Wenn Sie diesen Monat die Mathematiknachrichten verfolgt haben, wissen Sie, dass der 35-jährige Zahlentheoretiker James Maynard einen gewonnen hat Feldmedaille — die höchste Auszeichnung für einen Mathematiker. Maynard mag mathematische Fragen, die „einfach genug sind, um sie einem Highschool-Schüler zu erklären, aber schwer genug, um Mathematiker jahrhundertelang zu verblüffen“. Wie viel berichtet, und eine dieser einfachen Fragen lautet: Wenn Sie sich entlang der Zahlengeraden bewegen, muss es immer Primzahlen geben, die nahe beieinander liegen?
Sie haben vielleicht bemerkt, dass Mathematiker von Primzahlen besessen sind. Was zieht sie an? Vielleicht ist es die Tatsache, dass Primzahlen einige der grundlegendsten Strukturen und Geheimnisse der Mathematik verkörpern. Die Primzahlen bilden das Universum der Multiplikation ab, indem sie es uns ermöglichen, jede Zahl mit einer einzigartigen Faktorisierung zu klassifizieren und zu kategorisieren. Aber obwohl Menschen seit Anbeginn der Multiplikation mit Primzahlen spielen, sind wir uns immer noch nicht sicher, wo Primzahlen auftauchen werden, wie weit sie verteilt sind oder wie nahe sie sein müssen. Soweit wir wissen, folgen Primzahlen keinem einfachen Muster.
Unsere Faszination für diese grundlegenden Objekte hat zur Erfindung oder Entdeckung von Hunderten verschiedener Arten von Primzahlen geführt: Mersenne-Primzahlen (Primzahlen der Form 2n − 1), ausgeglichene Primzahlen (Primzahlen, die der Durchschnitt zweier benachbarter Primzahlen sind) und Sophie-Germain-Primzahlen (eine Primzahl p so dass 2p + 1 ist auch eine Primzahl), um nur einige zu nennen.
Das Interesse an diesen speziellen Primzahlen entstand aus dem Herumspielen mit Zahlen und dem Entdecken von etwas Neuem. Das gilt auch für „digital empfindliche Primzahlen“, eine kürzlich hinzugefügte Liste, die zu einigen überraschenden Ergebnissen bei den grundlegendsten Fragen geführt hat: Wie selten oder häufig können bestimmte Arten von Primzahlen sein?
Um diese Frage zu verstehen, beginnen wir mit einer der ersten faszinierenden Tatsachen, die ein aufstrebender Zahlenenthusiast erfährt: Es gibt unendlich viele Primzahlen. Euklid bewies dies vor 2,000 Jahren mit einem der berühmtesten Widerspruchsbeweise der gesamten Mathematikgeschichte. Er ging davon aus, dass es nur endlich viele Primzahlen gibt und stellte sich alle vor n davon in einer Liste:
$latexp_1, p_2, p_3, …, p_n$.
Dann hat er etwas Schlaues gemacht: Er hat sich die Zahl $latexq=p_1 mal p_2 mal p_3 mal … mal p_n+1$ überlegt.
Beachte das q kann nicht auf der Liste der Primzahlen stehen, weil es größer ist als alles auf der Liste. Wenn also eine endliche Liste von Primzahlen existiert, diese Zahl q kann nicht prim sein. Doch wenn q keine Primzahl ist, muss sie durch etwas anderes als sich selbst und 1 teilbar sein. Dies wiederum bedeutet, dass q muss durch eine Primzahl auf der Liste teilbar sein, aber wegen der Art und Weise q wird aufgebaut, geteilt q von allem auf der Liste bleibt ein Rest von 1. Also anscheinend q ist weder prim noch durch eine Primzahl teilbar, was ein Widerspruch ist, der sich aus der Annahme ergibt, dass es nur endlich viele Primzahlen gibt. Um diesen Widerspruch zu vermeiden, muss es also tatsächlich unendlich viele Primzahlen geben.
Angesichts der Tatsache, dass es unendlich viele davon gibt, könnte man meinen, dass Primzahlen aller Art leicht zu finden sind, aber eines der nächsten Dinge, die ein Primzahlendetektiv lernt, ist, wie weit die Primzahlen verteilt sein können. Ein einfaches Ergebnis über die Abstände zwischen aufeinanderfolgenden Primzahlen, genannt Primzahllücken, sagt etwas ziemlich Überraschendes aus.
Unter den ersten 10 Primzahlen – 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 und 29 – können Sie Lücken sehen, die aus einer oder mehreren zusammengesetzten Zahlen bestehen (Zahlen, die keine Primzahlen sind, wie 4, 12 oder 27). Sie können diese Lücken messen, indem Sie die zusammengesetzten Zahlen dazwischen zählen: Beispielsweise gibt es eine Lücke der Größe 0 zwischen 2 und 3, eine Lücke der Größe 1 sowohl zwischen 3 und 5 als auch zwischen 5 und 7, eine Lücke der Größe 3 zwischen 7 und 11, und so weiter. Die größte Primzahllücke auf dieser Liste besteht aus den fünf zusammengesetzten Zahlen – 24, 25, 26, 27 und 28 – zwischen 23 und 29.
Nun zum unglaublichen Ergebnis: Primzahllücken können beliebig lang sein. Das bedeutet, dass es aufeinanderfolgende Primzahlen gibt, die so weit voneinander entfernt sind, wie Sie sich vorstellen können. Vielleicht ebenso unglaublich ist, wie einfach diese Tatsache zu beweisen ist.
Oben haben wir bereits eine Primzahllücke der Länge 5. Könnte es eine der Länge 6 geben? Anstatt Listen von Primzahlen zu durchsuchen, in der Hoffnung, eine zu finden, bauen wir sie einfach selbst auf. Dazu verwenden wir die Fakultätsfunktion, die in einfachen Zählformeln verwendet wird: Per Definition ist $latexn!=n mal (n-1) mal (n-2) mal … mal 3 mal 2 mal 1$, also zum Beispiel $ latex3!=3mal 2mal 1 = 6$ und $latex5!=5mal 4mal 3mal 2mal 1=120$.
Lassen Sie uns jetzt unsere Hauptlücke bauen. Betrachten Sie die folgende Folge fortlaufender Nummern:
$Latex 7!+2$, $Latex7!+3$, $Latex 7!+4$, $Latex7!+5$, $Latex 7!+6$, $Latex 7!+7$.
Da $latex7!=7 mal 6 mal 5 mal 4 mal 3 mal 2 mal 1$ ist, ist die erste Zahl in unserer Folge, $latex7!+2$, durch 2 teilbar, was Sie nach ein wenig Faktorisieren sehen können:
$latex7!+2=7 mal 6 mal 5 mal 4 mal 3 mal 2 mal 1+2$
$latex= 2(7 mal 6 mal 5 mal 4 mal 3 mal 1+1)$.
Ebenso ist die zweite Zahl, $latex7!+3$, durch 3 teilbar, da
$latex7!+3=7 mal 6 mal 5 mal 4 mal 3 mal 2 mal 1+3$
$latex= 3(7 mal 6 mal 5 mal 4 mal 2 mal 1+1)$.
Ebenso 7! + 4 ist teilbar durch 4, 7! + 5 mal 5, 7! + 6 mal 6 und 7! + 7 mal 7, das macht 7! + 2, 7! + 3, 7! + 4, 7! + 5, 7! + 6, 7! + 7 eine Folge von sechs aufeinanderfolgenden zusammengesetzten Zahlen. Wir haben eine Primzahllücke von mindestens 6.
Diese Strategie lässt sich leicht verallgemeinern. Die Sequenz
$latexn!+2$, $latexn!+3$, $latexn!+4$, $latex…$, $latexn!+n$.
ist eine Folge von $latexn-1$ aufeinanderfolgenden zusammengesetzten Zahlen, was bedeutet, dass für alle n, gibt es eine Primzahllücke mit einer Länge von mindestens $latexn-1$. Dies zeigt, dass es beliebig lange Primzahllücken gibt, und so gibt es entlang der Liste der natürlichen Zahlen Stellen, an denen die nächsten Primzahlen 100 oder 1,000 oder sogar 1,000,000,000 Zahlen voneinander entfernt sind.
In diesen Ergebnissen ist eine klassische Spannung zu erkennen. Es gibt unendlich viele Primzahlen, aber aufeinanderfolgende Primzahlen können auch unendlich weit auseinander liegen. Außerdem gibt es unendlich viele aufeinanderfolgende Primzahlen, die dicht beieinander liegen. Vor etwa 10 Jahren löste die bahnbrechende Arbeit von Yitang Zhang einen Wettlauf aus, um die Lücke zu schließen und die Primzahlzwillingsvermutung zu beweisen, die besagt, dass es unendlich viele Primzahlpaare gibt, die sich nur um 2 unterscheiden. Die Primzahlzwillingsvermutung ist eine der größten berühmte offene Fragen in der Mathematik, und James Maynard hat seine eigenen bedeutenden Beiträge zum Beweis dieses schwer fassbaren Ergebnisses geleistet.
Diese Spannung ist auch in neueren Ergebnissen zu sogenannten digital sensitiven Primzahlen vorhanden. Um ein Gefühl dafür zu bekommen, was diese Zahlen sind und wo sie sein können oder nicht, nehmen Sie sich einen Moment Zeit, um über die folgende seltsame Frage nachzudenken: Gibt es eine zweistellige Primzahl, die immer zusammengesetzt wird, wenn sich ihre Einerziffer ändert?
Um ein Gefühl für digitale Delikatesse zu bekommen, spielen wir mit der Zahl 23 herum. Wir wissen, dass es sich um eine Primzahl handelt, aber was passiert, wenn Sie ihre Einerziffer ändern? Nun, 20, 22, 24, 26 und 28 sind alle gerade und daher zusammengesetzt; 21 ist durch 3 teilbar, 25 ist durch 5 teilbar und 27 ist durch 9 teilbar. So weit, so gut. Aber wenn Sie die Einerziffer in eine 9 ändern, erhalten Sie 29, was immer noch eine Primzahl ist. 23 ist also nicht die Art von Primzahl, nach der wir suchen.
Was ist mit 37? Wie wir oben gesehen haben, müssen wir uns nicht die Mühe machen, gerade Zahlen oder Zahlen, die auf 5 enden, zu prüfen, also prüfen wir einfach 31, 33 und 39. Da 31 auch eine Primzahl ist, funktioniert 37 auch nicht.
Gibt es eine solche Nummer überhaupt? Die Antwort ist ja, aber wir müssen bis 97 gehen, um sie zu finden: 97 ist eine Primzahl, aber 91 (teilbar durch 7), 93 (teilbar durch 3) und 99 (ebenfalls teilbar durch 3) sind alle zusammengesetzt , zusammen mit den geraden Zahlen und 95.
Eine Primzahl ist „empfindlich“, wenn Sie, wenn Sie eine ihrer Ziffern in etwas anderes ändern, ihre „Primzahl“ (oder Primzahl, um den Fachbegriff zu verwenden) verlieren. Bisher sehen wir, dass 97 in der Einerstelle heikel ist – da das Ändern dieser Ziffer immer eine zusammengesetzte Zahl ergibt – aber erfüllt 97 alle Kriterien, digital heikel zu sein? Die Antwort ist nein, denn wenn Sie die Zehnerziffer in 1 ändern, erhalten Sie 17, eine Primzahl. (Beachten Sie, dass 37, 47 und 67 ebenfalls alle Primzahlen sind.)
Tatsächlich gibt es keine zweistellige digital sensible Primzahl. Die folgende Tabelle mit allen zweistelligen Zahlen, wobei die zweistelligen Primzahlen schattiert sind, zeigt, warum.
Alle Zahlen in einer bestimmten Zeile haben dieselbe Zehnerstelle, und alle Zahlen in einer bestimmten Spalte haben dieselbe Einerstelle. Die Tatsache, dass 97 die einzige schattierte Zahl in ihrer Zeile ist, spiegelt die Tatsache wider, dass sie in der Einerstelle empfindlich ist, aber es ist nicht die einzige Primzahl in ihrer Spalte, was bedeutet, dass sie in der Zehnerstelle nicht empfindlich ist.
Eine digital heikle zweistellige Primzahl müsste die einzige Primzahl in ihrer Zeile und Spalte sein. Wie die Tabelle zeigt, existiert keine solche zweistellige Primzahl. Was ist mit einer digital heiklen dreistelligen Primzahl? Hier ist eine ähnliche Tabelle, die das Layout der dreistelligen Primzahlen zwischen 100 und 199 zeigt, wobei zusammengesetzte Zahlen weggelassen wurden.
Hier sehen wir, dass 113 in einer eigenen Zeile steht, was bedeutet, dass es in der Einerstelle heikel ist. Aber 113 steht nicht in einer eigenen Spalte, daher erzeugen einige Änderungen an der Zehnerziffer (wie 0 für 103 oder 6 für 163) Primzahlen. Da keine Zahl sowohl in einer eigenen Zeile als auch in einer eigenen Spalte erscheint, sehen wir schnell, dass es keine dreistellige Zahl gibt, die garantiert zusammengesetzt ist, wenn Sie ihre Einer- oder Zehnerstelle ändern. Das bedeutet, dass es keine dreistellige digital sensible Primzahl geben kann. Beachten Sie, dass wir nicht einmal die Hunderterstelle überprüft haben. Um wirklich digital empfindlich zu sein, müsste eine dreistellige Zahl Primzahlen in drei Richtungen in einer dreidimensionalen Tabelle vermeiden.
Gibt es überhaupt digital heikle Primzahlen? Je weiter Sie auf dem Zahlenstrahl nach außen gehen, desto spärlicher werden die Primzahlen, wodurch es weniger wahrscheinlich wird, dass sie sich in den Zeilen und Spalten dieser hochdimensionalen Tabellen kreuzen. Größere Zahlen haben jedoch mehr Ziffern, und jede zusätzliche Ziffer verringert die Wahrscheinlichkeit, dass eine Primzahl digital empfindlich ist.
Wenn Sie weitermachen, werden Sie feststellen, dass es digital heikle Primzahlen gibt. Der kleinste ist 294,001. Wenn Sie eine seiner Ziffern ändern, wird die Zahl, die Sie erhalten – beispielsweise 794,001 oder 284,001 – zusammengesetzt. Und es gibt noch mehr: Die nächsten paar sind 505,447; 584,141; 604,171; 971,767; und 1,062,599. Tatsächlich hören sie nicht auf. Der berühmte Mathematiker Paul Erdős hat bewiesen, dass es unendlich viele digital heikle Primzahlen gibt. Und das war nur das erste von vielen überraschenden Ergebnissen zu diesen merkwürdigen Zahlen.
Zum Beispiel hat Erdős nicht nur bewiesen, dass es unendlich viele digital heikle Primzahlen gibt: Er hat bewiesen, dass es unendlich viele digital heikle Primzahlen in jeder Basis gibt. Wenn Sie sich also entscheiden, Ihre Zahlen binär, ternär oder hexadezimal darzustellen, finden Sie immer noch garantiert unendlich viele digital heikle Primzahlen.
Und digital heikle Primzahlen sind nicht einfach unendlich: Sie machen einen Prozentsatz aller Primzahlen ungleich Null aus. Dies bedeutet, wenn Sie sich das Verhältnis der Anzahl der digital heiklen Primzahlen zur Anzahl der Primzahlen insgesamt ansehen, ist dieser Bruchteil um eine Zahl größer als Null. Technisch gesehen ist ein „positiver Anteil“ aller Primzahlen digital heikel, wie der Fields-Medaillengewinner Terence Tao 2010 bewiesen hat. Die Primzahlen selbst machen keinen positiven Anteil an allen Zahlen aus, da man immer weniger Primzahlen findet je weiter Sie auf der Zahlengeraden gehen. Unter diesen Primzahlen finden Sie jedoch weiterhin oft genug digital empfindliche Primzahlen, um das Verhältnis von empfindlichen Primzahlen zu den gesamten Primzahlen über Null zu halten.
Die vielleicht schockierendste Entdeckung war a Ergebnis von 2020 über eine neue Variation dieser seltsamen Zahlen. Indem sie das Konzept einer Ziffer lockerten, stellten sich Mathematiker die Darstellung einer Zahl neu vor: Anstatt an 97 für sich zu denken, stellten sie sich stattdessen vor, dass sie führende Nullen hat:
… 0000000097.
Jede führende Null kann als Ziffer betrachtet werden, und die Frage der digitalen Feinheit kann auf diese neuen Darstellungen ausgedehnt werden. Könnte es „weitgehend digital heikle Primzahlen“ geben – Primzahlen, die immer zusammengesetzt werden, wenn Sie eine der Ziffern ändern, einschließlich einer dieser führenden Nullen? Dank der Arbeit der Mathematiker Michael Filaseta und Jeremiah Southwick wissen wir, dass die Antwort überraschenderweise ja lautet. Es gibt nicht nur viele digital heikle Primzahlen, sondern unendlich viele davon.
Primzahlen bilden eine unendliche Reihe mathematischer Rätsel, mit denen Profis und Enthusiasten spielen können. Wir werden vielleicht nie alle ihre Geheimnisse lüften, aber Sie können sich darauf verlassen, dass Mathematiker ständig neue Arten von Primzahlen entdecken und erfinden, die es zu erforschen gilt.
Übungen
1. Was ist die größte Primzahllücke zwischen den Primzahlen von 2 bis 101?
2. Um zu beweisen, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, nimmt Euklid an, dass es endlich viele Primzahlen $latexp_1, p_2, p_3, …, p_n$ gibt, und zeigt dann, dass $latexq=p_1 mal p_2 mal p_3 mal … mal p_n+1$ ist nicht durch eine Primzahl auf der Liste teilbar. Bedeutet das nicht das q muss prim sein?
3. Ein berühmtes Ergebnis der Zahlentheorie ist, dass immer eine Primzahl dazwischen steht k und 2k (inklusive). Das ist schwer zu beweisen, aber es ist leicht zu beweisen, dass es immer eine Primzahl dazwischen gibt k und $latexq=p_1 mal p_2 mal p_3 mal … mal p_n+1$ (einschließlich), wobei $latexp_1, p_2, p_3, …, p_n$ alle Primzahlen kleiner oder gleich sind k. Beweise es.
4. Findest du die kleinste digital heikle Primzahl in den Einer- und Zehnerstellen? Das bedeutet, dass das Ändern der Einer- oder Zehnerstelle immer eine zusammengesetzte Zahl ergibt. (Möglicherweise möchten Sie dafür ein Computerprogramm schreiben!)
Herausforderung Problem: Können Sie die kleinste Primzahl finden, die digital heikel ist, wenn sie binär dargestellt wird? Erinnern Sie sich daran, dass in binär oder zur Basis 2 die einzigen Ziffern 0 und 1 sind und jeder Stellenwert eine Zweierpotenz darstellt. Zum Beispiel wird 2 als $latex8_1000$ dargestellt, da $latex 2=8 mal 1^2 + 3 mal 0^2 + 2 mal 0^2 + 1 mal 0^2$, und 0 in Basis 7 ist $latex2_111$, da $latex2=7 mal1^2 + 2 mal 1^2 + 1 mal 1^2$.
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Nein. Betrachten Sie die ersten sechs Primzahlen: 2, 3, 5, 7, 11 und 13. In diesem Fall die Zahl q wäre $latex 2 mal 3 mal 5 mal 7 mal 11 mal 13 + 1 = 30,031 $ . Dies ist nicht durch 2, 3, 5, 7, 11 oder 13 teilbar, aber es ist keine Primzahl: Es wird als $latex 30,031 = 59 mal 509$ faktorisiert. Beachten Sie, dass es Primfaktoren hat, aber sie sind alle größer als die ersten sechs Primzahlen.
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Wenn entweder k or q ist prime, wir sind fertig. Wenn q ist keine Primzahl, sondern zusammengesetzt, was bedeutet, dass sie durch eine Primzahl teilbar ist, aber wir wissen bereits, dass sie durch keine der ersten teilbar ist n Primzahlen. Sie muss also durch eine Primzahl teilbar sein, die größer ist als die erste n Primzahlen, und da dies alle Primzahlen kleiner als sind k, diese Primzahl muss größer sein als k. Aber diese Primzahl teilt q, also muss es kleiner sein als q, also muss eine Primzahl dazwischen stehen k und q.
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Die erste Primzahl, die diese Eigenschaft erfüllt, ist 2,459, da 2,451, 2,453 und 2,457 alle zusammengesetzt sind (und das Kriterium der feinen Einerstelle erfüllen) und 2,409, 2,419, 2,429, 2,439, 2,449, 2,469, 2,479, 2,489 und 2,499 alle zusammengesetzt sind das heikle Zehnerkriterium). Doch 2,459 ist digital nicht heikel, weil 2,659 eine Primzahl ist, also schlägt es fehl, sobald Sie anfangen, die Hunderterstelle zu berücksichtigen. (Dank an den Mathematiker John D. Cook für die Veröffentlichung seines digital heikler Python-Code zum Finden von Primzahlen.)
Klicken Sie hier, um das Herausforderungsproblem zu beantworten:
$latex127=1111111_2$ ist digital heikel, da $latex 126=1111110_2$, $latex125=1111101_2$, $latex123=1111011_2$, $latex119=1110111_2$, $latex111=1101111_2$, $latex95=1011111$2 =63_0111111$ sind alle zusammengesetzt.
