Äärimmäisen kvanttivoiman ortonormaalit perusteet

Julkaissut Platon

seuraajia: 0

Marcin Rudziński^1,2, Adam Burchardt³ja Karol Życzkowski^1,4

¹Fysiikan, tähtitieteen ja sovelletun tietojenkäsittelytieteen tiedekunta, Jagiellonian yliopisto, ul. Łojasiewicza 11, 30-348 Krakova, Puola
²Eksakti- ja luonnontieteiden tohtorikoulu, Jagiellonian yliopisto, ul. Łojasiewicza 11, 30-348 Krakova, Puola
³QuSoft, CWI ja Amsterdamin yliopisto, Science Park 123, 1098 XG Amsterdam, Alankomaat
⁴Teoreettisen fysiikan keskus, Puolan tiedeakatemia, Al. Lotników 32/46, 02-668 Warszawa, Puola

Onko tämä artikkeli mielenkiintoinen vai haluatko keskustella? Scite tai jätä kommentti SciRate.

Abstrakti

Spin antikoherentit tilat ovat saaneet viime aikoina paljon huomiota "kvanttitiloina". Jotkut koherentit ja antikoherentit spin-tilat tunnetaan optimaalisina kvanttirotosensoreina. Tässä työssä esittelemme kvanttimittauksen spin-tilojen ortonormaalisille emäksille, jotka määritetään yksittäisten vektorien keskimääräisen antikoherenssin ja Wehrlin entropian perusteella. Tällä tavalla tunnistamme koherentiimmat ja kvanttitiloimmat tilat, jotka johtavat äärimmäisen kvanttimittauksen ortogonaalisiin mittauksiin. Niiden symmetriat voidaan paljastaa käyttämällä Majoranan tähtiesitystä, joka tarjoaa intuitiivisen geometrisen esityksen puhtaasta tilasta pallon pisteillä. Saadut tulokset johtavat maksimaaliseen (minimaalisesti) kietoutuneisiin kantoihin $2j$ kubiteista koostuvien moniosaisten järjestelmien tilojen $1^{2j}$ ulottuvuusavaruuden $2j+2$-ulotteisessa symmetrisessä aliavaruudessa. Jotkut löydetyt emäkset ovat isokoherentteja, koska ne koostuvat kaikista saman spin-koherenssiasteen tiloista.

Suositeltu kuva: Vasemmassa kuvassa $mathcal{H}_4$:n "kvanttisin" perusta on kuvattu käyttämällä tähtiesitystä. Oikealla on Husimi-funktio tilojen johdonmukaisimmalta ("klassiselta") pohjalta alueella $mathcal{H}_4$.

Suosittu yhteenveto

Extremal states, coherent and anticoherent, have practical applications in quantum metrology as optimal rotosensors. This work provides a natural extension of previous studies concerning the search for such states proposing optimal orthogonal measurements of Lüders and von Neumann of the extreme spin coherence. We introduce the measure $mathcal{B}_t$ as the tool to characterize the quantumness of a measurement given by a basis in $mathcal{H}_N$. The search for the most quantum bases for $N=3,4,5$ and $7$ is performed. Numerical results suggest, that the obtained solutions are unique. A set of candidates for the “classical” bases consisting of the most spin-coherent states is indicated for $N=3,4,5,6$. Some of the most quantum bases, analyzed in the stellar representation of Majorana, reveal symmetries of Platonic solids. Most classical bases display symmetric structures too. We also considered other measures of the quantumness of vectors forming a given basis. Optimization of the mean Wehrl entropy of $N$ orthogonal vectors leads to the same bases distinguished by extremal values of the quantities $mathcal{B}_t$, with a single exception of the quantum basis for $N=6$.

► BibTeX-tiedot

@article{Rudzinski2024orthonormalbasesof, doi = {10.22331/q-2024-01-25-1234}, url = {https://doi.org/10.22331/q-2024-01-25-1234}, title = {Orthonormal bases of extreme quantumness}, author = {Rudzi{‘{n}}ski, Marcin and Burchardt, Adam and {.{Z}}yczkowski, Karol}, journal = {{Quantum}}, issn = {2521-327X}, publisher = {{Verein zur F{“{o}}rderung des Open Access Publizierens in den Quantenwissenschaften}}, volume = {8}, pages = {1234}, month = jan, year = {2024} }

► Viitteet

[1] T. Frankel, The Geometry of Physics: An Introduction, 3. painos, Cambridge University Press (2011).
https: / / doi.org/ 10.1017 / CBO9781139061377

[2] D. Chruściński ja A. Jamiołkowski, Geometric Phases in Classical and Quantum Mechanics, Birkhäuser (2004).
https://doi.org/10.1007/978-0-8176-8176-0

[3] DA Lee, Geometrinen suhteellisuusteoria, American Mathematical Society, Providence (2021).
https: / / doi.org/ 10.1090 / GSM / 201

[4] I. Bengtsson ja K. Życzkowski, Geometry of Quantum States: An Introduction to Quantum Entanglement, 2. painos, Cambridge University Press (2017).
https: / / doi.org/ 10.1017 / +9781139207010

[5] M. Lewin, Geometric menetelmät epälineaarisille monikappaleisille kvanttijärjestelmille, J. Functional Analysis 260, 12, (2011).
https: / / doi.org/ 10.1016 / j.jfa.2010.11.017

[6] E. Cohen, H. Larocque, F. Bouchard et ai., Geometrinen vaihe Aharonov-Bohmista Pancharatnamiin-Berryyn ja sen jälkeen, Nat. Rev. Phys. 1, 437–449 (2019).
https://doi.org/10.1038/s42254-019-0071-1

[7] E. Majorana Atomi orientati in campo magnetico variable, Nuovo Cimento 9, 43-50 (1932).
https: / / doi.org/ 10.1007 / BF02960953

[8] R. Barnett, A. Turner ja E. Demler, Spinoriatomien uusien faasien luokittelu, Phys. Rev. Lett. 97, 180412 (2006).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.97.180412

[9] R. Barnett, A. Turner ja E. Demler, pyörteiden luokittelu $S=3$ Bose-Einstein-kondensaateissa, Phys. Rev. A 76, 013605 (2007).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.76.013605

[10] H. Mäkelä ja K.-A. Suominen, Spin-s-järjestelmien inertit tilat, Phys. Rev. Lett. 99, 190408 (2007).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.99.190408

[11] E. Serrano-Ensástiga ja F. Mireles, Phase karakterisation of Spinor Bose-Einstein kondensaatit: Majorana tähtien esittäminen lähestymistapa, Phys. Lett. A 492, 129188 (2023).
https: / / doi.org/ 10.1016 / j.physleta.2023.129188

[12] P. Mathonet et ai., $N$-qubitin symmetristen tilojen kietoutumisekvivalenssi, Phys. Rev. A 81, 052315 (2010).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.81.052315

[13] J. Martin, O. Giraud, PA Braun, D. Braun ja T. Bastin, Multiqubit symmetric states with high geometric enanglement, Phys. Rev. A 81, 062347 (2010).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.81.062347

[14] M. Aulbach, DJH Markham ja M. Murao, Maksimaalisesti kietoutunut symmetrinen tila geometrisen mittauksen kannalta, New J. Phys. 12, 073025 (2010).
https://doi.org/10.1088/1367-2630/12/7/073025

[15] DJH Markham, Kietoutuminen ja symmetria permutaatiosymmetrisissä tiloissa, Phys. Rev. A 83, 042332 (2011).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.83.042332

[16] P. Ribeiro ja R. Mosseri, Entanglement in the symmetric sektori of $n$ qubits, Phys. Rev. Lett. 106, 180502 (2011).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.106.180502

[17] M. Aulbach, symmetristen tilojen takertumisen luokittelu, Int. J. Quantum Inform. 10, 1230004 (2012).
https: / / doi.org/ 10.1142 / S0219749912300045

[18] W. Ganczarek, M. Kuś ja K. Życzkowski, Barysentrinen kvanttikietoutumisen mitta, Phys. Rev. A 85, 032314 (2012).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.85.032314

[19] A. Mandilara, T. Coudreau, A. Keller ja P. Milman, Puhtaiden symmetristen tilojen sotkeutumisluokitus spin-koherenttien tilojen kautta, Phys. Rev. A 90, 050302(R) (2014).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.90.050302

[20] P. Hyllus, et ai., Fisher information and multipartticle entanglement, Phys. Rev. A 85, 022321 (2012).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.85.022321

[21] JH Hannay, The Berry phase for spin in the Majorana, J. Phys. V: Matematiikka. Gen. 31, L53 (1998).
https://doi.org/10.1088/0305-4470/31/2/002

[22] P. Bruno, Quantum Geometric Phase in Majorana's Stellar Representation: Mapping onto to the monta-body Aharonov-Bohm Phase, Phys. Rev. Lett. 108, 240402 (2012).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.108.240402

[23] HD Liu, ja LB Fu, Berryn vaihe ja kvanttikettuminen Majoranan tähtien esityksessä, Phys. Rev. A 94, 022123 (2016).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.94.022123

[24] P. Ribeiro, J. Vidal ja R. Mosseri, Thermodynamical limit of the Lipkin-Meshkov-Glick model, Phys. Rev. Lett. 99, 050402 (2007).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.99.050402

[25] P. Ribeiro, J. Vidal ja R. Mosseri, Lipkin-Meshkov-Glick-mallin tarkka spektri termodynaamisissa raja- ja äärelliskokoisissa korjauksissa, Phys. Rev. E 78, 021106 (2008).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevE.78.021106

[26] J. Zimba, "Anticoherent" spin valtiot kautta Majorana Edustus, Electron. J. Theor. Phys. 3, 143 (2006).
https:///api.semanticscholar.org/CorpusID:13938120

[27] D. Baguette, T. Bastin ja J. Martin, Multiqubit-symmetriset tilat maksimaalisesti sekoitettuna yhden bbitin pelkistyksillä, Phys. Rev. A 90, 032314 (2014).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.90.032314

[28] O. Giraud, D. Braun, D. Baguette, T. Bastin ja J. Martin, spin-tilojen tensoriesitys, Phys. Lett. 114, 080401 (2015).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.114.080401

[29] D. Baguette, F. Damanet, O. Giraud ja J. Martin, spin-tilojen anticoherence piste-ryhmäsymmetrialla, Phys. Rev. A 92, 052333 (2015).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.92.052333

[30] HD Liu, LB Fu, X. Wang, Koherentin tilan lähestymistapa Majoranan edustukseen, Commun. Theor. Phys. 67, 611 (2017).
https://doi.org/10.1088/0253-6102/67/6/611

[31] D. Baguette ja J. Martin, Antikoherenssimittarit puhtaille spin-tiloihin, Phys. Rev. A 96, 032304 (2017).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.96.032304

[32] P. Kolennderski ja R. Demkowicz-Dobrzański, Optimaalinen tila vertailukehysten ja platonisten kiintoaineiden pitämiseksi kohdakkain, Phys. Rev. A 78, 052333 (2008).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.78.052333

[33] C. Chryssomalakos ja H. Hernández-Coronado, Optimal quantum rotosensors, Phys. Rev. A 95, 052125 (2017).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.95.052125

[34] AZ Goldberg ja DFV James, Quantum-limited Euler-kulmamittaukset käyttäen antikoherentteja tiloja, Phys. Rev. A 98, 032113 (2018).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.98.032113

[35] J. Martin, S. Weigert ja O. Giraud, Tuntemattomien akselien ympäri tapahtuvien rotaatioiden optimaalinen havaitseminen koherenttien ja antikoherenttien tilojen avulla, Quantum 4, 285 (2020).
https://doi.org/10.22331/q-2020-06-22-285

[36] J. Crann, DW Kribs ja R. Pereira, Spherical designs and antikoherent spin states, J. Phys. V: Matematiikka. Theor. 43, 255307 2010 (XNUMX).
https://doi.org/10.1088/1751-8113/43/25/255307

[37] E. Bannai ja M. Tagami, A Note on antikoherent spin states, J. Phys. V: Matematiikka. Theor. 44, 342002 (2011).
https://doi.org/10.1088/1751-8113/44/34/342002

[38] M. Wang ja Y. Zhu, Anticoherent spin-2 states and spherical designs, J. Phys. V: Matematiikka. Theor. 55, 425304 (2022).
https:///doi.org/10.1088/1751-8121/ac971d

[39] AZ Goldberg, AB Klimov, M. Grassl, G. Leuchs ja LL Sánchez-Soto, Extremal quantum states, AVS Quantum Sci. 2, 044701 (2020).
https: / / doi.org/ 10.1116 / +5.0025819

[40] AZ Goldberg, M. Grassl, G. Leuchs ja LL Sánchez-Soto, Quantumness beettagne: The case of symmetric states, Phys. Rev. A 105, 022433 (2022).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.105.022433

[41] O. Giraud, P. Braun ja D. Braun, Quantifying quantumness and the Queens of Quantum, New J. Phys. 12, 063005 (2010).
https://doi.org/10.1088/1367-2630/12/6/063005

[42] R. Delbourgo, Minimaaliset epävarmuustilat rotaatioryhmälle ja liittoutuneille ryhmille, J. Phys. A 10, L233 (1977).
https://doi.org/10.1088/0305-4470/10/11/012

[43] A. Wehrl, Klassisen ja kvanttimekaanisen entropian välisestä suhteesta, Rep. Math. Phys. 16, 353 (1979).
https://doi.org/10.1016/0034-4877(79)90070-3

[44] EH Lieb, Todiste Wehrlin entropia-oletuksesta, Commun. Matematiikka. Phys. 62, 35 (1978).
https: / / doi.org/ 10.1007 / BF01940328

[45] CT Lee, Wehrlin spin-tilojen entropia ja Liebin olettamus, J. Phys. A 21, 3749 (1988).
https://doi.org/10.1088/0305-4470/21/19/013

[46] EH Lieb ja JP Solovej, Todiste Blochin koherenttien spin-tilojen entropiaoletuksesta ja sen yleistyksistä, Acta Math. 212, 379 (2014).
https://doi.org/10.1007/s11511-014-0113-6

[47] F. Bouchard, et ai., Quantum Metrology at the limit with Extremal Majorana Constellations, Optica 4, 1429-1432 (2017).
https: / / doi.org/ 10.1364 / OPTICA.4.001429

[48] A. Wehrl, Entropian yleiset ominaisuudet, Rev. Mod. Phys. 50, 221 (1978).
https: / / doi.org/ 10.1103 / RevModPhys.50.221

[49] A. Wehrl, Entropian monet puolet, Rep. Math. Phys. 30, 119 (1991).
https://doi.org/10.1016/0034-4877(91)90045-O

[50] S. Gnutzmann ja K. Życzkowski, Renyi-Wehrlin entropiot paikannusmittaina vaiheavaruudessa, J. Phys. A 34, 10123 (2001).
https://doi.org/10.1088/0305-4470/34/47/317

[51] K. Życzkowski, Ominaistilojen lokalisointi ja keskimääräinen Wehrl-entropia, Physica E 9, 583 (2001).
https://doi.org/10.1016/S1386-9477(00)00266-6

[52] LL Sánchez-Soto, AB Klimov, P. de la Hoz ja G. Leuchs, Quantum versus classic polarization states: when multipoles count, J. Phys. B 46 104011 (2013).
https://doi.org/10.1088/0953-4075/46/10/104011

[53] A. Tavakoli ja N. Gisin, The Platonic solids and basic tests of quantum mechanics, Quantum 4, 293 (2020).
https://doi.org/10.22331/q-2020-07-09-293

[54] H.Ch. Nguyen, S. Designolle, M. Barakat ja O. Gühne, Kvanttimekaniikan mittausten välinen symmetria, preprint arXiv:2003.12553 (2022).
https:///doi.org/10.48550/arXiv.2003.12553
arXiv: 2003.12553

[55] JI Latorre ja G. Sierra, Platonic Enanglement, Quantum Inf. Comput. 21, 1081 (2021).
https: / / doi.org/ 10.26421 / QIC21.13-14-1

[56] K. Bolonek-Lasoń ja P. Kosiński, Ryhmät, Platoniset kiintoaineet ja Bell-epäyhtälöt, Quantum 5, 593 (2021).
https://doi.org/10.22331/q-2021-11-29-593

[57] KF Pál ja T. Vértesi, Ryhmät, Platonic Bell -epäyhtälöt kaikille ulottuvuuksille, Quantum 6, 756 (2022).
https://doi.org/10.22331/q-2022-07-07-756

[58] RH Dicke, Koherenssi spontaaneissa säteilyprosesseissa, Phys. Rev. 93, 99 (1954).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRev.93.99

[59] V. Karimipour ja L. Memarzadeh, Equientangled emäkset mielivaltaisissa mitoissa Phys. Rev. A 73, 012329 (2006).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.73.012329

[60] G. Rajchel, A. Gąsiorowski ja K. Życzkowski, Robust Hadamard matriisit, unistokastiset säteet Birkhoff-polytooppissa ja tasaiset emäkset komposiittiavaruuksissa Math. Comp. Sci. 12, 473 (2018).
https: / / doi.org/ 10.1007 / s11786-018-0384-y

[61] J. Czartowski, D. Goyeneche, M. Grassl ja K. Życzkowski, Isoentangled toistensa puolueettomat emäkset, symmetriset kvanttimittaukset ja sekatilan mallit, Phys. Rev. Lett. 124, 090503 (2020).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.124.090503

[62] F. Del Santo, J. Czartowski, K. Życzkowski ja N. Gisin, Iso-etangled bases and joint mitat, preprint arXiv:2307.06998 (2023).
https:///doi.org/10.48550/arXiv.2307.06998
arXiv: 2307.06998

[63] R. Penrose, Kellon epäpaikallisuudesta ilman todennäköisyyksiä: outoa geometriaa, Quantum Reflections (2000).

[64] J. Zimba ja R. Penrose, On Bell ei-paikallisuudella ilman todennäköisyyksiä: Uteliaampi geometria, Stud. Hist. Phil. Sci. 24, 697 (1993).
https://doi.org/10.1016/0039-3681(93)90061-N

[65] JE Massad ja PK Aravind, The Penrose dodekaedri uudelleen, Am. J. Physics 67, 631 (1999).
https: / / doi.org/ 10.1119 / +1.19336

[66] K. Husimi, Some Formal Properties of the Density Matrix, Proc. Phys. Matematiikka. Soc. 22, 264 (1940).
https: / / doi.org/ 10.11429 / ppmsj1919.22.4_264

[67] W. Słomczyński ja K. Życzkowski, Kvanttikarttojen keskimääräinen dynaaminen entropia pallolla poikkeaa puoliklassisessa rajassa, Phys. Rev. Lett. 80, 1880 (1998).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.80.1880

[68] M. Piotrak, M. Kopciuch, AD Fard, M. Smolis, S. Pustelny, K. Korzekwa, Perfect quantum protractors, preprint arXiv:2310.13045 (2023).
https:///doi.org/10.48550/arXiv.2310.13045
arXiv: 2310.13045

[69] NCN Maestro 7 2015/18/A/ST2/00274 -verkkosivusto https://chaos.if.uj.edu.pl/ karol/Maestro7/files/data3/Numerical_Results.dat.
https:///chaos.if.uj.edu.pl/~karol/Maestro7/files/data3/Numerical_Results.dat

[70] D. Weingarten, Ryhmäintegraalien asymptoottinen käyttäytyminen äärettömän järjestyksen rajalla, J. Math. Phys. 19, 999 (1978).
https: / / doi.org/ 10.1063 / +1.523807

[71] B. Collins ja P. Śniady, Integration with Respect to Haar Measure on Unitary, Orthogonal and Symplectic Group, Commun. Matematiikka. Phys. 264, 773 (2006).
https://doi.org/10.1007/s00220-006-1554-3

[72] G. Rajchel, Quantum mappings and designs, PhD Thesis, preprint arXiv:2204.13008 (2022).
https:///doi.org/10.48550/arXiv.2204.13008
arXiv: 2204.13008

[73] D. Martin ja EP Wigner, Ryhmäteoria ja sen soveltaminen atomispektrien kvanttimekaniikkaan, Academic Press Inc. NY (1959).
https://doi.org/10.1016/b978-0-12-750550-3.x5001-0

Viitattu

[1] Michał Piotrak, Marek Kopciuch, Arash Dezhang Fard, Magdalena Smolis, Szymon Pustelny ja Kamil Korzekwa, "Täydelliset kvanttiasteet", arXiv: 2310.13045, (2023).

[2] Aaron Z. Goldberg, "Symmetristen tilojen hiukkasten osajoukkojen korrelaatiot: mitä fotonit tekevät valonsäteessä, kun loput jätetään huomiotta", arXiv: 2401.05484, (2024).

Yllä olevat sitaatit ovat peräisin SAO: n ja NASA: n mainokset (viimeksi päivitetty onnistuneesti 2024-01-25 11:53:23). Lista voi olla puutteellinen, koska kaikki julkaisijat eivät tarjoa sopivia ja täydellisiä viittaustietoja.

Ei voitu noutaa Crossref siteeratut tiedot viimeisen yrityksen aikana 2024-01-25 11:53:22: Ei voitu noutaa viittauksia 10.22331 / q-2024-01-25-1234 mainittuihin tietoihin Crossrefiltä. Tämä on normaalia, jos DOI rekisteröitiin äskettäin.

Tämä kirja on julkaistu Quantum - lehdessä Creative Commons Nimeäminen 4.0 Kansainvälinen (CC BY 4.0) lisenssin. Tekijänoikeudet säilyvät alkuperäisillä tekijänoikeuksien haltijoilla, kuten tekijöillä tai heidän instituutioillaan.

SEO-pohjainen sisällön ja PR-jakelu. Vahvista jo tänään.
PlatoData.Network Vertical Generatiivinen Ai. Vahvista itseäsi. Pääsy tästä.
PlatoAiStream. Web3 Intelligence. Tietoa laajennettu. Pääsy tästä.
PlatoESG. hiili, CleanTech, energia, ympäristö, Aurinko, Jätehuolto. Pääsy tästä.
PlatonHealth. Biotekniikan ja kliinisten kokeiden älykkyys. Pääsy tästä.
Lähde: https://quantum-journal.org/papers/q-2024-01-25-1234/

Aikaleima: Tammikuu 25, 2024

Aikaleima: Lokakuu 25, 2023

Äärimmäisen kvanttiteetin ortonormaalit perusteet

Julkaissut Platon

Abstrakti

Suosittu yhteenveto

► BibTeX-tiedot

► Viitteet

Viitattu

Lisää aiheesta Quantum Journal

Liukutettu korreloitu vähimmäispaino vastaa täydellisesti pintakoodia

Monikätiset kvanttirosvot: tutkiminen vastaan hyväksikäyttö kvanttitilojen ominaisuuksien oppimisessa

Mittauspohjaisen kvanttilangan luokittelu stabilisaattorissa PEPS

Quantum Monte Carlo -integraatio: Täysi etu piirin minimisyvyydestä

Parannetut DIQKD-protokollat äärellisen koon analyysillä

Kehittyvät kvanttitilasuunnittelut ja biunitaarisuus kaksoisyksikköpiirin dynamiikassa

Bias-räätälöidyt kvantti-LDPC-koodit

Tarkka ja tehokas Lanczos-menetelmä kvanttitietokoneella

Tarkoittaako kausaalinen dynamiikka paikallisia vuorovaikutuksia?

Gravitaatiovuorovaikutusten kvanttiluonteisuuden testeistä kvanttimekaniikan epälineaaristen korjausten läsnä ollessa

Tietoa Meistä

Pystysuuntainen haku ja Ai

foorumi

Pysy yhteydessä

Tili