За кілька хвилин доповіді 2018 року в Мічиганському університеті, Ян Тобаско взяв великий аркуш паперу й зім’яв його в, здавалося, невпорядковану кулю хаосу. Він підняв його, щоб глядачі побачили, добре стиснув, а потім знову розгорнув.
«Я отримую дику масу складок, які з’являються, і в цьому головоломка», — сказав він. «Що виділяє цей шаблон серед іншого, більш упорядкованого шаблону?»
Потім він підняв другий великий аркуш паперу — цей попередньо складений у відомий візерунок орігамі з паралелограмів, відомий як Міура-орі, — і притиснув його. За його словами, сила, яку він застосував до кожного аркуша паперу, була приблизно однаковою, але результати не могли бути більш різними. Міура-орі була акуратно поділена на геометричні області; зім'ятий м'яч являв собою місиво нерівних ліній.
«Виникає відчуття, що це, — сказав він, вказуючи на розрізнені складки на зім’ятому аркуші, — лише випадкова невпорядкована версія цього». Він вказав на охайну, акуратну Міура-орі. «Але ми не визначили, правда це чи ні».
Встановлення такого зв’язку вимагало б не що інше, як встановлення універсальних математичних правил пружних моделей. Тобаско працював над цим роками, вивчаючи рівняння, які описують тонкі пружні матеріали — речі, які реагують на деформацію, намагаючись повернутися до своєї початкової форми. Тикніть повітряну кульку досить сильно, і утвориться візерунок радіальних зморшок; приберіть палець, і вони знову розгладяться. Стисніть зім’яту кульку паперу, і вона розшириться, коли ви її відпустите (хоча вона не розім’янеться повністю). Інженери та фізики досліджували, як ці закономірності виникають за певних обставин, але для математика ці практичні результати підказують більш фундаментальне запитання: чи можна взагалі зрозуміти, що вибирає одну закономірність, а не іншу?
У січні 2021 року Tobasco опублікував папір що дало ствердну відповідь на це запитання — принаймні у випадку гладкого, вигнутого, еластичного аркуша, стиснутого до плоскості (ситуація, яка пропонує чіткий спосіб дослідити питання). Його рівняння передбачають, як, здавалося б, випадкові зморшки містять «упорядковані» домени, які мають повторюваний візерунок, який можна ідентифікувати. І він був співавтором статті, опублікованої минулого місяця, яка показує нову фізичну теорію, засновану на строгій математиці, яка може передбачати закономірності в реалістичних сценаріях.
Примітно, що робота Тобаско свідчить про те, що зморшки в багатьох іпостасях можна розглядати як рішення геометричної проблеми. «Це прекрасний твір математичного аналізу», — сказав Стефан Мюллер Центру математики Хаусдорфа Боннського університету в Німеччині.
У ньому вперше елегантно викладаються математичні правила — і нове розуміння — цього поширеного явища. «Роль математики тут полягала не в тому, щоб довести гіпотезу, яку вже зробили фізики», — сказав Роберт Кон, математик з Інституту Куранта Нью-Йоркського університету та консультант аспірантури Тобаско, «а швидше для того, щоб надати теорію, де раніше не було систематичного розуміння».
Розтягування
Мета розробки теорії зморшок і пружних візерунків є старою. У 1894 році в рецензії в природа, математик Джордж Грінхілл вказав на різницю між теоретиками («Що нам думати?») і корисними застосуваннями, які вони можуть знайти («Що нам робити?»).
У 19-му та 20-му століттях вчені значно просунулися в останньому, вивчаючи проблеми, пов’язані зі зморшками в конкретних об’єктах, які деформуються. Перші приклади включають проблему кування гладких, вигнутих металевих пластин для морських кораблів і спробу пов’язати утворення гір із нагріванням земної кори.
Зовсім недавно математики та фізики розширили зусилля, щоб поєднати теорію та спостереження з широким спектром зморшкуватих ситуацій, геометрії та матеріалів. «Це відбувається протягом останніх 10 років, коли ми спочатку проводимо експерименти, а потім намагаємося знайти теорію, щоб зрозуміти їх», — сказав математик. Домінік Велла Оксфордського університету. «Лише нещодавно ми почали мати належне розуміння».
Були захоплюючі віхи. У 2015 році Педро Рейс, інженер-механік Массачусетського технологічного інституту, описані фізичні закони для геометричних візерунків, які утворюються на спущених силіконових кульках. Його робота пов’язала ці зморшки з товщиною внутрішнього та зовнішнього шарів еластичного матеріалу. Рейс також зауважив, що зморшки, замість того, щоб вважатися дефектами, можуть запропонувати можливості для розробки нової механічної поведінки. Потім у 2017 році Велла керував аналізом нестабільності зморщування тонкої еластичної плівки під тиском, що характеризує, як кількість зморшок змінюється відповідно до глибини початкового штриха та інших конкретних деталей.
Але ці розробки все ще вирішували лише частину проблеми. Для більш загального математичного розуміння того, як утворюються зморшки, потрібен був інший підхід. Тобаско буде тим, хто просуне це вперед.
Слідкуючи за Curiosity
Коли він був молодшим, Тобаско думав, що піде в аерокосмічну інженерію. Він закінчив Мічиганський університет у 2011 році зі ступенем бакалавра в цій галузі, але на той момент він уже був занурений у глибокі роздуми про математичні міркування та фізичні системи. Він здобув ступінь доктора математики, але звинувачує Джої Полсена, фізика, який зараз працює в Університеті Сіракуз, у тому, що він спрямував його на особливий шлях утворення зморшок.
Раніше в кар’єрі Паулсена, коли він вивчав властивості незвичайних матеріалів, він навчився виготовляти й аналізувати ультратонкі полімерні плівки за допомогою технології, яка називається спінюванням. Спочатку він створив спеціальний рідкий матеріал, що містить сліди розчиненого полімеру; потім він клав матеріал на обертову пластину. Більша частина рідини випаровується, тоді як полімер рівномірно розподіляється, перш ніж затвердіти. Після того, як Полсен мав власну лабораторію в Сіракузах, навчився адаптувати спінене покриття для створення вигнутих плівок, подібних до надтонких панцирів черепахи.
Одного разу він помістив деякі з цих вигнутих плівок на поверхню нерухомої води та сфотографував, як вони осідають на поверхні. «Це було чисто з цікавості», — сказав він. Фотографії привернули увагу Тобаско під час неформальної зустрічі з Полсеном у 2017 році.
«Вони показали, що ви можете отримати ці випадкові невпорядковані моделі зморшок — коли ви проводили експеримент двічі, ви отримували дві різні моделі», — сказав Тобаско, який зараз є доцентом Університету Іллінойсу, Чикаго. «Я хотів побачити, чи зможу я придумати якийсь спосіб [передбачити ці закономірності] на основі еластичності, який включав би форму раковини. І щоб модель не змінювалася від оболонки до оболонки».
Шаблони зморщування — це конфігурації з найменшою можливою енергією. Тобто, коли тонка плівка осідає на плоскій поверхні, вона перетворюється, поки не знайде розташування зморшок, невпорядкованих чи ні, для підтримки яких потрібно найменше енергії. «Ви можете впорядкувати шаблони за кількістю енергії, яка зберігається, коли [шаблон] проявляється», — сказав Тобаско.
Керуючись цим керівним принципом, він виділив кілька характеристик плівки, які виявилися тими, що вибирають її візерунок, включно з мірою її форми, яка називається кривизною Гаусса. Поверхня з позитивною гаусовою кривизною відгинається від себе, як зовнішня частина кулі. Негативно вигнуті поверхні, навпаки, мають форму сідла, як чіп Pringles: якщо ви рухаєтеся в одному напрямку, ви подорожуєте вгору, але якщо ви рухаєтеся в іншому напрямку, ви опускаєтеся.
Тобаско виявив, що області позитивної гаусової кривизни створюють один вид розташування впорядкованих і невпорядкованих доменів, а області з негативною кривизною створюють інші види. «Детальна геометрія не настільки важлива, — сказав Велла. «Насправді це залежить лише від знака кривизни Гауса».
Вони підозрювали, що гауссова кривизна важлива для зморшок, але Велла сказав, що було несподіванкою, що домени так сильно залежать від знака. Більше того, теорія Тобаско також застосовна до широкого спектру еластичних матеріалів, а не лише до форм Паулсена. «Це гарна геометрична конструкція, яка показує, де з’являться зморшки», — сказав Велла. «Але розуміння, звідки це береться, дуже глибоке і дещо дивовижне».
Полсен погодився. «Теорія Ієна дуже чудово робить, так це дає вам всю закономірність одразу».
Реальні зморшки
На початку 2018 року Тобаско в основному підтвердив свою теорію, але хоча вона працювала на папері, він не міг бути впевнений, що вона буде точною в реальному світі. Тобаско зв'язався з Полсеном і запитав, чи буде він зацікавлений у співпраці. «Щось одразу спрацювало», — сказав Паулсен. «З деякими передбаченнями Яна, покладеними поверх експериментальних фотографій, ми могли відразу побачити, що вони збігаються».
На конференції Товариства промислової та прикладної математики того року з математичних аспектів матеріалознавства Тобаско був представлений Елені Катіфорі, фізик з Університету Пенсільванії, який досліджував проблему візерунків зморшок у замкнутих оболонках і створював базу даних результатів. Це був момент інтуїції. «Ми могли побачити домени [у симуляції], які пояснювала робота Яна», — сказала вона. Матч був неймовірним. Навіть під час їх перших дискусій було зрозуміло, що теорія Тобаско, експериментальні зображення Полсена та симуляції Катіфорі описують ті самі явища. «Навіть на ранніх етапах, коли у нас не було нічого конкретного, ми бачили зв’язок».
Це раннє хвилювання швидко породило скептицизм. Це здавалося занадто гарним, щоб бути правдою. «Він математик і робить усі ці речі безвимірними», — сказав Полсен, маючи на увазі те, як ідеї Тобаско про кривизну можна розширити далеко за межі двовимірних плоских матеріалів. «Невже ми дивимось на ту саму систему? Воно погоджується, але чи варто було погоджуватися?»
Протягом наступних двох років троє дослідників з’ясовували деталі, показуючи, що теорія Тобаско дійсно передбачила — точно — розташування зморшок, яке Полсен бачив у своїх експериментах, а Катіфорі знайшла у своїх комп’ютерних моделях. 25 серпня вони опублікували статтю в Фізика природи показ як усі три підходи сходяться на одному, простому геометричному розташуванні зморшок. Примітно, що вони виявили, що візерунки розпадаються на акуратні сімейства рівнобедрених трикутників, які розмежовують області порядку та безладу. Крім того, результати не обмежуються математичними абстракціями неймовірно тонких матеріалів, а стосуються кількох порядків товщини.
Їхня робота також пропонує можливості для розширення теорії та її застосування. Катіфорі сказала, що як фізик вона зацікавлена у використанні прогнозів для розробки нових матеріалів. «Я хочу зрозуміти, як ви можете спроектувати поверхні так, щоб вони фактично самоорганізовували візерунки зморшок у щось, що ви хочете».
Ще одне відкрите питання полягає в тому, як загалом цю теорію можна застосувати до різних видів кривих поверхонь. «Це дуже зосереджено на ситуаціях, коли [кривизна Гаусса] або позитивна, або негативна, але є багато ситуацій, коли деякі регіони є позитивними, а деякі — негативними», — сказав Велла.
Полсен погодився, що це захоплююча можливість, і Тобаско сказав, що він активно працює в цій галузі та розглядає інші форми оболонок — наприклад, з отворами.
Але Полсен сказав, що ця теорія, навіть у тому вигляді, в якому вона є зараз, є прекрасною та дивовижною. «Якщо я дам вам мушлю, контурну форму та цей простий набір правил, які передбачила теорія Яна, тоді ви можете взяти циркуль і лінійку й по суті намалювати зморшки», — сказав він. «Це не повинно було статися таким чином. Це могло бути жахливо».
