Методи ланцюгового відображення релятивістських взаємодій світло-матерія

Методи ланцюгового відображення релятивістських взаємодій світло-матерія

Мітка часу: 30 січня 2024 р., 8:55 ранку
Вихідний вузол: 3089374

Роберт Х. Йонссон1,2 і Йоганнеса Кнерцера3

1Max-Planck-Institut für Quantenoptik, Hans-Kopfermann-Str. 1, 85748 Гархінг, Німеччина
2Nordita, Stockholm University and KTH Royal Institute of Technology, Hannes Alfvéns väg 12, SE-106 91 Stockholm, Sweden
3Інститут теоретичних досліджень, ETH Zurich, 8092 Zurich, Швейцарія

Вам цей документ цікавий чи ви хочете обговорити? Скайте або залиште коментар на SciRate.

абстрактний

Взаємодія між локалізованими випромінювачами та квантовими полями, як у релятивістських налаштуваннях, так і у випадку надсильних зв’язків, вимагає непертурбативних методів поза наближенням обертової хвилі. У цій роботі ми використовуємо методи ланцюгового відображення для досягнення точної чисельної обробки взаємодії між локалізованим випромінювачем і скалярним квантовим полем. Ми розширюємо діапазон застосування цих методів за межі емітерних спостережень і застосовуємо їх для вивчення польових спостережень. Спочатку ми надаємо огляд методів ланцюгового відображення та їхню фізичну інтерпретацію, а також обговорюємо теплову подвійну конструкцію для систем, пов’язаних зі станами теплового поля. Моделюючи випромінювач як детектор частинок Унру-ДеВітта, ми обчислюємо густину енергії, випромінюваної детектором, сильно зв’язаним із полем. Як стимулюючу демонстрацію потенціалу підходу ми обчислюємо випромінювання, що випромінюється від прискореного детектора в ефекті Унру, який тісно пов’язаний з тепловою подвійною конструкцією, як ми обговорюємо. Коментуємо перспективи та проблеми методу.

Рекомендоване зображення: схематичний огляд перетворень "зірка-ланцюг".

[Вбудоване вміст]

Популярне резюме

Квантові системи, тісно пов’язані з навколишнім середовищем, часто складно лікувати, навіть за допомогою передових чисельних методів. Багато таких відкритих квантових систем можна змоделювати за допомогою лінійного зв’язку між цікавою системою та незалежними, гармонійними модами ванни.
Стаття вивчає цей тип теоретичної моделі та досліджує обчислювальні методи для вивчення взаємодії між локалізованими випромінювачами та квантовими полями, особливо в сценаріях релятивістського та надсильного зв’язку. Використовуючи так звані методи ланцюгового відображення, досягається чисельно точне вирішення проблеми. Стаття вдосконалює обчислювальні методи взаємодії світла та матерії, поширюючи ці методи як на емітер, так і на польові спостережувані. Як інтригуюча демонстрація обчислюється випромінювання, випромінюване детектором прискорених частинок в ефекті Унру.
У числових висновках можна ретельно відстежувати помилки, внесені чисельними реалізаціями ланцюгового відображення. Це сприяє створенню багатого чисельного інструментарію для вивчення режимів сильного зв’язку в релятивістській квантовій інформації та квантовій оптиці.

► Дані BibTeX

► Список літератури

[1] Хайнц-Петер Брейер і Ф. Петруччоне. “Теорія відкритих квантових систем”. Oxford University Press. Оксфорд ; Нью-Йорк (2002).
https://​/​doi.org/​10.1093/​acprof:oso/​9780199213900.001.0001

[2] Гайнц-Петер Брейер, Елсі-Марі Лайне, Юркі Пійло та Бассано Ваккіні. “Колоквіум: немарківська динаміка у відкритих квантових системах”. Огляди сучасної фізики 88, 021002 (2016).
https: / / doi.org/ 10.1103 / RevModPhys.88.021002

[3] Хендрік Веймер, Августин Кшетримаюм і Роман Орус. «Методи моделювання для відкритих квантових багатотільних систем». Огляди сучасної фізики 93, 015008 (2021).
https: / / doi.org/ 10.1103 / RevModPhys.93.015008

[4] Мартін В. Густафссон, Томас Ареф, Антон Фріск Кокум, Марія К. Екстрем, Йоран Йоганссон і Пер Делсінг. «Поширювані фонони, пов’язані зі штучним атомом». Наука 346, 207–211 (2014).
https: / / doi.org/ 10.1126 / science.1257219

[5] Густав Андерссон, Баладитья Сурі, Лінчжен Го, Томас Ареф і Пер Делсінг. «Неекспоненціальний розпад гігантського штучного атома». Nature Physics 15, 1123–1127 (2019).
https:/​/​doi.org/​10.1038/​s41567-019-0605-6

[6] А. Гонсалес-Тудела, К. Санчес Муньос і Дж. І. Сірак. «Розробка та використання гігантських атомів у високорозмірних ваннах: пропозиція щодо впровадження з холодними атомами». Physical Review Letters 122, 203603 (2019).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.122.203603

[7] Інес де Вега, Дієго Поррас і Дж. Ігнасіо Сірак. “Випромінювання матерії-хвилі в оптичних решітках: окремі частинки та колективні ефекти”. Physical Review Letters 101, 260404 (2008).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.101.260404

[8] С. Греблахер, А. Трубаров, Н. Пріґге, Г. Д. Коул, М. Аспельмейер, Й. Айзерт. “Спостереження немарковського мікромеханічного броунівського руху”. Nature Communications 6, 7606 (2015).
https: / / doi.org/ 10.1038 / ncomms8606

[9] Хав’єр дель Піно, Флоріан АЙН Шредер, Алекс В. Чін, Йоганнес Фейст і Франсіско Х. Гарсіа-Відаль. «Моделювання тензорної мережі немарковської динаміки в органічних поляритонах». Physical Review Letters 121, 227401 (2018).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.121.227401

[10] SF Huelga і MB Plenio. «Вібрації, кванти та біологія». Сучасна фізика 54, 181–207 (2013).
https: / / doi.org/ 10.1080 / 00405000.2013.829687

[11] Хонг-Бін Чен, Ніл Ламберт, Юань-Чунг Чен, Юе-Нан Чен і Франко Норі. «Використання немарківських заходів для оцінки квантових головних рівнянь для фотосинтезу». Наукові звіти 5, 12753 (2015).
https://​/​doi.org/​10.1038/​srep12753

[12] Фелікс А. Поллок, Сезар Родрігес-Росаріо, Томас Фрауенхайм, Мауро Патерностро та Каван Моді. «Немарковські квантові процеси: повна структура та ефективна характеристика». Physical Review A 97, 012127 (2018).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.97.012127

[13] Річард Лопп і Едуардо Мартін-Мартінес. «Квантова делокалізація, калібрування та квантова оптика: взаємодія світло-матерія в релятивістській квантовій інформації». Physical Review A 103, 013703 (2021).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.103.013703

[14] Барбара Шода, Вівішек Судхір та Ахім Кемпф. «Ефекти, спричинені прискоренням, у стимульованих взаємодіях світло-матерія». Physical Review Letters 128, 163603 (2022).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.128.163603

[15] Садао Накадзіма. “Про квантову теорію транспортних явищ: стійка дифузія”. Прогрес теоретичної фізики 20, 948–959 (1958).
https://​/​doi.org/​10.1143/​PTP.20.948

[16] Роберт Цванциг. “Ансамблевий метод в теорії необоротності”. Журнал хімічної фізики 33, 1338–1341 (1960).
https: / / doi.org/ 10.1063 / 1.1731409

[17] Йошітака Танімура та Рього Кубо. “Часова еволюція квантової системи в контакті з майже гауссівсько-маркофівською шумовою ванною”. Журнал фізичного товариства Японії 58, 101–114 (1989).
https://​/​doi.org/​10.1143/​JPSJ.58.101

[18] Йосітака Танімура. «Чисельно «точний» підхід до відкритої квантової динаміки: ієрархічні рівняння руху (HEOM)». Журнал хімічної фізики 153, 020901 (2020).
https: / / doi.org/ 10.1063 / 5.0011599

[19] Хав’єр Пріор, Алекс В. Чін, Сусана Ф. Уельга та Мартін Б. Пленіо. «Ефективне моделювання сильних взаємодій системи та середовища». Physical Review Letters 105, 050404 (2010).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.105.050404

[20] Алекс В. Чін, Анхель Рівас, Сусана Ф. Уельга та Мартін Б. Пленіо. «Точне відображення між квантовими моделями система-резервуар і напівнескінченними дискретними ланцюгами з використанням ортогональних поліномів». Журнал математичної фізики 51, 092109 (2010).
https: / / doi.org/ 10.1063 / 1.3490188

[21] Р. П. Фейнман і Ф. Л. Вернон. “Теорія загальної квантової системи, що взаємодіє з лінійною дисипативною системою”. Annals of Physics 24, 118–173 (1963).
https:/​/​doi.org/​10.1016/​0003-4916(63)90068-X

[22] Кеннет Г. Вілсон. “Група перенормування: критичні явища та проблема Кондо”. Огляди сучасної фізики 47, 773–840 (1975).
https: / / doi.org/ 10.1103 / RevModPhys.47.773

[23] Маттіас Войта, Нін-Хуа Тонг і Ральф Булла. “Квантові фазові переходи в субомічній спін-бозонній моделі: невдача квантово-класичного відображення”. Physical Review Letters 94, 070604 (2005).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.94.070604

[24] Ральф Булла, Хюн-Джунг Лі, Нін-Хуа Тонг і Маттіас Войта. “Чисельна ренормгрупа для квантових домішок у бозонній ванні”. Physical Review B 71, 045122 (2005).
https://​/​doi.org/​10.1103/​PhysRevB.71.045122

[25] Ральф Булла, Тео А. Кості та Томас Прушке. “Чисельний ренормгруповий метод для квантово-домішкових систем”. Огляди сучасної фізики 80, 395–450 (2008).
https: / / doi.org/ 10.1103 / RevModPhys.80.395

[26] Ахсан Назір і Гернот Шаллер. «Відображення координат реакції в квантовій термодинаміці». У Фелікс Біндер, Луїс А. Корреа, Крістіан Гоголін, Джанет Андерс і Герардо Адессо, редактори, Термодинаміка в квантовому режимі: фундаментальні аспекти та нові напрямки. Сторінки 551–577. Фундаментальні теорії фізики. Springer International Publishing, Cham (2018).

[27] Рікардо Пуебла, Джорджіо Зікарі, Іньїго Арразола, Енріке Солано, Мауро Патерностро та Хорхе Казанова. «Спін-бозонна модель як імітатор немарковських багатофотонних моделей Джейнса-Каммінгса». Симетрія 11, 695 (2019).
https://​/​doi.org/​10.3390/​sym11050695

[28] Філіп Страсберг, Гернот Шаллер, Ніл Ламберт і Тобіас Брандес. “Нерівноважна термодинаміка в сильному зв’язку та немарківському режимі на основі відображення координат реакції”. New Journal of Physics 18, 073007 (2016).
https:/​/​doi.org/​10.1088/​1367-2630/​18/​7/​073007

[29] Гіфре Відаль. «Ефективне моделювання одновимірних квантових багатотільних систем». Physical Review Letters 93, 040502 (2004).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.93.040502

[30] Дж. Ігнасіо Сірак, Давид Перес-Гарсія, Норберт Шух і Френк Верстраете. “Стани матричного добутку та спроектовані стани заплутаної пари: поняття, симетрії, теореми”. Огляди сучасної фізики 93, 045003 (2021).
https: / / doi.org/ 10.1103 / RevModPhys.93.045003

[31] М. П. Вудс, М. Крамер і М. Б. Пленіо. «Імітація бозонних ванн зі смугами помилок». Physical Review Letters 115, 130401 (2015).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.115.130401

[32] MP Woods і MB Plenio. «Межі динамічної похибки для дискретизації континууму за допомогою квадратурних правил Гаусса — підхід обмеження Ліба-Робінсона». Журнал математичної фізики 57, 022105 (2016).
https: / / doi.org/ 10.1063 / 1.4940436

[33] Ф. Машерпа, А. Смірн, С. Ф. Уельга та М. Б. Пленіо. «Відкриті системи з межами похибок: модель спін-бозонів із варіаціями спектральної густини». Physical Review Letters 118, 100401 (2017).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.118.100401

[34] Інес де Вега, Ульріх Шолльвек і Ф. Александр Вольф. «Як дискретизувати квантову ванну для еволюції в реальному часі». Physical Review B 92, 155126 (2015).
https://​/​doi.org/​10.1103/​PhysRevB.92.155126

[35] Рахул Тріведі, Даніель Мальц і Дж. Ігнасіо Сірак. “Гарантії конвергенції для наближень дискретного режиму до немарківських квантових ванн”. Physical Review Letters 127, 250404 (2021).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.127.250404

[36] Карлос Санчес Муньос, Франко Норі та Сімоне де Ліберато. “Розділення надсвітлової сигналізації в квантовій електродинаміці незбуреної порожнини”. Nature Communications 9, 1924 (2018).
https: / / doi.org/ 10.1038 / s41467-018-04339-w

[37] Ніл Ламберт, Шахнаваз Ахмед, Мауро Сіріо та Франко Норі. «Моделювання моделі надсильного зв’язку спін-бозона з нефізичними модами». Nature Communications 10, 1–9 (2019).
https:/​/​doi.org/​10.1038/​s41467-019-11656-1

[38] Девід Д. Ноахтар, Йоганнес Кнерцер і Роберт Х. Йонссон. “Непертурбативна обробка гігантських атомів за допомогою ланцюгових перетворень”. Physical Review A 106, 013702 (2022).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.106.013702

[39] CA Büsser, GB Martins та AE Feiguin. «Перетворення Ланцоша для квантових проблем домішок у d-вимірних решітках: застосування до графенових нанострічок». Physical Review B 88, 245113 (2013).
https://​/​doi.org/​10.1103/​PhysRevB.88.245113

[40] Ендрю Аллердт, К. А. Бюссер, Г. Б. Мартінс та А. Е. Фейгін. «Кондо проти непрямого обміну: роль решітки та фактичний діапазон взаємодій RKKY у реальних матеріалах». Physical Review B 91, 085101 (2015).
https://​/​doi.org/​10.1103/​PhysRevB.91.085101

[41] Ендрю Аллердт і Адріан Е. Фейгін. «Чисельно точний підхід до проблем квантових домішок у реалістичних геометріях гратки». Frontiers in Physics 7, 67 (2019).
https://​/​doi.org/​10.3389/​fphy.2019.00067

[42] В. Баргманн. “Про гільбертовий простір аналітичних функцій і пов’язане інтегральне перетворення частина I”. Повідомлення з чистої та прикладної математики 14, 187–214 (1961).
https://​/​doi.org/​10.1002/​cpa.3160140303

[43] Х. Аракі та Е. Дж. Вудс. “Подання канонічних комутаційних співвідношень, що описують нерелятивістський нескінченний вільний бозе-газ”. Журнал математичної фізики 4, 637–662 (1963).
https: / / doi.org/ 10.1063 / 1.1704002

[44] Ясусі Такахасі та Хіромі Умедзава. “ДИНАМІКА ТЕРМОПОЛЯ”. Міжнародний журнал сучасної фізики B 10, 1755–1805 (1996).
https: / / doi.org/ 10.1142 / S0217979296000817

[45] Інес де Вега та Марі-Кармен Банюлс. «Підхід ланцюгового відображення на основі термополя для відкритих квантових систем». Physical Review A 92, 052116 (2015).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.92.052116

[46] Даріо Тамаскеллі, Андреа Смірн, Джеймс Лім, Сусана Ф. Уельга та Мартін Б. Пленіо. “Ефективне моделювання кінцево-температурних відкритих квантових систем”. Physical Review Letters 123, 090402 (2019). arxiv:1811.12418.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.123.090402
arXiv: 1811.12418

[47] Габріель Т. Ланді, Даріо Полетті та Гернот Шаллер. “Нерівноважні квантові системи, керовані межею: моделі, методи та властивості”. Огляди сучасної фізики 94, 045006 (2022).
https: / / doi.org/ 10.1103 / RevModPhys.94.045006

[48] Чу Гуо, Інес де Вега, Ульріх Шолльвек і Даріо Полетті. «Стабільний-нестабільний перехід для ланцюга Бозе-Хаббарда, пов’язаного з середовищем». Physical Review A 97, 053610 (2018).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.97.053610

[49] Ф. Шварц, І. Вейман, Й. фон Делфт, А. Вайхсельбаум. «Нерівноважний стаціонарний транспорт у моделях квантових домішок: підхід до термополя та квантового гасіння з використанням станів матриці». Physical Review Letters 121, 137702 (2018).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.121.137702

[50] Тянькі Чен, Вініта Балачандран, Чу Гуо та Даріо Полетті. «Стаціональний квантовий транспорт через ангармонійний осцилятор, сильно пов’язаний з двома тепловими резервуарами». Physical Review E 102, 012155 (2020).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevE.102.012155

[51] Ангус Дж. Даннетт і Алекс В. Чін. «Моделювання стану продукту матриці нерівноважних стаціонарних станів і перехідних теплових потоків у моделі спін-бозонів із двома ваннами при кінцевих температурах». Ентропія 23, 77 (2021).
https://​/​doi.org/​10.3390/​e23010077

[52] Тібо Лакруа, Ангус Даннетт, Домінік Гріббен, Брендон В. Ловетт і Алекс Чін. «Розкриття немарківської просторово-часової сигналізації у відкритих квантових системах з динамікою дальньої тензорної мережі». Physical Review A 104, 052204 (2021).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.104.052204

[53] Анджела Ріва, Даріо Тамаскеллі, Ангус Дж. Даннетт і Алекс В. Чін. “Тепловий цикл і формування поляронів у структурованих бозонних середовищах”. Physical Review B 108, 195138 (2023).
https://​/​doi.org/​10.1103/​PhysRevB.108.195138

[54] В. Г. Унру. «Нотатки про випаровування чорної діри». Physical Review D 14, 870–892 (1976).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevD.14.870

[55] Б. С. Девітт. «Квантова гравітація: новий синтез». У редакторах Стівена Хокінга та У. Ізраеля, Загальна теорія відносності: Огляд сторіччя Ейнштейна. Сторінка 680. Cambridge University Press, Cambridge Eng; Нью-Йорк (1979).

[56] Б. Л. Ху, Ши-Юй Лін і Йорма Луко. “Релятивістська квантова інформація у взаємодії детекторів із полем”. Класична та квантова гравітація 29, 224005 (2012).
https:/​/​doi.org/​10.1088/​0264-9381/​29/​22/​224005

[57] Луїс К. Б. Кріспіно, Ацуші Хігучі та Джордж Е. А. Матсас. «Ефект Унру та його застосування». Огляди сучасної фізики 80, 787–838 (2008).
https: / / doi.org/ 10.1103 / RevModPhys.80.787

[58] Р. Б. Манн і Т. С. Ральф. “Релятивістська квантова інформація”. Класична та квантова гравітація 29, 220301 (2012).
https:/​/​doi.org/​10.1088/​0264-9381/​29/​22/​220301

[59] Shih-Yuin Lin і BL Hu. “Кореляції прискореного детектора та квантового поля: від флуктуацій вакууму до потоку випромінювання”. Physical Review D 73, 124018 (2006).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevD.73.124018

[60] DJ Raine, DW Sciama та PG Grove. «Чи випромінює рівноприскорений квантовий осцилятор?». Праці: Математичні та фізичні науки 435, 205–215 (1991).

[61] Ф. Гінтерляйтнер. «Інерційні та прискорені детектори частинок зі зворотною реакцією в плоскому просторі-часі». Annals of Physics 226, 165–204 (1993).
https: / / doi.org/ 10.1006 / aphy.1993.1066

[62] С. Массар, Р. Парентані, Р. Браут. “До задачі про рівноприскорений осцилятор”. Класична та квантова гравітація 10, 385 (1993).
https:/​/​doi.org/​10.1088/​0264-9381/​10/​2/​020

[63] С. Массар і Р. Парентані. «Від флуктуацій вакууму до випромінювання. I. Прискорені детектори”. Physical Review D 54, 7426–7443 (1996).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevD.54.7426

[64] Юрген Одреч і Райнер Мюллер. «Випромінювання від детектора рівноприскорених частинок: енергія, частинки та процес квантового вимірювання». Physical Review D 49, 6566–6575 (1994).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevD.49.6566

[65] Хьон Чан Кім і Дже Кван Кім. «Випромінювання рівноприскореного гармонічного осцилятора». Physical Review D 56, 3537–3547 (1997).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevD.56.3537

[66] Хьон-Чан Кім. “Квантове поле і рівноприскорений осцилятор”. Physical Review D 59, 064024 (1999).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevD.59.064024

[67] Еріксон Тьоа. «Непертурбативні просто породжені взаємодії з квантовим полем для довільних гаусових станів» (2023).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevD.108.045003

[68] Ерік Г. Браун, Едуардо Мартін-Мартінес, Ніколас К. Менікуччі та Роберт Б. Манн. «Детектори для дослідження релятивістської квантової фізики за межами теорії збурень». Physical Review D 87, 084062 (2013).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevD.87.084062

[69] Девід Едвард Брускі, Ентоні Р. Лі та Іветта Фуентес. «Методи еволюції часу для детекторів у релятивістській квантовій інформації». Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical 46, 165303 (2013).
https:/​/​doi.org/​10.1088/​1751-8113/​46/​16/​165303

[70] Wolfram Research, Inc. “Mathematica, версія 12.3.1”. Шампейн, штат Іллінойс, 2022 рік.

[71] Себастьян Пекель, Томас Келер, Андреас Свобода, Сальваторе Р. Манмана, Ульріх Шолльвек і Клавдіус Губіг. “Методи еволюції часу для станів матриці-продукту”. Annals of Physics 411, 167998 (2019).
https://​/​doi.org/​10.1016/​j.aop.2019.167998

[72] Лукас Хакл і Еудженіо Б'янкі. “Бозонні та ферміонні стани Гаусса зі структур Келера”. SciPost Physics Core 4, 025 (2021). arxiv:2010.15518.
https://​/​doi.org/​10.21468/​SciPostPhysCore.4.3.025
arXiv: 2010.15518

[73] ND Birrell і PCW Davies. «Квантові поля в викривленому просторі». Кембриджські монографії з математичної фізики. Cambridge University Press. Кембридж (1982).
https://​/​doi.org/​10.1017/​CBO9780511622632

[74] Даріо Тамаскеллі. “Динаміка збудження в ланцюгово-картованих середовищах”. Ентропія 22, 1320 (2020). arxiv:2011.11295.
https://​/​doi.org/​10.3390/​e22111320
arXiv: 2011.11295

[75] Роберт Х. Йонссон, Едуардо Мартін-Мартінес та Ахім Кемпф. «Квантова передача сигналів у резонаторі QED». Physical Review A 89, 022330 (2014).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.89.022330

[76] Едуардо Мартін-Мартінес. «Проблеми причинності моделей детекторів частинок у QFT і квантовій оптиці». Physical Review D 92, 104019 (2015).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevD.92.104019

[77] Роберт М. Уолд. “Квантова теорія поля в викривленому просторі-часі та термодинаміка чорної діри”. Чиказькі лекції з фізики. Преса Чиказького університету. Чикаго, Іллінойс (1994).

[78] Шин Такагі. «Про відгук детектора частинок Ріндлера». Прогрес теоретичної фізики 72, 505–512 (1984).
https://​/​doi.org/​10.1143/​PTP.72.505

[79] Ізраїл Соломонович Градштейн та Йосип Мойсейович Рижик. «Таблиця інтегралів, рядів і добутків (восьме видання)». Академічна преса. (2014).
https:/​/​doi.org/​10.1016/​c2010-0-64839-5

Цитується

Не вдалося отримати Перехресне посилання, наведене за даними під час останньої спроби 2024-01-30 14:00:51: не вдалося отримати цитовані дані для 10.22331/q-2024-01-30-1237 з Crossref. Це нормально, якщо DOI був зареєстрований нещодавно. Увімкнено SAO / NASA ADS даних про цитування робіт не знайдено (остання спроба 2024-01-30 14:00:52).

Ця стаття опублікована в Quantum під Creative Commons Attribution 4.0 International (CC на 4.0) ліцензія. Авторське право залишається за оригінальними власниками авторських прав, такими як автори або їх установи.

Часова мітка:

Більше від Квантовий журнал