基于可分离态优化的量子 Wasserstein 距离

基于可分离态优化的量子 Wasserstein 距离

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盖萨·托特1,2,3,4,5 和约瑟夫·皮特里克5,6,7

1巴斯克大学理论物理学 UPV/EHU,ES-48080 毕尔巴鄂,西班牙
2EHU Quantum Center, University of the Basque Country UPV/EHU, Barrio Sarriena s/n, ES-48940 Leioa, Biscay, 西班牙
3Donostia 国际物理中心 (DIPC),ES-20080 西班牙圣塞瓦斯蒂安
4IKERBASQUE,巴斯克科学基金会,ES-48011 毕尔巴鄂,西班牙
5固体物理和光学研究所,维格纳物理研究中心,HU-1525 布达佩斯,匈牙利
6阿尔弗雷德·雷尼数学研究所,Reáltanoda u。 13-15., HU-1053 布达佩斯, 匈牙利
7布达佩斯技术经济大学数学研究所分析与运筹学系,Müegyetem rkp。 3., HU-1111 布达佩斯, 匈牙利

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抽象

我们定义了量子 Wasserstein 距离,以便在二分可分离态而不是一般的二分量子态上进行耦合优化,并检查其性质。 令人惊讶的是,我们发现自距离与量子费希尔信息有关。 我们提出了与最佳二分可分离状态相对应的传输图。 我们讨论引入的量子 Wasserstein 距离如何与检测量子纠缠的标准联系起来。 我们定义了类方差量,可以通过用最大化代替量子态的最小化来从量子 Wasserstein 距离获得。 我们将结果扩展到一系列广义量子费希尔信息量。

在日常生活中,两个城市的距离告诉我们从一个城市到另一个城市需要行驶多少公里。 还可以通过测量旅途中的燃料消耗来描述我们从一个城市到另一个城市的便捷程度。 后者信息量更大,因为它反映了与道路地形相关的旅行成本,即它对基础指标敏感。 接下来,让我们想象一下,我们需要将一堆沙子从一个地方移动到另一个地方,新的沙堆可能具有不同的形状。 在这种情况下,我们可以再次用运输成本来描述移动沙子的工作量。

距离在数学、物理和工程学中起着核心作用。 概率和统计学的一个基本问题是提出两个概率分布之间距离的有用度量。 不幸的是,概率分布之间的许多距离概念,例如 p(x) 和 q(x),如果它们彼此不重叠,则它们是最大的,即,当另一个不为零时,一个始终为零。 这对于许多应用来说是不切实际的。 例如,回到沙子的类比,两堆不重叠的沙子似乎彼此距离相等,无论它们的距离是 10 公里还是 100 公里。 最优传输理论是一种构建概率分布之间距离的替代概念的方法,即所谓的 Wasserstein 距离。 即使分布彼此不重叠,它也可以是非最大的,它对基础指标(即传输成本)很敏感,本质上,它表达了我们将一个分布转移到另一个分布所需的努力,就好像它们是沙丘一样。

最近,量子 Wasserstein 距离被定义为推广经典 Wasserstein 距离。 它基于二分量子系统的量子态上成本函数的最小化。 它具有类似于上面提到的量子世界中的性质。 对于正交态,它可以是非极大值,例如,当我们需要将量子数据教授给算法时,这很有用。

正如我们所预料的,量子 Wasserstein 距离还具有与其经典对应物非常不同的属性。 例如,当我们测量量子态与其自身的距离时,它可以是非零的。 虽然这已经令人费解,但人们还发现,自距离与 Wigner-Yanase 偏斜信息有关,该信息由诺贝尔奖获得者 EP Wigner 于 1963 年提出,他对量子物理学和 MM Yanase 的基础做出了重要贡献。

在我们的论文中,我们从另一个方向看待这个神秘的发现。 我们将上述最小化限制为所谓的可分离状态。 这些是不包含纠缠的量子态。 我们发现自距离成为量子费希尔信息,这是量子计量学和量子估计理论的核心量,并出现在例如著名的克拉默-饶界中。 通过研究这种瓦瑟斯坦距离的性质,我们的工作为将量子瓦瑟斯坦距离理论与量子纠缠理论联系起来铺平了道路。

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被引用

[1] Laurent Lafleche,“量子最优传输和弱拓扑”, 的arXiv:2306.12944, (2023).

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