유한요소법과 ML의 혼합 - Semiwiki

플라톤에 의해 재발행

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분석을 위한 유한 요소 방법은 멀티다이 시스템의 기계적 응력 분석, 냉각 및 응력 분석(예: 뒤틀림)에 대응하는 열 분석, 전자기 컴플라이언스 분석 등 전자 시스템 설계의 다양한 영역에서 사용됩니다. (전산유체역학(CFD)은 제가 별도의 블로그에서 다룰 수도 있는 또 다른 분야입니다.) 저는 다른 고객과 함께 이 분야의 주제를 다루었고 이 분야가 제 물리학 배경과 내면의 수학 괴짜와 공감하기 때문에 계속해서 매력적이라고 생각합니다. (미분 방정식 풀기). 여기서 나는 최근 논문 Siemens AG와 뮌헨 및 브라운슈바이크 기술 대학의 협력.

유한요소법과 ML의 혼합

문제 진술

유한 요소법은 많은 물리적 해석에서 발생하는 2D/3D 편미분 방정식(PDE) 시스템을 수치적으로 해결하는 기술입니다. 이는 복잡한 SoC에서 열이 확산되는 방식부터 자동차 레이더에 대한 EM 분석, 응력 하에서 기계 구조가 구부러지는 방식, 충돌 시 자동차 앞부분이 구겨지는 방식까지 확장될 수 있습니다.

FEM의 경우 메쉬는 분석을 위한 개별 프레임워크로 물리적 공간 전체에 걸쳐 구성되며, 경계 주변과 특히 빠르게 변화하는 경계 조건은 더 세밀하게 구성되고 다른 곳에서는 더 거칠게 구성됩니다. 이 방법은 복잡한 세부 사항을 건너뛰고 중첩의 계수를 변경하여 메시 전체에 걸쳐 간단한 함수의 선형 중첩을 최적화합니다. 최적화의 목표는 선형 대수학 및 기타 방법을 통해 초기 조건 및 경계 조건과 함께 PDE에 대한 이산 프록시와 일치하는 허용 가능한 허용오차 내에서 가장 적합한 것을 찾는 것입니다.

허용 가능한 정확도를 충족하려면 일반적으로 매우 큰 메쉬가 필요하므로 현실적인 문제에 대한 FEM 솔루션의 실행 시간이 매우 길어지며 최적화 가능성을 탐색하기 위해 여러 분석을 실행할 때 더욱 번거로워집니다. 각 실행은 기본적으로 실행 간 학습 활용 없이 처음부터 시작됩니다. 이는 ML 방법을 사용하여 분석을 가속화할 수 있는 기회를 제안합니다.

FEM과 함께 ML을 사용하는 방법

FEM 분석(FEA)을 가속화하기 위해 널리 사용되는 접근 방식은 대리 모델을 구축하는 것입니다. 이는 다른 영역의 추상 모델과 같습니다. 즉, 원래 모델의 전체 복잡성을 단순화한 버전입니다. FEA 전문가들은 소스 모델의 (분산된) 물리적 동작에 대한 좋은 근사치를 계속해서 보여주지만 FEA보다 훨씬 빠르게 실행되더라도 적어도 설계 최적화 단계에서는 FEA를 실행할 필요성을 우회하는 차수 감소 모델(ROM)에 대해 이야기합니다. .

대리자를 구축하는 한 가지 방법은 여러 FEA로 시작하여 해당 정보를 훈련 데이터베이스로 사용하여 대리자를 구축하는 것입니다. 그러나 입력 및 출력의 훈련 세트를 생성하려면 여전히 긴 분석이 필요합니다. 저자들은 또한 그러한 접근 방식의 또 다른 약점을 지적합니다. ML은 이러한 모든 애플리케이션에서 중요한 물리적 제약 조건을 기본적으로 이해하지 못하므로 훈련 세트 외부의 시나리오가 제시되면 환각에 빠지기 쉽습니다.

반대로 FEM을 물리적 정보를 갖춘 신경망 (PINN)은 물리적 PDE를 손실 함수 계산에 통합하여 본질적으로 기울기 기반 최적화에 물리적 제약 조건을 도입합니다. 후속 연구에 따르면 이 방법은 단순한 문제에는 작동하지만 빈도가 높고 다중 규모 기능이 있는 경우에는 실패한다는 것이 밝혀졌지만 이것은 영리한 아이디어입니다. 또한 실망스러운 점은 이러한 방법에 대한 교육 시간이 FEA 런타임보다 길어질 수 있다는 것입니다.

이 문서에서는 FEA와 ML 훈련을 더욱 긴밀하게 결합하여 ML 손실 함수가 메시 전반에 걸쳐 시험 솔루션을 피팅할 때 FEA 오류 계산에 대해 훈련할 수 있도록 하는 흥미로운 대안을 제안합니다. PINN 접근 방식과 일부 유사점이 있지만 중요한 차이점이 있습니다. 이 신경망은 FEA와 함께 실행되어 훈련에서 솔루션으로의 수렴을 가속화합니다. 분명히 더 빠른 훈련이 가능합니다. 추론에서 신경망 모델은 FEA 없이 실행됩니다. 구성적으로 이러한 방식으로 훈련된 모델은 물리적으로 인식되는 솔버에 대해 매우 밀접하게 훈련되었기 때문에 실제 문제의 물리적 제약 조건과 밀접하게 일치해야 합니다.

나는 여기에 대한 내 해석이 상당히 정확하다고 생각합니다. 전문가의 수정을 환영합니다!

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