Вступ
Ми схильні думати про математику як про суто логіку, але викладання математики, її цінності, її корисність і її робота наповнені нюансами. Отже, що таке «хороша» математика? У 2007 році математик Теренс Дао написав реферат для в Бюлетень Американського математичного товариства який намагався відповісти на це питання. Сьогодні, будучи лауреатом медалі Філдса, премії за досягнення в математиці та стипендії Макартура, Тао є одним із найпочесніших і плідних математиків. У цьому епізоді він приєднується до нашого ведучого та колеги-математика Стівен Строгац повернутися до задатків хорошої математики.
Слухай далі Apple Podcasts, Spotify, Підкасти Google, брошюровщик, Налаштувати або ваш улюблений додаток для подкастингу, або ви можете транслювати його з Quanta.
Розшифровка
СТІВЕН СТРОГАЦ: Ще в жовтні 2007 року, коли iPhone першого покоління ще був популярним товаром, а фондовий ринок був на рекордно високому рівні перед Великою рецесією, Теренс Тао, професор математики з Каліфорнійського університету в Лос-Анджелесі, вирішив відповісти на питання, яке довго обговорювалося серед математиків: що саме таке хороша математика?
Це про строгість? Елегантність? Реальна корисність? Террі написав дуже вдумливий і щедрий, я б навіть сказав, відвертий, есе про те, як математика може бути корисною. Але зараз, більше ніж через 15 років, чи потрібно нам переосмислювати, що таке хороша математика?
Я Стів Строгатц, і це «The Joy of Why», подкаст від Журнал Quanta де ми з моєю співведучою Жанною Левін по черзі досліджуємо деякі з найбільших питань математики та природничих наук, які залишаються без відповіді.
(Тематичні п'єси)
Сьогодні тут, щоб повернутися до вічного питання про те, що робить математику гарною, сам Террі Тао. Професор Тао є автором понад 300 дослідницьких робіт з надзвичайно широкого спектру математики, включаючи гармонічний аналіз, диференціальні рівняння в частинних похідних, комбінаторику, теорію чисел, науку про дані, випадкові матриці та багато іншого. Його називають «Моцартом математики». І як володар медалі Філдса, премії за досягнення в математиці, стипендії Макартура та багатьох інших нагород, це прізвисько, безумовно, цілком заслужене.
Террі, ласкаво просимо до «The Joy of Why».
ТЕРЕНС ТАО: Приємно бути тут.
СТРОГАЦ: Я дуже радий, що можу поговорити з вами про те, що саме робить деякі типи математичних досліджень хорошими. Я пам’ятаю, як досить яскраво гортав Бюлетень Американського математичного товариства ще в 2007 році і натрапивши ваше есе на цю тему що ти позував для нас. Це те, про що думають усі математики. Але для людей, які, можливо, не дуже знайомі, чи могли б ви сказати нам, як ви дійшли до цього запитання? Як ви тоді визначали хорошу математику?
TAO: Правильно, так. Насправді це було прохання. Тож редактор ст Бюлетень у той час попросив мене написати статтю. Я думаю, що в студентські роки я мав дуже наївне уявлення про те, що таке математика. У мене була така ідея, що існує якась рада сивобородих, яка роздає людям проблеми для роботи. І для мене, як для аспіранта, це було певним шоком, коли я усвідомив, що насправді не існує центрального органу, який би вирішував проблеми, і люди проводили самостійні дослідження.
Я продовжував ходити на доповіді та слухати, як інші математики розповідали про те, що вони вважають захоплюючим і що викликає у них захоплення від математики, а також про те, що кожен математик має свій підхід до математики. Мовляв, хтось шукатиме застосування, хтось через естетичну красу, хтось просто для вирішення проблем. Вони хотіли вирішити проблему, і вони зосереджувалися на найскладніших, найскладніших завданнях. Дехто зосередиться на техніці; деякі намагалися б зробити речі якомога елегантнішими.
Але що мене вразило, коли я слухав, як багато цих математиків говорять про те, що вони вважають цінним у математиці, так це те, що, хоча у всіх нас були різні ідеали щодо того, як має виглядати хороша математика, усі вони прагнули до сходяться до одного і того ж.
Якщо частина математики справді хороша, люди, які прагнуть краси, зрештою зустрінуть її. Люди, які прагнуть, які цінують, знаєте, технічну потужність або програми, зрештою приземляться на це.
Євген Вігнер мав дуже відоме есе про невиправдана ефективність математики у фізичних науках майже століття тому, де він щойно зауважив, що існують галузі математики — наприклад, геометрія Рімана, дослідження викривленого простору — що спочатку було лише чисто теоретичною вправою для математиків, знаєте, намагаючись довести, паралельний постулат і так далі, виявившись саме тим, що було потрібно Ейнштейну, Пуанкаре і Гільберту для опису математики загальної теорії відносності. І це лише явище, яке має місце.
Отже, справа не лише в тому, що математика, [те, що] математики знаходять інтелектуально цікавим, у підсумку стає фізично важливим. Але навіть у математиці предмети, які математики вважають елегантними, також дають глибоке розуміння.
Я відчуваю, що, знаєте, існує якась платонічна хороша математика, і всі наші різні системи цінностей — це просто різні способи доступу до цих об’єктивних хороших речей.
СТРОГАЦ: Це дуже цікаво. Я сам був людиною, схильною до платонічного мислення, і мені хочеться погодитися. Хоча я трохи здивований, почувши таку думку, тому що я міг би подумати, що спочатку здавалося, куди ви збираєтесь, начебто існує так багато різних точок зору на це. Це цікавий факт, свого роду емпіричний факт, що ми сходяться в згоді щодо того, що добре, а що ні, хоча, як ви кажете, ми виходимо з багатьох різних цінностей.
TAO: правильно. Конвергенція може зайняти час. Ви знаєте, тож точно є поля, наприклад, де вони виглядають набагато краще за одним показником, ніж інші. Можливо, у них багато додатків, але їхня презентація надзвичайно огидна, знаєте.
(Строгатц сміється)
Або речі, які дуже елегантні, але ще не мають багато хорошого застосування в реальному світі. Але я відчуваю, що зрештою це зійдеться.
СТРОГАЦ: Ну, дозвольте запитати вас про цю точку дотику з реальним світом. Це цікава напруга в математиці. І, знаєте, скажімо, будучи маленькими дітьми, коли ми вперше вивчаємо геометрію, ви можете подумати, що трикутники реальні, або кола чи прямі лінії реальні, і що вони можуть розповісти вам про прямокутні форми, які ви бачите у будівлях за межами світу, або що геодезисти повинні використовувати геометрію. Зрештою, це слово походить від вимірювання Землі, правильно, «геометрія». Отже, був час, коли геометрія була емпіричною.
Але те, що я хотів у вас запитати, стосується такого коментаря Джон фон Нейман зробив. Отже, фон Нейман, для тих, хто не знайомий, сам був великим математиком. І він зробив цей коментар у цьому есе, "Математик”, про зв’язок між математикою та емпіричним світом, реальним світом, де він приблизно говорить, що математичні ідеї виникають в емпірії, але в якийсь момент, коли ви отримуєте математичні ідеї, суб’єкт починає жити своїм життям. власні. І тоді це більше схоже на творчий витвір мистецтва. Естетичні критерії стають важливими. Але він каже, що це створює небезпеку. Що коли суб’єкт починає надто віддалятися від свого емпіричного джерела, як, наприклад, у другому чи третьому поколінні, він каже, що є шанс, що суб’єкт може постраждати від занадто абстрактного інбридингу, і йому загрожує виродження.
Є думки щодо цього? Я маю на увазі, чи має математика підтримувати зв’язок зі своїм емпіричним джерелом?
ТАО: Так, я вважаю, що це має бути обґрунтовано. Коли я кажу, що емпірично всі ці різні способи виконання математики збігаються, це лише тому, що — це відбувається лише тоді, коли суб’єкт здоровий. Отже, знаєте, хороша новина полягає в тому, що зазвичай так і є.
Але, наприклад, математики за інших рівних умов цінують короткі докази над довгими. Але можна уявити, що люди переборщують і, наприклад, одна підгалузь математики буде одержима тим, щоб зробити докази якомога коротшими та мати ці надзвичайно непрозорі дворядкові докази глибоких теорем. І вони роблять це таким собі змаганням, а потім це стає такою собі незрозумілою грою, і тоді ви втрачаєте всю інтуїцію. Можливо, ви втрачаєте глибше розуміння, тому що ви просто одержимі тим, щоб усі ваші докази були якомога коротшими. Тепер цього насправді не відбувається на практиці. Але це свого роду теоретичний приклад, і я думаю, що фон Нейман висловлював подібну думку.
А в шістдесятих і сімдесятих, начебто, була епоха математики, коли абстракція робила величезні кроки в спрощенні та уніфікації багатьох математиків, які раніше були дуже емпіричними. Особливо в алгебрі люди усвідомлювали, знаєте, числа, поліноми та багато інших об’єктів, які раніше розглядалися окремо, ви могли думати про них як про членів одного алгебраїчного класу, у даному випадку кільця.
І великий прогрес у математиці був досягнутий завдяки пошуку правильної абстракції, чи то топологічний простір, чи векторний простір, будь-який, і доведенню теорем у великій загальності. І це іноді те, що ми називаємо епохою Бурбакі в математиці. І він трохи відхилився від заземлення.
У нас, звичайно, був цілий епізод New Math у Штатах, де викладачі намагалися викладайте математику в стилі Бурбакі і зрештою зрозумів, що це не відповідна педагогіка на тому рівні.
Але тепер маятник трохи відхилився назад. У нас начебто — предмет досить дозрів, і в кожній галузі математики, геометрії, топології тощо ми маємо задовільну формалізацію, і ми знаємо, що таке правильні абстракції. І зараз галузь знову зосереджується на взаємозв’язках і програмах. Тепер він набагато більше пов’язаний із реальним світом.
Я маю на увазі не просто фізику, яка є традиційним зв’язком, але, знаєте, інформатику, науки про життя, соціальні науки, знаєте. Зі зростанням обсягу великих даних майже будь-яка людська дисципліна зараз може бути певною мірою математизована.
СТРОГАЦ: Мене дуже зацікавило слово, яке ви щойно використали хвилину тому щодо «взаємозв’язків», тому що це, здається, центральний момент для обговорення. Це те, що ви згадуєте у своєму есе, що поряд із тими, що ви називаєте «локальними» критеріями щодо елегантності, чи реальних застосувань, чи будь-що інше, ви згадуєте цей «глобальний» аспект хорошої математики: що хороша математика пов’язана з іншими хороша математика.
Це майже ключ до того, що робить його хорошим, те, що він інтегрований з іншими частинами. Але це цікаво, тому що звучить майже як кругове міркування: хороша математика — це математика, яка пов’язана з іншою хорошою математикою. Але це дійсно потужна ідея, і мені просто цікаво, чи не могли б ви розширити її трохи більше.
TAO: Так, отже, я маю на увазі те, про що математика — одна з речей, які робить математика, полягає в тому, що вона встановлює дуже базові та фундаментальні зв’язки, але неочевидні, якщо дивитися на це з поверхневого рівня. Дуже раннім прикладом цього є винахід Декартом декартових координат, який встановив фундаментальний зв’язок між геометрією — вивченням точок, ліній і просторових об’єктів — і числами, алгеброю.
Так, наприклад, коло можна розглядати як геометричний об’єкт, але ви також можете розглядати його як рівняння: x2 + y2 = 1 — рівняння кола. На той час це було дуже революційне з’єднання. Ви знаєте, стародавні греки розглядали теорію чисел і геометрію як майже повністю роз’єднані предмети.
Але з Декартом існував фундаментальний зв’язок. І тепер це інтерналізовано; Ви знаєте, як ми викладаємо математику. Більше не дивно, що якщо у вас є геометрична задача, ви атакуєте її числами. Або якщо у вас є проблеми з числами, ви можете атакувати їх геометрією.
Дещо тому, що і геометрія, і числа є аспектами однієї математичної концепції. У нас є ціла галузь під назвою алгебраїчна геометрія, яка не є ані алгеброю, ані геометрією, а є об’єднаним предметом, що вивчає об’єкти, які ви можете розглядати як геометричні фігури, такі як лінії та кола тощо, або як рівняння.
Але насправді це цілісний союз двох, який ми вивчаємо. І в міру того, як предмет поглибився, ми зрозуміли, що це певним чином більш фундаментальне, ніж алгебра чи геометрія окремо. Таким чином, ці зв’язки допомагають нам відкрити щось на кшталт справжньої математики, яка спочатку, так чи інакше, нашими емпіричними дослідженнями дає нам лише куточок предмета.
Є ця відома притча про слона, я забув де, що якщо у вас є… Є четверо сліпих, і вони знаходять слона. І один з них відчуває ногу слона, і вони думають: «О, це дуже грубо. Це має бути як дерево чи щось таке».
І один із них обмацує хобот, і лише трохи пізніше вони бачать, що є єдиний об’єкт у вигляді слона, який пояснює всі їхні окремі гіпотези. Так, ми всі спочатку сліпі, знаєте. Ми просто спостерігаємо за тінями в печері Платона і лише пізніше розуміємо...
СТРОГАЦ: Ого, ти тут дуже філософськи налаштований. Це щось. Я не можу втриматися: якщо ви починаєте говорити про слона та сліпих людей, це говорить про те, що ви думаєте, що математика існує десь — що це щось на зразок слона, а ми — сліпі… Або ви Знайте, ми намагаємося побачити щось, що існує незалежно від людей. Ви справді в це вірите?
TAO: Коли ти добре розбираєшся з математикою, це не просто штовхання символів. Ви справді відчуваєте, що існує якийсь реальний об’єкт, який ви намагаєтеся зрозуміти, і всі наші рівняння є лише свого роду наближеннями до цього або тінями.
Ви можете обговорювати філософську думку про те, що насправді є реальністю тощо. Я маю на увазі, що це речі, до яких можна доторкнутися, і чим реальнішими є математичні речі, іноді вони здаються менш фізичними. Як ви сказали, спочатку геометрія, ви знаєте, була дуже відчутною річчю щодо об’єктів у фізичному просторі, яку ви могли — ви знаєте, ви насправді можете побудувати коло, квадрат і так далі.
Але в сучасній геометрії ми працюємо у вищих вимірах. Ми можемо говорити про дискретну геометрію, усі види безглуздих топологій. І, я маю на увазі, предмет все ще заслуговує на те, щоб його називали геометрією, навіть якщо Земля більше не вимірювана. Давньогрецька етимологія дуже застаріла, але вона є, але тут точно щось є. Чи — наскільки реальним ви хочете це назвати. Але я вважаю, що справа в тому, що для того, щоб справді займатися математикою, це допомагає вірити, що це реально.
СТРОГАЦ: Так, хіба це не цікаво? Це робить. Здається, це щось дуже глибоке в історії математики. Мене вразив нарис Архімеда, який писав своєму другові або принаймні колезі Ератосфену.
Зараз ми говоримо про 250 рік до нашої ери, і він зауважив, що він знайшов спосіб знайти площу того, що ми б назвали сегментом параболи. Він бере параболу, перетинає її відрізком лінії, що знаходиться під косим кутом до осі параболи, і він визначає цю площу. Він отримує дуже красивий результат. Але він каже Ератосфену щось на кшталт: «Ці результати були притаманні фігурам весь час». Знаєш, ніби вони там. Вони там. Вони просто чекають, що він знайде.
Це не те, що він їх створив. Це не схоже на поезію. Я маю на увазі, це насправді цікаво, чи не так? Що багато великих митців — Мікеланджело говорив про те, щоб звільнити статую з каменю, ви знаєте, ніби вона була там спочатку. І схоже на те, що ви та багато інших великих математиків — як ви сказали, дуже корисно вірити в цю ідею, що вона чекає на нас, чекає, поки правильні уми її відкриють.
TAO: правильно. Ну, я думаю, одним із проявів цього є те, що ідеї, які часто дуже складно пояснити, коли вони вперше відкриваються, вони стають спрощеними. Я маю на увазі, знаєте, часто причина, чому щось виглядає дуже глибоким або складним на початку, полягає в тому, що у вас немає правильного позначення.
Наприклад, тепер у нас є десятковий запис для роботи з числами, і це дуже зручно. Але в минулому у нас були римські цифри, а потім були навіть більш примітивні системи числення, з якими було дуже, дуже важко працювати, якщо ви хотіли займатися математикою.
Евкліда Елементи, ви знаєте — деякі з аргументів у цих стародавніх текстах. Мовляв, у Евкліда є одна теорема Елементи Мені здається, називається Міст дурнів чи щось таке. Це як твердження, що, я думаю, твердження схоже на рівнобедрений трикутник, два кути при основі яких рівні. Мовляв, це як дворядковий доказ у сучасних геометричних текстах, знаєте, з правильними аксіомами. Але Евклід мав такий жахливий спосіб зробити це. І це було місце, де багато студентів геометрії в класичну епоху просто повністю відмовилися від математики.
СТРОГАЦ: Правда. (сміється)
TAO: Але, знаєте, тепер у нас є набагато кращий спосіб зробити це. Так часто ускладнення, які ми бачимо в математиці, є артефактами наших власних обмежень. І, знаєте, у міру дорослішання все стає простішим. І через це воно виглядає більш реальним. Ми не бачимо артефактів. Ми бачимо суть.
СТРОГАЦ: Ну, повертаючись до вашого есе: коли ви його писали, у той час — я маю на увазі, це був досить ранній період вашої кар’єри, не самий початок, але все ж. Чому ви тоді вважали, що важливо спробувати визначити, що таке хороша математика?
TAO: Я думаю… Тож на той момент я вже почав консультувати аспірантів, і я помітив, що, знаєте, були деякі неправильні уявлення про те, що добре, а що ні. І я також спілкувався з математиками в різних галузях, і те, що чиєсь поле цінує в математиці, здавалося іншим. Але ми якось вивчали один предмет.
І іноді хтось казав щось, що мене вразило, наприклад: «Ця математика не має застосування, тому вона не має значення». Або «Цей доказ надто складний; отже, це не має жодної цінності», чи щось подібне. Або навпаки, ви знаєте: «Цей доказ надто простий; тому не варто…» Ви знаєте. Мовляв, був якийсь снобізм і таке інше, іноді я стикався.
І з мого досвіду, найкраща математика прийшла, коли я зрозумів іншу точку зору, інший спосіб мислення про математику від когось із іншої галузі та застосував це до проблеми, яка мене хвилювала. І тому мій досвід того, як правильно використовувати математику, як нею володіти, дуже відрізнявся від цих — на кшталт «єдиного вірного способу робити математику».
Я відчував, що цю точку треба якось підкреслити. Що справді існує множинний спосіб робити математику, але в той час як математика все ще об’єднана.
СТРОГАЦ: Це дуже показово, тому що мені було цікаво, знаєте, у своєму вступі я згадав багато різних галузей математики, які ви досліджували, і я навіть не включив деякі. Наприклад, я пам’ятаю лише кілька років тому вашу роботу про цю таємницю динаміки рідин, про те, чи певні рівняння, які, на нашу думку, добре справляються з апроксимацією руху води та повітря. Я не хочу надто вдаватися в подробиці, але просто скажу: ось ти тут, люди думають, що ти займаєшся теорією чисел або гармонічним аналізом, і раптом ти працюєш над питаннями динаміки рідин. Я маю на увазі, я розумію, що це диференціальні рівняння в частинних похідних. Але все ж широта ваших інтересів, здається, пов’язана з широтою сприйняття різних ідей, різних цінних ідей з усіх різних способів робити хорошу математику.
TAO: Я забув, хто це сказав, але є два типи математиків. Є їжаки і лисиці. Лисиця – це той, хто про все знає потроху. Їжак - це істота, яка дуже-дуже добре знає одну річ. І жоден не кращий за інший. Вони доповнюють один одного. Я маю на увазі, що в математиці вам потрібні люди, які є справді глибокими експертами в одній підгалузі, і вони знають предмет навиворіт. І вам потрібні люди, які можуть бачити зв’язки між однією сферою діяльності та іншою. Тож я точно ідентифікую себе як лисицю, але я працюю з багатьма їжаками. Робота, якою я найбільше пишаюся, часто є такою співпрацею.
СТРОГАЦ: О так. Чи усвідомлюють вони, що вони їжаки?
TAO: Ну добре, з часом ролі змінюються. Мовляв, є й інші колаборації, де я їжачок, а хтось інший лисиця. Це начебто непостійне — ви знаєте, це не у вашій ДНК.
СТРОГАЦ: А, хороша думка. Ми можемо прийняти — можемо носити обидва плаща.
Ну, а чи була тоді відповідь на твір? Люди щось відповіли тобі?
TAO: Загалом я отримав досить позитивну відповідь. Я маю на увазі Вісник АМН я вважаю, що це не дуже розповсюджене видання. Крім того, я насправді не сказав нічого надто суперечливого. Крім того, такі соціальні медіа застаріли, тому, я думаю, можливо, є кілька математичних блогів, які підхопили це, але не було Twitter. Не було нічого, щоб це стало вірусним.
Так, я також думаю, що загалом математики не витрачають багато свого часу та інтелектуального капіталу на спекуляції. Я маю на увазі, ще одного математика викликали Мінхьон Кім який мав цю дуже гарну метафору про те, що для математиків довіра схожа на валюту, як гроші. Якщо ви доводите теореми та демонструєте, що знаєте предмет, ви якимось чином накопичуєте валюту довіри в банку. І як тільки у вас буде достатньо валюти, ви можете дозволити собі трохи спекулювати, будучи трохи філософськими і кажучи те, що може бути правдою, а не те, що ви можете насправді довести.
Але ми схильні бути консервативними, і ми не хочемо овердрафту на нашому банківському рахунку. Ви знаєте, ви не хочете, щоб більша частина ваших творів була спекулятивною і хотіла, щоб лише один відсоток справді щось доводив.
СТРОГАЦ: Досить справедливо. Отже, гаразд. Отже, з того часу минуло багато років. про що ми говоримо? Це більше 15 років.
TAO: О так, час летить.
СТРОГАЦ: Ваша думка змінилася? Чи потрібно щось переглянути?
TAO: Що ж, культура математики дуже змінюється. Я вже мав широкий погляд на математику, а тепер ще ширший.
Отже, один дуже конкретний приклад: комп’ютерні докази все ще були суперечливими у 2007 році. Була відома гіпотеза під назвою гіпотеза Кеплера, яка стосується найефективнішого способу упаковки одиничних куль у тривимірному просторі. І є стандартна упаковка, я думаю, що вона називається кубічною центральною упаковкою або щось таке, яку Кеплер припустив як найкращу з можливих.
Нарешті це було вирішено, але доказ був дуже комп’ютерний. Це було досить складно, і [Томас] Хейлззрештою фактично створив цілу комп’ютерну мову для формальної перевірки цього конкретного доказу, але він не був прийнятий як справжній доказ протягом багатьох років. Але це продемонструвало, наскільки суперечливою була концепція доказу, для перевірки якої потрібна комп’ютерна допомога.
За минулі роки було багато, багато інших прикладів доказів, коли людина може звести складну проблему до чогось, для перевірки якого все ще потрібен комп’ютер. А потім комп’ютер йде вперед і перевіряє це. Ми начебто розробили методи, як робити це відповідально. Ви знаєте, як публікувати код і дані та способи перевірки нових речей з відкритим вихідним кодом і так далі. І зараз широко поширене комп’ютерне підтвердження.
Зараз, я думаю, наступний культурний зсув буде чи будуть прийняті докази, згенеровані ШІ. Зараз інструменти штучного інтелекту не на тому рівні, щоб вони могли генерувати докази для справжнього просування математичних проблем. Можливо, з домашніми завданнями студентського рівня вони справляються, але дослідницька математика ще не на тому рівні. Але в якийсь момент ми почнемо бачити, як з’являться статті з підтримкою штучного інтелекту, і буде дискусія.
Певним чином змінилася наша культура… У 2007 році лише невелика частина математиків надала доступ до своїх препринтів перед публікацією. Автори ревниво оберігали свої препринти, доки не отримали повідомлення про прийняття від журналу. А потім вони можуть поділитися.
Але тепер усі кладуть папери публічні сервери, такі як arXiv. Є набагато більше відкритості для розміщення відео та дописів у блогах про те, звідки беруться ідеї статті. Тому що люди розуміють, що саме це робить роботу більш впливовою та ефективнішою. Якщо ти намагаєшся не афішувати свою роботу і бути дуже закритою щодо неї, це не викликає ажіотажу.
Математика стала набагато більше співпраці. Знаєте, 50 років тому я б сказав, що більшість робіт з математики були одноавторськими. Зараз, безперечно, більшість – це два-три-чотири автори. І ми тільки починаємо спостерігати справді великі проекти, такі як ми в науці, ви знаєте, як десятки, сотні людей співпрацюють. Це все ще важко зробити для математиків, але я думаю, що ми досягнемо цього.
Водночас ми стаємо набагато більш міждисциплінарними. Ми набагато більше працюємо з іншими науками. Ми працюємо між галузями математики. А завдяки Інтернету ми можемо співпрацювати з людьми по всьому світу. Отже, те, як ми займаємося математикою, безумовно, змінюється.
Я сподіваюся, що в майбутньому ми зможемо більше використовувати аматорську математичну спільноту. Існують інші сфери, як-от астрономія, де астрономи чудово використовують спільноту астрономів-любителів, як, наприклад, багато комет знаходять аматори.
Але математики… Є кілька ізольованих областей математики, таких як мозаїка, двовимірна мозаїка та, можливо, пошук записів у простих числах. Є деякі дуже вибрані галузі математики, де аматори роблять свій внесок, і їх вітають. Але є багато перешкод. У більшості галузей математики вам потрібно стільки навчання та загальноприйнятої або загальноприйнятої мудрості, що ми не можемо переповнювати джерела. Але це може змінитися в майбутньому. Можливо, одним із впливів штучного інтелекту буде надання можливості математикам-аматорам внести значний внесок у математику.
СТРОГАЦ: Це дуже цікаво.
[Перерва для вставки реклами]
СТРОГАЦ: Отже, аматори можуть за допомогою штучного інтелекту або задавати нові питання, які є хорошими, або допомагати з якісним дослідженням існуючих питань, тощо?
TAO: Є багато різних модальностей — так. Так, наприклад, зараз існують проекти формалізації доказів великих теорем у таких речах, які називаються помічники з офіційних доказів, які схожі на комп’ютерні мови, які можуть на 100% перевірити, чи є теорема істинною чи ні, і — доведена чи ні. Це фактично уможливлює широкомасштабну співпрацю в математиці.
Тож у минулому, якщо ви співпрацювали з 10 іншими людьми, щоб довести теорему, і кожен зробив свій внесок, кожен мав перевірити математику інших. Бо математика полягає в тому, що якщо на одному кроці є помилка, то все може розвалитися.
Отже, вам потрібна довіра, і тому — отже, це заважає, це справді перешкоджає справді великомасштабній співпраці в математиці. Але зараз є успішні приклади формалізації дійсно великих теорем, де є величезна спільнота, не всі вони знають одне одного, не всі довіряють один одному, але вони спілкуються через завантаження в якесь сховище Github або щось, наприклад, окремі докази окремих кроків у аргументації. І програмне забезпечення для формального підтвердження перевіряє все, тож вам не потрібно турбуватися про довіру. Тож ми впроваджуємо нові способи співпраці, яких насправді не бачили раніше.
СТРОГАЦ: Дуже цікаво почути твоє бачення, Террі. Це захоплююча думка. Ви не чуєте фрази «громадянин-математик». Ви чули про громадянську науку, але чому б не громадянську математику?
Але мені просто цікаво, чи є якісь тенденції, які вас турбують, наприклад, щодо комп’ютерних доказів або доказів, згенерованих ШІ? Чи будемо ми знати, що деякі результати правдиві, але не зрозуміємо чому?
TAO: Отже, це проблема. Я маю на увазі, що це вже проблема ще до появи ШІ. Отже, є багато галузей, де статті на предмет стають все довшими, сотні сторінок. І я сподіваюся, що штучний інтелект може насправді допомогти спростити, і він може пояснити, а також довести.
Отже, вже є експериментальне програмне забезпечення, де, скажімо, якщо ви візьмете доказ, який був формалізований, ви можете фактично перетворити його на інтерактивний документ, зрозумілий людині, де у вас є доказ і ви бачите етапи високого рівня та якщо є речення ви не розумієте, ви можете двічі клацнути на ньому, і він розгорнеться на менші кроки. Невдовзі я думаю, що ви також зможете отримати чат-бота зі штучним інтелектом, який сидітиме поруч із вами, поки ви проходите перевірку, і він зможе відповідати на запитання та пояснювати кожен крок, ніби він був автором. Думаю, ми вже дуже близькі до цього.
Є побоювання. Ми маємо змінити спосіб навчання наших студентів, особливо зараз, коли багато наших традиційних способів задавати домашні завдання тощо, ми майже досягли того моменту, коли ці інструменти штучного інтелекту можуть просто миттєво відповідати на багато наших стандартних екзаменаційних запитань. Тому нам потрібно навчити наших студентів новим навичкам, наприклад, як перевірити, чи правильний результат, згенерований ШІ, чи ні, і як отримати другу думку.
І ми можемо побачити появу більш експериментальної сторони математики, знаєте. Отже, математика є майже повністю теоретичною, тоді як більшість наук мають як теоретичну, так і експериментальну складові. Зрештою ми можемо отримати результати, які спочатку підтверджуються лише комп’ютерами, і, як ви сказали, ми не розуміємо. Але коли ми отримаємо дані, які надає ШІ, комп’ютерні докази, ми зможемо провести експерименти.
Зараз є трохи експериментальної математики. Люди вивчають, скажімо, великі набори даних різних речей, скажімо, еліптичні криві. Але в майбутньому він може стати набагато більшим.
СТРОГАЦ: Так, у вас дуже оптимістичний погляд, як на мене. Це не те, що Золотий вік залишився в минулому. Якщо я вас правильно чую, ви думаєте, що попереду ще багато цікавого.
TAO: Так, багато нових технологічних інструментів дуже дають змогу. Я маю на увазі, що ШІ загалом має багато складних переваг і недоліків. А за межами науки існує багато можливих руйнувань для економіки, прав інтелектуальної власності тощо. Але в математиці, я думаю, співвідношення хорошого до поганого краще, ніж у багатьох інших областях.
І, знаєте, Інтернет дійсно змінив те, як ми займаємося математикою. Я співпрацюю з багатьма людьми в різних сферах. Я не зміг би цього зробити без Інтернету. Той факт, що я можу зайти у Вікіпедію чи щось інше й почати вивчати предмет, і я можу написати комусь електронною поштою, і ми можемо співпрацювати онлайн. Якби мені довелося робити речі старої школи, де я міг би спілкуватися лише з людьми зі свого відділу та використовувати фізичну пошту для всього іншого, я б не міг робити математику, як зараз.
СТРОГАЦ: Ого, добре. Мені просто потрібно підкреслити те, що ви щойно сказали, тому що я ніколи не думав, що за мільйон років почую це: Террі Тао читає Вікіпедію, щоб вивчати математику?
TAO: Як відправну точку. Я маю на увазі, що це не завжди Вікіпедія, але просто щоб отримати ключові слова, а потім я зроблю більш спеціалізований пошук, скажімо, MathSciNet або іншу базу даних. Але так.
СТРОГАЦ: Це не критика. Тобто я роблю те саме. Насправді Вікіпедія, якщо є якась критика математики у Вікіпедії, можливо, це те, що іноді вона надто просунута для читачів, для яких вона призначена, я думаю. Не завжди. Я маю на увазі, це залежить. Це дуже різниться від статті до статті. Але це просто смішно. Я люблю це чути.
TAO: Я маю на увазі ці інструменти, ви повинні вміти перевіряти результат. Ви знаєте, я маю на увазі те, що причина, чому я можу використовувати Вікіпедію для вивчення математики, полягає в тому, що я вже знаю достатньо математики, щоб я міг відчути, чи є фрагмент Вікіпедії з математики підозрілим чи ні. Ви знаєте, він може отримати деякі джерела, і одне з них буде кращим джерелом, ніж інше. І я знаю авторів, і маю уявлення про те, яка довідка буде для мене кращою. Якби я використовував Вікіпедію, щоб дізнатися про тему, у якій у мене немає досвіду, я думаю, що це була б скоріше випадкова змінна.
СТРОГАЦ: Отже, ми досить багато говорили про те, що робить хорошу математику, про можливе майбутнє для нових видів хорошої математики. Але, можливо, нам варто відповісти на запитання: чому це взагалі має значення? Чому важливо, щоб математика була гарною?
TAO: Ну, так, по-перше, я маю на увазі, навіщо нам взагалі математики? Чому суспільство цінує математиків і дає нам ресурси для того, що ми робимо? Ви знаєте, це тому, що ми надаємо певну цінність. Ми можемо мати застосування в реальному світі. Є інтелектуальний інтерес, і деякі теорії, які ми розробляємо, зрештою дають змогу зрозуміти інші явища.
І не вся математика однаково цінна. Я маю на увазі, що ви можете обчислювати все більше і більше цифр Пі, але в якийсь момент ви нічого не навчитеся. Будь-який предмет потребує певного оцінювання, оскільки вам потрібно розподілити ресурси. Там так багато математики. Які досягнення ви хочете висвітлити, оприлюднити й повідомити про них іншим людям, а які, можливо, варто просто спокійно залишити в щоденнику?
Навіть якщо ви вважаєте предмет абсолютно об’єктивним і, знаєте, існує лише правда чи хибність, нам все одно доведеться робити вибір. Знаєте, просто тому, що час – обмежений ресурс. Увага — це обмежений ресурс. Гроші — це обмежений ресурс. Отже, це завжди важливі питання.
СТРОГАЦ: Цікаво, що ви згадали про оприлюднення, тому що я вважаю, що це є відмінною рисою вашої роботи, ви також доклали багато зусиль, щоб зробити математику загальнодоступною через свій блог, через різні статті, які ви я написав. Я пам’ятаю, як обговорював один, про який ти написав Американський вчений про універсальність і ту ідею. Чому важливо зробити математику загальнодоступною та зрозумілою? Я маю на увазі, що ти намагаєшся зробити?
TAO: Це вийшло якось органічно. На початку моєї кар’єри Всесвітня павутина була ще дуже новою, і математики почали створювати веб-сторінки з різним вмістом, але центрального каталогу було мало. До Google і так далі було насправді важко знайти окремі ресурси.
Отже, я почав щось робити маленькі каталоги на моїй веб-сторінці. І я б також зробив веб-сторінки для своїх власних газет, і я б зробив деякі коментарі. Спочатку це було більше для моєї власної вигоди, просто як організаційний інструмент, просто щоб допомогти мені знайти речі. Як побічний продукт, він був доступний для громадськості, але я був начебто основним споживачем, або, принаймні, я так думав, своїх власних веб-сторінок.
Але я дуже чітко пам’ятаю, якось я написав статтю і розмістив її на своїй веб-сторінці, і у мене була маленька підсторінка під назвою «Що нового?» І я просто сказав: «Ось папір. У ньому є питання, на яке я все ще не можу відповісти і не знаю, як його вирішити». І я щойно зробив цей коментар. А потім, приблизно через два дні, я отримав електронний лист: «О, я просто перевіряв вашу домашню сторінку. Я знаю відповідь на це питання. Є документ, який вирішить вашу проблему».
І це змусило мене зрозуміти, перш за все, що люди насправді відвідували мою веб-сторінку, про яку я насправді не знав. Але ця взаємодія зі спільнотою могла б справді... ну, це могло б допомогти мені безпосередньо вирішити мої запитання.
Ось такий закон називається Закон Меткалфа в мережі це, знаєте, якщо у вас є n люди, і всі вони розмовляють між собою, є приблизно n2 зв'язки між ними. Отже, чим більша аудиторія та більший форум, де кожен може поговорити з усіма іншими, тим більше потенційних зв’язків ви можете встановити та більше хороших речей може статися.
Я маю на увазі, що в моїй кар’єрі багато відкриттів, які я зробив, або зв’язків, які я встановив, відбулися завдяки несподіваному зв’язку. Увесь мій кар’єрний досвід показав, що більше зв’язків означає просто кращі речі.
СТРОГАЦ: Я вважаю, що прекрасним прикладом того, що ви тільки що маєте на увазі, але я хотів би почути, як ви говорите про це, є ваші зв’язки з людьми в галузі даних, які цікавляться питаннями, пов’язаними з медичною резонансною томографією. , МРТ. Чи могли б ви розповісти нам трохи про цю історію?
TAO: Отже, я думаю, це був приблизно 2006, 2005 рік. Отже, була міждисциплінарна програма тут, у кампусі, в Каліфорнійському університеті в Лос-Анджелесі, я думаю, про багатомасштабний геометричний аналіз чи щось подібне, де вони об’єднали чистих математиків, які були зацікавлені в різновиді геометрії багатомасштабного типу як такої, а потім, знаєте, люди, які мали дуже конкретні проблеми з типами даних.
І я щойно почав працювати над деякими проблемами з теорії випадкових матриць, тому мене знали як людину, яка вміє маніпулювати матрицями. І я зустрів когось, кого вже знав, Еммануель Кандес, тому що в той час він працював зовсім поруч у Каліфорнійському технологічному інституті. І він, і ще один співробітник, Джастін Ромберг, вони виявили це незвичайне явище.
Тому вони дивилися на зображення МРТ, але вони дуже повільні. Щоб зібрати достатньо зображення людського тіла з дійсно високою роздільною здатністю, або достатньо, щоб, можливо, виявити пухлину, або будь-яку іншу важливу з медичної точки зору функцію, яку ви хочете знайти, часто потрібно кілька хвилин, тому що їм потрібно сканувати всі ці різні ракурси, а потім синтезувати дані . І це насправді було проблемою, тому що маленьким дітям, наприклад, просто три хвилини спокійно посидіти в апараті МРТ було досить проблематично.
Тому вони експериментували з іншим шляхом, використовуючи якусь лінійну алгебру. Вони сподівалися підвищити продуктивність на 10%, 20%. Ви знаєте, трохи чіткіше зображення, трохи налаштувавши стандартний алгоритм.
Отже, стандартний алгоритм називали наближенням найменших квадратів, і вони робили щось інше, що називалося мінімізацією повної варіації. Але потім, коли вони запустили програмне забезпечення, вони отримали майже ідеальну реконструкцію свого тестового зображення. Масове, масове вдосконалення. І вони не могли цього пояснити.
Але Еммануель був на цій програмі, і ми балакали за чаєм чи щось таке. І він щойно згадав про це, і, власне, моя перша думка була, що ви, мабуть, помилилися у своїх розрахунках, що те, що ви говорите, насправді неможливе. І я пам’ятаю, як повернувся додому тієї ночі і намагався записати справжній доказ того, що те, що вони бачили, не могло статися насправді. А потім на півдорозі я зрозумів, що зробив припущення, яке не відповідає дійсності. І тоді я зрозумів, що насправді це може спрацювати. І тоді я зрозумів, що може бути поясненням. А потім ми працювали разом, і ми фактично знайшли гарне пояснення та опублікували його.
І як тільки ми це зробили, люди зрозуміли, що є багато інших ситуацій, коли вам потрібно провести вимірювання, яке зазвичай вимагає багато-багато даних, а в деяких випадках ви можете взяти набагато менший обсяг даних і все одно отримати дійсно високий... вимірювання роздільної здатності.
Тож тепер, наприклад, сучасні апарати для магнітно-резонансної томографії — сканування, яке раніше займало три хвилини, тепер може тривати 30 секунд, тому що це програмне забезпечення, цей алгоритм тепер жорстко закріплено в машинах.
СТРОГАЦ: Це гарна історія, це така чудова історія. Я маю на увазі, говорити про важливу математику, яка змінює життя, буквально, у цьому контексті медичної візуалізації. Мені подобається ця випадковість і ваша відкритість, знаєте, коли ви чуєте цю ідею, а потім думаєте: «Це неможливо, я можу це довести». А потім усвідомив, що насправді ні. Приємно бачити, як математика справляє такий вплив.
Ну, гаразд, я думаю, я краще відпущу тебе, Террі. Було справжньою насолодою обговорювати з вами суть хорошої математики. Велике спасибі, що приєдналися до нас сьогодні.
TAO: Так, ні, мені було приємно.
[Перерва для вставки реклами]
СТРОГАЦ: «The Joy of Why» — це подкаст від Журнал Quanta, редакційне незалежне видання, яке підтримується Фондом Сімонса. Рішення про фінансування, прийняті Фондом Сімонса, не впливають на вибір тем, гостей чи інші редакційні рішення в цьому подкасті або в Журнал Quanta.
«The Joy of Why» створений PRX Productions. Продюсерська група: Кейтлін Фолдс, Лівія Брок, Женев'єв Спонслер і Мерріт Джейкоб. Виконавчим продюсером PRX Productions є Джоселін Гонсалес. Морган Черч і Едвін Очоа надали додаткову допомогу. Від Журнал Quanta, Джон Ренні та Томас Лін забезпечили редакційне керівництво за підтримки Мета Карлстрома, Семюеля Веласко, Нони Гріффін, Арлін Сантани та Медісон Голдберг.
Наша музична тема від APM Music. Джуліан Лін придумав назву подкасту. Автор епізоду Пітер Грінвуд, а наш логотип — Джакі Кінг і Крістіна Армітаж. Особлива подяка Колумбійській школі журналістики та Берту Одом-Ріду з Cornell Broadcast Studios.
Я ваш господар, Стів Строгатц. Якщо у вас є запитання чи коментарі до нас, надішліть нам електронний лист на адресу . Спасибі за слухання.
- Розповсюдження контенту та PR на основі SEO. Отримайте посилення сьогодні.
- PlatoData.Network Vertical Generative Ai. Додайте собі сили. Доступ тут.
- PlatoAiStream. Web3 Intelligence. Розширення знань. Доступ тут.
- ПлатонЕСГ. вуглець, CleanTech, Енергія, Навколишнє середовище, Сонячна, Поводження з відходами. Доступ тут.
- PlatoHealth. Розвідка про біотехнології та клінічні випробування. Доступ тут.
- джерело: https://www.quantamagazine.org/what-makes-for-good-mathematics-20240201/
- : має
- :є
- : ні
- :де
- ][стор
- $UP
- 1
- 10
- 15 роки
- 15%
- 2005
- 2006
- 250
- 30
- 300
- 50
- 50 років
- a
- Здатний
- МЕНЮ
- про це
- РЕЗЮМЕ
- абстракція
- AC
- прийняття
- прийнятий
- приймає
- доступною
- доступ до
- рахунки
- через
- фактичний
- насправді
- Ad
- Додатковий
- адреса
- прийняти
- просування
- просунутий
- аванси
- прихід
- радити
- після
- знову
- вік
- назад
- погодившись
- попереду
- AI
- AI чат
- AIR
- САИ
- алгоритм
- живий
- ВСІ
- виділяти
- дозволяти
- майже
- по
- вже
- Також
- хоча
- завжди
- аматорський
- американська
- серед
- кількість
- an
- аналіз
- Древній
- та
- Інший
- відповідь
- будь-який
- більше
- будь
- все
- крім
- додаток
- Apple
- застосування
- Застосування
- наближається
- відповідний
- ЕСТЬ
- ПЛОЩА
- області
- аргумент
- аргументація
- навколо
- Art
- стаття
- статті
- Художники
- AS
- запитати
- зовнішній вигляд
- аспекти
- Допомога
- припущення
- астрономія
- At
- атака
- увагу
- аудиторія
- автор
- автор
- влада
- authors
- доступний
- нагороди
- Вісь
- b
- назад
- поганий
- Банк
- рахунок у банку
- бар'єри
- база
- основний
- BE
- красивий
- Краса
- оскільки
- ставати
- стає
- становлення
- було
- перед тим
- починати
- початок
- буття
- істоти
- Вірити
- користь
- КРАЩЕ
- Краще
- між
- Великий
- Великий даних
- більший
- найбільший
- Біт
- сліпий
- Блог
- Повідомлення в блозі
- блоги
- тіло
- обидва
- гілки
- широта
- Перерва
- прорив
- BRIDGE
- Приведення
- широкий
- віщати
- ширше
- брок
- будувати
- але
- by
- розрахунок
- call
- званий
- прийшов
- Кампус
- CAN
- капітал
- кар'єра
- випадок
- випадків
- Залучайте
- Причини
- печера
- центральний
- центральний орган влади
- Століття
- певний
- звичайно
- складні
- шанс
- зміна
- змінилися
- заміна
- Chatbot
- в чаті
- перевірка
- контроль
- вибір
- церква
- Коло
- кола
- кругової
- громадянин
- клас
- близько
- Ко-господар
- код
- співпрацювати
- співробітництво
- Співробітництво
- колега
- збирати
- Columbia
- Приходити
- приходить
- Комети
- майбутній
- коментар
- Коментар
- коментарі
- товар
- спілкуватися
- співтовариство
- Доповнення
- повністю
- комплекс
- складний
- ускладнення
- компонент
- обчислення
- комп'ютер
- Інформатика
- Комп'ютерне програмне забезпечення
- генерується комп'ютером
- комп'ютери
- концепція
- Турбота
- бетон
- припущення
- З'єднувальний
- зв'язку
- Зв'язки
- з'єднує
- консервативний
- споживач
- контакт
- зміст
- конкурс
- контекст
- сприяти
- сприяє
- спірний
- Зручний
- звичайний
- сходяться
- Зближення
- навпаки
- конвертувати
- Корнелл
- Кут
- виправити
- може
- Рада
- курс
- створений
- Креатив
- тварь
- правдоподібність
- Критерії
- критика
- натовп
- культурний
- культура
- Валюта
- скорочення
- НЕБЕЗПЕЧНО
- дані
- наука про дані
- набори даних
- Database
- Днів
- дебати
- рішення
- глибокий
- глибше
- визначати
- безумовно
- демонструвати
- відділ
- залежить
- описувати
- заслуговує
- деталі
- певний
- розвивати
- розвиненою
- DID
- різний
- важкий
- цифр
- розміри
- безпосередньо
- каталоги
- дисципліна
- відкрити
- відкритий
- обговорювати
- обговорення
- Зрив
- відмітний
- виразно
- ДНК
- do
- документ
- робить
- Ні
- справи
- домен
- Не знаю
- Двері
- вниз
- недоліки
- динаміка
- кожен
- Рано
- земля
- економіка
- редактор
- Редакційний
- виховувати
- педагогів
- Edwin
- ефективність
- ефективний
- зусилля
- Einstein
- або
- слон
- Еліптичних
- ще
- В іншому
- уповноважують
- дозволяє
- дозволяє
- зіткнення
- кінець
- досить
- Весь
- повністю
- епізод
- рівним
- Так само
- рівняння
- Епоха
- помилка
- особливо
- ЕСЕ
- сутність
- Навіть
- врешті-решт
- Кожен
- всі
- все
- все
- точно
- іспит
- приклад
- Приклади
- збуджений
- захоплюючий
- виконавчий
- виконавчий продюсер
- Здійснювати
- існуючий
- існує
- Розширювати
- досвід
- експериментальний
- експериментувати
- Експерименти
- experts
- Пояснювати
- пояснюючи
- пояснення
- Розвіданий
- Дослідження
- ступінь
- надзвичайно
- факт
- ярмарок
- достатньо
- Падати
- false
- знайомий
- знаменитий
- фантастичний
- далеко
- захоплюючий
- Улюблений
- особливість
- почувати
- почуває
- fellow
- помилка
- кілька
- поле
- Поля
- розібрався
- цифри
- в кінці кінців
- знайти
- виявлення
- Перший
- рідина
- Динаміка рідини
- Сфокусувати
- фокусування
- для
- формальний
- Формально
- вперед
- форум
- знайдений
- фонд
- чотири
- лисиця
- фракція
- друг
- від
- фундаментальний
- фінансування
- смішний
- майбутнє
- гра
- дав
- Загальне
- породжувати
- покоління
- щедрий
- геометрія
- отримати
- отримує
- отримання
- GitHub
- Давати
- Go
- йде
- буде
- Золотий
- добре
- хороша робота
- є
- випускник
- великий
- грецький
- листяний ліс
- Грифон
- заземлений
- Охорона
- здогадуватися
- Гості
- керівництво
- було
- на півдорозі
- рука
- траплятися
- сталося
- Відбувається
- відбувається
- Жорсткий
- Мати
- має
- he
- здоровий
- чути
- слух
- їжак
- допомога
- допомогу
- допомагає
- тут
- Високий
- на вищому рівні
- висока роздільна здатність
- вище
- Виділіть
- його
- сам
- його
- історія
- цілісний
- Головна
- домашня сторінка
- домашнє завдання
- честь
- надія
- надіється
- сподіваючись
- господар
- ГАРЯЧА
- Як
- How To
- HTTPS
- величезний
- Величезно
- людина
- читається людиною
- Сотні
- i
- ідея
- ідеали
- ідеї
- ідентифікувати
- if
- зображення
- зображень
- картина
- Зображеннями
- Impact
- вражаючий
- важливо
- неможливе
- поліпшення
- in
- Схильний
- включати
- У тому числі
- незалежний
- індивідуальний
- вплив
- Впливовий
- притаманне
- спочатку
- розуміння
- розуміння
- негайно
- інтегрований
- інтелектуальний
- інтелектуальна власність
- призначених
- взаємодія
- інтерактивний
- інтерес
- зацікавлений
- цікавий
- інтернет
- в
- Вступ
- інтуїція
- Винахід
- iPhone
- ізольований
- IT
- ЙОГО
- робота
- Джон
- приєднання
- приєднуючись до нас
- з'єднання
- журнал
- журналістика
- радість
- просто
- збережений
- ключ
- ключові слова
- Діти
- Дитина
- види
- King
- Знати
- відомий
- знає
- земля
- мова
- мови
- великий
- масштабний
- більше
- пізніше
- закон
- УЧИТЬСЯ
- вивчення
- найменш
- менше
- дозволяти
- рівень
- життя
- Life Sciences
- як
- недоліки
- обмеженою
- лін
- Лінія
- лінійний
- ліній
- Прослуховування
- трохи
- Місце проживання
- логічний
- логотип
- Довго
- довше
- подивитися
- виглядає як
- шукати
- ВИГЛЯДИ
- втрачати
- серія
- багато
- любов
- машина
- Машинки для перманенту
- made
- журнал
- Більшість
- зробити
- РОБОТИ
- Робить
- управляти
- багато
- ринок
- масивний
- математики
- математичний
- математично
- математика
- Матриця
- матовий
- Матерія
- зрілий
- Може..
- може бути
- me
- значити
- виміряний
- вимір
- Медіа
- медичний
- Медична візуалізація
- члени
- люди
- згадати
- згаданий
- зустрів
- метрика
- може бути
- мільйона
- умів
- мінімізація
- хвилин
- протокол
- неправильні уявлення
- помилка
- модальності
- сучасний
- Режими
- гроші
- більше
- Morgan
- найбільш
- руху
- МРТ
- багато
- музика
- повинен
- my
- себе
- Таємниця
- наївний
- ім'я
- Необхідність
- необхідний
- потреби
- ні
- ніколи
- Нові
- новини
- наступний
- приємно
- ніч
- немає
- ні
- нормально
- нічого
- сповіщення
- зараз
- Nuance
- номер
- номера
- об'єкт
- мета
- об'єкти
- спостерігається
- Очевидний
- ОЧОА
- жовтень
- of
- часто
- oh
- добре
- on
- один раз
- ONE
- ті,
- онлайн
- тільки
- непрозорий
- з відкритим вихідним кодом
- Відкритість
- Думка
- Оптимістичний
- or
- органічно
- організаційної
- Інше
- інші
- наші
- з
- застарілий
- вихід
- поза
- над
- власний
- Pack
- упакований
- сторінок
- Папір
- документи
- Паралельні
- частково
- приватність
- особливо
- частини
- Пройшов
- Минуле
- Люди
- відсотків
- ідеальний
- продуктивність
- постійний
- людина
- Пітер
- явище
- фізичний
- Фізичні науки
- Фізично
- Фізика
- підібраний
- частина
- plato
- Інформація про дані Платона
- Платона
- PlatoData
- будь ласка
- задоволення
- Подкаст
- Подкастинг
- Поезія
- точка
- Точка зору
- точок
- поставлений
- позитивний
- це можливо
- Пости
- потенціал
- влада
- потужний
- практика
- практики
- точно
- Presentation
- досить
- запобігає
- раніше
- первинний
- Prime
- примітивний
- приз
- Проблема
- проблеми
- Вироблений
- виробник
- Production
- виробництва
- Професор
- програма
- прогрес
- проектів
- плодовитий
- доказ
- докази
- правильно
- власність
- Право власності
- захищений
- гордий
- Доведіть
- доведений
- забезпечувати
- за умови
- забезпечення
- доведення
- громадськість
- Публікація
- публічно
- публікувати
- опублікований
- Видавничий
- чистий
- суто
- мета
- переслідувати
- Натискання
- put
- Ставить
- Квантамагазин
- питання
- питань
- тихо
- досить
- випадковий
- швидше
- співвідношення
- читачі
- реальний
- Реальний світ
- Реальність
- реалізувати
- зрозумів,
- розуміючи,
- насправді
- причина
- спад
- облік
- зменшити
- посилання
- називають
- пов'язаний
- відносини
- відносності
- випуску
- запам'ятати
- Вилучено
- Сховище
- вимагається
- Вимагається
- дослідження
- вирішене
- резонанс
- ресурс
- ресурси
- відповідь
- відповідально
- результат
- результати
- виявлення
- переглядати
- революційний
- право
- праві
- кільце
- Зростання
- ролі
- грубо
- прогін
- Зазначений
- то ж
- say
- приказка
- говорить
- сканування
- Школа
- наука
- НАУКИ
- Пошук
- другий
- seconds
- побачити
- бачачи
- здається
- здавалося
- Здається,
- бачив
- сегмент
- вибрати
- вибір
- самонаправлений
- пропозиція
- окремий
- сервери
- набори
- кілька
- форми
- Поділитись
- зсув
- Короткий
- Повинен
- сторона
- аналогічний
- простий
- простий
- спрощений
- спростити
- спрощення
- з
- один
- сидіти
- Сидячий
- ситуацій
- навички
- сповільнювати
- менше
- Нюх
- So
- соціальна
- соціальні медіа
- суспільство
- Софтвер
- клопотання
- ВИРІШИТИ
- Розв’язування
- деякі
- якось
- Хтось
- що в сім'ї щось
- іноді
- кілька
- десь
- Скоро
- шукати
- звуки
- Source
- Джерела
- Простір
- просторовий
- спеціальний
- спеціалізований
- спекуляції
- спекулятивний
- витрачати
- Spotify
- площа
- квадрати
- standard
- Станфорд
- старт
- почалася
- Починаючи
- починається
- Заява
- Штати
- залишатися
- Крок
- заходи
- Стів
- Як і раніше
- акції
- Фондова біржа
- КАМІНЬ
- Історія
- прямий
- успіхів
- студент
- Студентам
- Дослідження
- студії
- Вивчення
- вивчення
- тема
- успішний
- такі
- Запропонує
- підтримка
- Підтриманий
- поверхню
- здивований
- дивно
- підозрілі
- синтезувати
- Systems
- Приймати
- приймає
- взяття
- балаканина
- говорити
- Переговори
- відчутний
- завдання
- чай
- Навчання
- команда
- технічний
- техніка
- технологічний
- сказати
- як правило,
- тензор
- тест
- ніж
- Дякую
- Що
- Команда
- Площа
- Майбутнє
- світ
- їх
- Їх
- тема
- потім
- теоретичний
- теорія
- Там.
- отже
- Ці
- вони
- річ
- речі
- думати
- Мислення
- третій
- Третє покоління
- це
- хоча?
- думка
- три
- тривимірний
- через
- час
- до
- сьогодні
- разом
- занадто
- інструмент
- інструменти
- теми
- Усього:
- торкатися
- традиційний
- Навчання
- перетворений
- лікування
- дерево
- Тенденції
- намагався
- правда
- Довіряйте
- намагатися
- намагається
- пухлина
- Поворот
- повороти
- налаштування
- два
- тип
- Типи
- UCLA
- підкреслення
- розуміти
- зрозуміло
- розуміння
- зрозуміла
- Unexpected
- єдиний
- союз
- блок
- United
- до
- незвичайний
- Завантаження
- на
- UPS
- us
- використання
- використовуваний
- корисний
- використання
- зазвичай
- утиліта
- використовувати
- Цінний
- значення
- цінний
- Цінності
- змінна
- різний
- VeeR
- перевірити
- дуже
- ПТО
- Відео
- вид
- переглянуті
- вірусний
- бачення
- з
- Очікування
- хотіти
- хотів
- було
- спостереження
- вода
- шлях..
- способи
- we
- носити
- Web
- webp
- ласкаво просимо
- вітав
- ДОБРЕ
- були
- Що
- Що таке
- будь
- коли
- в той час як
- Чи
- який
- в той час як
- ВООЗ
- всі
- чому
- широкий
- широко
- широко поширений
- мати
- Вікіпедія
- волі
- переможець
- мудрість
- з
- в
- без
- цікаво
- слово
- WordPress
- Work
- працював
- робочий
- виробки
- світ
- всесвітня павутина
- хвилювалися
- турбуватися
- б
- Ого
- запис
- лист
- письмовий
- Неправильно
- пише
- років
- так
- ще
- ви
- вашу
- зефірнет