Den overraskende enkle matematikken bak forvirrende matchups | Quanta Magazine

Det er mesterskapskampen i Imaginary Math League, der Atlanta Algebras skal møte Carolina Cross Products. De to lagene har ikke spilt mot hverandre denne sesongen, men tidligere på året beseiret Atlanta Brooklyn Bisectors med en score på 10-5, og Brooklyn beseiret Carolina med en score på 7-3. Gir det oss noen innsikt i hvem vil ta tittelen?

Vel, her er en tankegang. Hvis Atlanta slår Brooklyn, så er Atlanta bedre enn Brooklyn, og hvis Brooklyn slår Carolina, så er Brooklyn bedre enn Carolina. Så hvis Atlanta er bedre enn Brooklyn og Brooklyn er bedre enn Carolina, bør Atlanta være bedre enn Carolina og vinne mesterskapet.

Hvis du spiller konkurransespill eller sport, vet du at det aldri er så enkelt å forutsi utfallet av en kamp. Men fra et rent matematisk ståsted har dette argumentet en viss appell. Den bruker en viktig idé i matematikk kjent som transitivitet, en kjent egenskap som lar oss konstruere strenger av sammenligninger på tvers av relasjoner. Transitivitet er en av de matematiske egenskapene som er så grunnleggende at du kanskje ikke engang legger merke til det.

For eksempel er likhet av tall transitiv. Dette betyr at hvis vi vet det a = b og b = c, kan vi konkludere med det a = c. Forholdet "større enn" er også transitivt: For reelle tall, hvis a > b og b > c, deretter a > c. Når relasjoner er transitive, kan vi sammenligne og kombinere dem, og skape en rekkefølge av objekter. Hvis Anna er høyere enn Benji og Benji er høyere enn Carl, kan vi sortere de tre etter høyden deres: A, B, C. Transitivitet ligger også bak vårt naive argument om at hvis A er bedre enn B og B er bedre enn C, deretter A er bedre enn C.

Transitivitet er tilstede i likhet, kongruens, likhet, til og med parallellisme. Det er en del av all grunnleggende matematikk vi gjør, noe som gjør det spesielt matematisk interessant når det ikke er der. Når analytikere rangerer team, økonomer studerer forbrukerpreferanser, eller innbyggere stemmer på sine foretrukne kandidater, kan mangel på transitivitet føre til overraskende utfall. For å bedre forstå denne typen systemer, har matematikere studert "intransitive terninger" i over 50 år, og en nyere artikkel fra nettbasert matematisk samarbeid kjent som Polymath-prosjektet har fremmet denne forståelsen. For å få en følelse av hvordan intransitivitet ser ut og føles, la oss danne en egen liga og spille rundt.

I den nye matematikkligaen vår konkurrerer spillere ved å vende egendefinerte mynter og sammenligne resultatene. La oss si spiller A har en mynt med tallet 10 på den ene siden og tallet 6 på den andre, og spiller Bsin mynt har tallene 8 og 3. Vi antar at myntene er rettferdige – noe som betyr at det er like sannsynlig at hver side vises når myntene snus – og vi vil representere tallene på myntene slik.

I et spill snur spillerne sine mynter, og den som har mynten som viser det høyeste tallet vinner. Hvem vinner når A spiller B?

Det kommer selvfølgelig an på. Noen ganger A vil vinne noen ganger B vil vinne. Men det er ikke vanskelig å se det A er foretrukket å vinne mot B. Det er fire måter spillet kan utfolde seg på, og A vinner i tre av dem.

Så i spillet av A versus B, A har 75 % sjanse til å vinne.

Nå C kommer og utfordrer B til et spill. Csin mynt har en 5 på den ene siden og en 4 på den andre. Igjen er det fire muligheter.

Her B og C hver vinner to av de fire kampene, så de vil hver vinne 50 % av spillene. B og C er jevnt matchet.

Nå, hva forventer du skal skje når A og C spille? Vi vil, A vanligvis slår Bog B er jevnt matchet med C, så det virker rimelig å forvente det A vil trolig bli favorisert mot C.

Men A er mer enn en favoritt. A dominerer C, vinner 100 % av tiden.

Dette kan virke overraskende, men matematisk er det ikke vanskelig å se hvorfor det skjer. Csine tall er i mellom Bs, så C vinner når som helst B snur deres lavere tall. Men Csine tall er begge nedenfor As, så C vil aldri vinne den kampen. Dette eksemplet bryter ikke ideen om transitivitet, men det viser at ting kan være mer kompliserte enn bare A > B > C. En liten endring i spillet vårt viser hvor mye mer komplisert det kan være.

Konkurrentene våre blir raskt lei av det tosidige myntflippingsspillet, siden det er lett å fullstendig forstå matematisk (se øvelsene på slutten av kolonnen for flere detaljer), så ligaen bestemmer seg for å oppgradere til tresidige mynter. (En av fordelene med å spille i en tenkt matematikkliga er at alt er mulig.)

Her er A og Bsine mynter:

Hvem er favorisert i et spill mellom A og B? Vel, det er tre utfall for A's myntkast og tre for B, som fører til ni mulige spillresultater som vi enkelt kan kartlegge.

Forutsatt igjen at alle utfallene er like sannsynlige, A beats B i fem av de ni utfallene. Dette betyr A bør vinne $latex frac{5}{9} omtrent 55 % av tiden, så A er favorisert mot B.

Føler seg litt nedstemt over potensielle kunder, B utfordringer C til et spill. C's tall er vist nedenfor. Liker du Bsine sjanser?

Igjen, det er ni mulige utfall i et spill av B versus C, så vi kan bare liste dem opp.

Vi kan se det B ser ganske bra ut mot C. I fem av de ni mulige resultatene, B vinner. Så B er favorisert mot C.

dårlig C nå må spille A. Med A favoriserte mot B og B favoriserte mot C, hva sjansen gjør C må vinne? En ganske god en, som det viser seg.

I fem av de ni mulige resultatene her, C beats A. Dette betyr at C er favorisert mot A, selv om Aer favorisert mot B og B er favorisert mot C.

Dette er et eksempel på et intransitivt system. I mer tekniske termer er ikke forholdet "å bli favorisert mot" i spillet vårt transitivt: A er favorisert mot Bog B er favorisert mot C, men A er ikke nødvendigvis favorisert mot C.

Vi ser det ikke ofte i matematikk, men denne typen oppførsel ville ikke overraske sportsfans. Hvis Giants slo Eagles og Eagles slo Cowboys, kan Cowboys fortsatt meget godt slå Giants. Det er mange faktorer som bidrar til resultatet av et individuelt spill. Lag kan bli bedre med trening eller stagnere hvis de ikke innoverer. Spillere kan bytte lag. Detaljer som spillets plassering – hjemme eller borte – eller hvor nylig lagene har spilt kan påvirke hvem som vinner og hvem som taper.

Men dette enkle eksemplet viser at det er rent matematiske årsaker bak denne typen intransitivitet også. Og denne rent matematiske betraktningen har noe til felles med konkurransebegrensningene i den virkelige verden: matchups.

Her er tallene for A, B og C.

Når vi ser dem side ved side, er det lettere å se hvorfor intransitivitet oppstår i denne situasjonen. Selv om B er foretrukket å vinne mot C, Csine to middels høye tall – 7 og 6 – gir dem en fordel over A Det B ikke har. Selv om A er favorisert mot B og B er favorisert mot C, C kamper opp mot A bedre enn B gjør. Dette ligner på hvordan et underdog-idrettslag kan matche en overlegen motstander fordi spillestilen deres er vanskelig for laget å håndtere, eller fordi en spiller eller trener gir dem et forsprang mot den spesielle motstanderen.

Det faktum at sport er intransitiv er noe av det som gjør dem morsomme og overbevisende. Tross alt, hvis A beats B og B beats C, C kommer ikke bare til å tape på grunn av transitivitet når de står overfor A. I konkurranse kan alt skje. Som mange kommentatorer har sagt etter en opprørt, "Det er derfor de spiller spillet."

Og det er derfor vi leker med matte. Å finne det som er morsomt, overbevisende og overraskende. Alt kan skje.

Øvelser

1. Anta at to spillere spiller det tosidige myntspillet, og de fire tallene fra de to myntene er alle forskjellige. Det er i hovedsak bare seks mulige scenarier for hvem som vinner og hvor ofte. Hva er de?

2. I scenariet for tresidig spill som er beskrevet ovenfor, finn en annen tresidig mynt for C slik at B er fortsatt favorisert mot C og C er fortsatt favorisert mot A.

3. Bevis at i et tosidig myntspill er det umulig å ha tre spillere A, B, C slik at A er favorisert mot B, B er favorisert mot Cog C er favorisert mot A.

Korreksjon: Januar 26, 2024
To tidligere publiserte figurer viste feilmerkede matchups mellom spillerne A mot C og B mot C. Tallene er korrigert.