ہم ان مساوات کی نمائندگی کرتے ہوئے شروع کریں گے:

# create x and y vectors
x = np.linspace(-2, 2, 100)
y = 2 * x + 1
y1 = 2 * x + 3 plt.plot(x, y)
plt.plot(x, y1)
# [...] Add axes, styles...

شکل 5: متوازی مساوات کی لکیریں۔

جیسا کہ آپ شکل 5 میں دیکھ سکتے ہیں، کوئی نقطہ نظر نہیں ہے جو نیلی اور سبز دونوں لائنوں پر ہو۔ اس کا مطلب ہے کہ مساوات کے اس نظام کا کوئی حل نہیں ہے۔

آپ گرافک طور پر بھی سمجھ سکتے ہیں کہ کالم تصویر کے ذریعے کوئی حل کیوں نہیں ہے۔ آئیے مساوات کے نظام کو اس طرح لکھتے ہیں:

اسے کالم ویکٹر کے لکیری مجموعہ کے طور پر لکھتے ہوئے، آپ کے پاس ہے:

شکل 6: ایک لکیری نظام کی کالم تصویر جس کا کوئی حل نہیں ہے۔

شکل 6 نظام کے کالم ویکٹر کو دکھاتا ہے۔ آپ دیکھ سکتے ہیں کہ نیلے اور سرخ ویکٹر کو ملا کر سبز ویکٹر کے اختتامی نقطہ تک پہنچنا ناممکن ہے۔ وجہ یہ ہے کہ یہ ویکٹر لکیری طور پر منحصر ہیں (مزید تفصیلات میں ڈیٹا سائنس کے لیے ضروری ریاضی)۔ جس ویکٹر تک پہنچنا ہے وہ آپ کے جوڑنے والے ویکٹر کے اسپین سے باہر ہے۔

مثال 2. حل کی لامحدود تعداد

آپ کو ایک اور صورتحال کا سامنا کرنا پڑ سکتا ہے جہاں سسٹم کے پاس لامحدود حل موجود ہیں۔ آئیے درج ذیل نظام پر غور کریں:

# create x and y vectors
x = np.linspace(-2, 2, 100)
y = 2 * x + 1
y1 = (4 * x + 2) / 2 plt.plot(x, y)
plt.plot(x, y1, alpha=0.3)
# [...] Add axes, styles...

شکل 7: مساوات کی لکیریں اوور لیپ ہو رہی ہیں۔

چونکہ مساوات ایک جیسی ہیں، دونوں خطوط پر لامحدود پوائنٹس ہیں اور اس طرح لکیری مساوات کے اس نظام کے لیے لامحدود تعداد میں حل موجود ہیں۔ یہ مثال کے طور پر ایک واحد مساوات اور دو متغیر کے معاملے کی طرح ہے۔

کالم تصویر کے نقطہ نظر سے، آپ کے پاس ہے:

اور ویکٹر اشارے کے ساتھ:

شکل 8: لامحدود حل کے ساتھ ایک لکیری نظام کی کالم تصویر۔

شکل 8 اسی ویکٹر کو دکھاتا ہے جو گرافک طور پر نمائندگی کرتے ہیں۔ آپ دیکھ سکتے ہیں کہ نیلے اور سرخ ویکٹر کے امتزاج کے ساتھ سبز ویکٹر کے اختتامی نقطہ تک پہنچنے کے لامحدود طریقے ہیں۔

چونکہ دونوں ویکٹر ایک ہی سمت میں جاتے ہیں، اس لیے لکیری امتزاج کی ایک لامحدود تعداد ہے جو آپ کو دائیں طرف کے ویکٹر تک پہنچنے کی اجازت دیتی ہے۔

خلاصہ

خلاصہ کرنے کے لیے، آپ کے پاس تین ممکنہ حالات ہو سکتے ہیں، جو شکل 9 میں دو مساوات اور دو متغیرات کے ساتھ دکھائے گئے ہیں۔

شکل 9: دو مساواتوں اور دو متغیرات کے لیے تین حالات کا خلاصہ۔

یہ ناممکن ہے کہ دو لائنیں ایک بار سے زیادہ اور ایک لامحدود تعداد سے کم ہوں۔

اصول زیادہ جہتوں کا حامل ہے۔ مثال کے طور پر، IR میں تین طیاروں کے ساتھ³، کم از کم دو متوازی ہو سکتے ہیں (کوئی حل نہیں)، تین ایک دوسرے کو آپس میں جوڑ سکتے ہیں (ایک حل)، یا تین کو سپرپوز کیا جا سکتا ہے (حل کی لامحدود تعداد)۔

میٹرکس کے ساتھ لکیری مساوات کی نمائندگی

 
اب جب کہ آپ کالم تصویر کا استعمال کرتے ہوئے ویکٹر مساوات لکھ سکتے ہیں، آپ آگے جا کر کالم ویکٹر کو ذخیرہ کرنے کے لیے میٹرکس کا استعمال کر سکتے ہیں۔

آئیے درج ذیل لکیری نظام کو دوبارہ لیتے ہیں:

سے یاد رکھیں ڈیٹا سائنس کے لیے ضروری ریاضی کہ آپ لکیری امتزاج کو میٹرکس ویکٹر پروڈکٹ کے طور پر لکھ سکتے ہیں۔ میٹرکس بائیں طرف سے جڑے ہوئے دو کالم ویکٹر سے مطابقت رکھتا ہے:

اور ویکٹر میٹرکس (یہاں، x اور y):

آپ کا لکیری نظام درج ذیل میٹرکس مساوات بن جاتا ہے:

سنکیتن

یہ درج ذیل اشارے کی طرف جاتا ہے جو بڑے پیمانے پر لکیری نظام لکھنے کے لیے استعمال ہوتا ہے۔

ساتھ A کالم ویکٹر پر مشتمل میٹرکس، x گتانک کا ویکٹر اور b نتیجہ خیز ویکٹر، جسے ہم کال کریں گے۔ ہدف ویکٹر. یہ آپ کو کیلکولس سے، جہاں مساوات کو الگ الگ سمجھا جاتا ہے، لکیری الجبرا تک جانے کی اجازت دیتا ہے، جہاں لکیری نظام کے ہر ٹکڑے کو ویکٹر اور میٹرکس کے طور پر دکھایا جاتا ہے۔ یہ تجرید بہت طاقتور ہے اور لکیری مساوات کے نظام کو حل کرنے کے لیے ویکٹر اسپیس تھیوری لاتا ہے۔

کالم تصویر کے ساتھ، آپ مساوات کے بائیں جانب کالم ویکٹر کے لکیری امتزاج کے گتانک کو تلاش کرنا چاہتے ہیں۔ حل صرف اس صورت میں موجود ہے جب ہدف ویکٹر ان کی مدت کے اندر ہو۔

 
بیو: ہیڈرین جین مشین لرننگ سائنسدان ہے۔ وہ Ecole Normale Superieure، پیرس سے علمی سائنس میں پی ایچ ڈی کا مالک ہے، جہاں اس نے رویے اور الیکٹرو فزیولوجیکل ڈیٹا کا استعمال کرتے ہوئے سمعی ادراک پر تحقیق کی۔ اس نے پہلے انڈسٹری میں کام کیا جہاں اس نے تقریر کی پروسیسنگ کے لیے گہری سیکھنے کی پائپ لائنیں بنائیں۔ ڈیٹا سائنس اور ماحولیات کے کونے میں، وہ آڈیو ریکارڈنگ پر لاگو گہری سیکھنے کا استعمال کرتے ہوئے حیاتیاتی تنوع کی تشخیص کے منصوبوں پر کام کرتا ہے۔ وہ وقتاً فوقتاً مواد تخلیق کرتا ہے اور لی ویگن (ڈیٹا سائنس بوٹ کیمپ) میں پڑھاتا ہے، اور اپنے بلاگ میں مضامین لکھتا ہے۔hadrienj.github.io).

متعلقہ:

• ڈیٹا سائنس کے لیے ضروری ریاضی: بنیاد اور بنیاد کی تبدیلی
• ڈیٹا سائنس کے لیے ضروری ریاضی: میٹرکس کے ساتھ لکیری تبدیلی
• ڈیٹا سائنس کے لیے ضروری ریاضی: انفارمیشن تھیوری