Bevezetés
Hajlamosak vagyunk a matematikát tisztán logikusnak gondolni, de a matematika tanítása, értékei, hasznossága és működése tele van árnyalatokkal. Tehát mi a „jó” matematika? 2007-ben a matematikus Terence tao esszét írt a Az Amerikai Matematikai Társaság közleménye amely erre a kérdésre kereste a választ. Manapság a Fields-érem, a matematikai áttörés díja és a MacArthur-ösztöndíj kitüntetettjeként Tao az egyik legtiszteltebb és legtermékenyebb matematikus. Ebben az epizódban csatlakozik házigazdánkhoz és matematikus kollégánkhoz Steven Strogatz hogy újra megvizsgálja a jó matematika lényegét.
Figyelj Apple Podcastok, Spotify, Google Podcastok, Fűzőgép, TuneIn vagy kedvenc podcast-alkalmazását, vagy megteheti onnan streamelni Quanta.
Másolat
STEVEN STROGATZ: Terence Tao, a UCLA matematika professzora 2007 októberében, jóval régebben, amikor az első generációs iPhone még forró árucikknek számított, és a tőzsde mindenkori csúcson volt a nagy recesszió előtt, Terence Tao, a UCLA matematikaprofesszora elhatározta, hogy válaszol egy kérdésre. kérdés, amelyről régóta vitatkoztak a matematikusok: Mi is a jó matematika?
A szigorról van szó? Elegancia? Valós segédprogram? Terry egy nagyon átgondolt és nagylelkű, sőt azt mondanám, nyíltszívű esszét írt arról, hogy a matematika milyen jó lehet. De most, több mint 15 évvel később, át kell gondolnunk, mi a jó matematika?
Steve Strogatz vagyok, és ez a „The Joy of Why”, egy podcast a következőtől Quanta Magazine ahol műsorvezetőtársammal, Janna Levinnel felváltva kutatjuk a matematika és a természettudomány mai legnagyobb megválaszolatlan kérdéseit.
(Témajátékok)
Ma Terry Tao maga, hogy újra megvizsgálja azt az örök kérdést, hogy mitől jó a matematika. Tao professzor több mint 300 kutatási cikket írt a matematika elképesztően széles skálájáról, beleértve a harmonikus elemzést, a parciális differenciálegyenleteket, a kombinatorikát, a számelméletet, az adattudományt, a véletlen mátrixokat és még sok mást. A „Matematika Mozartjaként” emlegetik. És mint egy Fields-érem, egy áttörés matematikai díj, egy MacArthur-ösztöndíj és sok más díj nyertese, ez a becenév minden bizonnyal jól megérdemelt.
Terry, üdvözöljük a The Joy of Why-ban.
TERENCE TAO: Örülök, hogy itt lehetek.
STROGATZ: Nagyon izgatott vagyok, hogy beszélhetek önnel erről a kérdésről, hogy mi az, amitől bizonyos típusú matematikai kutatások jók. Elég élénken emlékszem, ahogy lapozgattam a Az American Math Society közleménye még 2007-ben, és találkoztunk az esszéd erről a témáról hogy pózoltál nekünk. Minden matematikus ezen gondolkodik. De azoknak, akik nem annyira ismerősek, elmondaná nekünk, hogyan jutott el ehhez a kérdéshez? Hogyan határoztad meg annak idején a jó matematikát?
CAT: Igen, igen. Valójában felkérés volt. Tehát a szerkesztő a Bulletin annak idején felkért, hogy adjak hozzá egy cikket. Azt hiszem, diákként nagyon naiv elképzelésem volt arról, hogy mi a matematika. Valahogy az volt az elképzelésem, hogy létezik valamiféle őszszakállú tanács, amely kiosztja a problémákat az embereknek. És ez egyfajta sokkoló volt számomra, mint végzős hallgató számára, amikor rájöttem, hogy valójában nincs központi hatóság a problémák megoldására, és az emberek önálló kutatásokat végeztek.
Folyamatosan beszédekre jártam, és hallgattam, hogyan beszélnek más matematikusok arról, hogy mit találnak izgalmasnak, és mitől izgatja őket a matematika, valamint arról, hogy minden matematikus másképp közelíti meg a matematikát. Például néhányan alkalmazásokat keresnének, vannak, akik esztétikai szépségre, mások csak problémamegoldásra. Meg akartak oldani egy problémát, és a legnehezebb, a legnagyobb kihívást jelentő feladatokra koncentráltak. Néhányan a technikára összpontosítanának; egyesek megpróbálnák a lehető legelegánsabbá tenni a dolgokat.
De ami megdöbbentett, amikor oly sok különböző matematikust hallgattam arról, hogy mit tartanak értékesnek a matematikában, az az, hogy bár mindannyiunknak különböző eszméi voltak arról, hogy milyennek kell lennie a jó matematikának, mindegyik hajlamos arra, hogy ugyanahhoz a dologhoz konvergálnak.
Ha egy matematika igazán jó, akkor a szépségre törekvő emberek előbb-utóbb rátalálnak. Azok az emberek, akik törekednek, akik értékelik a technikai erőt vagy alkalmazásokat, végül rátalálnak.
Eugene Wigner volt egy nagyon híres esszéje a a matematika ésszerűtlen hatékonysága a fizikai tudományokban csaknem egy évszázaddal ezelőtt, ahol éppen azt figyelte meg, hogy a matematikának vannak olyan területei – például a Riemann-féle geometria, a görbe tér tanulmányozása –, amely kezdetben csak pusztán elméleti gyakorlat volt a matematikusok számára, akik megpróbálták bebizonyítani, párhuzamos posztulátum és így tovább, kiderült, hogy pontosan ez az, amire Einsteinnek, Poincarénak és Hilbertnek szüksége volt az általános relativitáselmélet matematikájának leírásához. És ez csak egy jelenség, ami előfordul.
Tehát nem csak a matematika az, hogy [amit] a matematikusok intellektuálisan érdekesnek találnak, az végül fizikailag is fontos. De még a matematikán belül is előfordul, hogy a matematikusok által elegánsnak tartott tárgyak mély betekintést nyújtanak.
Az az érzésem, hogy van valami plátói jó matematika, és az összes különböző értékrendszerünk csak más-más mód az objektív jó dolgok elérésére.
STROGATZ: Ez nagyon érdekes. Mivel én magam is hajlamos vagyok a plátói gondolkodásra, nagy a kísértés, hogy egyetértsek. Bár kissé meglepődtem, amikor ezt mondod, mert azt hittem volna, hogy eredetileg hova tartasz, például nagyon sokféle nézőpont van ezzel kapcsolatban. Érdekes tény azonban, amolyan empirikus tény, hogy konvergálunk abban, hogy egyetértsünk abban, hogy mi a jó vagy nem jó, pedig, ahogy mondod, nagyon sokféle értékből indulunk ki.
CAT: Jobb. A konvergencia időbe telhet. Tudod, tehát biztosan vannak például olyan mezők, ahol sokkal jobban néznek ki egy mérőszámmal mérve, mint mások. Talán sok alkalmazásuk van, de a bemutatásuk rendkívül undorító, tudod.
(Strogatz nevet)
Vagy olyan dolgokat, amelyek nagyon elegánsak, de még nem sok jó alkalmazással rendelkeznek a való világban. De úgy érzem, hogy végül össze fog jönni.
STROGATZ: Nos, hadd kérdezzem meg a való világgal való érintkezési pontról. Érdekes feszültség ez a matematikában. És tudod, kisgyerekként, mondjuk, amikor először tanulunk a geometriáról, azon a ponton azt gondolhatod, hogy a háromszögek valóságosak, vagy a körök vagy az egyenesek valóságosak, és elmondhatják a látott téglalap alakú formákat. a világ épületeiben, vagy hogy a földmérőknek geometriát kell használniuk. És végül is ez a szó a Föld méréséből ered, igaz, „geometria”. És hát volt idő, amikor a geometria empirikus volt.
De amit kérdezni akartam, az egy megjegyzéshez kapcsolódik John von Neumann készült. Tehát Neumann – aki nem ismeri – maga is nagyszerű matematikus volt. És ezt a megjegyzést tette ebben az esszében: "A matematikus”, a matematika és az empirikus világ, a való világ kapcsolatáról, ahol nagyjából azt mondja, hogy a matematikai ötletek az empirikus elméletekből származnak, de egy bizonyos ponton, amint megkapja a matematikai ötleteket, a szubjektum elkezdi élni a maga életét. saját. És akkor ez inkább egy kreatív műalkotás. Az esztétikai kritériumok fontossá válnak. De azt mondja, ez veszélyt jelent. Azt mondja, hogy amikor egy alany kezd túlságosan eltávolodni az empirikus forrásától, mint például a második vagy harmadik generációban, akkor azt mondja, hogy van esély arra, hogy az alany túl sok absztrakt beltenyésztéstől szenved, és fennáll a degeneráció veszélye.
Valami gondolat erről? Úgy értem, a matematikának kapcsolatban kell maradnia empirikus forrásával?
TAO: Igen, azt hiszem, meg kell alapozni. Amikor azt mondom, hogy empirikusan, a matematika különböző módjai összefolynak, ez csak azért van, mert – ez csak akkor történik meg, ha az alany egészséges. Szóval, tudod, a jó hír az, hogy általában így van.
De például a matematikusok a rövid bizonyításokat értékelik a hosszúkkal szemben, minden más egyenlőség mellett. De el lehet képzelni, hogy az emberek túlzásba esnek, és a matematika egyik részterületére megszállottan törekednek a lehető legrövidebb bizonyításra, és a mély tételek rendkívül átláthatatlan kétsoros bizonyítására. És csinálnak belőle egy ilyen versenyt, aztán ez egy fajta elgondolkodtató játék lesz, és akkor elveszíted az összes intuíciót. Talán elveszíted a mélyebb megértést, mert annyira megszállottan akarod, hogy minden bizonyításodat a lehető legrövidebbre tedd. Nos, ez a gyakorlatban nem történik meg. De ez egyfajta elméleti példa, és azt hiszem, Neumann is hasonló álláspontra helyezkedett.
És a hatvanas-hetvenes években volt a matematikának egy olyan korszaka, ahol az absztrakció hatalmas lépéseket tett számos, korábban nagyon empirikus matematika egyszerűsítésében és egységesítésében. Főleg az algebrában az emberek felismerték a számokat, polinomokat és sok más objektumot, amelyeket korábban külön kezeltek, és mindannyian ugyanannak az algebrai osztálynak, jelen esetben egy gyűrűnek a tagjaiként gondolhattak rájuk.
És sok előrelépés történt a matematikában azáltal, hogy megtaláltuk a megfelelő absztrakciót, tudja, akár topológiai térről, akár vektortérről van szó, és a tételek nagy általánosságban történő bizonyításával. És ezt néha Bourbaki-korszaknak hívjuk a matematikában. És egy kicsit túl messzire került a földeléstől.
Természetesen nálunk volt az egész New Math epizód az Államokban, ahol a pedagógusok igyekeztek matematikát tanítani Bourbaki stílusban és végül rájött, hogy nem ez a megfelelő pedagógia ezen a szinten.
De most az inga egy kicsit visszafordult. Van egyfajta – a tantárgy eléggé kiforrott, és a matematikának, geometriának, topológiának, bárminek minden területén vannak kielégítő formalizációink, és nagyjából tudjuk, mik a helyes absztrakciók. És most a terület ismét az összekapcsolásokra és alkalmazásokra összpontosít. Most sokkal jobban kapcsolódik a való világhoz.
Úgy értem, nem csak a fizikát, ami egy hagyományos kapcsolat, hanem, tudod, a számítástechnikát, az élettudományokat, a társadalomtudományokat. A big data térnyerésével szinte minden emberi tudományág bizonyos mértékig matematizálható.
STROGATZ: Nagyon érdekel az a szó, amelyet egy perccel ezelőtt használtál az „összekapcsolódás”-ról, mert ez központi kérdésnek tűnik számunkra. Ez olyasmi, amit megemlít az esszéjében, hogy ezekkel együtt, amit „helyi” kritériumoknak nevez az eleganciára, vagy valós alkalmazásokra vagy bármi másra vonatkozóan, megemlíti a jó matematikának ezt a „globális” aspektusát: hogy a jó matematika összekapcsolódik másokkal. jó matematika.
Szinte ez a kulcsa annak, hogy mitől lesz jó, hogy más részekkel integrálva van. De érdekes, mert szinte körkörös érvelésnek hangzik: a jó matematika az a matematika, amely összekapcsolódik más jó matematikával. De ez egy nagyon erős ötlet, és csak azon tűnődöm, hogy kifejtenéd-e még egy kicsit.
CAT: Igen, szóval, úgy értem, miről szól a matematika – az egyik dolog, amit a matematika tesz, az az, hogy olyan kapcsolatokat hoz létre, amelyek nagyon alapvetőek és alapvetőek, de nem nyilvánvalóak, ha csak a felszín szintjéről nézzük. Ennek nagyon korai példája Descartes feltalálása a derékszögű koordinátákról, amely alapvető kapcsolatot teremtett a geometria – a pontok, egyenesek és a térbeli objektumok tanulmányozása – és a számok, az algebra között.
Tehát például egy kör, amelyet geometriai objektumként képzelhet el, de egyenletként is felfoghatja: x2 + y2 = 1 a kör egyenlete. Akkoriban ez egy nagyon forradalmi kapcsolat volt. Tudod, az ókori görögök a számelméletet és a geometriát szinte teljesen szétválasztott tárgyaknak tekintették.
Descartes-szal azonban megvolt ez az alapvető kapcsolat. És most belsővé vált; tudod, ahogy mi tanítjuk a matematikát. Az már nem meglepő, hogy ha geometriai problémád van, azt számokkal támadod. Vagy ha problémája van a számokkal, támadhatja a geometriával.
Valamennyire azért, mert mind a geometria, mind a számok ugyanannak a matematikai fogalomnak a részei. Van egy egész területünk, az algebrai geometria, amely nem algebra és nem is geometria, hanem egy egységes tárgy, amely olyan objektumokat tanulmányoz, amelyeket vagy geometriai alakzatoknak, például vonalaknak és köröknek és így tovább, vagy egyenleteknek tekinthet.
De valójában ez a kettő holisztikus uniója, amelyet tanulmányozunk. És ahogy a téma elmélyült, rájöttünk, hogy ez valahogy alapvetőbb, mint akár az algebra, akár a geometria külön-külön, bizonyos szempontból. Tehát ezek az összefüggések segítenek felfedezni egyfajta valódi matematikát, amely kezdetben empirikus vizsgálataink csak egy szegletet adnak meg a témában.
Van egy híres példabeszéd az elefántról, elfelejtem, hol, hogy ha van… Négy vak ember van, és felfedeznek egy elefántot. És egyikük megtapintja az elefánt lábát, és azt gondolja: „Ó, ez nagyon durva. Biztos olyan, mint egy fa vagy valami."
És egyikük megtapintja a törzset, és csak jóval később látják, hogy egyetlen elefánttárgy van, amely megmagyarázza az összes hipotézisüket. Igen, szóval kezdetben mindannyian vakok vagyunk, tudod. Csak nézzük az árnyakat Platón barlangján, és csak később vesszük észre...
STROGATZ: Hú, nagyon filozófiás vagy itt. Ez valami. Nem tudok most ellenállni: Ha az elefántról és a vakokról kezdesz beszélni, ez azt sugallja, hogy azt gondolod, hogy a matematika létezik – valami olyan, mint az elefánt, és mi vagyunk a vakok… Vagy te Tudod, megpróbálunk látni valamit, ami az emberektől függetlenül létezik. Tényleg ezt hiszed?
CAT: Amikor jó matematikát csinálsz, az nem csak a szimbólumok nyomkodása. Úgy érzed, hogy van valami tényleges tárgy, amit megpróbálsz megérteni, és minden egyenletünk ennek csak amolyan közelítése, vagy árnyéka.
Lehet vitatkozni a filozófiai szempontokról, hogy mi a valóság, és így tovább. Úgy értem, ezek olyan dolgok, amelyeket valóban meg lehet érinteni, és minél valóságosabbak a dolgok matematikailag, néha annál kevésbé látszanak fizikainak. Ahogy mondtad, a geometria kezdetben egy nagyon kézzelfogható dolog volt a fizikai térben lévő objektumokkal kapcsolatban – tudod, valójában kört, négyzetet és így tovább építhetsz.
De a modern geometriában, tudod, magasabb dimenziókban dolgozunk. Beszélhetünk diszkrét geometriákról, mindenféle szokatlan topológiáról. És úgy értem, a téma még mindig megérdemli, hogy geometriának nevezzék, bár a Földet már nem mérik. Az ókori görög etimológia nagyon elavult, de az, de biztosan van benne valami. Akár – mennyire valódinak akarja nevezni. De azt hiszem, a lényeg az, hogy a matematika tényleges elvégzéséhez segít elhinni, hogy ez valóságos.
STROGATZ: Igen, nem érdekes? Igen. Úgy tűnik, ez egy olyan dolog, ami nagyon mélyre megy a matematika történetében. Meglepett Arkhimédész egy esszéje, amelyet barátjának, vagy legalábbis kollégájának, Eratoszthenésznek írt.
Most beszélünk, például ie 250-ről. És megjegyzi, hogy felfedezte a módját, hogy megtalálja azt a területet, amit egy parabola szegmensének neveznénk. Felvesz egy parabolát, átvág rajta egy olyan szakaszt, amely ferde szöget zár be a parabola tengelyével, és kitalálja ezt a területet. Nagyon szép eredményt ér el. De valamit mond Eratoszthenésznek: „Ezek az eredmények mindvégig benne voltak a számokban.” Tudod, ott vannak. Ott vannak. Csak arra várnak, hogy megtalálja.
Nem mintha ő teremtette volna őket. Ez nem olyan, mint a költészet. Úgy értem, tényleg érdekes, nem? Az a sok nagyszerű művész – Michelangelo arról beszélt, hogy le kell szabadítania a szobrot a kőről, tudod, mintha az elején ott lenne. És úgy hangzik, mint te és sok más nagyszerű matematikus – ahogy mondod, nagyon hasznos hinni ebben a gondolatban, hogy ott vár ránk, és arra vár, hogy a megfelelő elmék felfedezzék.
CAT: Jobb. Nos, azt hiszem, ennek egyik megnyilvánulása az, hogy azok az ötletek, amelyeket gyakran nagyon bonyolult megmagyarázni, amikor először felfedezik, leegyszerűsödnek. Úgy értem, tudod, gyakran az az oka, hogy valami nagyon mélynek vagy nehéznek tűnik az elején, az az oka, hogy nincs megfelelő jelölésed.
Például most már decimális jelöléssel kezeljük a számokat, és ez nagyon kényelmes. De régebben voltak olyanok, mint a római számok, és voltak még primitívebb számrendszerek, amelyekkel nagyon-nagyon nehéz volt dolgozni, ha matematikát akartunk csinálni.
Eukleidészé Elemek, tudod – néhány érv ezekben az ősi szövegekben. Például van egy tétel Euklideszben Elemek Azt hiszem, a Bolondok Hídja, vagy valami ilyesmi. Ez olyan, mint az állítás, hogy szerintem az állítás olyan, mint egy egyenlő szárú háromszög, a két alapszög egyenlő. Ez olyan, mint egy kétsoros bizonyítás a modern geometriai szövegekben, tudod, a megfelelő axiómákkal. De Euklidésznek ez a szörnyű módja volt ennek. És ez volt az a hely, ahol a klasszikus korszak geometriát tanulói közül sokan teljesen feladták a matematikát.
STROGATZ: Igaz. (Nevet)
CAT: De tudod, most sokkal jobb módszerünk van erre. Oly gyakran a matematikában tapasztalt bonyodalmak saját korlátaink műtermékei. És ahogy érünk, a dolgok egyszerűbbé válnak. És ettől sokkal valóságosabbnak tűnik. Nem látjuk a műtárgyakat. A lényeget látjuk.
STROGATZ: Nos, visszatérve az esszédhez: Amikor megírtad, akkoriban – úgy értem, ez elég korai volt a karrieredben, nem a legelején, de akkor is. Miért érezte akkor fontosnak, hogy megpróbálja meghatározni, mi a jó matematika?
CAT: Azt hiszem… Szóval ekkor már elkezdtem tanácsot adni a végzős hallgatóknak, és észrevettem, hogy vannak tévhitek azzal kapcsolatban, hogy mi a jó és mi nem. Különböző területek matematikusaival is beszélgettem, és másnak tűnt az, amit a matematikában értékelnek. De mégis, valahogy mindannyian ugyanazt a tárgyat tanultuk.
És néha valaki olyasmit mond, ami rossz irányba sértett meg, például: "Ennek a matematikának nincs alkalmazása, ezért nincs értéke." Vagy „Ez a bizonyíték túl bonyolult; ezért nincs értéke” vagy valami. Vagy fordítva, tudod: „Ez a bizonyíték túl egyszerű; ezért nem éri meg…” Tudod. Például volt valami sznobizmus, és így tovább, néha találkoztam vele.
És tapasztalataim szerint a legjobb matematika az volt, amikor egy másik nézőpontot, másfajta gondolkodásmódot értettem meg a matematikáról, mint valaki más területen, és alkalmaztam azt egy olyan problémára, amely érdekelt. Így az én tapasztalataim a matematika helyes használatáról, kezeléséről annyira különböztek ezektől – amolyan „a matematika egyetlen igazi módja”.
Éreztem, hogy ezt a pontot valahogy meg kell tenni. Hogy valóban többes számban lehet matematikát csinálni, de a matematika mégis egységes.
STROGATZ: Ez nagyon leleplező, mert azon tűnődtem, hogy a bevezetőmben megemlítettem a matematika számos különféle ágát, amelyeket feltárt, és néhányat nem is tettem bele. Emlékszem néhány évvel ezelőtti munkáira a folyadékdinamika e rejtélyéről, arról, hogy bizonyos egyenletek, amelyekről úgy gondoljuk, hogy jó munkát végeznek-e a víz és a levegő mozgásának közelítésében. Nem akarok túlságosan belemenni a részletekbe, de csak annyit, hogy itt van, az emberek azt hiszik, hogy számelméletet vagy harmonikus elemzést végez, és hirtelen a folyékony dinamikai kérdéseken dolgozol. Úgy értem, tudom, hogy parciális differenciálegyenletek. Ennek ellenére úgy tűnik, hogy érdeklődésének szélessége összefügg azzal, hogy milyen széleskörűen fogadja el a különböző meglátásokat, különböző értékes ötleteket a jó matematika elvégzésének különböző módjaiból.
CAT: Elfelejtettem, hogy ki mondta, de kétféle matematikus létezik. Vannak sündisznók és rókák. A róka az, aki mindenről tud egy kicsit. A sündisznó egy olyan lény, amely egy dolgot nagyon-nagyon jól tud. És egyik sem jobb a másiknál. Kiegészítik egymást. Úgy értem, a matematikában olyan emberekre van szükség, akik egy részterületen igazán mély szakértők, és kívülről ismerik a témát. És olyan emberekre van szükség, akik látják az összefüggéseket egyik és másik terület között. Tehát határozottan rókaként azonosítom magam, de sok sündisznóval dolgozom. A munka, amelyre a legbüszkébb vagyok, gyakran egy ilyen együttműködés.
STROGATZ: Ó igen. Tudják, hogy sündisznók?
CAT: Nos, oké, a szerepek idővel változnak. Például vannak más együttműködések, ahol én vagyok a sündisznó, és valaki más a róka. Ezek valahogy nem állandóak – tudod, ezek nincsenek benne a DNS-edben.
STROGATZ: Ó, jó pont. Örökbe fogadhatunk – viselhetjük mindkét köpenyt.
Nos, mi van akkoriban az esszével? Mondtak neked valamit az emberek?
CAT: Általában elég pozitív választ kaptam. Mármint a Az AMS közleménye szerintem nem egy hatalmas, széles körben elterjedt kiadvány. És nem is igazán mondtam semmi ellentmondásosat. Továbbá, ez a fajta megelégedett közösségi média, szóval azt hiszem, talán van néhány matematikai blog, amely felvette, de nem volt Twitter. Nem volt semmi, ami miatt vírusos lett volna.
Igen, azt is gondolom, hogy a matematikusok általában nem töltik idejük és szellemi tőkéjük nagy részét spekulációval. Úgy értem, van egy másik matematikus, akit hívnak Minhyong Kim akinek volt ez a nagyon szép metaforája, hogy a matematikusok számára a hitelesség olyan, mint a valuta, mint a pénz. Ha bebizonyítod a tételeket, és bebizonyítod, hogy ismered a témát, akkor valahogy felhalmozod ezt a hitelességi valutát a bankban. És ha már van elég pénzed, megengedheted magadnak, hogy egy kicsit spekulálj, ha kicsit filozofálsz, és inkább azt mondod, mi lehet igaz, nem pedig azt, amit valójában bebizonyíthatsz.
De hajlamosak vagyunk konzervatívak lenni, és nem akarunk folyószámlahitelt a bankszámlánkon. Tudod, nem szeretnéd, hogy írásaid nagy része spekulatív legyen, és csak egy százalékuk bizonyítson valamit.
STROGATZ: Elfogadható. Szóval oké. Szóval sok év telt el azóta. Miről beszélünk? Több mint 15 éve.
CAT: Ó, igen, repül az idő.
STROGATZ: Változott a véleményed? Van valami, amit felül kell vizsgálnunk?
CAT: Nos, a matematika kultúrája eléggé változik. Már korábban is széles látóköröm volt a matematikáról, most pedig még szélesebb.
Tehát egy nagyon konkrét példa: A számítógéppel segített bizonyítások még 2007-ben is ellentmondásosak voltak. Volt egy híres sejtés, a Kepler-sejtés, amely az egységgolyók háromdimenziós térben történő csomagolásának leghatékonyabb módjára vonatkozik. És van egy szabványos csomagolás, azt hiszem, köbös központi csomagolásnak hívják, vagy ilyesmi, amit Kepler a lehető legjobbnak sejtett.
Ez végül megoldódott, de a A bizonyítás nagyon számítógépes volt. Elég bonyolult volt, és [Thomas] Halesvégül valóban létrehoztak egy teljes számítógépes nyelvet, hogy formálisan ellenőrizzék ezt a bizonyos bizonyítékot, de hosszú évekig nem fogadták el valódi bizonyítékként. De ez jól illusztrálta, mennyire ellentmondásos a bizonyíték fogalma, hogy számítógépes segítségre van szüksége annak ellenőrzéséhez.
Az azóta eltelt évek során sok-sok más példa is volt arra, hogy az ember egy bonyolult problémát olyasmire tud redukálni, amelynek ellenőrzéséhez még mindig számítógép szükséges. Aztán a számítógép továbbmegy és ellenőrzi. Gyakorlatokat dolgoztunk ki arra vonatkozóan, hogyan tegyük ezt felelősségteljesen. Tudod, hogyan lehet közzétenni kódot és adatokat, és hogyan lehet ellenőrizni, új nyílt forráskódú dolgokat stb. És most széles körben elterjedt a számítógéppel segített bizonyítások elfogadása.
Most, azt hiszem, a következő kulturális váltás lesz hogy elfogadják-e az AI által generált bizonyítékokat. Jelenleg az AI-eszközök nincsenek azon a szinten, hogy bizonyítékokat generálhassanak a matematikai problémák tényleges előmozdításához. Lehet, hogy egyetemi szintű házi feladatokat, valahogy el tudnak intézni, de a matematikát kutatják, még nincsenek azon a szinten. De valamikor látni fogunk, hogy mesterséges intelligencia által támogatott papírok jelennek meg, és vita lesz.
Kultúránk bizonyos szempontból megváltozott… 2007-ben a matematikusok csak töredéke tette elérhetővé preprintjeit a publikálás előtt. A szerzők féltékenyen őrizték előnyomataikat, amíg nem kapták meg a folyóirat elfogadásáról szóló értesítést. És akkor megoszthatják egymással.
De most mindenki felteszi a papírjait nyilvános szerverek, mint az arXiv. Sokkal nyitottabb videók és blogbejegyzések elhelyezése arról, hogy honnan származnak egy lap ötletei. Mert az emberek rájönnek, hogy ez teszi a munkát befolyásosabbá és hatásosabbá. Ha megpróbálja nem nyilvánosságra hozni a munkáját, és nagyon titkolózik vele kapcsolatban, az nem kelt feltűnést.
A matek lett sokkal együttműködőbb. Tudod, 50 évvel ezelőtt azt mondanám, hogy a matematikai dolgozatok többsége egyszerzős volt. Most határozottan a többség két-három vagy négy szerző. És most kezdünk látni olyan igazán nagy projekteket, mint amilyeneket a tudományban teszünk. Tudod, emberek tízei, százai működnek együtt. Ezt még mindig nehéz megtenni a matematikusoknak, de azt hiszem, el fogunk érni.
Ezzel párhuzamosan sokkal interdiszciplinárisabbá válunk. Sokkal többet dolgozunk más tudományokkal. A matematika területei között dolgozunk. Az internetnek köszönhetően pedig világszerte együttműködhetünk az emberekkel. Tehát a matematika módszere határozottan változik.
Remélem, a jövőben jobban ki tudjuk majd használni az amatőr matek közösséget. Vannak más területek is, mint például a csillagászat, ahol a csillagászok remekül kihasználják az amatőrcsillagász közösséget, például sok üstököst találnak az amatőrök.
De matematikusok… A matematikának van néhány elszigetelt területe, mint például a hasonlóság, a csempézés, a kétdimenziós csempézés és talán a rekordok prímszámokban való keresése. A matematikának van néhány nagyon kiválasztott területe, ahol az amatőrök is hozzájárulnak, és szívesen látják őket. De sok akadály van. A matematika legtöbb területén annyi képzésre és belső vagy hagyományos bölcsességre van szükség, hogy nem tudjuk összegyűjteni a dolgokat. De ez változhat a jövőben. Talán az AI egyik hatása az lenne, ha lehetővé tenné az amatőr matematikusok számára, hogy jelentőségteljesen hozzájáruljanak a matematikához.
STROGATZ: Ez nagyon érdekes.
[Szünet a hirdetés beszúrásához]
STROGATZ: Tehát az amatőrök a mesterséges intelligencia segítségével vagy új kérdéseket tehetnek fel, amelyek jók, vagy segíthetnek a meglévő kérdések jó feltárásában, ilyesmi?
CAT: Sokféle mód létezik – igen. Így például ma már léteznek projektek nagy tételek bizonyításának formalizálására ezekben az ún formális bizonyítási asszisztensek, amelyek olyanok, mint a számítógépes nyelvek, amelyek 100%-ban tudják ellenőrizni, hogy egy tétel igaz-e vagy sem, és — bebizonyosodott-e vagy sem. Ez valójában nagyszabású együttműködést tesz lehetővé a matematikában.
Tehát a múltban, ha 10 másik emberrel együttműködve bizonyítottak egy tételt, és mindegyik hozzájárult egy lépéssel, mindenkinek igazolnia kellett a többiek matematikáját. Mert a matematikában az a helyzet, hogy ha egy lépésben hiba van, akkor az egész széteshet.
Tehát szükség van bizalomra, és így – ezért ez megakadályozza, ez valóban gátolja a valóban nagyszabású matematikai együttműködéseket. De mostanában vannak sikeres példák arra, hogy igazán nagy tételeket formalizálnak, ahol hatalmas közösség van, nem ismerik egymást, nem bíznak meg mindannyian, de kommunikálnak úgy, hogy feltöltik valamelyik Github adattárba vagy valami, például az érvelés egyes lépéseinek egyéni bizonyítékai. A formális bizonyító szoftver pedig mindent ellenőriz, így nem kell aggódnia a bizalom miatt. Így új együttműködési módokat teszünk lehetővé, amelyeket a múltban nem igazán láttunk.
STROGATZ: Nagyon érdekes hallani a látásodat, Terry. Ez egy lenyűgöző gondolat. Nem hallod a „polgári matematikus” kifejezést. Hallottál a polgári tudományról, de miért nem a polgári matematikáról?
De csak arra vagyok kíváncsi, hogy vannak-e olyan trendek, amelyek aggasztják például a számítógéppel segített bizonyítást vagy az AI által generált bizonyítást? Tudjuk-e, hogy bizonyos eredmények igazak, de nem fogjuk megérteni, hogy miért?
CAT: Szóval ez probléma. Úgy értem, ez már az AI megjelenése előtt is probléma. Tehát sok olyan terület van, ahol egy-egy témában a dolgozatok egyre hosszabbak, több száz oldalasak. És abban reménykedem, hogy a mesterséges intelligencia valójában fordítva is segíthet az egyszerűsítésben, és képes megmagyarázni és bizonyítani is.
Tehát már léteznek olyan kísérleti szoftverek, ahol például, ha veszünk egy formalizált bizonyítást, akkor ténylegesen interaktív, ember által olvasható dokumentummá alakíthatjuk, ahol megvan a bizonyíték, és láthatjuk a magas szintű lépéseket, és ha van benne mondat. nem érted, rákattinthatsz duplán, és kisebb lépésekre bővül. Hamarosan úgy gondolom, hogy egy mesterséges intelligencia chatbotot is ülhet maga mellé, miközben végigmegy a bizonyításon, és feltehetnek kérdéseket, és elmagyarázhatnak minden lépést, mintha ők lennének a szerző. Azt hiszem, már nagyon közel vagyunk ehhez.
Vannak aggályok. Meg kell változtatnunk diákjaink oktatásának módját, különösen most, hogy a házi feladatok kiosztásának sok hagyományos módja és így tovább, már majdnem azon a ponton vagyunk, ahol ezek az AI-eszközök azonnal választ adnak számos szokásos vizsgakérdésünkre. Ezért új készségeket kell megtanítanunk diákjainknak, például hogyan ellenőrizzék, hogy a mesterséges intelligencia által generált kimenet helyes-e vagy sem, és hogyan szerezzünk második véleményt.
És láthatjuk, hogy a matematika egy kísérletező oldala is megjelenik, tudod. Tehát a matematika szinte teljesen elméleti, míg a legtöbb tudománynak van elméleti és kísérleti összetevője is. Előfordulhat, hogy előbb-utóbb olyan eredményeink lesznek, amelyeket először csak számítógépek igazolnak, és ahogy mondod, nem értjük. De ha megvannak azok az adatok, amelyeket a mesterséges intelligencia, a számítógéppel generált bizonyítékok szolgáltatnak, kísérleteket futtathatunk.
Most van egy kis kísérleti matematika. Az emberek tanulmányozzák például különféle dolgok nagy adathalmazait, mondjuk elliptikus görbéket. De a jövőben sokkal nagyobb lehet.
STROGATZ: Hű, nagyon optimista a véleményed, nekem úgy hangzik. Nem mintha az aranykor a múltban lenne. Ha jól hallom, akkor azt hiszed, hogy nagyon sok izgalmas dolog vár még rád.
CAT: Igen, sok új technológiai eszköz nagyon erős. Úgy értem, a mesterséges intelligencia általában számos összetett előnyt és hátrányt tartalmaz. És a tudományokon kívül sok lehetséges zavar a gazdaságban, a szellemi tulajdonjogokban és így tovább. De a matematikán belül szerintem jobb a jó és a rossz aránya, mint sok más területen.
És tudod, az internet valóban átalakította a matematika módját. Nagyon sok emberrel dolgozom együtt, sokféle területen. Ezt nem tudnám megtenni internet nélkül. Az a tény, hogy felkereshetem a Wikipédiát vagy bármi mást, és elkezdhetek tanulni egy tárgyat, és e-mailt küldhetek valakinek, és együttműködhetünk online. Ha régimódi dolgokat kellene csinálnom, ahol csak a tanszékemen dolgozó emberekkel beszélhetek, és minden másra postai küldeményt használhatok, akkor nem tudnám azt a számítást elvégezni, mint most.
STROGATZ: Hú, rendben. Csak alá kell húznom, amit az imént mondtál, mert egymillió év alatt soha nem gondoltam volna, hogy ezt fogom hallani: Terry Tao olvassa a Wikipédiát, hogy matematikát tanuljon?
CAT: Kiindulópontként. Úgy értem, nem mindig a Wikipédia, hanem csak azért, hogy megtaláljam a kulcsszavakat, és akkor részletesebben keresek, mondjuk MathSciNet vagy más adatbázis. De igen.
STROGATZ: Ez nem kritika. Vagyis én is ugyanezt csinálom. Valójában a Wikipédia az, ha van kritika a Wikipédián található matematikával kapcsolatban, talán az, hogy néha kicsit túl fejlett az olvasók számára, szerintem. Nem mindig. Úgy értem, attól függ. Ez cikkenként nagyon változó. De ez csak vicces. Imádom ezt hallani.
CAT: Úgy értem, ezek az eszközök, tudni kell ellenőrizni a kimenetet. Tudod, úgy értem, azért tudom használni a Wikipédiát matematikához, mert ismerek már elég matematikát ahhoz, hogy megérezhessem, hogy gyanús-e a matematikai Wikipédia egy darabja, vagy sem. Tudod, lehet, hogy kap néhány forrást, és az egyik jobb forrás lesz, mint a másik. Ismerem a szerzőket, és van fogalmam arról, hogy melyik hivatkozás lesz jobb számomra. Ha a Wikipédiát használnám egy olyan téma megismerésére, amelyben nincs tapasztalatom, akkor azt hiszem, ez inkább egy véletlen változó lenne.
STROGATZ: Nos, szóval elég sokat beszéltünk arról, hogy mi az, amitől a jó matematika, az újfajta jó matematika lehetséges jövője. De talán foglalkoznunk kellene a kérdéssel: miért számít ez egyáltalán? Miért fontos, hogy jó legyen a matematika?
CAT: Nos, először is, úgy értem, miért vannak egyáltalán matematikusaink? Miért értékeli a társadalom a matematikusokat, és miért ad nekünk erőforrásokat ahhoz, amit csinálunk? Tudja, ez azért van, mert bizonyos értéket biztosítunk. Alkalmazásaink lehetnek a való világban. Van intellektuális érdeklődés, és az általunk kidolgozott elméletek egy része végül betekintést nyújt más jelenségekbe.
És nem minden matematika egyforma értékű. Úgy értem, kiszámolhatnál több és több pi számjegyet, de egy ponton nem tanulsz meg semmit. Minden tantárgynak szüksége van valamiféle értékítéletre, mert erőforrásokat kell kiosztani. Annyi matematika van odakint. Milyen fejleményeket szeretne kiemelni, nyilvánosságra hozni és mások tudomására hozni, és melyek azok, amelyeknek kellene csendben ülniük egy naplóban?
Még akkor is, ha egy témáról teljesen objektívnek gondolsz, és tudod, hogy csak igaz vagy hamis létezik, akkor is választanunk kell. Tudod, csak azért, mert az idő korlátozott erőforrás. A figyelem korlátozott erőforrás. A pénz korlátozott erőforrás. Tehát ezek mindig fontos kérdések.
STROGATZ: Nos, érdekes, hogy megemlíted a nyilvánosságra hozatalt, mert szerintem ez a munkád jellegzetessége, hogy rengeteg erőfeszítést tettél azért, hogy a matekot nyilvánosan elérhetővé tedd a blogodon keresztül, különféle cikkeken keresztül. írtam. Emlékszem, megbeszéltem egyet, amit írtál Amerikai tudós az egyetemességről és arról a gondolatról. Miért fontos a matematikát nyilvánosan hozzáférhetővé és érthetővé tenni? Úgy értem, mit akarsz csinálni?
CAT: Valahogy organikusan történt. Pályám kezdetén a World Wide Web még nagyon új volt, és a matematikusok elkezdtek különféle tartalmú weboldalakat készíteni, de nem nagyon volt központi címtár. A Google és így tovább előtt nehéz volt egyedi forrásokat találni.
Szóval, elkezdtem készíteni kis könyvtárak a weboldalamon. És saját lapjaimhoz is csinálnék weboldalakat, és kommentálnék. Kezdetben inkább a saját hasznomat szolgálta, csak szervezési eszközként, csak hogy segítsen megtalálni a dolgokat. Melléktermékként elérhető volt a nyilvánosság számára, de én voltam a saját weboldalaim elsődleges fogyasztója, vagy legalábbis így gondoltam.
De nagyon tisztán emlékszem, volt egyszer, amikor írtam egy dolgozatot, és felraktam a weboldalamra, és volt egy kis aloldalam, „Mi az újdonság?” címmel. És csak annyit mondtam: „Itt egy papír. Van benne egy kérdés, amire még mindig nem tudtam válaszolni, és nem tudom, hogyan oldjam meg.” És én csak ezt a megjegyzést tettem. Aztán, mint két nappal később, kaptam egy e-mailt: „Ó, csak megnéztem a kezdőlapját. Tudom erre a választ. Van egy papír, ami megoldja a problémádat.”
És mindenekelőtt ráébredtem arra, hogy az emberek valóban felkeresik a weboldalamat, amit nem igazán ismertem. De ez a közösséggel való interakció valóban segíthet – nos, ez segíthet nekem közvetlenül megoldani a kérdéseimet.
Ezt a törvényt hívják Metcalfe törvénye a hálózatépítésben ez, tudod, ha van n emberek, és mind beszélnek egymással, van kb n2 kapcsolatokat közöttük. Minél nagyobb a közönség és minél nagyobb a fórum, ahol mindenki beszélhet mindenkivel, annál több potenciális kapcsolatra tehet szert, és annál több jó dolog történhet.
Úgy értem, a karrierem során sok felfedezésem vagy kapcsolatom egy váratlan kapcsolat miatt van. Az egész szakmai tapasztalatom az volt, hogy a több kapcsolat annyi, hogy jobb dolgok történnek.
STROGATZ: Szerintem egy gyönyörű példa arra, amire csak utalsz, de szívesen hallanám, ha beszélsz róla, hogy milyen kapcsolatokat építettél fel olyan adattudományi emberekkel, akiket érdekelnek az orvosi rezonancia képalkotással kapcsolatos kérdések. , MRI. Mesélnél nekünk egy kicsit erről a történetről?
CAT: Szóval, ez 2006-ról, 2005-ről volt, azt hiszem. Szóval, volt egy interdiszciplináris program itt, az egyetemen, az UCLA-n a többléptékű geometriai elemzésről, vagy valami hasonlóról, ahol tiszta matematikusokat hoztak össze, akiket a maga nemében érdekelt egyfajta többléptékű típusú geometria, majd tudod, akiknek nagyon konkrét adattípus-problémáik voltak.
És épp most kezdtem el dolgozni a véletlen mátrixelmélet néhány problémáján, így úgy ismertek, mint aki képes manipulálni a mátrixokat. És találkoztam valakivel, akit már ismertem, Emmanuel Candès, mert akkoriban a szomszédban dolgozott a Caltechben. És ő és egy másik munkatárs, Justin Romberg, felfedezték ezt a szokatlan jelenséget.
Tehát MRI-képeket néztek, de azok nagyon lassúak. Ahhoz, hogy elég nagy felbontású képet gyűjtsenek egy emberi testről, vagy ahhoz, hogy esetleg elkapjanak egy daganatot, vagy bármilyen orvosilag fontos jellemzőt, amit szeretnének megtalálni, gyakran több percet vesz igénybe, mivel ezeket a különböző szögeket át kell vizsgálniuk, majd szintetizálniuk kell az adatokat. . És ez tulajdonképpen probléma is volt, mert például a kisgyerekeknek elég problémás volt három percig nyugodtan ülni az MRI-készülékben.
Tehát egy másik módszerrel kísérleteztek, valamilyen lineáris algebra segítségével. 10%-kal, 20%-kal jobb teljesítményjavulást reméltek. Tudod, egy kicsit élesebb kép a szabványos algoritmus egy kicsit módosításával.
Tehát a szabványos algoritmust legkisebb négyzetek közelítésének nevezték, és valami mást csináltak, az úgynevezett teljes variáció minimalizálását. De aztán, amikor futtatták a számítógépes szoftvert, szinte tökéletes rekonstrukciót kaptak a tesztképükről. Hatalmas, hatalmas fejlesztés. És ezt nem tudták megmagyarázni.
De Emmanuel részt vett ezen a programon, mi pedig teáztunk, vagy ilyesmi. És ezt csak megemlítette, és tulajdonképpen az első gondolatom az volt, hogy biztosan hibáztál a számításodban, hogy amit mondasz, az valójában nem lehetséges. És emlékszem, hogy aznap este hazamentem, és megpróbáltam leírni egy tényleges bizonyítékot arra, hogy amit láttak, az valójában nem történhet meg. Aztán félúton rájöttem, hogy olyan feltételezést tettem, ami nem volt igaz. Aztán rájöttem, hogy ez tényleg működhet. Aztán rájöttem, mi lehet a magyarázat. Aztán együtt dolgoztunk, és találtunk egy jó magyarázatot, és közzétettük.
És amint ezt megtettük, az emberek rájöttek, hogy sok más helyzet is volt, amikor olyan mérést kell végezni, amely általában sok-sok adatot igényelt, és bizonyos esetekben sokkal kisebb adatmennyiséget vehet fel, és így is nagyon magas értéket kaphat. felbontás mérés.
Így most például a modern MRI-gépek – egy korábban három percig tartó szkennelés most 30 másodpercig is tarthat, mert ez a szoftver, ez az algoritmus már vezetékes, be van kódolva a gépekbe.
STROGATZ: Ez egy gyönyörű történet, ez egy nagyszerű történet. Úgy értem, beszéljünk fontos matematikáról, amely megváltoztatja az életeket, szó szerint, az orvosi képalkotás ebben a kontextusában. Imádom ennek derűsségét és a nyitottságodat, tudod, hallani ezt az ötletet, és utána azt gondolni, hogy "ez lehetetlen, be tudom bizonyítani." Aztán rájöttem, hogy nem. Fantasztikus látni a matematika ilyen hatását.
Nos, oké, azt hiszem, jobb, ha elengedlek, Terry. Igazi öröm volt veled megvitatni a jó matematika lényegét. Nagyon köszönjük, hogy ma csatlakozott hozzánk.
CAT: Igen, nem, öröm volt.
[Szünet a hirdetés beszúrásához]
STROGATZ: A „The Joy of Why” egy podcast a következőtől Quanta Magazine, a Simons Alapítvány által támogatott, szerkesztőileg független kiadvány. A Simons Alapítvány finanszírozási döntései nincsenek hatással a témák kiválasztására, a vendégekre vagy más szerkesztői döntésekre ebben a podcastban vagy a Quanta Magazine.
A „The Joy of Why” producere PRX produkciók. A produkciós csapat Caitlin Faulds, Livia Brock, Genevieve Sponsler és Merritt Jacob. A PRX Productions ügyvezető producere Jocelyn Gonzales. Morgan Church és Edwin Ochoa további segítséget nyújtott. Tól től Quanta Magazine, John Rennie és Thomas Lin nyújtott szerkesztői útmutatást Matt Carlstrom, Samuel Velasco, Nona Griffin, Arleen Santana és Madison Goldberg támogatásával.
Főcímzenéink az APM Music-tól származnak. Julian Lin találta ki a podcast nevét. Az epizód grafikáját Peter Greenwood, a logónkat pedig Jaki King és Kristina Armitage készítette. Külön köszönet a Columbia Journalism School-nak és Burt Odom-Reednek a Cornell Broadcast Studios-tól.
Én vagyok a házigazdád, Steve Strogatz. Ha bármilyen kérdése vagy észrevétele van velünk kapcsolatban, kérjük, írjon nekünk a címre . Köszönöm, hogy meghallgattak.
- SEO által támogatott tartalom és PR terjesztés. Erősödjön még ma.
- PlatoData.Network Vertical Generative Ai. Erősítse meg magát. Hozzáférés itt.
- PlatoAiStream. Web3 Intelligence. Felerősített tudás. Hozzáférés itt.
- PlatoESG. Carbon, CleanTech, Energia, Környezet, Nap, Hulladékgazdálkodás. Hozzáférés itt.
- PlatoHealth. Biotechnológiai és klinikai vizsgálatok intelligencia. Hozzáférés itt.
- Forrás: https://www.quantamagazine.org/what-makes-for-good-mathematics-20240201/
- :van
- :is
- :nem
- :ahol
- ][p
- $ UP
- 1
- 10
- 15 év
- 15%
- 2005
- 2006
- 250
- 30
- 300
- 50
- 50 éve
- a
- Képes
- Rólunk
- erről
- KIVONAT
- absztrakció
- AC
- elfogadás
- elfogadott
- elfogadó
- hozzáférhető
- Hozzáférés
- Fiók
- át
- tényleges
- tulajdonképpen
- Ad
- További
- cím
- elfogadja
- előre
- fejlett
- előlegek
- megérkezés
- tanácsot ad
- Után
- újra
- kor
- Augusztus
- megegyezés
- előre
- AI
- AI chatbot
- AIR
- ais
- algoritmus
- elevenen
- Minden termék
- kioszt
- lehetővé
- majdnem
- mentén
- már
- Is
- Bár
- mindig
- amatőr
- Amerikai
- között
- összeg
- an
- elemzés
- Ősi
- és a
- Másik
- válasz
- bármilyen
- Már
- bárki
- bármi
- külön
- app
- Apple
- alkalmazások
- Alkalmazása
- közeledik
- megfelelő
- VANNAK
- TERÜLET
- területek
- érv
- érvek
- körül
- Művészet
- cikkben
- cikkek
- Előadók
- AS
- kérdez
- megjelenés
- szempontok
- Támogatás
- feltevés
- csillagászat
- At
- támadás
- figyelem
- közönség
- szerző
- Szerző által
- hatóság
- szerzők
- elérhető
- Díjak
- Tengely
- b
- vissza
- Rossz
- Bank
- bankszámla
- akadályok
- bázis
- alapvető
- BE
- szép
- szépség
- mert
- válik
- válik
- egyre
- óta
- előtt
- kezdődik
- Kezdet
- hogy
- lények
- Hisz
- haszon
- BEST
- Jobb
- között
- Nagy
- Big adatok
- nagyobb
- Legnagyobb
- Bit
- vak
- Blog
- Blogbejegyzések
- blogok
- test
- mindkét
- ágak
- szélesség
- szünet
- áttörés
- HÍD
- Bringing
- széles
- rádióadás
- tágabb
- borz
- épít
- de
- by
- számítás
- hívás
- hívott
- jött
- KAPUSTÁBOR
- TUD
- tőke
- Karrier
- eset
- esetek
- Fogás
- okai
- barlang
- központi
- központi hatóság
- Század
- bizonyos
- biztosan
- kihívást
- esély
- változik
- megváltozott
- változó
- chatbot
- beszélgetni
- ellenőrizze
- ellenőrzése
- választás
- templom
- Kör
- körök
- körlevél
- polgár
- osztály
- közel
- Társtárs
- kód
- együttműködik
- együttműködés
- együttműködések
- kolléga
- gyűjt
- Kolumbia
- hogyan
- jön
- üstökösök
- érkező
- megjegyzés
- Kommentár
- Hozzászólások
- árucikk
- kommunikálni
- közösség
- Kiegészítés
- teljesen
- bonyolult
- bonyolult
- szövődmények
- összetevő
- Kiszámít
- számítógép
- Computer Science
- Számítógépes program
- számítógép által létrehozott
- számítógépek
- koncepció
- aggodalmak
- beton
- sejtés
- Csatlakozó
- kapcsolat
- kapcsolatok
- összeköt
- konzervatív
- fogyasztó
- kapcsolat
- tartalom
- verseny
- kontextus
- contribuer
- hozzájárul
- vitatott
- Kényelmes
- hagyományos
- konvergálni
- Konvergencia
- fordítva
- megtérít
- Cornell
- Sarok
- kijavítására
- tudott
- Tanács
- tanfolyam
- készítette
- Kreatív
- teremtmény
- Hitelesség
- kritériumok
- kritika
- tömeg
- kulturális
- kultúra
- Valuta
- vágások
- VESZÉLY
- dátum
- adat-tudomány
- adatkészletek
- adatbázis
- Nap
- vita
- határozatok
- mély
- mélyebb
- meghatározott
- minden bizonnyal
- bizonyítani
- osztály
- függ
- leírni
- érdemel
- részletek
- eltökélt
- Fejleszt
- fejlett
- DID
- különböző
- nehéz
- számjegy
- méretek
- közvetlenül
- könyvtárak
- fegyelem
- felfedez
- felfedezett
- megvitatni
- megbeszélése
- Zavar
- megkülönböztető
- jellegzetesen
- dna
- do
- dokumentum
- nem
- Nem
- Ennek
- domain
- ne
- Által
- le-
- hátrányok
- dinamika
- minden
- Korai
- föld
- gazdaság
- szerkesztő
- Szerkesztőségi
- oktat
- pedagógusok
- Edwin
- hatékonyság
- hatékony
- erőfeszítés
- Einstein
- bármelyik
- elefánt
- Elliptikus
- más
- Egyéb
- képessé
- lehetővé teszi
- lehetővé téve
- találkozás
- végén
- elég
- Egész
- teljesen
- epizód
- egyenlő
- Egyenlő
- egyenletek
- Ez volt
- hiba
- különösen
- ESSZÉ
- lényeg
- Még
- végül is
- Minden
- mindenki
- mindenki
- minden
- pontosan
- vizsgálat
- példa
- példák
- izgatott
- izgalmas
- végrehajtó
- executive producer
- Gyakorol
- létező
- létezik
- Bontsa
- tapasztalat
- kísérleti
- kísérletezik
- kísérletek
- szakértők
- Magyarázza
- magyarázó
- magyarázat
- feltárt
- Feltárása
- mérték
- rendkívüli módon
- tény
- igazságos
- meglehetősen
- Esik
- hamis
- ismerős
- híres
- fantasztikus
- messze
- elbűvölő
- Kedvenc
- Funkció
- érez
- úgy érzi,
- fickó
- hiba
- kevés
- mező
- Fields
- mintás
- ábrák
- Végül
- Találjon
- megtalálása
- vezetéknév
- folyadék
- Folyadékdinamika
- Összpontosít
- összpontosítás
- A
- hivatalos
- Formálisan
- tovább
- Fórum
- talált
- Alapítvány
- négy
- róka
- töredék
- barát
- ból ből
- alapvető
- finanszírozás
- vicces
- jövő
- játék
- adott
- általános
- generál
- generáció
- nagylelkű
- geometria
- kap
- jelentkeznek
- szerzés
- GitHub
- Ad
- Go
- Goes
- megy
- Aranysárga
- jó
- jó munkát
- kapott
- diplomás
- nagy
- görög
- Csalitos
- Griffmadár
- földelt
- Őr
- Szerintem
- vendég
- útmutatást
- kellett
- félúton
- kéz
- történik
- történt
- Esemény
- megtörténik
- Kemény
- Legyen
- tekintettel
- he
- egészséges
- hall
- hallás
- sündisznó
- segít
- segít
- segít
- itt
- Magas
- magas szinten
- nagy felbontású
- <p></p>
- Kiemel
- őt
- saját maga
- övé
- történelem
- holisztikus
- Kezdőlap
- honlapja
- házi feladat
- megbecsült
- remény
- bizakodó
- remélve
- vendéglátó
- FORRÓ
- Hogyan
- How To
- HTTPS
- hatalmas
- Hatalmasan
- emberi
- ember által olvasható
- Több száz
- i
- ötlet
- ideálok
- ötletek
- azonosítani
- if
- kép
- képek
- kép
- Leképezés
- Hatás
- hatásos
- fontos
- lehetetlen
- javulás
- in
- hajlik
- tartalmaz
- Beleértve
- független
- egyéni
- befolyás
- Befolyásos
- velejáró
- alapvetően
- Insight
- meglátások
- azonnal
- integrált
- szellemi
- szellemi tulajdon
- szándékolt
- kölcsönhatás
- interaktív
- kamat
- érdekelt
- érdekes
- Internet
- bele
- Bevezetés
- intuíció
- Találmány
- iPhone
- izolált
- IT
- ITS
- Munka
- János
- csatlakozott
- csatlakozik hozzánk
- csatlakozik
- folyóirat
- újságírás
- öröm
- éppen
- tartotta
- Kulcs
- kulcsszavak
- gyerekek
- Kedves
- fajta
- király
- Ismer
- ismert
- tudja
- Telek
- nyelv
- Nyelvek
- nagy
- nagyarányú
- nagyobb
- a későbbiekben
- Törvény
- TANUL
- tanulás
- legkevésbé
- kevesebb
- hadd
- szint
- élet
- Life Sciences
- mint
- korlátozások
- Korlátozott
- lin
- vonal
- lineáris
- vonalak
- Kihallgatás
- kis
- életek
- logikus
- logo
- Hosszú
- hosszabb
- néz
- hasonló
- keres
- MEGJELENÉS
- veszít
- Sok
- sok
- szerelem
- gép
- gép
- készült
- magazin
- Többség
- csinál
- KÉSZÍT
- Gyártás
- kezelése
- sok
- piacára
- tömeges
- matematikai
- matematikai
- matematikailag
- matematika
- Mátrix
- matt
- Anyag
- érett
- Lehet..
- talán
- me
- jelent
- megmért
- mérés
- Média
- orvosi
- Orvosi képalkotás
- Partnerek
- Férfi
- említ
- említett
- találkozott
- metrikus
- esetleg
- millió
- elmék
- minimalizálása
- perc
- jegyzőkönyv
- téveszmék
- hiba
- modalitások
- modern
- módok
- pénz
- több
- Morgan
- a legtöbb
- mozgások
- MRI
- sok
- zene
- kell
- my
- magamat
- Rejtély
- naiv
- név
- Szükség
- szükséges
- igények
- Se
- soha
- Új
- hír
- következő
- szép
- éjszaka
- nem
- sem
- rendszerint
- semmi
- bejelentés
- Most
- Árnyalat
- szám
- számok
- tárgy
- célkitűzés
- objektumok
- megfigyelt
- Nyilvánvaló
- OCHOA
- október
- of
- gyakran
- oh
- Rendben
- on
- egyszer
- ONE
- azok
- online
- csak
- átlátszatlan
- nyílt forráskódú
- Nyitottság
- Vélemény
- Optimista
- or
- szervesen
- szervezeti
- Más
- Egyéb
- mi
- ki
- elavult
- teljesítmény
- kívül
- felett
- saját
- Csomag
- csomagolt
- oldalak
- Papír
- papírok
- Párhuzamos
- részben
- különös
- különösen
- alkatrészek
- Elmúlt
- múlt
- Emberek (People)
- százalék
- tökéletes
- teljesítmény
- állandó
- person
- kimerül
- jelenség
- fizikai
- Fizikai tudományok
- fizikailag
- Fizika
- válogatott
- darab
- Plató
- Platón adatintelligencia
- Platóné
- PlatoData
- kérem
- öröm
- podcast
- podcasting
- Költészet
- pont
- Nézőpont
- pont
- jelent
- pozitív
- lehetséges
- Hozzászólások
- potenciális
- hatalom
- erős
- gyakorlat
- gyakorlat
- pontosan
- bemutatás
- szép
- megakadályozza
- korábban
- elsődleges
- Első
- primitív
- díj
- Probléma
- problémák
- Készült
- termelő
- Termelés
- produkciók
- Egyetemi tanár
- Program
- Haladás
- projektek
- szapora
- bizonyíték
- igazolások
- megfelelően
- ingatlan
- Tulajdonjogok
- védett
- büszke
- Bizonyít
- igazolt
- ad
- feltéve,
- amely
- bizonyítja
- nyilvános
- A megjelenés
- nyilvánosan
- közzétesz
- közzétett
- Kiadás
- tiszta
- tisztán
- cél
- folytatni
- Toló
- tesz
- helyezi
- Quantamagazine
- kérdés
- Kérdések
- csendesen
- egészen
- véletlen
- Inkább
- hányados
- olvasók
- igazi
- való Világ
- Valóság
- észre
- realizált
- felismerve
- tényleg
- ok
- recesszió
- nyilvántartások
- csökkenteni
- referencia
- említett
- összefüggő
- kapcsolat
- relativitás
- felszabadító
- eszébe jut
- eltávolított
- raktár
- kötelező
- megköveteli,
- kutatás
- megoldódott
- rezonancia
- forrás
- Tudástár
- válasz
- felelősségteljesen
- eredményez
- Eredmények
- felfedve
- felülvizsgál
- forradalmi
- jobb
- jogok
- Gyűrű
- Emelkedik
- szerepek
- nagyjából
- futás
- Mondott
- azonos
- azt mondják
- mondás
- azt mondja,
- beolvasás
- Iskola
- Tudomány
- TUDOMÁNYOK
- Keresés
- Második
- másodperc
- lát
- látás
- látszik
- Úgy tűnt
- Úgy tűnik,
- látott
- részes
- válasszuk
- kiválasztás
- önálló
- mondat
- különálló
- szerverek
- Szettek
- számos
- formák
- Megosztás
- váltás
- rövid
- kellene
- oldal
- hasonló
- Egyszerű
- egyszerűbb
- egyszerűsített
- egyszerűsítése
- egyszerűsítése
- óta
- egyetlen
- ül
- Ülés
- helyzetek
- készségek
- lassú
- kisebb
- Szag
- So
- Közösség
- Közösségi média
- Társadalom
- szoftver
- kérelmezés
- SOLVE
- Megoldása
- néhány
- valahogy
- Valaki
- valami
- néha
- némileg
- valahol
- Nemsokára
- keresett
- hangok
- forrás
- Források
- Hely
- térbeli
- speciális
- specializált
- spekuláció
- spekulatív
- költ
- Spotify
- négyzet
- terek
- standard
- Stanford
- kezdet
- kezdődött
- Kezdve
- kezdődik
- nyilatkozat
- Államok
- tartózkodás
- Lépés
- Lépései
- Steve
- Még mindig
- készlet
- részvénypiac
- STONE
- Történet
- egyenes
- léptekkel
- diák
- Diákok
- tanulmányok
- stúdiók
- Tanulmány
- Tanul
- tárgy
- sikeres
- ilyen
- javasolja,
- támogatás
- Támogatott
- felületi
- meglepődött
- meglepő
- gyanús
- szintetizál
- Systems
- Vesz
- tart
- bevétel
- Beszél
- beszéd
- Talks
- megfogható
- feladatok
- Tea
- Tanítási
- csapat
- Műszaki
- technika
- technikai
- mondd
- Inkább
- tíz
- teszt
- mint
- köszönöm
- hogy
- A
- A terület
- A jövő
- a világ
- azok
- Őket
- téma
- akkor
- elméleti
- elmélet
- Ott.
- ebből adódóan
- Ezek
- ők
- dolog
- dolgok
- Szerintem
- Gondolkodás
- Harmadik
- Harmadik generáció
- ezt
- bár?
- gondoltam
- három
- háromdimenziós
- Keresztül
- idő
- nak nek
- Ma
- együtt
- is
- szerszám
- szerszámok
- Témakörök
- Végösszeg
- érintse
- hagyományos
- Képzések
- át
- kezelt
- fa
- Trends
- kipróbált
- igaz
- Bízzon
- megpróbál
- próbál
- tumor
- Turning
- fordul
- csípés
- kettő
- típus
- típusok
- UCLA
- aláhúzás
- megért
- érthető
- megértés
- megértett
- Váratlan
- egységes
- unió
- egység
- Egyesült
- -ig
- szokatlan
- Feltöltés
- upon
- UPS
- us
- használ
- használt
- hasznos
- segítségével
- rendszerint
- hasznosság
- hasznosít
- Értékes
- érték
- értékes
- Értékek
- változó
- különféle
- Irányváltozás
- ellenőrzése
- nagyon
- VET
- Videók
- Megnézem
- megtekinthető
- vírusos
- látomás
- az
- Várakozás
- akar
- kívánatos
- volt
- őrzés
- Víz
- Út..
- módon
- we
- viselet
- háló
- webp
- fogadtatás
- üdvözölte
- JÓL
- voltak
- Mit
- Mi
- bármi
- amikor
- mivel
- vajon
- ami
- míg
- WHO
- egész
- miért
- széles
- széles körben
- széles körben elterjedt
- forgat
- Wikipedia
- lesz
- győztes
- bölcsesség
- val vel
- belül
- nélkül
- csodálkozó
- szó
- WordPress
- Munka
- dolgozott
- dolgozó
- működésébe
- világ
- world wide web
- aggódik
- aggódik
- lenne
- Azta
- ír
- írás
- írott
- Rossz
- írt
- év
- Igen
- még
- te
- A te
- zephyrnet