解读曼德尔布罗特集（数学著名的分形）的探索 |广达杂志

在 1980 世纪 XNUMX 年代中期，就像随身听录音机和扎染衬衫一样，曼德尔布洛特布景的虫子般的轮廓随处可见。

世界各地的学生都把它贴在宿舍墙上。数学家们收到了数百封来信，迫切要求打印这组数据。 （作为回应，他们中的一些人制作了目录，附有价格表；另一些人将其最引人注目的功能编入书籍中。）更多精通技术的粉丝可以转向 1985 年 XNUMX 月号的《 “科学美国人”。在封面上，曼德尔布罗特集展开在火热的卷须中，其边界燃烧着；里面有详细的编程说明，详细说明了读者如何为自己生成标志性图像。

到那时，这些卷须的影响范围也远远超出了数学，进入了日常生活中看似无关的角落。在接下来的几年内，曼德尔布罗特集将激发大卫·霍克尼的最新画作和几位音乐家的最新作品——巴赫风格的赋格曲作品。它出现在约翰·厄普代克的小说中，并指导文学评论家休·肯纳如何分析埃兹拉·庞德的诗歌。它后来成为迷幻幻觉和一部由科幻大师阿瑟·C·克拉克（Arthur C. Clarke）讲述的流行纪录片的主题。

曼德尔布罗特集是一种特殊的形状，具有分形轮廓。用电脑放大场景的锯齿状边界，你会看到海马的山谷、大象的游行、螺旋星系和神经元状的细丝。无论你探索得多么深入，你总会看到原始集合的近乎复制品——无限的、令人眼花缭乱的自相似性级联。

这种自相似性是詹姆斯·格莱克畅销书的核心要素 混沌，巩固了曼德尔布罗特集在流行文化中的地位。 “它蕴藏着各种各样的想法，”格莱克写道。 “一种现代艺术哲学，对数学实验新作用的证明，一种将复杂系统呈现给广大公众的方式。”

曼德尔布罗特集已经成为一种象征。它代表了对一种新的数学语言的需求，一种更好的方式来描述我们周围世界的分形本质。它说明了从最简单的规则中可以产生多么深刻的复杂性——就像生活本身一样。 （“因此，这是一条真正的希望信息，” 约翰·哈伯德最早研究该集合的数学家之一在 1989 年的一段视频中表示，“也许生物学真的可以像理解这些图片一样被理解。”）在曼德尔布罗特集合中，秩序与混乱和谐共存；决定论和自由意志是可以调和的。一位数学家回忆起青少年时期偶然发现的这个集合，并将其视为真理与虚假之间复杂界限的隐喻。

曼德尔布罗特集无处不在，直到它不再存在。

十年之内，它似乎消失了。数学家转向其他学科，公众转向其他符号。如今，在分形被发现仅仅 40 年之后，它已经成为一种陈词滥调，近乎庸俗。

但少数数学家拒绝放弃它。他们毕生致力于揭开曼德尔布罗特集的秘密。现在，他们认为自己终于即将真正理解它。

他们的故事是关于探索、实验的故事，也是关于技术如何塑造我们的思维方式以及我们对世界提出的问题的故事。

赏金猎人

2023 年 20 月，来自世界各地的 1800 名数学家聚集在曾经是丹麦军事研究基地的一座低矮砖房里。该基地建于 XNUMX 年代末，位于树林中央，隐藏在丹麦人口最多的岛屿西北海岸的一个峡湾中。入口处守卫着一艘旧鱼雷。墙上装饰着黑白照片，描绘了身穿制服的海军军官、码头上排列的船只以及正在进行的潜艇测试。三天来，一阵猛烈的风把窗外的海水吹成了白色的泡沫，大家坐在一起进行了一系列的讨论，其中大部分是来自纽约石溪大学的两位数学家： 米沙·柳比奇 和 迪玛·杜德科.

研讨会的观众中有一些是曼德尔布罗家族中最勇敢的探险家。靠近前排坐着 狮子仓光宏 京都大学的教授，他在 1990 世纪 XNUMX 年代证明了集合的边界是尽可能复杂的。多了几个座位 井能博之，他与 Shishikura 一起开发了研究 Mandelbrot 集合中特别引人注目的区域的重要技术。最后一行是 沃尔夫·荣格，Mandel 的创建者，Mandel 是数学家用于交互式研究 Mandelbrot 集的首选软件。出席的还有 阿诺·切里塔 图卢兹大学的 卡斯滕彼得森 罗斯基勒大学的教授（研讨会的组织者）以及其他几位为数学家理解曼德尔布罗特集做出了重大贡献的人。

白板上站着柳比奇（Lyubich），世界上该领域最重要的专家，以及杜德科（Dudko），他最亲密的合作者之一。与数学家一起 杰里米·卡恩（Jeremy Kahn） 和 亚历克斯·卡皮安巴，他们一直致力于证明一个关于曼德尔布罗特集几何结构的长期猜想。这种被称为 MLC 的猜想是数十年来描述分形特征、驯服其错综复杂的荒野的最后障碍。

通过构建和改进一套强大的工具，数学家们已经控制了“曼德尔布罗集合中几乎所有东西”的几何形状。 卡罗琳戴维斯 印第安纳大学——除了少数剩余病例。 “米沙、迪玛、杰里米和亚历克斯就像赏金猎人，试图追捕最后这些人。”

Lyubich 和 Dudko 在丹麦向其他数学家通报证明 MLC 的最新进展以及他们为此开发的技术。在过去的 20 年里，研究人员聚集在这里参加研讨会，致力于解析复分析领域的结果和方法，即对用于生成曼德尔布罗特集的数字和函数类型进行数学研究。

这是一个不寻常的设置：数学家们一起吃所有的饭菜，并一边喝着啤酒一边谈笑，直到凌晨。当他们最终决定睡觉时，他们就回到设施二楼共用的小房间里的双层床或婴儿床上。 （到达后，我们被告知从一堆床单和枕套中取出，带到楼上铺床。） 在某些年份，参加会议的人会勇敢地在冰冷的水中游泳；而在某些年份，参加会议的人会勇敢地在冰冷的水中游泳；而在某些年份，参加会议的人会勇敢地在冰冷的水中游泳。更多时候，他们在树林里漫步。但大多数情况下，除了数学之外没有什么可做的。

一位与会者告诉我，研讨会通常会吸引很多年轻的数学家。但这次情况并非如此——也许是因为那是学期中期，或者，他推测，是因为主题太难了。他承认，在那一刻，他对在这么多领域的伟人面前发表演讲感到有点害怕。

但考虑到复杂分析更广泛领域的大多数数学家不再直接研究 Mandelbrot 集，为什么要把整个研讨会专门用于 MLC？

曼德尔布罗特集不仅仅是一个分形，而且不仅仅是隐喻意义上的。它充当动力系统的一种主目录——一个点根据一个简单的规则在空间中移动的所有不同方式。为了理解这一主目录，人们必须穿越许多不同的数学领域。曼德尔布罗特集不仅与动力学密切相关，而且还与数论、拓扑、代数几何、群论甚至物理学密切相关。 “它以一种美妙的方式与数学的其他部分相互作用，”说 Sabyasachi Mukherjee 印度塔塔基础研究院院长。

为了在 MLC 方面取得进展，数学家必须开发一套复杂的技术——Chéritat 称之为“强大的哲学”。这些工具引起了广泛关注。如今，它们构成了更广泛的动力系统研究的核心支柱。事实证明，它们对于解决许多其他问题至关重要——这些问题与曼德尔布罗特集无关。他们将 MLC 从一个小众问题转变为该领域最深入、最重要的开放猜想之一。

柳比奇，可以说是最有责任将这种“哲学”塑造成目前形式的数学家，他站得笔直，说话轻声细语。当研讨会上的其他数学家接近他讨论一个概念或提出问题时，他闭上眼睛，聚精会神地听，浓密的眉毛皱起。他用俄罗斯口音小心翼翼地回答。

但他也很快就会发出响亮而温暖的笑声，并讲一些讽刺的笑话。他慷慨地投入时间并提供建议。柳比奇的前博士后之一、经常的合作者穆克吉说，他“确实培养了好几代数学家”。正如他所说，任何对复杂动力学研究感兴趣的人都会花一些时间在石溪向柳比奇学习。 “米沙对我们应该如何开展某个项目，或者下一步要关注什么有这样的愿景，”慕克吉说。 “他心里有这样一幅宏伟的图画。他很乐意与人们分享这一点。”

柳比奇第一次觉得他能够完整地看到这幅宏伟的图景。

冠军战士

曼德尔布罗特集以一个奖项开始。

1915 年，受函数研究最新进展的推动，法国科学院宣布举办一项竞赛：三年后，它将为迭代过程方面的工作提供 3,000 法郎的大奖——正是这个过程，然后生成曼德尔布罗特集。

迭代是规则的重复应用。将数字代入函数中，然后使用输出作为下一个输入。继续这样做，并观察随着时间的推移会发生什么。当你继续迭代你的函数时，你得到的数字可能会迅速上升到无穷大。或者它们可能会被拉向一个特定的数字，就像铁屑移向磁铁一样。或者最终在相同的两个数字、三个数字或一千个数字之间跳跃，在一个永远无法逃脱的稳定轨道上。或者毫无规律地从一个数字跳到另一个数字，遵循一条混乱、不可预测的路径。

法国科学院以及更广泛的数学家对迭代感兴趣还有另一个原因。这一过程在动力系统的研究中发挥了重要作用，例如行星绕太阳旋转或湍流的流动等系统，这些系统根据某些特定的规则随时间变化。

该奖项激励两位数学家开发一个全新的研究领域。

首先是皮埃尔·法图（Pierre Fatou），如果不是身体不好，他在另一世可能会成为一名海军（这是家庭传统）。他转而从事数学和天文学事业，到 1915 年，他已经证明了几项重要的分析结果。还有加斯顿·朱利亚（Gaston Julia），一位出生在法占阿尔及利亚的有前途的年轻数学家，他的学业因第一次世界大战和应征入伍而中断。 22 岁时，在开始服役后不久，他受了重伤——在医生无法修复损伤后，他的余生都用皮带绑在脸上——他回到了数学领域，做了一些工作他在病床上提交的奥斯卡奖作品。

该奖项激励 Fatou 和 Julia 研究迭代函数时会发生什么。他们独立工作，但最终得出了非常相似的发现。他们的结果有太多重叠，以至于即使现在，如何分配功劳也并不总是很清楚。 （朱莉娅比较外向，因此受到了更多关注。他最终获奖了；法图甚至没有申请。）由于这项工作，两人现在被认为是复杂动力学领域的创始人。

“复数”是因为 Fatou 和 Julia 迭代了复数的函数——将熟悉的实数与所谓的虚数（复数的倍数）结合起来的数字。 i，数学家用来表示 -1) 的平方根的符号。虽然实数可以布置为线上的点，但复数可以可视化为平面上的点，如下所示：

Fatou 和 Julia 发现，迭代甚至简单的复杂函数（这不是数学领域的悖论！）也可能导致丰富而复杂的行为，具体取决于您的起点。他们开始记录这些行为，并以几何形式表示它们。

但随后他们的作品在半个世纪的时间里逐渐默默无闻。 “人们甚至不知道要寻找什么。他们甚至不知道要问什么问题，”说 阿图尔·阿维拉（Artur Avila），苏黎世大学教授。

当计算机图形学在 1970 世纪 XNUMX 年代成熟时，这种情况发生了变化。

那时，数学家伯努瓦·曼德尔布罗 (Benoît Mandelbrot) 已获得学术业余爱好者的声誉。在纽约市北部的 IBM 研究中心工作期间，他涉足了从经济学到天文学的许多不同领域。 1974 年，当他被任命为 IBM 院士时，他拥有了更多的自由来追求独立项目。他决定利用该中心强大的计算能力来将复杂的动态从休眠状态中唤醒。

起初，曼德尔布罗特使用计算机生成法图和朱莉娅研究过的各种形状。这些图像编码了有关起始点何时、迭代时会逃逸到无穷大以及何时会陷入某种其他模式的信息。 Fatou 和 Julia 60 年前的画作看起来像是一簇簇的圆形和三角形，但 Mandelbrot 制作的计算机生成的图像看起来像龙和蝴蝶、兔子和大教堂、花椰菜头，有时甚至是不连贯的尘埃云。那时，曼德尔布罗特已经创造了“分形”这个词来形容在不同尺度上看起来相似的形状；这个词唤起了一种新的几何学的概念——某种支离破碎、碎片化或破碎的几何学。

出现在他的电脑屏幕上的图像（今天被称为朱莉娅集）是曼德尔布罗特见过的最美丽、最复杂的分形示例之一。

Fatou 和 Julia 的工作分别集中于这些集合（及其相应函数）的几何和动力学。但计算机为曼德尔布罗特提供了一种同时思考整个函数系列的方法。他可以将所有这些编码到以他的名字命名的图像中，尽管他是否真的是第一个发现它的人仍然存在争议。

曼德尔布罗特集处理最简单的方程，但在迭代时仍然会产生一些有趣的结果。这些是形式的二次函数 f(z）= z² + c。固定一个值 c ——它可以是任何复数。如果您从以下位置开始迭代方程 z = 0 并发现您生成的数字仍然很小（或者像数学家所说的那样有界），然后 c 位于曼德尔布罗特集中。另一方面，如果您迭代并发现最终您的数字开始向无穷大增长，那么 c 不在 Mandelbrot 集中。

很容易表明 c 集合中接近于零。同样可以简单地表明 c 不是。但复数名副其实：集合的边界极其复杂。没有明显的理由改变 c 微小的量应该会导致你不断跨越边界，但当你放大它时，就会出现无穷无尽的细节。

此外，Mandelbrot 集的作用就像 Julia 集的映射，如下面的交互图所示。选择一个值为 c 在曼德尔布罗特集中。相应的 Julia 集将被连接。但如果离开Mandelbrot集，那么对应的Julia集就会断尘。