Якщо ви стежили за новинами математики цього місяця, то знаєте, що 35-річний теоретик чисел Джеймс Мейнард виграв Поля Медаль — найвища відзнака для математика. Мейнарду подобаються математичні запитання, які «достатньо прості, щоб пояснити старшокласнику, але досить складні, щоб на століття поставити математиків у глухий кут». Quanta повідомляє, і одне з тих простих запитань таке: коли ви рухаєтеся вздовж числової прямої, чи завжди повинні існувати прості числа, розташовані поруч?
Можливо, ви помітили, що математики одержимі простими числами. Що їх приваблює? Можливо, справа в тому, що прості числа втілюють деякі з найфундаментальніших математичних структур і таємниць. Прості числа відображають всесвіт множення, дозволяючи нам класифікувати та класифікувати кожне число за допомогою унікальної розкладки. Але навіть незважаючи на те, що люди граються з простими числами з самого початку множення, ми все ще не зовсім впевнені, де з’являться прості числа, наскільки вони розкидані або як близько вони повинні бути. Наскільки ми знаємо, прості числа не слідують простому шаблону.
Наше захоплення цими фундаментальними об’єктами призвело до винаходу або відкриття сотень різних типів простих чисел: прості числа Мерсенна (прості числа виду 2n − 1), збалансовані прості числа (прості числа, які є середнім двох сусідніх простих чисел) і прості числа Софі Жермен (прості числа p такий, що 2p + 1 також є простим числом), щоб назвати декілька.
Інтерес до цих спеціальних простих чисел виріс із гри з числами та відкриття чогось нового. Це також вірно щодо «цифрових делікатних простих чисел», нещодавнього доповнення до списку, яке призвело до деяких дивовижних результатів щодо найпростіших питань: наскільки рідкісними чи поширеними можуть бути певні види простих чисел?
Щоб зрозуміти це питання, давайте почнемо з одного з перших інтригуючих фактів, які дізнаються любителі чисел: простих чисел нескінченно багато. Евклід довів це 2,000 років тому, використовуючи одне з найвідоміших доказів через протилежне в усій історії математики. Він почав з припущення, що існує лише скінченна кількість простих чисел, і уявив усі n з них у списку:
$latexp_1, p_2, p_3, …, p_n$.
Потім він зробив щось розумне: він подумав про число $latexq=p_1, помножене на p_2, помножене на p_3, помножене на p_n+1$.
Зверніть увагу на це q не може бути в списку простих чисел, тому що воно більше за все в списку. Отже, якщо існує скінченний список простих чисел, це число q не може бути простим. Але якщо q не є простим числом, воно має ділитися на щось, відмінне від самого себе та 1. Це, у свою чергу, означає, що q повинен ділиться на деяке просте число зі списку, але через спосіб q будується, розд q будь-чим у списку залишає залишок 1. Отже, очевидно q не є ані простим числом, ані не ділиться на будь-яке просте число, що є протиріччям, яке є результатом припущення, що існує лише скінченна кількість простих чисел. Тому, щоб уникнути цієї суперечності, простих чисел має бути нескінченно багато.
Враховуючи, що їх нескінченно багато, ви можете подумати, що прості числа будь-якого типу легко знайти, але одна з наступних речей, про які дізнається детектив з простих чисел, це те, наскільки розкиданими можуть бути прості числа. Простий результат про проміжки між послідовними простими числами, які називають простими проміжками, говорить про щось досить дивовижне.
Серед перших 10 простих чисел — 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 і 29 — ви можете побачити пропуски, які складаються з одного або кількох складених чисел (чисел, які не є простими, наприклад 4, 12 або 27). Ви можете виміряти ці розриви, підрахувавши складені числа між ними: наприклад, є розрив розміру 0 між 2 і 3, розрив розміру 1 між 3 і 5 і 5 і 7, розрив розміру 3 між 7 і 11, і так далі. Найбільший проміжок у цьому списку складається з п’яти складених чисел — 24, 25, 26, 27 і 28 — між 23 і 29.
Тепер про неймовірний результат: проміжки між основними елементами можуть бути як завгодно довгими. Це означає, що існують послідовні прості числа настільки далеко одне від одного, наскільки ви можете собі уявити. Можливо, настільки ж неймовірним є те, як легко цей факт довести.
У нас уже є простий розрив довжини 5 вище. Чи може бути одна довжини 6? Замість того, щоб шукати списки простих чисел у надії знайти один, ми просто створимо його самі. Для цього ми використаємо функцію факторіалу, яка використовується в основних формулах підрахунку: за визначенням, $latexn!=n разів(n-1) разів (n-2) разів … помножити на 3 помножити на 2 помножити на 1$, отже, наприклад, $ латекс3!=3 рази 2рази 1 = 6$ і $latex5!=5 разів 4 рази 3 рази 2 рази 1=120$.
Тепер давайте побудуємо наш простий розрив. Розглянемо таку послідовність послідовних чисел:
$латекс 7!+2$, $латекс7!+3$, $латекс 7!+4$, $латекс7!+5$, $латекс 7!+6$, $латекс 7!+7$.
Оскільки $latex7!=7 помножити на 6 помножити на 5 помножити на 4 помножити на 3 помножити на 2 помножити на 1$, перше число в нашій послідовності, $latex7!+2$, ділиться на 2, що ви можете побачити після невеликого розкладання на множники:
$latex7!+2=7 разів 6 разів 5 разів 4 разів 3 разів 2 разів 1+2$
$латекс= 2(7 разів 6 разів 5 разів 4 разів 3 разів 1+1)$.
Так само друге число, $latex7!+3$, ділиться на 3, оскільки
$latex7!+3=7 разів 6 разів 5 разів 4 разів 3 разів 2 разів 1+3$
$латекс= 3(7 разів 6 разів 5 разів 4 разів 2 разів 1+1)$.
Так само 7! + 4 ділиться на 4, 7! + 5 на 5, 7! + 6 на 6 і 7! + 7 на 7, тобто 7! + 2, 7! + 3, 7! + 4, 7! + 5, 7! + 6, 7! + 7 послідовність із шести послідовних складених чисел. У нас простий розрив принаймні 6.
Цю стратегію легко узагальнити. Послідовність
$latexn!+2$, $latexn!+3$, $latexn!+4$, $latex…$, $latexn!+n$.
є послідовністю $latexn-1$ послідовних складених чисел, що означає, що для будь-якого n, існує простий розрив довжиною принаймні $latexn-1$. Це показує, що існують довільні проміжки між простими числами, і тому в списку натуральних чисел є місця, де найближчі прості числа віддалені один від одного на 100, або 1,000, або навіть 1,000,000,000 чисел.
У цих результатах можна побачити класичну напругу. Простих чисел нескінченно багато, але послідовні прості числа також можуть бути нескінченно далекими одне від одного. Більше того, існує нескінченна кількість послідовних простих чисел, розташованих близько одне до одного. Приблизно 10 років тому новаторська робота Ітана Чжана поклала початок гонці, щоб заповнити прогалину та довести гіпотезу про простих чисел-близнюків, яка стверджує, що існує нескінченна кількість пар простих чисел, які відрізняються лише на 2. Гіпотеза про прості числа-близнюки є однією з найбільших відомі відкриті питання в математиці, і Джеймс Мейнард зробив власний значний внесок у підтвердження цього невловимого результату.
Ця напруга також присутня в останніх результатах щодо так званих цифрових делікатних простих чисел. Щоб отримати уявлення про те, що це за числа та де вони можуть бути чи ні, поміркуйте над таким дивним запитанням: чи існує двозначне просте число, яке завжди стає складеним із будь-якою зміною його одиниці?
Щоб відчути цифрову делікатність, давайте пограємо з числом 23. Ми знаємо, що це просте число, але що станеться, якщо ви зміните його одиницю? Ну, 20, 22, 24, 26 і 28 усі парні, а отже, складені; 21 ділиться на 3, 25 ділиться на 5, а 27 ділиться на 9. Поки все добре. Але якщо ви заміните цифру одиниць на 9, ви отримаєте 29, яке все одно є простим числом. Отже, 23 — це не те просте число, яке ми шукаємо.
А як щодо 37? Як ми бачили вище, нам не потрібно перевіряти парні числа або числа, які закінчуються на 5, тому ми просто перевіримо 31, 33 і 39. Оскільки 31 також є простим числом, 37 також не працює.
Таке число взагалі існує? Відповідь так, але ми повинні пройти весь шлях до 97, щоб знайти його: 97 є простим числом, але 91 (ділиться на 7), 93 (ділиться на 3) і 99 (також ділиться на 3) є складовими , а також парні числа та 95.
Просте число є «делікатним», якщо коли ви змінюєте будь-яку його цифру на будь-яку іншу, воно втрачає свою «простість» (або первинність, якщо використовувати технічний термін). Поки що ми бачимо, що 97 є делікатним у розряді одиниць — оскільки зміна цього розряду завжди дає складене число — але чи задовольняє 97 усі критерії цифрової делікатності? Відповідь - ні, тому що якщо ви зміните цифру десятків на 1, ви отримаєте 17, просте число. (Зверніть увагу, що 37, 47 і 67 також є простими числами.)
Насправді не існує двозначного цифрового делікатного простого числа. У наведеній нижче таблиці всіх двоцифрових чисел із двозначними простими числами, заштрихованими, показано, чому.
Усі числа в будь-якому заданому рядку мають однакову цифру десятків, а всі числа в будь-якому заданому стовпчику мають однакову цифру одиниць. Той факт, що 97 є єдиним заштрихованим числом у своєму рядку, свідчить про те, що воно делікатне в розряді одиниць, але це не єдине просте число в своєму стовпчику, а це означає, що воно не делікатне в розряді десятків.
Цифрове двозначне просте число має бути єдиним простим числом у своєму рядку та стовпці. Як видно з таблиці, такого двозначного простого числа не існує. А як щодо делікатного цифрового тризначного простого числа? Ось подібна таблиця, яка показує розташування тризначних простих чисел між 100 і 199, без складових чисел.
Тут ми бачимо, що 113 знаходиться в окремому рядку, що означає, що він делікатний у розряді одиниць. Але 113 не знаходиться в окремому стовпчику, тому деякі зміни цифри десятків (наприклад, 0 для 103 або 6 для 163) створюють прості числа. Оскільки жодне число не відображається як у власному рядку, так і у власному стовпці, ми швидко бачимо, що немає тризначного числа, яке гарантовано буде складеним, якщо ви зміните його цифру одиниць або цифру десятків. Це означає, що не може бути тризначного цифрового делікатного простого числа. Зверніть увагу, що ми навіть не перевірили цифру сотень. Щоб бути справді цифровим делікатним, тризначне число мало б уникати простих чисел у трьох напрямках у тривимірній таблиці.
Чи взагалі існують цифрові делікатні прості числа? У міру просування по числовій прямій прості числа стають рідшими, що зменшує ймовірність їх перетину в рядках і стовпцях цих багатовимірних таблиць. Але більші числа мають більше цифр, і кожна додаткова цифра зменшує ймовірність того, що просте число буде цифровим делікатним.
Якщо ви продовжите, ви виявите, що цифрові делікатні прості числа дійсно існують. Найменший — 294,001 794,001. Якщо ви зміните одну з його цифр, число, яке ви отримаєте — скажімо, 284,001 505,447 або 584,141 604,171 — буде складеним. І ще більше: Наступні кілька 971,767 1,062,599; XNUMX; XNUMX; XNUMX XNUMX; і XNUMX XNUMX XNUMX. Насправді вони не зупиняються. Відомий математик Пауль Ердеш довів, що існує нескінченна кількість цифрових делікатних простих чисел. І це був лише перший із багатьох дивовижних результатів щодо цих цікавих цифр.
Наприклад, Ердеш не просто довів, що існує нескінченна кількість цифрових делікатних простих чисел: він довів, що існує нескінченна кількість цифрових делікатних простих чисел у будь-якій основі. Отже, якщо ви вирішите представити свої числа у двійковій, трійковій чи шістнадцятковій системах, ви все одно гарантовано знайдете нескінченну кількість делікатних цифрових простих чисел.
І цифрові делікатні прості числа не просто нескінченні: вони складають ненульовий відсоток усіх простих чисел. Це означає, що якщо ви подивитеся на відношення кількості цифрових делікатних простих чисел до загальної кількості простих чисел, ця частка є деяким числом, більшим за нуль. З технічної точки зору, «позитивна пропорція» всіх простих чисел є делікатною в цифровому вигляді, як довів у 2010 році володар Філдсової премії Теренс Тао. Прості числа самі по собі не складають додатної пропорції всіх чисел, оскільки ви знайдете все менше і менше простих чисел. чим далі ви йдете вздовж числової прямої. Проте серед цих простих чисел ви продовжуватимете знаходити цифрові делікатні прості числа досить часто, щоб утримувати співвідношення делікатних простих чисел до загальної кількості простих чисел вище нуля.
Мабуть, найбільш шокуючим відкриттям став а результат 2020 року про нову варіацію цих дивних чисел. Пом’якшивши концепцію того, що таке цифра, математики переосмислили подання числа: замість того, щоб думати про 97 саме по собі, вони натомість вважали, що воно має нулі на початку:
... 0000000097.
Кожен початковий нуль можна розглядати як цифру, і питання цифрової делікатності можна поширити на ці нові уявлення. Чи можуть існувати «широко делікатні в цифровому вигляді прості числа» — прості числа, які завжди стають складеними, якщо ви змінюєте будь-яку з цифр, включаючи будь-який із тих початкових нулів? Завдяки роботі математиків Майкла Філасети та Джеремії Саутвіка ми знаємо, що відповідь, як не дивно, ствердна. Існують не тільки дуже делікатні в цифровому вигляді прості числа, але їх нескінченно багато.
Прості числа утворюють нескінченний ряд математичних головоломок, з якими можуть грати професіонали та ентузіасти. Можливо, ми ніколи не розгадаємо всі їхні таємниці, але ви можете розраховувати на те, що математики будуть постійно відкривати та винаходити нові види простих чисел для дослідження.
Вправи
1. Який найбільший розрив простих чисел серед простих чисел від 2 до 101?
2. Щоб довести, що існує нескінченна кількість простих чисел, Евклід припускає, що існує скінченна кількість простих чисел $latexp_1, p_2, p_3, …, p_n$, а потім показує, що $latexq=p_1 помножити на p_2 помножити на p_3 помножити на … помножити на p_n+1$ isn не ділиться на жодне просте число зі списку. Хіба це не означає, що q має бути простим?
3. Відомим результатом теорії чисел є те, що між ними завжди є просте число k і 2k (включно). Це важко довести, але легко довести, що між ними завжди є просте число k і $latexq=p_1, помножене на p_2, помножене на p_3, помножене на …, помножене на p_n+1$ (включно), де $latexp_1, p_2, p_3, …, p_n$ — усі прості числа, менші або дорівнюють k. Докажи це.
4. Чи можете ви знайти найменше просте число, яке є цифровим делікатним у одиницях і десятках? Це означає, що зміна цифри одиниць або десятків завжди призведе до складеного числа. (Ви можете написати комп’ютерну програму для цього!)
Завдання: чи можете ви знайти найменше просте число, яке є делікатним у цифровому вигляді, якщо його представити у двійковому вигляді? Згадайте, що в двійковій системі чи основі 2 єдиними цифрами є 0 і 1, і кожне розрядне значення представляє ступінь 2. Наприклад, 8 представлено як $latex1000_2$, оскільки $latex 8=1 помножити на 2^3 + 0 помножити на 2^2 + 0 помножити на 2^1 + 0 помножити на 2^0$, а 7 за основою 2 дорівнює $latex111_2$, оскільки $latex7=1 помножити на 2^2 + 1 на 2^1 + 1 на 2^0$.
Натисніть, щоб отримати відповідь 1:
Натисніть, щоб отримати відповідь 2:
Ні. Розглянемо перші шість простих чисел: 2, 3, 5, 7, 11 і 13. У цьому випадку число q буде $латекс 2 рази 3 рази 5 разів 7 разів 11 разів 13 + 1 = 30,031 2 $ . Це не ділиться на 3, 5, 7, 11, 13 або 30,031, але це не просте число: воно розкладається на 59 509 $ латексу = XNUMX помножити на XNUMX $. Зверніть увагу, що він має прості множники, але всі вони більші за перші шість простих чисел.
Натисніть, щоб отримати відповідь 3:
Якщо будь-яке k or q ми закінчили. Якщо q не є простим числом, воно складене, що означає, що воно ділиться на якесь просте число, але ми вже знаємо, що воно не ділиться ні на одне з перших n прості числа. Таким чином, воно має ділитися на просте число, більше першого n прості числа, а оскільки це всі прості числа, менші за k, це просте число має бути більшим за k. Але це просте ділить q, тому воно має бути менше ніж q, тому між ними має стояти проста цифра k та q.
Натисніть, щоб отримати відповідь 4:
Перше просте число, яке задовольняє цю властивість, дорівнює 2,459, оскільки всі 2,451, 2,453 і 2,457 є складовими (задовольняють делікатний критерій розрядності), а 2,409, 2,419, 2,429, 2,439, 2,449, 2,469, 2,479, 2,489 і 2,499 задовольняють усім складеним,2,459 делікатний критерій розряду десятків). І все ж 2,659 не є цифровим делікатним, оскільки XNUMX є простим числом, тому воно не вдається, коли ви починаєте розглядати цифру сотень. (Дякуємо математику Джону Д. Куку за публікацію його код Python з делікатним цифровим пошуком простих значень.)
Натисніть, щоб відповісти на завдання:
$latex127=1111111_2$ є цифровим делікатним, оскільки $latex 126=1111110_2$, $latex125=1111101_2$, $latex123=1111011_2$, $latex119=1110111_2$, $latex111=1101111_2$ і $latex95=1011111_2 =63_0111111$ усі складені.
