The Quest to Decode the Mandelbrot Set, Math's Famed Fractal | Quanta Magazine

På midten av 1980-tallet, som Walkman-kassettspillere og slipsfargede skjorter, var den buglignende silhuetten til Mandelbrot-settet overalt.

Studenter pusset den til vegger på hybler rundt om i verden. Matematikere mottok hundrevis av brev, ivrige forespørsler om utskrifter av settet. (Som svar produserte noen av dem kataloger, komplette med prislister; andre kompilerte de mest slående funksjonene til bøker.) Flere teknologikyndige fans kunne henvende seg til august 1985-utgaven av Scientific American. På omslaget utfoldet Mandelbrot-settet seg i brennende ranker, dets kant i flammer; På innsiden var det nøye programmeringsinstruksjoner som beskrev hvordan leserne kunne generere det ikoniske bildet for seg selv.

Da hadde disse rankene også utvidet rekkevidden langt utover matematikk, inn i tilsynelatende ubeslektede hjørner av hverdagen. I løpet av de neste årene ville Mandelbrot-settet inspirere David Hockneys nyeste malerier og flere musikeres nyeste komposisjoner - fugelignende stykker i stil med Bach. Det ville dukke opp på sidene til John Updikes skjønnlitteratur, og veilede hvordan litteraturkritikeren Hugh Kenner analyserte poesien til Ezra Pound. Den skulle bli gjenstand for psykedeliske hallusinasjoner, og for en populær dokumentar fortalt av sci-fi-storen Arthur C. Clarke.

Mandelbrot-settet er en spesiell form, med en fraktal kontur. Bruk en datamaskin til å zoome inn på settets taggete grense, og du vil møte daler av sjøhester og parader av elefanter, spiralgalakser og nevronlignende filamenter. Uansett hvor dypt du utforsker, vil du alltid se nesten-kopier av originalsettet – en uendelig, svimlende kaskade av selvlikhet.

Denne selvlikheten var et kjerneelement i James Gleicks bestselgende bok Chaos, som sementerte Mandelbrot-settets plass i populærkulturen. "Det inneholdt et univers av ideer," skrev Gleick. "En moderne kunstfilosofi, en begrunnelse for den nye rollen til eksperimentering i matematikk, en måte å bringe komplekse systemer til et stort publikum."

Mandelbrot-settet var blitt et symbol. Det representerte behovet for et nytt matematisk språk, en bedre måte å beskrive den fraktale naturen til verden rundt oss. Det illustrerte hvor dyptgående forviklinger kan dukke opp fra de enkleste regler - omtrent som livet selv. ("Det er derfor et ekte budskap om håp," John Hubbard, en av de første matematikerne som studerte settet, sa i en video fra 1989, «at muligens biologi virkelig kan forstås på samme måte som disse bildene kan forstås.») I Mandelbrot-settet levde orden og kaos i harmoni; determinisme og fri vilje kunne forenes. En matematiker husket at han snublet over settet som tenåring og så det som en metafor for den kompliserte grensen mellom sannhet og usannhet.

Mandelbrot-settet var overalt, helt til det ikke var det.

I løpet av et tiår så det ut til å forsvinne. Matematikere gikk over til andre fag, og publikum gikk over til andre symboler. I dag, bare 40 år etter oppdagelsen, har fraktalen blitt en klisjé, borderline kitsch.

Men en håndfull matematikere har nektet å la det gå. De har viet livet til å avdekke hemmelighetene til Mandelbrot-settet. Nå tror de at de endelig er på nippet til å virkelig forstå det.

Historien deres er en om utforskning, om eksperimentering - og om hvordan teknologi former måten vi tenker på, og spørsmålene vi stiller om verden.

Dusørjegerne

I oktober 2023 samlet 20 matematikere fra hele verden seg i en knebøy murbygning på det som en gang var en dansk militær forskningsbase. Basen, bygget på slutten av 1800-tallet midt i skogen, lå bortgjemt på en fjord på nordvestkysten av Danmarks mest folkerike øy. En gammel torpedo voktet inngangen. Svart-hvitt-bilder, som viser marineoffiserer i uniform, båter oppstilt ved en kai og ubåttester som pågår, prydet veggene. I tre dager, mens en voldsom vind pisket vannet utenfor vinduene til frådende hvithetter, satt gruppen gjennom en serie samtaler, de fleste av to matematikere fra Stony Brook University i New York: Misha Lyubich og Dima Dudko.

I verkstedets publikum var noen av Mandelbrot-settets mest uforferdede oppdagere. Nær fronten satt Mitsuhiro Shishikura fra Kyoto University, som på 1990-tallet beviste at settets grense er så komplisert som det kan bli. Noen få seter over var Hiroyuki Inou, som sammen med Shishikura utviklet viktige teknikker for å studere en spesielt høyprofilert region i Mandelbrot-settet. I siste rad var Ulv Jung, skaperen av Mandel, matematikeres go-to-programvare for interaktiv undersøkelse av Mandelbrot-settet. Tilstede var også Arnaud Chéritat ved universitetet i Toulouse, Carsten Petersen ved Roskilde Universitet (som organiserte workshopen), og flere andre som hadde gitt store bidrag til matematikeres forståelse av Mandelbrot-settet.

Og ved tavlen sto Lyubich, verdens fremste ekspert på temaet, og Dudko, en av hans nærmeste samarbeidspartnere. Sammen med matematikerne Jeremy Kahn og Alex Kapiamba, har de jobbet med å bevise en langvarig formodning om den geometriske strukturen til Mandelbrot-settet. Denne formodningen, kjent som MLC, er den siste hindringen i den flere tiår lange søken etter å karakterisere fraktalen, for å temme den sammenfiltrede villmarken.

Ved å bygge og skjerpe et kraftig sett med verktøy, har matematikere kjempet kontrollen over geometrien til "nesten alt i Mandelbrot-settet," sa Caroline Davis fra Indiana University - bortsett fra noen få gjenværende tilfeller. "Misha og Dima og Jeremy og Alex er som dusørjegere som prøver å spore opp disse siste."

Lyubich og Dudko var i Danmark for å oppdatere andre matematikere om den siste fremgangen mot å bevise MLC, og teknikkene de hadde utviklet for å gjøre det. De siste 20 årene har forskere samlet seg her for workshops dedikert til å pakke ut resultater og metoder innen kompleks analyse, den matematiske studien av typen tall og funksjoner som brukes til å generere Mandelbrot-settet.

Det var et uvanlig opplegg: Matematikerne spiste alle måltidene sine sammen, og snakket og lo over øl ut i de små timer. Da de endelig bestemte seg for å legge seg, trakk de seg tilbake til køyesenger eller barnesenger i små rom de delte i andre etasje av anlegget. (Ved vår ankomst ble vi bedt om å ta laken og putevar fra en haug og ta dem opp for å re opp sengene våre.) Noen år trosser konferansedeltakere en svømmetur i det iskalde vannet; oftere vandrer de gjennom skogen. Men for det meste er det ingenting å gjøre bortsett fra matematikk.

Vanligvis, fortalte en av deltakerne, workshopen tiltrekker seg mange yngre matematikere. Men det var ikke tilfelle denne gangen - kanskje fordi det var midt i semesteret, eller, spekulerte han, på grunn av hvor vanskelig faget var. Han innrømmet at han i det øyeblikket følte seg litt skremt over muligheten til å holde et foredrag foran så mange av feltets storheter.

Men gitt at de fleste matematikere i det bredere området av kompleks analyse ikke lenger jobber med Mandelbrot-settet direkte, hvorfor vie en hel workshop til MLC?

Mandelbrot-settet er mer enn en fraktal, og ikke bare i metaforisk forstand. Den fungerer som en slags hovedkatalog over dynamiske systemer - over alle de forskjellige måtene et punkt kan bevege seg gjennom rommet i henhold til en enkel regel. For å forstå denne masterkatalogen må man krysse mange forskjellige matematiske landskap. Mandelbrot-settet er dypt relatert ikke bare til dynamikk, men også til tallteori, topologi, algebraisk geometri, gruppeteori og til og med fysikk. "Den samhandler med resten av matematikken på en vakker måte," sa Sabyasachi Mukherjee fra Tata Institute of Fundamental Research i India.

For å gjøre fremskritt med MLC, har matematikere måttet utvikle et sofistikert sett med teknikker – det Chéritat kaller «en kraftig filosofi». Disse verktøyene har fått mye oppmerksomhet. I dag utgjør de en sentral pilar i studiet av dynamiske systemer bredere. De har vist seg å være avgjørende for å løse en rekke andre problemer - problemer som ikke har noe med Mandelbrot-settet å gjøre. Og de har forvandlet MLC fra et nisjespørsmål til en av feltets dypeste og viktigste åpne formodninger.

Lyubich, matematikeren som kanskje er mest ansvarlig for å forme denne "filosofien" til sin nåværende form, står høyt og rett og snakker stille. Når andre matematikere på workshopen henvender seg til ham for å diskutere et konsept eller stille et spørsmål, lukker han øynene og lytter oppmerksomt, de tykke øyenbrynene rynket. Han svarer forsiktig, med russisk aksent.

Men han er også rask til å bryte ut i høy, varm latter, og til å lage skjeve vitser. Han er raus med tid og råd. Han har "virkelig fostret ganske mange generasjoner av matematikere," sa Mukherjee, en av Lyubichs tidligere postdoktorer og en hyppig samarbeidspartner. Som han forteller det, bruker alle som er interessert i studiet av kompleks dynamikk litt tid på Stony Brook og lærer av Lyubich. "Misha har denne visjonen om hvordan vi bør gå frem for et bestemt prosjekt, eller hva vi skal se på videre," sa Mukherjee. "Han har dette store bildet i tankene. Og han deler det gjerne med folk.»

For første gang føler Lyubich at han er i stand til å se det store bildet i sin helhet.

Priskjemperne

Mandelbrot-settet begynte med en premie.

I 1915, motivert av nyere fremskritt i studiet av funksjoner, utlyste det franske vitenskapsakademiet en konkurranse: Om tre år skulle det tilby en 3,000 francs hovedpremie for arbeid med prosessen med iterasjon - selve prosessen som ville senere generere Mandelbrot-settet.

Iterasjon er gjentatt anvendelse av en regel. Plugg et tall inn i en funksjon, og bruk deretter utgangen som din neste inngang. Fortsett å gjøre det, og observer hva som skjer over tid. Når du fortsetter å iterere funksjonen din, kan tallene du får raskt stige mot det uendelige. Eller de kan bli trukket mot ett tall spesielt, som jernspon som beveger seg mot en magnet. Eller ende opp med å sprette mellom de samme to tallene, eller tre, eller tusen, i en stabil bane som de aldri kan unnslippe. Eller hopp fra ett nummer til et annet uten rim eller grunn, etter en kaotisk, uforutsigbar vei.

Det franske akademiet, og matematikere mer generelt, hadde en annen grunn til å være interessert i iterasjon. Prosessen spilte en viktig rolle i studiet av dynamiske systemer - systemer som rotasjonen av planeter rundt solen eller strømmen av en turbulent strøm, systemer som endres over tid i henhold til et spesifisert sett med regler.

Prisen inspirerte to matematikere til å utvikle et helt nytt fagfelt.

Først var Pierre Fatou, som i et annet liv kunne ha vært en marinemann (en familietradisjon), hvis det ikke var for hans dårlige helse. Han forfulgte i stedet en karriere innen matematikk og astronomi, og i 1915 hadde han allerede bevist flere store resultater i analyse. Så var det Gaston Julia, en lovende ung matematiker født i det fransk-okkuperte Algerie, hvis studier ble avbrutt av første verdenskrig og hans verneplikt til den franske hæren. I en alder av 22, etter å ha pådratt seg en alvorlig skade kort tid etter at han begynte i tjenesten - han ville ha en lærreim over ansiktet resten av livet, etter at legene ikke var i stand til å reparere skaden - vendte han tilbake til matematikken og gjorde noe av arbeidet han ville levere til Akademiprisen fra en sykehusseng.

Prisen motiverte både Fatou og Julia til å studere hva som skjer når du itererer funksjoner. De jobbet selvstendig, men endte opp med å gjøre veldig like funn. Det var så mye overlapping i resultatene deres at selv nå er det ikke alltid klart hvordan man tildeler kreditt. (Julia var mer utadvendt, og fikk derfor mer oppmerksomhet. Han endte opp med å vinne prisen; Fatou søkte ikke engang.) På grunn av dette arbeidet regnes de to nå som grunnleggerne av feltet kompleks dynamikk.

"Kompleks", fordi Fatou og Julia itererte funksjoner av komplekse tall - tall som kombinerer et kjent reelt tall med et såkalt imaginært tall (et multiplum av i, symbolet matematikere bruker for å betegne kvadratroten av −1). Mens reelle tall kan legges ut som punkter på en linje, blir komplekse tall visualisert som punkter på et plan, slik:

Fatou og Julia fant ut at å iterere selv enkle komplekse funksjoner (ikke et paradoks i matematikkens rike!) kunne føre til rik og komplisert oppførsel, avhengig av utgangspunktet ditt. De begynte å dokumentere denne atferden, og å representere dem geometrisk.

Men så bleknet deres arbeid i uklarhet i et halvt århundre. «Folk visste ikke engang hva de skulle se etter. De var begrenset på hvilke spørsmål de til og med skulle stille," sa Artur Avila, professor ved universitetet i Zürich.

Dette endret seg da datagrafikk ble myndig på 1970-tallet.

Da hadde matematikeren Benoît Mandelbrot fått et rykte som en akademisk dilettant. Han hadde drevet med mange forskjellige felt, fra økonomi til astronomi, mens han jobbet ved IBMs forskningssenter nord for New York City. Da han ble utnevnt til IBM-stipendiat i 1974, hadde han enda større frihet til å forfølge uavhengige prosjekter. Han bestemte seg for å bruke senterets betydelige datakraft for å bringe kompleks dynamikk ut av dvalemodus.

Først brukte Mandelbrot datamaskinene til å generere den typen former som Fatou og Julia hadde studert. Bildene kodet informasjon om når et startpunkt, når iterert, ville rømme til det uendelige, og når det ville bli fanget i et annet mønster. Fatou og Julias tegninger fra 60 år tidligere hadde sett ut som klynger av sirkler og trekanter - men de datagenererte bildene som Mandelbrot laget så ut som drager og sommerfugler, kaniner og katedraler og blomkålhoder, noen ganger til og med frakoblede støvskyer. Da hadde Mandelbrot allerede laget ordet "fraktal" for former som så like ut i forskjellige skalaer; ordet fremkalte forestillingen om en ny type geometri - noe fragmentert, brøkdel eller ødelagt.

Bildene som dukket opp på dataskjermen hans - i dag kjent som Julia-sett - var noen av de vakreste og mest kompliserte eksemplene på fraktaler som Mandelbrot noen gang hadde sett.

Fatou og Julias arbeid hadde fokusert på geometrien og dynamikken til hvert av disse settene (og deres tilsvarende funksjoner) individuelt. Men datamaskiner ga Mandelbrot en måte å tenke på en hel familie av funksjoner på en gang. Han kunne kode alle av dem i bildet som ville komme til å bære navnet hans, selv om det fortsatt er et spørsmål om diskusjon om han faktisk var den første som oppdaget det.

Mandelbrot-settet omhandler de enkleste ligningene som fortsatt gjør noe interessant når de itereres. Dette er kvadratiske funksjoner av formen f(z) = z² + c. Fiks en verdi på c – det kan være et hvilket som helst komplekst tall. Hvis du gjentar ligningen som starter med z = 0 og finn ut at tallene du genererer forblir små (eller begrenset, som matematikere sier), så c er i Mandelbrot-settet. Hvis du derimot itererer og finner ut at tallene dine begynner å vokse mot det uendelige, c er ikke i Mandelbrot-settet.

Det er enkelt å vise at verdier av c nær null er i settet. Og det er like greit å vise at store verdier av c er det ikke. Men komplekse tall lever opp til navnet sitt: Settets grense er fantastisk intrikat. Det er ingen åpenbar grunn til å endre c med små mengder bør føre til at du fortsetter å krysse grensen, men når du zoomer inn på den, dukker det opp uendelige mengder detaljer.

Dessuten fungerer Mandelbrot-settet som et kart over Julia-sett, som kan sees i den interaktive figuren nedenfor. Velg en verdi på c i Mandelbrot-settet. Det tilsvarende Julia-settet kobles til. Men hvis du forlater Mandelbrot-settet, vil det tilsvarende Julia-settet bli frakoblet støv.