Ha figyelemmel kíséri a matematikai híreket ebben a hónapban, tudja, hogy a 35 éves számelméleti szakember, James Maynard nyert Mezők mező — a matematikus legmagasabb kitüntetése. Maynard szereti az olyan matematikai kérdéseket, amelyek „elég egyszerűek ahhoz, hogy elmagyarázzák egy középiskolásnak, de elég nehezek ahhoz, hogy évszázadokon át elkábítsák a matematikusokat”. Quanta jelentett, és az egyik ilyen egyszerű kérdés a következő: A számegyenesen haladva mindig legyenek olyan prímszámok, amelyek közel vannak egymáshoz?
Talán észrevetted, hogy a matematikusok a prímszámok megszállottjai. Mi vonzza őket? Talán az a tény, hogy a prímszámok a matematika legalapvetőbb struktúráit és rejtélyeit testesítik meg. A prímek feltérképezik a szorzás univerzumát, lehetővé téve számunkra, hogy minden számot egyedi faktorizációval osztályozhassunk és kategorizáljunk. De annak ellenére, hogy az emberek a szorzás hajnala óta játszanak a prímszámokkal, még mindig nem vagyunk biztosak abban, hogy a prímszámok hol fognak felbukkanni, mennyire vannak elterjedve, vagy milyen közel kell lenniük egymáshoz. Amennyire tudjuk, a prímszámok nem követnek egyszerű mintát.
Az alapvető objektumok iránti rajongásunk több száz különböző prímtípus feltalálásához vagy felfedezéséhez vezetett: Mersenne-prímek (2-es formájú prímek).n − 1), kiegyensúlyozott prímek (prímek, amelyek két szomszédos prím átlaga) és Sophie Germain prímek (prímek p úgy, hogy 2p + 1 is prím), hogy néhányat említsünk.
A különleges prímszámok iránti érdeklődés a számokkal való játékból és valami új felfedezéséből nőtt ki. Ez a „digitálisan finom prímszámokra” is igaz, a lista nemrégiben történt kiegészítése, amely meglepő eredményekhez vezetett a legalapvetőbb kérdésekben: Mennyire ritkák vagy gyakoriak bizonyos típusú prímszámok?
Hogy megértsük ezt a kérdést, kezdjük az egyik első érdekes ténnyel, amelyet a számra törekvő rajongó megtud: végtelenül sok prímszám létezik. Eukleidész ezt 2,000 évvel ezelőtt az egész matematikatörténet egyik leghíresebb ellentmondásos bizonyításával bizonyította. Úgy kezdte, hogy feltételezte, hogy csak véges sok prímszám van, és mindent elképzelt n közülük egy listában:
$latexp_1, p_2, p_3, …, p_n$.
Aztán valami okosat csinált: átgondolta a $latexq=p_1-szer p_2-szer p_3-szor …-szor p_n+1$-t.
Figyelj erre q nem szerepelhet a prímszámok listáján, mert nagyobb mindennél a listán. Tehát ha létezik prímszámok véges listája, akkor ez a szám q nem lehet elsőszámú. De ha q nem prím, oszthatónak kell lennie valami mással, mint önmagával és 1-gyel. Ez viszont azt jelenti q kell osztható legyen a lista valamelyik prímjával, de az út miatt q felépül, oszt q A listán szereplő bármi 1-es maradékot hagy maga után. Úgy tűnik tehát q sem nem prím, sem nem osztható egyetlen prímmel sem, ami egy olyan ellentmondás, amely abból adódik, hogy feltételezzük, hogy csak véges sok prím van. Ezért, hogy elkerüljük ezt az ellentmondást, valójában végtelenül sok prímszámnak kell lennie.
Tekintettel arra, hogy végtelenül sok van belőlük, azt gondolhatnánk, hogy mindenféle prímszámot könnyű megtalálni, de az egyik következő dolog, amit a prímszám-nyomozó megtanul, az az, hogy a prímszámok milyen eloszlásúak lehetnek. Egy egyszerű eredmény az egymást követő prímszámok közötti terekről, amelyeket prímréseknek nevezünk, egészen meglepőt mond.
Az első 10 prímszám – 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 és 29 – között olyan hézagokat láthat, amelyek egy vagy több összetett számból állnak (olyan számok, amelyek nem prímszámok, például 4, 12 vagy 27). Ezeket a hézagokat úgy mérheti meg, hogy megszámolja a közöttük lévő összetett számokat: Például van egy 0-s méretű hézag 2 és 3 között, egy 1-es méretű hézag 3 és 5 között, valamint 5 és 7 között, egy 3-as méretű hézag 7 között. és 11, és így tovább. A legnagyobb prímrés ezen a listán az öt összetett számból áll – 24, 25, 26, 27 és 28 – 23 és 29 között.
Most pedig a hihetetlen eredmény: az alapozó hézagok tetszőlegesen hosszúak lehetnek. Ez azt jelenti, hogy léteznek egymást követő prímszámok olyan messze egymástól, amennyire csak el tudja képzelni. Talán éppoly hihetetlen, hogy ezt a tényt milyen könnyű bizonyítani.
Már van egy 5-ös hosszúságú prímrés fent. Lehetne egy 6-os hosszúságú? Ahelyett, hogy prímszámok listáit keresnénk annak reményében, hogy találunk egyet, mi magunk készítjük el. Ehhez az alapvető számlálási képletekben használt faktoriális függvényt használjuk: definíció szerint $latexn!=n-szer(n-1)-szer (n-2)-szor …-szor 3-szor 2-szer 1$, tehát például $ latex3!=3-szor 2-szer 1 = 6$ és $latex5!=5-ször 4-szer 3-szor 2-szer 1=120$.
Most építsük ki a fő rést. Tekintsük a következő egymást követő számsorokat:
$latex 7!+2$, $latex7!+3$, $latex 7!+4$, $latex7!+5$, $latex 7!+6$, $latex 7!+7$.
Mivel $latex7!=7-szer 6-szor 5-ször 4-szor3-2$, sorozatunk első száma, a $latex1!+7$ osztható 2-vel, ami egy kis faktorálás után látható:
$latex7!+2=7-szer 6-szor 5-ször 4-szer 3-szor2-1+2$
$latex= 2(7-szer 6-szor 5-szer 4-szer 3-szor 1+1)$.
Ugyanígy a második szám, a $latex7!+3$ osztható 3-mal, mivel
$latex7!+3=7-szer 6-szor 5-ször 4-szer 3-szor2-1+3$
$latex= 3(7-szer 6-szor 5-szer 4-szer2-szer 1+1)$.
Hasonlóan 7! + 4 osztható 4-gyel, 7-tel! + 5 5, 7! + 6 6 és 7! + 7 7-tel, ami 7-et jelent! + 2, 7! + 3, 7! + 4, 7! + 5, 7! + 6, 7! + 7 hat egymást követő összetett szám sorozata. Legalább 6-os prímrésünk van.
Ez a stratégia könnyen általánosítható. A szekvencia
$latexn!+2$, $latexn!+3$, $latexn!+4$, $latex…$, $latexn!+n$.
$latexn-1$ egymást követő összetett számok sorozata, ami azt jelenti, hogy bármely n, van egy prímrés, amelynek hossza legalább $latexn-1$. Ez azt mutatja, hogy tetszőlegesen hosszú prímhézagok vannak, és így a természetes számok listáján vannak olyan helyek, ahol a legközelebbi prímek 100, 1,000 1,000,000,000 vagy akár XNUMX XNUMX XNUMX XNUMX számra vannak egymástól.
Klasszikus feszültség látható ezeken az eredményeken. Végtelen sok prímszám van, de az egymást követő prímek is végtelen távolságra lehetnek egymástól. Sőt, végtelenül sok egymást követő prímszám van közel egymáshoz. Körülbelül 10 évvel ezelőtt Yitang Zhang úttörő munkája versenyt indított a szakadék bezárása és az ikerprímszám sejtés bizonyítása érdekében, amely azt állítja, hogy végtelenül sok olyan prímpár van, amelyek mindössze 2-vel különböznek egymástól. Az ikerprímszám sejtés az egyik legjobb híres nyitott kérdések a matematikában, és James Maynard jelentős mértékben hozzájárult ennek a megfoghatatlan eredménynek a bizonyításához.
Ez a feszültség az úgynevezett digitálisan finom prímszámokkal kapcsolatos legújabb eredményekben is jelen van. Ahhoz, hogy megértsük, mik ezek a számok, és hol lehetnek vagy nem, szánjunk egy pillanatot a következő furcsa kérdésre: Van-e olyan kétjegyű prímszám, amely mindig összetett lesz, ha az egyes számjegyei megváltoznak?
Hogy megérezzük a digitális finomságokat, játsszunk a 23-as számmal. Tudjuk, hogy prímszám, de mi történik, ha megváltoztatja az egyes számjegyeket? Nos, a 20, 22, 24, 26 és 28 mind párosak, tehát összetettek; A 21 osztható 3-mal, a 25 osztható 5-tel, a 27 pedig osztható 9-cel. Eddig minden rendben. De ha az egyes számjegyet 9-re változtatja, 29-et kap, ami még mindig prím. Tehát a 23-as nem az a fajta elsőszám, amit keresünk.
Mi van a 37-el? Ahogy fentebb láttuk, nem kell vesződnünk a páros vagy 5-re végződő számok ellenőrzésével, ezért csak a 31-et, 33-at és 39-et ellenőrizzük. Mivel a 31 is prím, a 37 sem működik.
Létezik egyáltalán ilyen szám? A válasz igen, de egészen 97-ig kell mennünk, hogy megtaláljuk: a 97 egy prím, de a 91 (osztható 7-tel), a 93 (osztható 3-mal) és a 99 (szintén osztható 3-mal) mind összetett. , a páros számokkal és a 95-tel együtt.
A prímszám akkor „kényes”, ha bármely számjegyének bármilyen másra cserélésekor elveszíti „elsődlegességét” (vagy a szakkifejezéssel élve elsődlegességét). Eddig azt látjuk, hogy a 97 kényes az egyes számjegyekben – mivel ennek a számjegynek a megváltoztatása mindig összetett számot eredményez –, de vajon a 97 megfelel-e a digitálisan finomság minden kritériumának? A válasz nem, mert ha a tízes számjegyet 1-re változtatja, 17-et kap, egy prímszámot. (Vegyük észre, hogy a 37, 47 és 67 is prímszámok.)
Valójában nincs két számjegyű digitálisan finom prím. Az alábbi táblázat az összes kétjegyű számot, a kétjegyű prímszámokat beárnyékolva, megmutatja, miért.
Egy adott sorban lévő összes szám ugyanazt a tízes számjegyet tartalmazza, és egy adott oszlopban lévő összes szám ugyanazt az egyes számjegyet tartalmazza. Az a tény, hogy a 97 az egyetlen árnyékolt szám a sorában, azt tükrözi, hogy az egyes számjegyben finom, de nem ez az egyetlen prím az oszlopában, vagyis nem finom a tízes számjegyben.
Egy digitálisan finom kétjegyű prímnek kell az egyetlen prímnek lennie a sorában és oszlopában. Mint a táblázat mutatja, ilyen kétjegyű prím nem létezik. Mi a helyzet egy digitálisan finom háromjegyű prímszámmal? Íme egy hasonló táblázat, amely a 100 és 199 közötti háromjegyű prímszámok elrendezését mutatja, az összetett számok kihagyásával.
Itt látjuk, hogy a 113 a saját sorában van, ami azt jelenti, hogy finom az egyes számjegy. De a 113 nincs a saját oszlopában, így a tízes számjegy néhány változtatása (például 0-ra 103 esetén vagy 6-ra 163 esetén) prímszámokat eredményez. Mivel egyetlen szám sem jelenik meg sem a saját sorában, sem a saját oszlopában, gyorsan látjuk, hogy nincs olyan háromjegyű szám, amely garantáltan összetett lenne, ha megváltoztatja az egyes vagy a tízes számjegyét. Ez azt jelenti, hogy nem lehet háromjegyű digitálisan finom prím. Figyeljük meg, hogy még a százas számjegyeket sem ellenőriztük. Ahhoz, hogy valóban digitálisan finom legyen, egy háromjegyű számnak el kell kerülnie a prímszámokat három irányban egy háromdimenziós táblázatban.
Léteznek egyáltalán digitálisan finom prímszámok? Ahogy tovább halad a számegyenesen, a prímszámok egyre ritkábbak lesznek, ami miatt kisebb valószínűséggel keresztezik útjukat ezeknek a nagydimenziós táblázatoknak a soraiban és oszlopaiban. A nagyobb számok azonban több számjegyet tartalmaznak, és minden további számjegy csökkenti annak valószínűségét, hogy a prím digitálisan finom legyen.
Ha folytatja, rá fog jönni, hogy léteznek digitálisan finom prímszámok. A legkisebb 294,001 794,001. Ha megváltoztatja valamelyik számjegyét, a kapott szám – mondjuk 284,001 505,447 vagy 584,141 604,171 – összetett lesz. És vannak még: A következő néhány 971,767 1,062,599; XNUMX XNUMX; XNUMX; XNUMX; és XNUMX. Valójában nem állnak meg. A híres matematikus, Erdős Pál bebizonyította, hogy végtelenül sok a digitálisan finom prímszám. És ez csak az első a sok meglepő eredmény közül ezekkel a furcsa számokkal kapcsolatban.
Például Erdős nemcsak azt bizonyította, hogy végtelenül sok digitálisan finom prím van: bebizonyította, hogy bármely bázisban végtelenül sok digitálisan finom prím van. Tehát ha úgy dönt, hogy a számokat bináris, hármas vagy hexadecimális formában ábrázolja, akkor is garantáltan végtelenül sok digitálisan finom prímszámot fog találni.
A digitálisan finom prímek pedig nem csak végtelenek: az összes prímszám nem nulla százalékát teszik ki. Ez azt jelenti, hogy ha megnézzük a digitálisan finom prímek számának arányát a prímek teljes számához viszonyítva, akkor ez a tört valamivel nagyobb, mint nulla. Technikai értelemben az összes prím „pozitív hányada” digitálisan kényes, amint azt a Fields-érmes Terence Tao 2010-ben bebizonyította. Maguk a prímek nem teszik ki az összes szám pozitív arányát, mivel egyre kevesebb prímszámot találunk. minél messzebbre mész a számegyenesen. Ennek ellenére ezek között a prímszámok között továbbra is elég gyakran találhat digitálisan finom prímeket ahhoz, hogy a finom prímszámok és az összes prímszám aránya nulla felett maradjon.
A legmegdöbbentőbb felfedezés talán a eredmény 2020-tól ezeknek a furcsa számoknak egy új variációjáról. A számjegy fogalmának lazításával a matematikusok újragondolták a számok ábrázolását: Ahelyett, hogy önmagában 97-re gondoltak volna, inkább úgy gondolták, hogy az elején nullák vannak:
…0000000097.
Minden kezdő nulla számjegynek tekinthető, és a digitális finomság kérdése kiterjeszthető ezekre az új ábrázolásokra. Létezhetnek-e „széles körben digitálisan finom prímszámok” – olyan prímszámok, amelyek mindig összetettekké válnak, ha bármelyik számjegyet megváltoztatjuk, beleértve a kezdő nullákat is? Michael Filaseta és Jeremiah Southwick matematikusok munkájának köszönhetően tudjuk, hogy a válasz meglepő módon igen. Nemcsak széles körben léteznek digitálisan finom prímek, hanem végtelenül sok is van belőlük.
A prímszámok matematikai feladványok végtelen sorát alkotják, amelyekkel a szakemberek és a rajongók játszhatnak. Lehet, hogy soha nem fejtjük meg az összes titkukat, de számíthat a matematikusokra, akik folyamatosan felfedezik és kitalálják az újfajta prímszámokat.
Ünnepély
1. Mi a legnagyobb prímkülönbség a 2 és 101 közötti prímszámok között?
2. Annak bizonyítására, hogy végtelen sok prím van, Euklidész feltételezi, hogy véges sok $latexp_1, p_2, p_3, …, p_n$ prím van, majd megmutatja, hogy $latexq=p_1-szer p_2-szor p_3-szor …-szor p_n+1$ nem nem osztható a listán szereplő prímszámmal. Ez nem azt jelenti q elsődlegesnek kell lennie?
3. A számelmélet híres eredménye, hogy mindig van prím a között k és 2k (beleértve). Ezt nehéz bizonyítani, de könnyű bebizonyítani, hogy mindig van príma a kettő között k és $latexq=p_1-szer p_2-szor p_3-szor …-szor p_n+1$-val (beleértve), ahol $latexp_1, p_2, p_3, …, p_n$ minden prím kisebb vagy egyenlő k. Bizonyítsd be.
4. Meg tudja találni a legkisebb, digitálisan finom prímszámot egyes és tízes számjegyekben? Ez azt jelenti, hogy az egyesek vagy tízes számjegyek megváltoztatása mindig összetett számot eredményez. (Ehhez érdemes számítógépes programot írni!)
Kihívás probléma: Megtalálható a legkisebb prímszám, amely binárisan ábrázolva digitálisan kényes? Emlékezzünk vissza, hogy a bináris vagy 2-es bázisban az egyetlen számjegy a 0 és az 1, és minden helyi érték 2 hatványát jelenti. Például a 8 a $latex1000_2$-ként jelenik meg, mivel a $latex 8=1-szer 2^3 + 0 2^2-szer + 0-szor 2^1 + 0-szor 2^0$, a 7-es alap 2-e pedig $latex111_2$, mivel $latex7=1-szer2^2 + 1-szer 2^1 + 1-szer 2^0$.
Kattintson az 1-es válaszért:
Kattintson az 2-es válaszért:
Nem. Tekintsük az első hat prímszámot: 2, 3, 5, 7, 11 és 13. Ebben az esetben a szám q $latex lenne 2-szer 3-szor 5-ször 7-szer 11-szer13 + 1 = 30,031 2 $ . Ez nem osztható 3-vel, 5-mal, 7-tel, 11-tel, 13-gyel vagy 30,031-mal, de nem is prímszám: a $latex 59 509 = XNUMX-szer XNUMX $ tényező. Figyeljük meg, hogy vannak prímtényezői, de mindegyik nagyobb, mint az első hat prím.
Kattintson az 3-es válaszért:
Ha akármelyik k or q a legfontosabb, hogy végeztünk. Ha q nem prím, hanem összetett, ami azt jelenti, hogy osztható valamilyen prímszámmal, de már tudjuk, hogy nem osztható az első számok egyikével sem. n prímszámok. Így oszthatónak kell lennie az elsőnél nagyobb prímmel n prímszámok, és mivel ezek mind kisebbek, mint k, ennek a prímnak nagyobbnak kell lennie, mint k. De ez a prím megoszt q, tehát kisebbnek kell lennie, mint q, tehát prímszámnak kell lennie között k és a q.
Kattintson az 4-es válaszért:
Az első prím, amely megfelel ennek a tulajdonságnak, a 2,459 2,451, mivel a 2,453 2,457, 2,409 2,419 és 2,429 2,439 mind összetettek (eleget tesznek a kényes számjegyek kritériumának) és a 2,449 2,469, 2,479 2,489, 2,499 2,459, 2,659 XNUMX, XNUMX, XNUMX, XNUMX, XNUMX, XNUMX, XNUMX, XNUMX A XNUMX mind összetett (kielégítő a finom tízes számjegy kritérium). A XNUMX XNUMX azonban digitálisan nem kényes, mert a XNUMX XNUMX a prímszám, tehát ha elkezdi figyelembe venni a százas számjegyet, akkor nem működik. (Köszönet John D. Cook matematikusnak, hogy közzétette az övét digitálisan finom elsődleges kereső Python kód.)
Kattintson a válasz a kihívásra:
A $latex127=1111111_2$ digitálisan finom, mivel $latex 126=1111110_2$, $latex125=1111101_2$, $latex123=1111011_2$, $latex119=1110111_2, $latex111=1101111_2, $ 95_1011111$ és $latex2 A =63_0111111$ mind összetett.
