Metode de cartografiere în lanț pentru interacțiuni relativiste lumină-materie

Metode de cartografiere în lanț pentru interacțiuni relativiste lumină-materie

Marca temporală: 30 ianuarie 2024 8:55
Nodul sursă: 3089374

Robert H. Jonsson1,2 și Johannes Knörzer3

1Max-Planck-Institut für Quantenoptik, Hans-Kopfermann-Str. 1, 85748 Garching, Germania
2Nordita, Universitatea din Stockholm și KTH Royal Institute of Technology, Hannes Alfvéns väg 12, SE-106 91 Stockholm, Suedia
3Institutul de Studii Teoretice, ETH Zurich, 8092 Zurich, Elveția

Găsiți această lucrare interesant sau doriți să discutați? Scite sau lasă un comentariu la SciRate.

Abstract

Interacțiunea dintre emițătorii localizați și câmpurile cuantice, atât în ​​setări relativiste, cât și în cazul cuplărilor ultra-puternice, necesită metode non-perturbative dincolo de aproximarea undei rotative. În această lucrare, folosim metode de cartografiere în lanț pentru a obține un tratament numeric exact al interacțiunii dintre un emițător localizat și un câmp cuantic scalar. Extindem domeniul de aplicare a acestor metode dincolo de observabilele emitatorului și le aplicăm pentru a studia observabilele de câmp. Mai întâi oferim o privire de ansamblu asupra metodelor de cartografiere în lanț și interpretarea lor fizică și discutăm despre construcția dublă termică pentru sistemele cuplate la stările câmpului termic. Modelând emițătorul ca un detector de particule Unruh-DeWitt, calculăm apoi densitatea de energie emisă de un detector cuplat puternic la câmp. Ca o demonstrație stimulativă a potențialului abordării, calculăm radiația emisă de un detector accelerat în efectul Unruh, care este strâns legat de construcția dublă termică așa cum discutăm. Comentăm perspectivele și provocările metodei.

Imagine prezentată: Prezentare generală schematică a transformărilor de la stea la lanț

[Conținutul încorporat]

Rezumat popular

Sistemele cuantice cuplate puternic cu mediul lor sunt adesea dificil de tratat, chiar și cu metode numerice avansate. Multe astfel de sisteme cuantice deschise pot fi modelate printr-o cuplare liniară între sistemul de interes și moduri independente, armonice de baie.
Lucrarea studiază acest tip de model teoretic și explorează metode de calcul pentru a studia interacțiunile dintre emițătorii localizați și câmpurile cuantice, în special în scenarii relativiste și de cuplare ultra-puternică. Folosind așa-numitele tehnici de cartografiere în lanț, se realizează o tratare numerică exactă a problemei. Lucrarea avansează tehnicile de calcul pentru interacțiunile lumină-materie prin extinderea acestor metode atât la emițător, cât și la observabile de câmp. Ca o demonstrație intrigantă, se calculează radiația emisă de un detector de particule accelerat în efectul Unruh.
În constatările numerice, erorile introduse de implementările numerice ale mapării în lanț pot fi atent monitorizate. Acest lucru contribuie la un set de instrumente numerice bogat pentru studierea regimurilor de cuplare puternică în informații cuantice relativiste și optica cuantică.

► Date BibTeX

► Referințe

[1] Heinz-Peter Breuer şi F. Petruccione. „Teoria sistemelor cuantice deschise”. Presa Universitatii Oxford. Oxford; New York (2002).
https: / / doi.org/ 10.1093 / acprof: OSO / 9780199213900.001.0001

[2] Heinz-Peter Breuer, Elsi-Mari Laine, Jyrki Piilo și Bassano Vacchini. „Colocviu: dinamica non-markoviană în sisteme cuantice deschise”. Reviews of Modern Physics 88, 021002 (2016).
https: / / doi.org/ 10.1103 / RevModPhys.88.021002

[3] Hendrik Weimer, Augustine Kshetrimayum și Román Orús. „Metode de simulare pentru sisteme cuantice deschise cu mai multe corpuri”. Reviews of Modern Physics 93, 015008 (2021).
https: / / doi.org/ 10.1103 / RevModPhys.93.015008

[4] Martin V. Gustafsson, Thomas Aref, Anton Frisk Kockum, Maria K. Ekström, Göran Johansson și Per Delsing. „Propagarea fononilor cuplati la un atom artificial”. Science 346, 207–211 (2014).
https: / / doi.org/ 10.1126 / science.1257219

[5] Gustav Andersson, Baladitya Suri, Lingzhen Guo, Thomas Aref și Per Delsing. „Decaderea non-exponențială a unui atom artificial gigant”. Nature Physics 15, 1123–1127 (2019).
https:/​/​doi.org/​10.1038/​s41567-019-0605-6

[6] A. González-Tudela, C. Sánchez Muñoz și JI Cirac. „Inginerie și valorificarea atomilor giganți în băi cu dimensiuni mari: o propunere de implementare cu atomi reci”. Physical Review Letters 122, 203603 (2019).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.122.203603

[7] Inés de Vega, Diego Porras și J. Ignacio Cirac. „Emisia undelor de materie în rețelele optice: particule singulare și efecte colective”. Physical Review Letters 101, 260404 (2008).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.101.260404

[8] S. Gröblacher, A. Trubarov, N. Prigge, GD Cole, M. Aspelmeyer și J. Eisert. „Observarea mișcării browniene micromecanice non-Markoviane”. Nature Communications 6, 7606 (2015).
https: / / doi.org/ 10.1038 / ncomms8606

[9] Javier del Pino, Florian AYN Schröder, Alex W. Chin, Johannes Feist și Francisco J. Garcia-Vidal. „Simularea rețelei de tensori a dinamicii non-markoviene în polaritoni organici”. Physical Review Letters 121, 227401 (2018).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.121.227401

[10] SF Huelga și MB Plenio. „Vibrații, cuante și biologie”. Fizica contemporană 54, 181–207 (2013).
https: / / doi.org/ 10.1080 / 00405000.2013.829687

[11] Hong-Bin Chen, Neill Lambert, Yuan-Chung Cheng, Yueh-Nan Chen și Franco Nori. „Utilizarea măsurilor non-Markoviene pentru a evalua ecuațiile principale cuantice pentru fotosinteză”. Scientific Reports 5, 12753 (2015).
https: / / doi.org/ 10.1038 / srep12753

[12] Felix A. Pollock, César Rodríguez-Rosario, Thomas Frauenheim, Mauro Paternostro și Kavan Modi. „Procese cuantice non-markoviene: cadru complet și caracterizare eficientă”. Physical Review A 97, 012127 (2018).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.97.012127

[13] Richard Lopp și Eduardo Martín-Martínez. „Delocalizare cuantică, gabarit și optică cuantică: interacțiunea lumină-materie în informațiile cuantice relativiste”. Physical Review A 103, 013703 (2021).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.103.013703

[14] Barbara Šoda, Vivishek Sudhir și Achim Kempf. „Efecte induse de accelerație în interacțiunile lumina-materie stimulate”. Physical Review Letters 128, 163603 (2022).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.128.163603

[15] Sadao Nakajima. „Despre teoria cuantică a fenomenelor de transport: difuzie constantă”. Progresul fizicii teoretice 20, 948–959 (1958).
https: / / doi.org/ 10.1143 / PTP.20.948

[16] Robert Zwanzig. „Metoda ansamblului în teoria ireversibilității”. The Journal of Chemical Physics 33, 1338–1341 (1960).
https: / / doi.org/ 10.1063 / 1.1731409

[17] Yoshitaka Tanimura și Ryogo Kubo. „Evoluția în timp a unui sistem cuantic în contact cu o baie de zgomot aproape Gaussian-Markoffian”. Journal of the Physical Society of Japan 58, 101–114 (1989).
https: / / doi.org/ 10.1143 / JPSJ.58.101

[18] Yoshitaka Tanimura. „Abordare „exactă” numeric a dinamicii cuantice deschise: ecuațiile ierarhice ale mișcării (HEOM)”. The Journal of Chemical Physics 153, 020901 (2020).
https: / / doi.org/ 10.1063 / 5.0011599

[19] Javier Prior, Alex W. Chin, Susana F. Huelga și Martin B. Plenio. „Simularea eficientă a interacțiunilor puternice sistem-mediu”. Physical Review Letters 105, 050404 (2010).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.105.050404

[20] Alex W. Chin, Ángel Rivas, Susana F. Huelga și Martin B. Plenio. „Cartarea exactă între modelele cuantice sistem-rezervor și lanțurile discrete semi-infinite folosind polinoame ortogonale”. Journal of Mathematical Physics 51, 092109 (2010).
https: / / doi.org/ 10.1063 / 1.3490188

[21] RP Feynman și FL Vernon. „Teoria unui sistem cuantic general care interacționează cu un sistem disipator liniar”. Analele fizicii 24, 118–173 (1963).
https:/​/​doi.org/​10.1016/​0003-4916(63)90068-X

[22] Kenneth G. Wilson. „Grupul de renormalizare: fenomene critice și problema Kondo”. Reviews of Modern Physics 47, 773–840 (1975).
https: / / doi.org/ 10.1103 / RevModPhys.47.773

[23] Matthias Vojta, Ning-Hua Tong și Ralf Bulla. „Tranziții de fază cuantică în modelul spin-boson sub-ohmic: eșecul mapării cuantice-clasice”. Physical Review Letters 94, 070604 (2005).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.94.070604

[24] Ralf Bulla, Hyun-Jung Lee, Ning-Hua Tong și Matthias Vojta. „Grup de renormalizare numerică pentru impuritățile cuantice într-o baie bosonică”. Physical Review B 71, 045122 (2005).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevB.71.045122

[25] Ralf Bulla, Theo A. Costi și Thomas Pruschke. „Metoda grupului de renormalizare numerică pentru sisteme de impurități cuantice”. Reviews of Modern Physics 80, 395–450 (2008).
https: / / doi.org/ 10.1103 / RevModPhys.80.395

[26] Ahsan Nazir și Gernot Schaller. „Cartografierea coordonatelor de reacție în termodinamica cuantică”. În Felix Binder, Luis A. Correa, Christian Gogolin, Janet Anders și Gerardo Adesso, editori, Thermodynamics in the Quantum Regime: Fundamental Aspects and New Directions. Paginile 551–577. Teorii fundamentale ale fizicii. Springer International Publishing, Cham (2018).

[27] Ricardo Puebla, Giorgio Zicari, Iñigo Arrazola, Enrique Solano, Mauro Paternostro și Jorge Casanova. „Modelul Spin-Boson ca simulator al modelelor Jaynes-Cummings multifotonice non-Markovian”. Simetria 11, 695 (2019).
https://​/​doi.org/​10.3390/​sym11050695

[28] Philipp Strasberg, Gernot Schaller, Neill Lambert și Tobias Brandes. „Termodinamică de neechilibru în cuplarea puternică și regimul non-Markovian bazat pe o mapare a coordonatelor de reacție”. New Journal of Physics 18, 073007 (2016).
https:/​/​doi.org/​10.1088/​1367-2630/​18/​7/​073007

[29] Guifré Vidal. „Simularea eficientă a sistemelor cuantice unidimensionale cu mai multe corpuri”. Physical Review Letters 93, 040502 (2004).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.93.040502

[30] J. Ignacio Cirac, David Pérez-García, Norbert Schuch și Frank Verstraete. „Stări de produs matrice și stări de perechi încurcate proiectate: concepte, simetrii, teoreme”. Reviews of Modern Physics 93, 045003 (2021).
https: / / doi.org/ 10.1103 / RevModPhys.93.045003

[31] MP Woods, M. Cramer și MB Plenio. „Simularea băilor bosonice cu bare de eroare”. Physical Review Letters 115, 130401 (2015).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.115.130401

[32] MP Woods și MB Plenio. „Margini de eroare dinamică pentru discretizarea continuului prin regulile de cuadratura Gauss — O abordare legată de Lieb-Robinson”. Journal of Mathematical Physics 57, 022105 (2016).
https: / / doi.org/ 10.1063 / 1.4940436

[33] F. Mascherpa, A. Smirne, SF Huelga și MB Plenio. „Sisteme deschise cu limite de eroare: model spin-boson cu variații de densitate spectrală”. Physical Review Letters 118, 100401 (2017).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.118.100401

[34] Inés de Vega, Ulrich Schollwöck și F. Alexander Wolf. „Cum să discretizezi o baie cuantică pentru evoluție în timp real”. Physical Review B 92, 155126 (2015).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevB.92.155126

[35] Rahul Trivedi, Daniel Malz și J. Ignacio Cirac. „Garanții de convergență pentru aproximări în mod discret la băile cuantice non-markoviene”. Physical Review Letters 127, 250404 (2021).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.127.250404

[36] Carlos Sánchez Muñoz, Franco Nori și Simone De Liberato. „Rezoluția semnalizării superluminale în electrodinamica cuantică a cavității non-perturbative”. Nature Communications 9, 1924 (2018).
https: / / doi.org/ 10.1038 / s41467-018-04339-w

[37] Neill Lambert, Shahnawaz Ahmed, Mauro Cirio și Franco Nori. „Modelarea modelului spin-boson ultra-puternic cuplat cu moduri nefizice”. Nature Communications 10, 1–9 (2019).
https:/​/​doi.org/​10.1038/​s41467-019-11656-1

[38] David D. Noachtar, Johannes Knörzer și Robert H. Jonsson. „Tratamentul neperturbativ al atomilor giganți folosind transformări în lanț”. Physical Review A 106, 013702 (2022).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.106.013702

[39] CA Büsser, GB Martins și AE Feiguin. „Transformarea Lanczos pentru problemele de impurități cuantice în rețelele d-dimensionale: Aplicație la nanoribbonurile de grafen”. Physical Review B 88, 245113 (2013).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevB.88.245113

[40] Andrew Allerdt, CA Büsser, GB Martins și AE Feiguin. „Kondo versus schimb indirect: Rolul rețelei și gama reală de interacțiuni RKKY în materiale reale”. Revista fizică B 91, 085101 (2015).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevB.91.085101

[41] Andrew Allerdt și Adrian E. Feiguin. „O abordare numerică exactă a problemelor de impurități cuantice în geometriile rețelelor realiste”. Frontiere în fizică 7, 67 (2019).
https: / / doi.org/ 10.3389 / fphy.2019.00067

[42] V. Bargmann. „Pe un spațiu Hilbert de funcții analitice și o transformată integrală asociată partea I”. Communications on Pure and Applied Mathematics 14, 187–214 (1961).
https: / / doi.org/ 10.1002 / cpa.3160140303

[43] H. Araki și EJ Woods. „Reprezentări ale relațiilor de comutație canonice care descriu un gaz Bose liber infinit nonrelativist”. Journal of Mathematical Physics 4, 637–662 (1963).
https: / / doi.org/ 10.1063 / 1.1704002

[44] Yasushi Takahashi și Hiroomi Umezawa. „DINAMICA CÂMPULUI TERMO”. Jurnalul Internațional de Fizică Modernă B 10, 1755–1805 (1996).
https: / / doi.org/ 10.1142 / S0217979296000817

[45] Inés de Vega și Mari-Carmen Bañuls. „Abordare de cartografiere în lanț bazată pe termocâmp pentru sisteme cuantice deschise”. Physical Review A 92, 052116 (2015).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.92.052116

[46] Dario Tamascelli, Andrea Smirne, James Lim, Susana F. Huelga și Martin B. Plenio. „Simularea eficientă a sistemelor cuantice deschise cu temperatură finită”. Physical Review Letters 123, 090402 (2019). arxiv:1811.12418.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.123.090402
arXiv: 1811.12418

[47] Gabriel T. Landi, Dario Poletti și Gernot Schaller. „Sisteme cuantice bazate pe granițe fără echilibru: modele, metode și proprietăți”. Reviews of Modern Physics 94, 045006 (2022).
https: / / doi.org/ 10.1103 / RevModPhys.94.045006

[48] Chu Guo, Ines de Vega, Ulrich Schollwöck și Dario Poletti. „Tranziție stabil-instabil pentru un lanț Bose-Hubbard cuplat la un mediu”. Physical Review A 97, 053610 (2018).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.97.053610

[49] F. Schwarz, I. Weymann, J. von Delft și A. Weichselbaum. „Transportul în stare de echilibru neechilibrat în modelele de impurități cuantice: o abordare de termocâmp și stingere cuantică folosind stări de produs matrice”. Physical Review Letters 121, 137702 (2018).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.121.137702

[50] Tianqi Chen, Vinitha Balachandran, Chu Guo și Dario Poletti. „Transport cuantic în stare de echilibru printr-un oscilator anarmonic puternic cuplat la două rezervoare de căldură”. Physical Review E 102, 012155 (2020).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevE.102.012155

[51] Angus J. Dunnett și Alex W. Chin. „Simulări ale stării produsului matrice ale stărilor de echilibru fără echilibru și fluxurilor de căldură tranzitorii în modelul spin-boson cu două băi la temperaturi finite”. Entropia 23, 77 (2021).
https: / / doi.org/ 10.3390 / e23010077

[52] Thibaut Lacroix, Angus Dunnett, Dominic Gribben, Brendon W. Lovett și Alex Chin. „Dezvăluirea semnalizării spațiu-timp non-Markovian în sisteme cuantice deschise cu dinamica rețelei tensorii cu rază lungă”. Physical Review A 104, 052204 (2021).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.104.052204

[53] Angela Riva, Dario Tamascelli, Angus J. Dunnett și Alex W. Chin. „Ciclul termic și formarea polaronilor în medii bosonice structurate”. Physical Review B 108, 195138 (2023).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevB.108.195138

[54] WG Unruh. „Note despre evaporarea găurilor negre”. Revista fizică D 14, 870–892 (1976).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevD.14.870

[55] BS DeWitt. „Graviația cuantică: noua sinteză”. În Stephen Hawking și W. Israel, editori, General Relativity: An Einstein Centenary Survey. Pagina 680. Cambridge University Press, Cambridge Eng; New York (1979).

[56] BL Hu, Shih-Yuin Lin și Jorma Louko. „Informații cuantice relativiste în interacțiuni detectoare-câmp”. Classical and Quantum Gravity 29, 224005 (2012).
https:/​/​doi.org/​10.1088/​0264-9381/​29/​22/​224005

[57] Luís CB Crispino, Atsushi Higuchi și George EA Matsas. „Efectul Unruh și aplicațiile sale”. Reviews of Modern Physics 80, 787–838 (2008).
https: / / doi.org/ 10.1103 / RevModPhys.80.787

[58] RB Mann și TC Ralph. „Informații cuantice relativiste”. Classical and Quantum Gravity 29, 220301 (2012).
https:/​/​doi.org/​10.1088/​0264-9381/​29/​22/​220301

[59] Shih-Yuin Lin și BL Hu. „Corelații accelerate detector-câmp cuantic: de la fluctuațiile de vid la fluxul de radiații”. Physical Review D 73, 124018 (2006).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevD.73.124018

[60] DJ Raine, DW Sciama și PG Grove. „Radiază un oscilator cuantic uniform accelerat?”. Proceedings: Mathematical and Physical Sciences 435, 205–215 (1991).

[61] F. Hinterleitner. „Detectoare de particule inerțiale și accelerate cu reacție inversă în spațiu-timp plat”. Analele fizicii 226, 165–204 (1993).
https: / / doi.org/ 10.1006 / aphy.1993.1066

[62] S. Massar, R. Parentani și R. Brout. „Despre problema oscilatorului uniform accelerat”. Classical and Quantum Gravity 10, 385 (1993).
https:/​/​doi.org/​10.1088/​0264-9381/​10/​2/​020

[63] S. Massar si R. Parentani. „De la fluctuațiile de vid la radiații. I. Detectoare accelerate”. Physical Review D 54, 7426–7443 (1996).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevD.54.7426

[64] Jürgen Audretsch și Rainer Müller. „Radiția de la un detector de particule uniform accelerat: energie, particule și procesul de măsurare cuantică”. Physical Review D 49, 6566–6575 (1994).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevD.49.6566

[65] Hyeong-Chan Kim și Jae Kwan Kim. „Radiția de la un oscilator armonic uniform accelerat”. Physical Review D 56, 3537–3547 (1997).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevD.56.3537

[66] Hyeong-Chan Kim. „Câmp cuantic și oscilator uniform accelerat”. Physical Review D 59, 064024 (1999).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevD.59.064024

[67] Erickson Tjoa. „Interacțiuni simple neperturbative generate cu un câmp cuantic pentru stări gaussiene arbitrare” (2023).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevD.108.045003

[68] Eric G. Brown, Eduardo Martín-Martínez, Nicolas C. Menicucci și Robert B. Mann. „Detectori pentru sondarea fizicii cuantice relativiste dincolo de teoria perturbațiilor”. Physical Review D 87, 084062 (2013).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevD.87.084062

[69] David Edward Bruschi, Antony R. Lee și Ivette Fuentes. „Tehnici de evoluție în timp pentru detectoare în informații cuantice relativiste”. Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical 46, 165303 (2013).
https:/​/​doi.org/​10.1088/​1751-8113/​46/​16/​165303

[70] Wolfram Research, Inc. „Mathematica, Versiunea 12.3.1”. Champaign, IL, 2022.

[71] Sebastian Paeckel, Thomas Köhler, Andreas Swoboda, Salvatore R. Manmana, Ulrich Schollwöck și Claudius Hubig. „Metode de evoluție în timp pentru stările matrice-produs”. Analele fizicii 411, 167998 (2019).
https: / / doi.org/ 10.1016 / j.aop.2019.167998

[72] Lucas Hackl și Eugenio Bianchi. „Stări gaussiene bosonice și fermionice din structurile Kähler”. SciPost Physics Core 4, 025 (2021). arxiv:2010.15518.
https://​/​doi.org/​10.21468/​SciPostPhysCore.4.3.025
arXiv: 2010.15518

[73] ND Birrell și PCW Davies. „Câmpuri cuantice în spațiu curbat”. Monografii Cambridge despre fizica matematică. Cambridge University Press. Cambridge (1982).
https: / / doi.org/ 10.1017 / CBO9780511622632

[74] Dario Tamascelli. „Dinamica excitației în medii mapate în lanț”. Entropia 22, 1320 (2020). arxiv:2011.11295.
https: / / doi.org/ 10.3390 / e22111320
arXiv: 2011.11295

[75] Robert H. Jonsson, Eduardo Martín-Martínez și Achim Kempf. „Semnalizarea cuantică în cavitatea QED”. Physical Review A 89, 022330 (2014).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.89.022330

[76] Eduardo Martín-Martínez. „Probleme de cauzalitate ale modelelor de detectoare de particule în QFT și optica cuantică”. Physical Review D 92, 104019 (2015).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevD.92.104019

[77] Robert M. Wald. „Teoria câmpului cuantic în spațiu-timp curbat și termodinamica găurii negre”. Prelegeri din Chicago de fizică. University of Chicago Press. Chicago, IL (1994).

[78] Shin Takagi. „Cu privire la răspunsul unui detector de particule Rindler”. Progresul fizicii teoretice 72, 505–512 (1984).
https: / / doi.org/ 10.1143 / PTP.72.505

[79] Izrail Solomonovich Gradshteyn și Iosif Moiseevich Ryzhik. „Tabelul integralelor, serii și produse (ediția a opta)”. Presa academica. (2014).
https:/​/​doi.org/​10.1016/​c2010-0-64839-5

Citat de

Nu a putut să aducă Date citate încrucișate în ultima încercare 2024-01-30 14:00:51: Nu s-au putut prelua date citate pentru 10.22331 / q-2024-01-30-1237 de la Crossref. Acest lucru este normal dacă DOI a fost înregistrat recent. Pe ADS SAO / NASA nu s-au găsit date despre citarea lucrărilor (ultima încercare 2024-01-30 14:00:52).

Acest Lucru este publicat în Quantum sub Creative Commons Atribuire 4.0 internațională (CC BY 4.0) licență. Drepturile de autor rămân la deținătorii de drepturi de autor originale, precum autorii sau instituțiile lor.

Timestamp-ul:

Mai mult de la Jurnalul cuantic