không dừng lại. Nhà toán học nổi tiếng Paul Erdős đã chứng minh rằng có vô số số nguyên tố tinh vi. Và đó chỉ là kết quả đầu tiên trong rất nhiều kết quả đáng ngạc nhiên về những con số gây tò mò này.
Ví dụ, Erdős không chỉ chứng minh rằng có vô số số nguyên tố tinh tế trong kỹ thuật số: Ông đã chứng minh rằng có vô số số nguyên tố tinh vi trong bất kỳ cơ số nào. Vì vậy, nếu bạn chọn biểu diễn các số của mình ở dạng nhị phân, bậc ba hoặc thập lục phân, bạn vẫn được đảm bảo tìm thấy vô số số nguyên tố tinh vi về mặt kỹ thuật số.
Và các số nguyên tố tinh vi về mặt kỹ thuật số không chỉ là vô hạn: Chúng bao gồm một tỷ lệ phần trăm khác không của tất cả các số nguyên tố. Điều này có nghĩa là nếu bạn nhìn vào tỷ lệ giữa số lượng số nguyên tố tinh tế và số lượng số nguyên tố tổng thể, phân số này là một số lớn hơn 2010. Về mặt kỹ thuật, “tỷ lệ dương” của tất cả các số nguyên tố là tinh tế về mặt kỹ thuật số, như Terence Tao, người đoạt huy chương Fields đã chứng minh vào năm XNUMX. Bản thân các số nguyên tố không chiếm tỷ lệ dương trong tất cả các số, vì bạn sẽ tìm thấy ngày càng ít số nguyên tố càng ra xa bạn càng đi dọc theo trục số. Tuy nhiên, trong số các số nguyên tố đó, bạn sẽ tiếp tục tìm thấy các số nguyên tố tinh vi thường đủ để giữ cho tỷ lệ số nguyên tố tinh tế trên tổng số nguyên tố trên XNUMX.
Có lẽ khám phá gây sốc nhất là kết quả từ năm 2020 về một biến thể mới của những con số kỳ lạ này. Bằng cách nới lỏng khái niệm chữ số là gì, các nhà toán học đã hình dung lại cách biểu diễn của một số: Thay vì nghĩ về 97, thay vào đó họ nghĩ nó có các số XNUMX ở đầu:
… 0000000097.
Mỗi số XNUMX đứng đầu có thể được coi là một chữ số, và câu hỏi về sự tinh tế của kỹ thuật số có thể được mở rộng cho những cách biểu diễn mới này. Có thể tồn tại "số nguyên tố tinh vi về mặt kỹ thuật số" - các số nguyên tố luôn trở thành hỗn hợp nếu bạn thay đổi bất kỳ chữ số nào, bao gồm bất kỳ số XNUMX ở đầu nào không? Nhờ công trình của các nhà toán học Michael Filaseta và Jeremiah Southwick, chúng ta biết rằng câu trả lời, đáng ngạc nhiên là có. Không chỉ tồn tại rộng rãi các số nguyên tố tinh vi về mặt kỹ thuật số, mà còn có vô số chúng.
Các số nguyên tố tạo thành một chuỗi vô hạn các câu đố toán học dành cho các chuyên gia và những người đam mê chơi. Chúng ta có thể không bao giờ làm sáng tỏ tất cả những bí ẩn của chúng, nhưng bạn có thể tin tưởng vào các nhà toán học liên tục khám phá và phát minh ra các loại số nguyên tố mới để khám phá.
Các bài tập
1. Khoảng cách số nguyên tố lớn nhất trong số các số nguyên tố từ 2 đến 101 là bao nhiêu?
2. Để chứng minh rằng có vô hạn số nguyên tố, Euclid giả sử có vô hạn số nguyên tố $ latexp_1, p_2, p_3,…, p_n $, sau đó chứng tỏ rằng $ latexq = p_1 lần p_2 lần p_3 lần… lần p_n + 1 $ isn 't chia hết cho bất kỳ số nguyên tố nào trong danh sách. Điều này không có nghĩa là q phải là số nguyên tố?
3. Một kết quả nổi tiếng trong lý thuyết số là luôn có một số nguyên tố giữa k và 2k (bao gồm). Điều này khó chứng minh, nhưng dễ dàng chứng minh rằng luôn có một số nguyên tố giữa k và $ latexq = p_1 lần p_2 lần p_3 lần… lần p_n + 1 $ (bao gồm cả), trong đó $ latexp_1, p_2, p_3,…, p_n $ là tất cả các số nguyên tố nhỏ hơn hoặc bằng k. Hãy chứng minh điều đó.
4. Bạn có thể tìm được số nguyên tố nhỏ nhất mà chữ số hàng đơn vị và hàng chục không? Điều này có nghĩa là việc thay đổi chữ số hàng đơn vị hoặc hàng chục sẽ luôn tạo ra một số tổng hợp. (Bạn có thể muốn viết một chương trình máy tính để làm điều này!)
Thách thức Bài toán: Bạn có thể tìm được số nguyên tố nhỏ nhất tinh tế về mặt kỹ thuật số khi được biểu diễn dưới dạng nhị phân không? Nhớ lại rằng trong hệ nhị phân hoặc cơ số 2, các chữ số duy nhất là 0 và 1, và mỗi giá trị vị trí đại diện cho một lũy thừa của 2. Ví dụ: 8 được biểu thị là $ latex1000_2 $, vì $ latex 8 = 1 nhân 2 ^ 3 + 0 nhân 2 ^ 2 + 0 nhân 2 ^ 1 + 0 nhân 2 ^ 0 $, và 7 trong cơ số 2 là $ latex111_2 $, vì $ latex7 = 1 nhân2 ^ 2 + 1 nhân 2 ^ 1 + 1 nhân 2 ^ 0 $.
Bấm để trả lời 1:
Bấm để trả lời 2:
Không. Hãy xem xét sáu số nguyên tố đầu tiên: 2, 3, 5, 7, 11 và 13. Trong trường hợp này, số q sẽ là $ latex 2 lần 3 lần 5 lần 7 lần 11 lần13 + 1 = 30,031 $. Số này không chia hết cho 2, 3, 5, 7, 11 hoặc 13, nhưng nó không phải là số nguyên tố: nó tính bằng $ latex 30,031 = 59 nhân với 509 $. Lưu ý rằng nó có các thừa số nguyên tố, nhưng chúng đều lớn hơn sáu số nguyên tố đầu tiên.
Bấm để trả lời 3:
Nếu một trong hai k or q chính là chúng tôi đã hoàn thành. Nếu q không phải là số nguyên tố, nó là hợp số, có nghĩa là nó chia hết cho một số nguyên tố, nhưng chúng ta đã biết rằng nó không chia hết cho bất kỳ số nào đầu tiên n số nguyên tố. Do đó nó phải chia hết cho một số nguyên tố lớn hơn số nguyên tố đầu tiên n số nguyên tố và vì đây là tất cả các số nguyên tố nhỏ hơn k, số nguyên tố này phải lớn hơn k. Nhưng số nguyên tố này chia ra q, vì vậy nó phải nhỏ hơn q, vì vậy phải có một số nguyên tố giữa k và q.
Bấm để trả lời 4:
Số nguyên tố đầu tiên thỏa mãn tính chất này là 2,459, vì 2,451, 2,453 và 2,457 đều là hợp số (thỏa mãn tiêu chí chữ số hàng đơn vị) và 2,409, 2,419, 2,429, 2,439, 2,449, 2,469, 2,479, 2,489 và 2,499 đều là hợp số (thỏa mãn tiêu chí chữ số hàng chục tinh tế). Tuy nhiên, 2,459 không phải là tinh tế về mặt kỹ thuật số, bởi vì 2,659 là số nguyên tố, vì vậy nó sẽ thất bại khi bạn bắt đầu xem xét chữ số hàng trăm. (Cảm ơn nhà toán học John D. Cook đã xuất bản mã Python tìm số nguyên tố tinh vi.)
Nhấp để có câu trả lời cho vấn đề thách thức:
$ latex127 = 1111111_2 $ là tinh tế về mặt kỹ thuật số, vì $ latex 126 = 1111110_2 $, $ latex125 = 1111101_2 $, $ latex123 = 1111011_2 $, $ latex119 = 1110111_2 $, $ latex111 = 1101111_2 $, $ latex95 = 1011111_2 $ và $ latex63 = 0111111_2 $ đều là hỗn hợp.
