مینڈیل بروٹ سیٹ کو ڈی کوڈ کرنے کی جستجو، ریاضی کا مشہور فریکٹل | کوانٹا میگزین

1980 کی دہائی کے وسط میں، واک مین کیسٹ پلیئرز اور ٹائی رنگی قمیضوں کی طرح، مینڈل بروٹ سیٹ کی بگ نما سلائیٹ ہر جگہ موجود تھی۔

طلباء نے اسے دنیا بھر میں چھاترالی کمرے کی دیواروں پر پلستر کیا۔ ریاضی دانوں کو سیکڑوں خطوط موصول ہوئے، سیٹ کے پرنٹ آؤٹ کے لیے بے چین درخواستیں۔ (جواب میں، ان میں سے کچھ نے کیٹلاگ تیار کیے، قیمتوں کی فہرستوں کے ساتھ مکمل؛ دوسروں نے اس کی سب سے نمایاں خصوصیات کو کتابوں میں مرتب کیا۔) مزید ٹیک سیوی شائقین اگست 1985 کے شمارے کی طرف رجوع کر سکتے ہیں۔ سائنسی امریکی. اس کے سرورق پر، مینڈل بروٹ سیٹ آگ کے شعلوں میں کھلا، اس کی سرحد پر آگ لگ گئی۔ اس کے اندر محتاط پروگرامنگ ہدایات تھیں، جس میں یہ بتایا گیا تھا کہ قارئین اپنے لیے مشہور تصویر کیسے بنا سکتے ہیں۔

اس وقت تک، ان ٹینڈرلز نے بھی اپنی پہنچ کو ریاضی سے بہت آگے بڑھا دیا تھا، روزمرہ کی زندگی کے بظاہر غیر متعلقہ گوشوں میں۔ اگلے چند سالوں کے اندر، مینڈل بروٹ سیٹ ڈیوڈ ہاکنی کی تازہ ترین پینٹنگز اور کئی موسیقاروں کی تازہ ترین کمپوزیشنز کو متاثر کرے گا - باخ کے انداز میں فیوگولائیک ٹکڑے۔ یہ جان اپڈائیک کے افسانوں کے صفحات میں ظاہر ہوگا، اور رہنمائی کرے گا کہ ادبی نقاد ہیو کینر نے ایزرا پاؤنڈ کی شاعری کا تجزیہ کیسے کیا۔ یہ نفسیاتی فریب کا موضوع بن جائے گا، اور ایک مشہور دستاویزی فلم کا جسے سائنس فائی کے عظیم آرتھر سی کلارک نے بیان کیا ہے۔

مینڈیل بروٹ سیٹ ایک خاص شکل ہے، جس میں فریکٹل آؤٹ لائن ہے۔ سیٹ کی دبیز باؤنڈری کو زوم ان کرنے کے لیے کمپیوٹر کا استعمال کریں، اور آپ کو سمندری گھوڑوں کی وادیوں اور ہاتھیوں کی پریڈ، سرپل کہکشاؤں اور نیوران نما فلامینٹس کا سامنا کرنا پڑے گا۔ اس سے کوئی فرق نہیں پڑتا ہے کہ آپ کتنی ہی گہرائی میں تلاش کریں گے، آپ کو ہمیشہ اصل سیٹ کی قریب قریب کاپیاں نظر آئیں گی - ایک لامحدود، خود سے مماثلت کا چکرا دینے والا جھرن۔

یہ خود مماثلت جیمز گلیک کی سب سے زیادہ فروخت ہونے والی کتاب کا بنیادی عنصر تھا۔ افراتفری، جس نے مقبول ثقافت میں مینڈل بروٹ سیٹ کی جگہ کو مستحکم کیا۔ گلیک نے لکھا، "اس میں خیالات کی ایک کائنات تھی۔ "آرٹ کا ایک جدید فلسفہ، ریاضی میں تجربات کے نئے کردار کا جواز، پیچیدہ نظاموں کو ایک بڑی عوام کے سامنے لانے کا ایک طریقہ۔"

مینڈیل بروٹ سیٹ ایک علامت بن گیا تھا۔ اس نے ایک نئی ریاضی کی زبان کی ضرورت کی نمائندگی کی، جو ہمارے ارد گرد کی دنیا کی فریکٹل نوعیت کو بیان کرنے کا ایک بہتر طریقہ ہے۔ اس نے واضح کیا کہ سادہ ترین اصولوں سے کتنی گہری پیچیدگی ابھر سکتی ہے - بالکل زندگی کی طرح۔ ("لہذا یہ امید کا حقیقی پیغام ہے،" جان ہبرڈسیٹ کا مطالعہ کرنے والے پہلے ریاضی دانوں میں سے ایک نے 1989 کی ایک ویڈیو میں کہا، "ممکنہ طور پر حیاتیات کو واقعی اسی طرح سمجھا جا سکتا ہے جس طرح ان تصویروں کو سمجھا جا سکتا ہے۔") مینڈل بروٹ سیٹ میں ترتیب اور افراتفری میں ہم آہنگی رہتی تھی۔ عزم اور آزاد مرضی کے درمیان صلح ہو سکتی ہے۔ ایک ریاضی دان نے نوعمری میں سیٹ پر ٹھوکریں کھانے کو یاد کیا اور اسے سچ اور جھوٹ کے درمیان پیچیدہ حد کے استعارے کے طور پر دیکھا۔

مینڈیل بروٹ سیٹ ہر جگہ موجود تھا، جب تک کہ یہ نہیں تھا۔

ایک دہائی کے اندر، یہ غائب ہو گیا تھا. ریاضی دان دوسرے مضامین کی طرف بڑھے، اور عوام دوسری علامتوں کی طرف چلے گئے۔ آج، اپنی دریافت کے صرف 40 سال بعد، فریکٹل ایک کلیچ، بارڈر لائن کٹش بن گیا ہے۔

لیکن مٹھی بھر ریاضی دانوں نے اسے جانے دینے سے انکار کر دیا ہے۔ انہوں نے مینڈل بروٹ سیٹ کے رازوں سے پردہ اٹھانے کے لیے اپنی زندگیاں وقف کر دی ہیں۔ اب، وہ سوچتے ہیں کہ وہ آخر کار اسے صحیح معنوں میں سمجھنے کے راستے پر ہیں۔

ان کی کہانی ایک ریسرچ، تجربات کی ہے — اور یہ کہ ٹیکنالوجی ہمارے سوچنے کے انداز کو کس طرح تشکیل دیتی ہے، اور جو سوالات ہم دنیا کے بارے میں پوچھتے ہیں۔

دی باؤنٹی ہنٹرز

اکتوبر 2023 میں، دنیا بھر سے 20 ریاضی دان اینٹوں کی ایک عمارت میں جمع ہوئے جو کبھی ڈنمارک کا فوجی تحقیقی اڈہ تھا۔ یہ اڈہ، جو 1800 کی دہائی کے آخر میں جنگل کے وسط میں بنایا گیا تھا، ڈنمارک کے سب سے زیادہ آبادی والے جزیرے کے شمال مغربی ساحل پر ایک fjord پر ٹک گیا تھا۔ ایک پرانا تارپیڈو داخلی دروازے پر پہرہ دے رہا تھا۔ بلیک اینڈ وائٹ تصاویر، جس میں بحریہ کے افسران کو یونیفارم میں دکھایا گیا ہے، ایک گودی پر قطار میں کھڑی کشتیاں، اور آبدوز کے ٹیسٹ جاری ہیں، دیواروں کی زینت ہیں۔ تین دن تک، جب ایک تیز ہوا نے کھڑکیوں کے باہر پانی کو جھاگ دار سفید کیپوں میں بدل دیا، گروپ ایک سلسلہ وار بات چیت کرتا رہا، جن میں سے زیادہ تر نیویارک کی اسٹونی بروک یونیورسٹی کے دو ریاضی دانوں نے: میشا لیوبیچ اور دیما دودکو.

ورکشاپ کے سامعین میں مینڈل بروٹ سیٹ کے کچھ انتہائی نڈر ایکسپلورر تھے۔ سامنے کے پاس بیٹھ گیا۔ Mitsuhiro Shishikura کیوٹو یونیورسٹی کے، جنہوں نے 1990 کی دہائی میں ثابت کیا کہ سیٹ کی باؤنڈری اتنی ہی پیچیدہ ہے جتنی کہ یہ ہو سکتی ہے۔ چند نشستیں ختم ہوئیں Hiroyuki Inouجس نے شیشیکورا کے ساتھ مل کر مینڈیل بروٹ سیٹ کے خاص طور پر ہائی پروفائل علاقے کا مطالعہ کرنے کے لیے اہم تکنیک تیار کی۔ آخری صف میں تھا۔ ولف جنگمینڈیل کے خالق، مینڈیل بروٹ سیٹ کی انٹرایکٹو تحقیقات کے لیے ریاضی دانوں کا سافٹ ویئر۔ بھی موجود تھے۔ ارناؤڈ چیریٹیٹ ٹولوس یونیورسٹی کے، کارسٹن پیٹرسن Roskilde یونیورسٹی (جس نے ورکشاپ کا اہتمام کیا)، اور کئی دوسرے جنہوں نے ریاضی دانوں کی مینڈیل بروٹ سیٹ کو سمجھنے میں اہم کردار ادا کیا تھا۔

اور وائٹ بورڈ پر اس موضوع پر دنیا کے سب سے بڑے ماہر لیوبیچ اور ان کے قریبی ساتھیوں میں سے ایک ڈڈکو کھڑے تھے۔ ریاضی دانوں کے ساتھ مل کر جیریمی کاہن اور الیکس کپیامبا، وہ مینڈل بروٹ سیٹ کی ہندسی ساخت کے بارے میں ایک دیرینہ قیاس کو ثابت کرنے کے لیے کام کر رہے ہیں۔ وہ قیاس، جسے MLC کہا جاتا ہے، فریکٹل کو نمایاں کرنے، اس کے الجھے ہوئے بیابان کو قابو کرنے کی دہائیوں سے جاری جدوجہد میں آخری رکاوٹ ہے۔

ٹولز کا ایک طاقتور سیٹ بنا کر اور تیز کر کے، ریاضی دانوں نے "مینڈیل بروٹ سیٹ میں تقریباً ہر چیز" کی جیومیٹری پر قابو پالیا ہے۔ کیرولین ڈیوس انڈیانا یونیورسٹی - سوائے چند باقی کیسز کے۔ "میشا اور دیما اور جیریمی اور الیکس فضل شکاریوں کی طرح ہیں، ان آخری لوگوں کو تلاش کرنے کی کوشش کر رہے ہیں۔"

لیوبیچ اور ڈڈکو دیگر ریاضی دانوں کو MLC ثابت کرنے کی طرف حالیہ پیشرفت، اور ان تکنیکوں کی تازہ کاری کرنے کے لیے ڈنمارک میں تھے جو انھوں نے ایسا کرنے کے لیے تیار کی تھیں۔ پچھلے 20 سالوں سے، محققین پیچیدہ تجزیہ کے میدان میں نتائج اور طریقوں کو کھولنے کے لیے وقف ورکشاپس کے لیے یہاں جمع ہوئے ہیں، مینڈیل بروٹ سیٹ بنانے کے لیے استعمال ہونے والے اعداد اور افعال کی اقسام کا ریاضیاتی مطالعہ۔

یہ ایک غیر معمولی سیٹ اپ تھا: ریاضی دانوں نے اپنا سارا کھانا ایک ساتھ کھایا، اور صبح کے اوقات میں بیئر پر بات کرتے اور ہنستے رہے۔ جب آخر کار انہوں نے سونے کا فیصلہ کیا، تو وہ سہولت کی دوسری منزل پر مشترکہ چھوٹے کمروں میں بستروں یا چارپائیوں پر ریٹائر ہو گئے۔ (ہماری آمد پر، ہم سے کہا گیا کہ ایک ڈھیر سے چادریں اور تکیے کو پکڑیں ​​اور اپنے بستر بنانے کے لیے اوپر لے جائیں۔) کچھ سالوں میں، کانفرنس میں جانے والوں نے ٹھنڈے پانی میں تیرنے کی بہادری کی۔ اکثر، وہ جنگل میں گھومتے ہیں۔ لیکن زیادہ تر حصے کے لئے، ریاضی کے علاوہ کچھ نہیں کرنا ہے۔

عام طور پر، حاضرین میں سے ایک نے مجھے بتایا، ورکشاپ بہت سے نوجوان ریاضی دانوں کو راغب کرتی ہے۔ لیکن اس بار ایسا نہیں تھا - شاید اس لیے کہ یہ سمسٹر کا وسط تھا، یا، اس نے قیاس کیا، اس لیے کہ موضوع کتنا مشکل تھا۔ اس نے اعتراف کیا کہ اس وقت، وہ فیلڈ کے بہت سارے عظیم لوگوں کے سامنے تقریر کرنے کے امکان کے بارے میں تھوڑا سا خوف زدہ تھا۔

لیکن یہ دیکھتے ہوئے کہ پیچیدہ تجزیہ کے وسیع علاقے میں زیادہ تر ریاضی دان اب مینڈل بروٹ سیٹ پر براہ راست کام نہیں کر رہے ہیں، کیوں ایک پوری ورکشاپ MLC کو وقف کریں؟

مینڈیل بروٹ سیٹ ایک فریکٹل سے زیادہ ہے، اور نہ صرف ایک استعاراتی معنی میں۔ یہ ڈائنامیکل سسٹمز کے ماسٹر کیٹلاگ کی ایک قسم کے طور پر کام کرتا ہے - تمام مختلف طریقوں میں سے ایک سادہ اصول کے مطابق ایک نقطہ خلا میں منتقل ہو سکتا ہے۔ اس ماسٹر کیٹلاگ کو سمجھنے کے لیے، آپ کو بہت سے مختلف ریاضیاتی مناظر کو عبور کرنا ہوگا۔ مینڈیل بروٹ سیٹ کا گہرا تعلق نہ صرف ڈائنامکس سے ہے بلکہ نمبر تھیوری، ٹوپولوجی، الجبری جیومیٹری، گروپ تھیوری اور یہاں تک کہ فزکس سے بھی ہے۔ "یہ باقی ریاضی کے ساتھ ایک خوبصورت انداز میں بات چیت کرتا ہے،" کہا سبزیشاکی مکھرجی بھارت میں ٹاٹا انسٹی ٹیوٹ آف فنڈامینٹل ریسرچ کا۔

MLC پر پیشرفت کرنے کے لیے، ریاضی دانوں کو تکنیکوں کا ایک نفیس سیٹ تیار کرنا پڑا - جسے چیریٹیٹ "ایک طاقتور فلسفہ" کہتے ہیں۔ ان آلات نے بہت زیادہ توجہ حاصل کی ہے۔ آج، وہ زیادہ وسیع پیمانے پر متحرک نظاموں کے مطالعہ میں ایک مرکزی ستون کی حیثیت رکھتے ہیں۔ وہ بہت سے دوسرے مسائل کو حل کرنے کے لیے اہم ثابت ہوئے ہیں — ایسے مسائل جن کا مینڈیل بروٹ سیٹ سے کوئی تعلق نہیں ہے۔ اور انہوں نے MLC کو ایک مخصوص سوال سے میدان کے سب سے گہرے اور اہم کھلے قیاسات میں سے ایک میں تبدیل کر دیا ہے۔

اس "فلسفے" کو اس کی موجودہ شکل میں ڈھالنے کا سب سے زیادہ ذمہ دار ریاضی دان لیوبیچ، لمبا اور سیدھا کھڑا ہے، اور خاموشی سے بولتا ہے۔ جب ورکشاپ میں دوسرے ریاضی دان کسی تصور پر بات کرنے یا کوئی سوال پوچھنے کے لیے اس کے پاس آتے ہیں، تو وہ آنکھیں بند کر کے توجہ سے سنتا ہے، اس کی گھنی بھنویں جھلکتی ہیں۔ وہ روسی لہجے میں احتیاط سے جواب دیتا ہے۔

لیکن وہ اونچی آواز میں، گرم قہقہوں میں ٹوٹنے اور چٹکلے لطیفے بنانے میں بھی جلدی کرتا ہے۔ وہ اپنے وقت اور مشورے کے ساتھ فراخ دل ہے۔ لیوبیچ کے سابق پوسٹ ڈاکس میں سے ایک اور اکثر ساتھی رہنے والے مکھرجی نے کہا کہ اس نے "واقعی ریاضی دانوں کی چند نسلوں کی پرورش کی ہے۔" جیسا کہ وہ بتاتا ہے، پیچیدہ حرکیات کے مطالعہ میں دلچسپی رکھنے والا کوئی بھی شخص اسٹونی بروک میں Lyubich سے سیکھنے میں کچھ وقت گزارتا ہے۔ مکھرجی نے کہا، "میشا کا یہ وژن ہے کہ ہمیں کسی خاص پروجیکٹ کے بارے میں کیسے جانا چاہئے، یا آگے کیا دیکھنا ہے،" مکھرجی نے کہا۔ "اس کے ذہن میں یہ عظیم الشان تصویر ہے۔ اور وہ اسے لوگوں کے ساتھ بانٹ کر خوش ہوتا ہے۔

پہلی بار، لیوبیچ محسوس کرتا ہے کہ وہ اس عظیم تصویر کو مکمل طور پر دیکھ سکتا ہے۔

پرائز فائٹرز

مینڈل بروٹ سیٹ کا آغاز انعام کے ساتھ ہوا۔

1915 میں، فنکشنز کے مطالعہ میں حالیہ پیش رفت سے حوصلہ افزائی کرتے ہوئے، فرانسیسی اکیڈمی آف سائنسز نے ایک مقابلے کا اعلان کیا: تین سال کے عرصے میں، یہ تکرار کے عمل پر کام کرنے کے لیے 3,000 فرانک کا عظیم الشان انعام پیش کرے گا۔ بعد میں مینڈیل بروٹ سیٹ تیار کریں۔

تکرار ایک اصول کا بار بار اطلاق ہوتا ہے۔ کسی فنکشن میں نمبر لگائیں، پھر آؤٹ پٹ کو اپنے اگلے ان پٹ کے طور پر استعمال کریں۔ ایسا کرتے رہیں، اور مشاہدہ کریں کہ وقت کے ساتھ کیا ہوتا ہے۔ جیسا کہ آپ اپنے فنکشن کو دہراتے رہتے ہیں، آپ کو ملنے والے نمبر تیزی سے لامحدودیت کی طرف بڑھ سکتے ہیں۔ یا انہیں خاص طور پر ایک نمبر کی طرف کھینچا جا سکتا ہے، جیسے لوہے کی فائلنگ مقناطیس کی طرف بڑھ رہی ہے۔ یا ایک ہی دو نمبروں، یا تین، یا ایک ہزار کے درمیان ایک مستحکم مدار میں اچھالنا ختم ہو جائے گا جہاں سے وہ کبھی نہیں نکل سکتے۔ یا کسی انتشار، غیر متوقع راستے پر چلتے ہوئے بغیر کسی نظم یا وجہ کے ایک نمبر سے دوسرے نمبر پر جائیں۔

فرانسیسی اکیڈمی، اور بڑے پیمانے پر ریاضی دانوں کے پاس تکرار میں دلچسپی لینے کی ایک اور وجہ تھی۔ اس عمل نے متحرک نظاموں کے مطالعہ میں ایک اہم کردار ادا کیا - نظام جیسے سورج کے گرد سیاروں کی گردش یا ہنگامہ خیز ندی کا بہاؤ، ایسے نظام جو وقت کے ساتھ ساتھ کچھ مخصوص اصولوں کے مطابق بدلتے رہتے ہیں۔

اس انعام نے دو ریاضی دانوں کو مطالعہ کا ایک بالکل نیا شعبہ تیار کرنے کی ترغیب دی۔

سب سے پہلے پیئر فیتو تھے، جو کسی اور زندگی میں بحریہ کے آدمی (ایک خاندانی روایت) ہو سکتے تھے، اگر ان کی صحت خراب نہ ہوتی۔ اس کے بجائے اس نے ریاضی اور فلکیات میں اپنا کیریئر شروع کیا، اور 1915 تک اس نے پہلے ہی تجزیہ میں کئی بڑے نتائج ثابت کر دیے۔ اس کے بعد گیسٹن جولیا ایک ہونہار نوجوان ریاضی دان تھا جو فرانسیسی مقبوضہ الجزائر میں پیدا ہوا تھا جس کی تعلیم پہلی جنگ عظیم اور فرانسیسی فوج میں بھرتی ہونے کی وجہ سے متاثر ہوئی تھی۔ 22 سال کی عمر میں، اپنی سروس شروع کرنے کے فوراً بعد شدید چوٹ کا شکار ہونے کے بعد - وہ ساری زندگی اپنے چہرے پر چمڑے کا پٹا باندھے رہیں گے، جب ڈاکٹر اس نقصان کو ٹھیک نہیں کر پا رہے تھے - وہ ریاضی میں واپس آیا، وہ کام جو وہ ہسپتال کے بستر سے اکیڈمی کے انعام کے لیے جمع کرائے گا۔

انعام نے فاتو اور جولیا دونوں کو یہ مطالعہ کرنے کی ترغیب دی کہ جب آپ افعال کو دہراتے ہیں تو کیا ہوتا ہے۔ انہوں نے آزادانہ طور پر کام کیا، لیکن اس سے ملتی جلتی دریافتیں ہوئیں۔ ان کے نتائج میں اتنا اوورلیپ تھا کہ اب بھی، یہ ہمیشہ واضح نہیں ہوتا ہے کہ کریڈٹ کیسے تفویض کیا جائے۔ (جولیا زیادہ باہر جانے والی تھی، اور اس وجہ سے اسے زیادہ توجہ ملی۔ اس نے انعام جیت لیا؛ فاتو نے درخواست بھی نہیں دی۔) اس کام کی وجہ سے، دونوں کو اب پیچیدہ حرکیات کے میدان کا بانی سمجھا جاتا ہے۔

"پیچیدہ"، کیونکہ فاتو اور جولیا نے پیچیدہ اعداد کے افعال کو دہرایا - ایسے اعداد جو ایک مانوس حقیقی نمبر کو نام نہاد خیالی نمبر کے ساتھ جوڑتے ہیں (ایک کثیر i، علامت ریاضی دان −1 کے مربع جڑ کو ظاہر کرنے کے لیے استعمال کرتے ہیں)۔ جبکہ حقیقی اعداد کو ایک لائن پر پوائنٹس کے طور پر رکھا جا سکتا ہے، پیچیدہ نمبروں کو ہوائی جہاز پر پوائنٹس کے طور پر دیکھا جاتا ہے، جیسے:

فاتو اور جولیا نے پایا کہ سادہ پیچیدہ افعال کو دہرانا (ریاضی کے دائرے میں کوئی تضاد نہیں!) آپ کے نقطہ آغاز کے لحاظ سے امیر اور پیچیدہ طرز عمل کا باعث بن سکتا ہے۔ انہوں نے ان طرز عمل کو دستاویز کرنا شروع کیا، اور ہندسی طور پر ان کی نمائندگی کرنا شروع کیا۔

لیکن پھر ان کا کام نصف صدی تک دھندلا ہوا رہا۔ "لوگ یہ بھی نہیں جانتے تھے کہ کیا تلاش کرنا ہے۔ وہ اس بات پر محدود تھے کہ کون سے سوالات پوچھیں،" کہا آرتر اویلا۔زیورخ یونیورسٹی کے پروفیسر۔

1970 کی دہائی میں جب کمپیوٹر گرافکس کی عمر آئی تو یہ بدل گیا۔

اس وقت تک، ریاضی دان بینوئٹ مینڈل بروٹ نے ایک تعلیمی ڈلیٹنٹ کے طور پر شہرت حاصل کر لی تھی۔ نیو یارک سٹی کے شمال میں IBM کے ریسرچ سنٹر میں کام کرتے ہوئے اس نے معاشیات سے لے کر فلکیات تک بہت سے مختلف شعبوں میں کام کیا۔ جب انہیں 1974 میں IBM فیلو مقرر کیا گیا تھا، تو انہیں خود مختار منصوبوں کو آگے بڑھانے کی اور بھی زیادہ آزادی حاصل تھی۔ اس نے پیچیدہ حرکیات کو ہائبرنیشن سے باہر لانے کے لیے مرکز کی کافی کمپیوٹنگ طاقت کا استعمال کرنے کا فیصلہ کیا۔

سب سے پہلے، مینڈل بروٹ نے کمپیوٹر کا استعمال اس قسم کی شکلیں پیدا کرنے کے لیے کیا جس کا فاتو اور جولیا نے مطالعہ کیا تھا۔ امیجز نے اس بارے میں معلومات کو انکوڈ کیا ہے کہ کب ایک نقطہ آغاز، جب اعادہ کیا جائے گا، لامحدودیت کی طرف فرار ہو جائے گا، اور کب یہ کسی اور پیٹرن میں پھنس جائے گا۔ 60 سال پہلے کی فاتو اور جولیا کی ڈرائنگ حلقوں اور مثلثوں کے جھرمٹ کی طرح نظر آتی تھی - لیکن کمپیوٹر سے تیار کردہ تصاویر جو مینڈل بروٹ نے بنائی تھیں وہ ڈریگن اور تتلیوں، خرگوش اور کیتھیڈرل اور پھول گوبھی کے سروں کی طرح نظر آتی تھیں، بعض اوقات دھول کے منقطع بادلوں کی بھی۔ اس وقت تک، مینڈل بروٹ نے مختلف پیمانوں پر ایک جیسی نظر آنے والی شکلوں کے لیے "فریکٹل" کا لفظ پہلے ہی تیار کر لیا تھا۔ اس لفظ نے ایک نئی قسم کی جیومیٹری کے تصور کو جنم دیا — کچھ بکھری ہوئی، جزوی یا ٹوٹی۔

اس کی کمپیوٹر اسکرین پر نمودار ہونے والی تصاویر — جسے آج جولیا سیٹ کے نام سے جانا جاتا ہے — فریکٹلز کی کچھ سب سے خوبصورت اور پیچیدہ مثالیں تھیں جو مینڈل بروٹ نے کبھی نہیں دیکھی تھیں۔

فاتو اور جولیا کے کام نے انفرادی طور پر ان میں سے ہر ایک سیٹ (اور ان کے متعلقہ افعال) کی جیومیٹری اور حرکیات پر توجہ مرکوز کی تھی۔ لیکن کمپیوٹرز نے مینڈل بروٹ کو ایک ہی وقت میں افعال کے پورے خاندان کے بارے میں سوچنے کا ایک طریقہ فراہم کیا۔ وہ ان سب کو اس تصویر میں انکوڈ کر سکتا ہے جو اس کا نام لے کر آئے گی، حالانکہ یہ بحث کا موضوع ہے کہ آیا وہ اسے دریافت کرنے والا پہلا شخص تھا۔

مینڈیل بروٹ سیٹ ان آسان ترین مساواتوں سے نمٹتا ہے جو دوبارہ بیان کیے جانے پر بھی کچھ دلچسپ کرتی ہیں۔ یہ فارم کے چوکور افعال ہیں۔ f(z) = z² + c. کی ایک قدر طے کریں۔ c - یہ کوئی بھی پیچیدہ نمبر ہو سکتا ہے۔ اگر آپ اس سے شروع ہونے والی مساوات کو دہراتے ہیں۔ z = 0 اور معلوم کریں کہ آپ جو نمبر بناتے ہیں وہ چھوٹے رہتے ہیں (یا باؤنڈڈ، جیسا کہ ریاضی دان کہتے ہیں)، پھر c مینڈیل بروٹ سیٹ میں ہے۔ اگر، دوسری طرف، آپ اعادہ کرتے ہیں اور دیکھتے ہیں کہ آخر کار آپ کی تعداد لامحدودیت کی طرف بڑھنے لگتی ہے، تو c مینڈیل بروٹ سیٹ میں نہیں ہے۔

اس کی اقدار کو ظاہر کرنا سیدھا سیدھا ہے۔ c صفر کے قریب سیٹ میں ہیں۔ اور اس کی بڑی اقدار کو ظاہر کرنا اسی طرح سیدھا ہے۔ c نہیں ہیں لیکن پیچیدہ اعداد اپنے نام کے مطابق رہتے ہیں: سیٹ کی حد شاندار طور پر پیچیدہ ہے۔ تبدیلی کی کوئی واضح وجہ نہیں ہے۔ c چھوٹی مقدار میں آپ کو حد سے تجاوز کرنے کا سبب بننا چاہئے، لیکن جیسے ہی آپ اس پر زوم کرتے ہیں، لامتناہی تفصیلات ظاہر ہوتی ہیں۔

مزید کیا ہے، مینڈیل بروٹ سیٹ جولیا سیٹ کے نقشے کی طرح کام کرتا ہے، جیسا کہ ذیل میں انٹرایکٹو شکل میں دیکھا جا سکتا ہے۔ کی ایک قدر منتخب کریں۔ c مینڈیل بروٹ سیٹ میں۔ متعلقہ جولیا سیٹ کو جوڑا جائے گا۔ لیکن اگر آپ مینڈل بروٹ سیٹ کو چھوڑ دیتے ہیں، تو اس سے متعلقہ جولیا سیٹ منقطع ہو جائے گا۔