수수께끼 같은 매치업 뒤에 숨은 놀라울 정도로 간단한 수학 | 콴타 매거진

Atlanta Algebras가 Carolina Cross Products와 대결하는 Imaginary Math League의 챔피언십 게임입니다. 두 팀은 이번 시즌에 서로 경기한 적이 없지만, 올해 초 애틀랜타는 Brooklyn Bisectors를 10대 5로 이겼고, Brooklyn은 Carolina를 7대 3으로 이겼습니다. 이를 통해 누가 누구인지 알 수 있습니까? 타이틀을 차지할 것인가?

음, 여기에 한 가지 생각이 있습니다. 애틀랜타가 브루클린을 이기면 애틀랜타가 브루클린보다 낫고, 브루클린이 캐롤라이나를 이기면 브루클린이 캐롤라이나보다 낫습니다. 따라서 애틀랜타가 브루클린보다 낫고 브루클린이 캐롤라이나보다 낫다면 애틀랜타가 캐롤라이나보다 낫고 우승을 해야 합니다.

경쟁적인 게임이나 스포츠를 즐기는 경우, 경기 결과를 예측하는 것이 결코 이렇게 간단하지 않다는 것을 알고 계실 것입니다. 그러나 순전히 수학적 관점에서 볼 때 이 주장은 어느 정도 호소력이 있습니다. 이는 관계 전반에 걸쳐 일련의 비교를 구성할 수 있는 친숙한 속성인 전이성(transitivity)으로 알려진 수학의 중요한 아이디어를 사용합니다. 이행성은 여러분이 눈치채지 못할 수도 있는 매우 기초적인 수학적 특성 중 하나입니다.

예를 들어, 숫자의 동일성은 전이적입니다. 즉, 우리가 그것을 안다면 a = b 및 b = c, 우리는 다음과 같이 결론을 내릴 수 있습니다 a = c. "보다 큼" 관계도 전이적입니다. 실수의 경우 a > b 및 b > c다음, a > c. 관계가 전이적이면 이를 비교하고 결합하여 개체의 순서를 만들 수 있습니다. Anna가 Benji보다 키가 크고 Benji가 Carl보다 키가 크다면 키를 기준으로 세 사람을 정렬할 수 있습니다. A, B, C. 이행성은 또한 다음과 같은 우리의 순진한 주장 뒤에도 있습니다. A 보다 더 B 및 B 보다 더 C다음, A 보다 더 C.

전이성은 평등, 합동, 유사성, 심지어 평행성에도 존재합니다. 이는 우리가 수행하는 모든 기본 수학의 일부이므로, 그것이 없을 때 특히 수학적으로 흥미로워집니다. 분석가가 팀 순위를 매길 때, 경제학자가 소비자 선호도를 연구할 때, 시민들이 선호하는 후보에 투표할 때 이행성이 부족하면 놀라운 결과가 나올 수 있습니다. 이러한 종류의 시스템을 더 잘 이해하기 위해 수학자들은 50년 넘게 "자동사 주사위"를 연구해 왔으며 최근 논문 Polymath 프로젝트로 알려진 온라인 수학 협업을 통해 이러한 이해가 발전했습니다. 비타동성이 어떤 모양이고 어떤 느낌인지 이해하기 위해 우리만의 리그를 만들고 놀아봅시다.

새로운 수학 리그에서 플레이어는 맞춤 동전을 뒤집고 결과를 비교하여 경쟁합니다. 플레이어라고 해보자 A 한쪽에는 숫자 10, 다른 한쪽에는 숫자 6이 적힌 동전이 있고, 플레이어 B님의 동전에는 숫자 8과 3이 있습니다. 우리는 동전이 공평하다고 가정합니다. 즉, 동전을 뒤집을 때 각 면이 나타날 확률이 동일하다는 의미입니다. 그리고 동전의 숫자를 이와 같이 표현할 것입니다.

게임에서는 플레이어가 동전을 뒤집어서 더 높은 숫자가 표시된 동전이 승자가 됩니다. 언제 누가 이길까 A 재생 B?

물론 상황에 따라 다릅니다. 때때로 A 가끔은 이길 거야 B 이길 것이다. 하지만 보기는 어렵지 않아요 A 을 상대로 승리하는 것이 유리하다 B. 게임을 전개하는 방법에는 4가지가 있으며, A 그 중 3개에서 승리합니다.

그래서 게임에서는 A 대 B, A 승리할 확률은 75%입니다.

현재 C 다가와 도전한다 B 게임에. C님의 동전은 한 면이 5이고 다른 면이 4입니다. 이번에도 네 가지 가능성이 있습니다.

여기에 B 및 C 각각 50번의 매치업 중 XNUMX번을 승리하므로 각각 게임의 XNUMX%를 승리하게 됩니다. B 및 C 균등하게 일치합니다.

이제, 언제 무슨 일이 일어날 것으로 예상하십니까? A 및 C 놀다? 잘, A 보통 이긴다 B및 B 와 균등하게 일치합니다. C, 그래서 그렇게 기대하는 것이 합리적으로 보입니다. A 아마도 반대할 것입니다 C.

그러나 A 좋아하는 것 이상입니다. A 지배하다 C, 100% 승리합니다.

이는 놀랍게 보일 수도 있지만 수학적으로 왜 이런 일이 발생하는지 파악하는 것은 어렵지 않습니다. C님의 숫자는 사이에 있습니다. B의, 그래서 C 언제든지 승리 B 낮은 숫자를 뒤집습니다. 하지만 C님의 전화번호는 둘 다 아래에 있습니다 A의, 그래서 C 그 대결에서는 절대 이길 수 없습니다. 이 예는 전이성의 개념을 위반하지는 않지만 상황이 단순한 것보다 더 복잡할 수 있음을 보여줍니다. A > B > C. 게임에 약간의 변화를 주면 게임이 얼마나 더 복잡해질 수 있는지 알 수 있습니다.

양면 동전 뒤집기 게임은 수학적으로 완전히 이해하기 쉽기 때문에(자세한 내용은 칼럼 마지막에 있는 연습 참조), 경쟁업체들은 양면 동전 뒤집기 게임에 금세 지쳤기 때문에 리그는 3면 동전 뒤집기로 업그레이드하기로 결정했습니다. (가상의 수학 리그에서 플레이할 때의 이점 중 하나는 무엇이든 가능하다는 것입니다.)

현재 위치 A 및 B님의 동전:

게임에서 누가 유리할까 A 및 B? 음, 결과는 세 가지입니다. A의 동전 던지기와 세 번의 B, 쉽게 차트로 표시할 수 있는 9가지 가능한 게임 결과로 이어집니다.

모든 결과가 동일할 가능성이 있다고 다시 가정하면, A 비트 B 9개 결과 중 5개 결과에서. 이는 다음을 의미합니다. A $latex frac{5}{9} 약$ 55%의 확률로 승리해야 하므로 A 반대한다 B.

그들의 전망에 대해 약간 실망감을 느끼고, B 과제 C 게임에. C님의 번호는 아래와 같습니다. 당신은 좋아합니까? B가능성은?

다시 말하지만, 게임에는 9가지 가능한 결과가 있습니다. B 대 C, 그래서 우리는 그것들을 나열할 수 있습니다.

우리는 B 꽤 괜찮아 보이는데 C. 9개의 가능한 결과 중 5개에서 B 승리. 그래서 B 반대한다 C.

가난한 C 이제 놀아야 해 A. 과 A 반대하다 B 및 B 반대하다 C, 어떤 기회가 C 이겨야 해? 결과적으로 꽤 좋은 것입니다.

여기서 가능한 9가지 결과 중 5가지에서 C 비트 A. 이것은 C 반대한다 A, 비록 A반대한다 B 및 B 반대한다 C.

이것은 자동사 시스템의 예입니다. 보다 기술적인 용어로 말하면, 우리 게임에서 "선호받는" 관계는 전이적이지 않습니다. A 반대한다 B및 B 반대한다 C하지만, A 반드시 반대하는 것은 아니다 C.

수학에서는 자주 볼 수 없지만 이런 행동은 스포츠 팬들에게 놀라운 일이 아닙니다. 자이언츠가 이글스를 이기고 이글스가 카우보이를 이겼다면 카우보이는 여전히 자이언츠를 이길 수 있습니다. 개별 게임의 결과에 영향을 미치는 많은 요소가 있습니다. 팀은 연습을 통해 더 나아질 수도 있고, 혁신하지 않으면 정체될 수도 있습니다. 플레이어는 팀을 변경할 수 있습니다. 경기 위치(홈 또는 원정) 또는 팀이 얼마나 최근에 플레이했는지와 같은 세부정보가 승자와 패자에 영향을 줄 수 있습니다.

그러나 이 간단한 예는 이러한 종류의 비타동성 뒤에 순전히 수학적 이유가 있음을 보여줍니다. 그리고 이러한 순전히 수학적 고려 사항은 실제 경쟁의 제약인 매치업과 공통점이 있습니다.

여기에 대한 숫자는 다음과 같습니다 A, B 및 C.

나란히 놓고 보면 이 상황에서 왜 비타동성이 발생하는지 더 쉽게 알 수 있습니다. 하지만 B 을 상대로 승리하는 것이 유리하다 C, C중간 높이의 두 숫자인 7과 6은 그들에게 이점을 제공합니다. A 그 B 없습니다. 일지라도 A 반대한다 B 및 B 반대한다 C, C 상대와 일치하다 A 보다 나은 B 하다. 이는 약자 스포츠 팀이 자신의 플레이 스타일을 해당 팀이 처리하기 어렵기 때문에 또는 선수나 코치가 특정 상대에 대해 우위를 제공하기 때문에 우수한 상대와 잘 매치할 수 있는 방식과 유사합니다.

스포츠가 자동적이라는 사실은 스포츠를 재미있고 매력적으로 만드는 요인 중 하나입니다. 결국, 만약에 A 비트 B 및 B 비트 C, C 그들이 대결할 때 이행성으로 인해 단순히 몰수당하지는 않을 것입니다. A. 경쟁에서는 어떤 일이든 일어날 수 있습니다. 많은 해설자들은 화가 난 후에 이렇게 말했습니다. “그게 바로 그들이 게임을 하는 이유입니다.”

이것이 바로 우리가 수학을 가지고 노는 이유입니다. 재미있고, 설득력 있고, 놀라운 것을 찾는 것입니다. 어떤 일이든 일어날 수 있습니다.

운동

1. 두 명의 플레이어가 양면 동전 게임을 하고 두 동전에 있는 XNUMX개의 숫자가 모두 다르다고 가정합니다. 누가 승리하고 얼마나 자주 승리할지에 대한 가능한 시나리오는 기본적으로 XNUMX가지뿐입니다. 그들은 무엇인가?

2. 위에서 설명한 XNUMX면 게임 시나리오에서 다음과 같은 다른 XNUMX면 동전을 찾으세요. C 그래서 B 여전히 불리하다 C 및 C 여전히 불리하다 A.

3. 동전 양면 게임에서는 세 명의 플레이어가 있을 수 없음을 증명하세요. A, B, C 그렇게 A 반대한다 B, B 반대한다 C및 C 반대한다 A.

보정: 2024 년 1 월 26 일
이전에 게시된 두 수치에서는 ​​플레이어 A 대 C, B 대 C 간의 잘못된 매치업이 표시되었습니다. 수치가 수정되었습니다.