Beständiga tensorer och Multiqudit Entanglement Transformation

Beständiga tensorer och Multiqudit Entanglement Transformation

Tidsstämpel: 31 januari 2024 9:34
Källnod: 3091154

Masoud Gharahi1 och Vladimir Lysikov2

1QSTAR, INO-CNR och LENS, Largo Enrico Fermi 2, 50125 Firenze, Italien
2Ruhr University Bochum, 44801 Bochum, Tyskland

Hitta det här uppsatsen intressant eller vill diskutera? Scite eller lämna en kommentar på SciRate.

Abstrakt

Vi konstruerar en nedre gräns för tensorrangen för en ny klass av tensorer, som vi kallar $textit{persistent tensors}$. Vi presenterar tre specifika familjer av ihållande tensorer, av vilka den nedre gränsen är snäv. Vi visar att det finns en kedja av degenerationer mellan dessa tre familjer av ihållande tensorer av minimal rang som kan användas för att studera förvecklingstransformationen mellan dem. Dessutom visar vi att dessa tre familjer av beständiga tensorer verkligen är olika generaliseringar av multiqubit $rm{W}$-tillstånd inom multiqudit-system och är geometriskt i omloppsslutandet av multiqudit $rm{GHZ}$-tillstånd. Följaktligen visar vi att man kan erhålla var och en av generaliseringarna av $rm{W}$-tillstånd från ett multiqudit $rm{GHZ}$-tillstånd via asymptotiska stokastiska lokala operationer och klassisk kommunikation (SLOCC) med hastighet ett. Slutligen utökar vi den erhållna nedre gränsen för tensorrangen till direkta summor med ihållande summeringar och till ännu mer generella kombinationer av tensorer, som vi kallar $textit{blockpyramidala tensorer}$. Som ett resultat visar vi att tensorrangen är multiplikativ under Kronecker- och tensorprodukterna för persistenta tensorer med minimal rang med $rm{GHZ}$-tensoren.

► BibTeX-data

► Referenser

[1] R. Horodecki, P. Horodecki, M. Horodecki och K. Horodecki, Quantum entanglement, Rev. Mod. Phys. 81, 865 (2009).
https: / / doi.org/ 10.1103 / RevModPhys.81.865

[2] W. Dür, G. Vidal och JI Cirac, Tre qubits kan intrasslas på två olikvärdiga sätt, Phys. Rev. A 62, 062314 (2000).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.62.062314

[3] A. Acín, D. Bruß, M. Lewenstein och A. Sanpera, Klassificering av blandade tre-Qubit-tillstånd, Phys. Rev. Lett. 87, 040401 (2001).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.87.040401

[4] AG Nurmiev, Banor och invarianter av kubiska matriser av ordning tre, Sb. Matematik. 191, 717, (2000).
https:/​/​doi.org/​10.1070/​SM2000v191n05ABEH000478

[5] AG Nurmiev, Stängningar av nilpotenta banor av kubiska matriser av ordning tre, Russ. Matematik. Surv. 55, 347, (2000).
https: / / doi.org/ 10.4213 / rm279

[6] E. Briand, J.-G. Luque, J.-Y. Thibon och F. Verstraete, The moduli space of three-qutrit states, J. Math. Phys. 45, 4855, (2004).
https: / / doi.org/ 10.1063 / 1.1809255

[7] F. Holweck och H. Jaffali, Three-qutrit entanglement and simple singularities, J. Phys. A: Matematik. Theor. 49, 465301, (2016).
https:/​/​doi.org/​10.1088/​1751-8113/​49/​46/​465301

[8] M. Gharahi och S. Mancini, Algebraisk-geometrisk karakterisering av trepartsförveckling, Phys. Rev. A 104, 042402 (2021).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.104.042402

[9] P. Bürgisser, M. Clausen och MA Shokrollahi, Algebraic Complexity Theory (Springer-Verlag, Berlin, 1997). https://​/​doi.org/​10.1007/​978-3-662-03338-8.
https:/​/​doi.org/​10.1007/​978-3-662-03338-8

[10] JM Landsberg, Tensorer: Geometry and Applications (Graduate Studies in Mathematics, Vol. 128) (American Mathematical Society, Providence, RI, 2012). http://​/​www.ams.org/​publications/​authors /​books/​postpub/​gsm-128.
http://​/​www.ams.org/​publications/​authors/​books/​postpub/​gsm-128

[11] E. Chitambar, R. Duan och Y. Shi, Tripartite Entanglement Transformations and Tensor Rank, Phys. Rev. Lett. 101, 140502 (2008).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.101.140502

[12] N. Yu, E. Chitambar, C. Guo och R. Duan, Tensorrang i den tredelade staten $|rm{W}rangle^{otimes n}$, Phys. Rev. A 81, 014301 (2010).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.81.014301

[13] E. Chitambar, R. Duan och Y. Shi, Multipartite-to-bipartite entanglement transformations and polynomial identity testing, Phys. Rev. A 81, 052310 (2010).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.81.052310

[14] L. Chen, E. Chitambar, R. Duan, Z. Ji och A. Winter, Tensor Rank och Stokastisk Entanglement Catalysis for Multipartite Pure States, Phys. Rev. Lett. 105, 200501 (2010).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.105.200501

[15] N. Yu, C. Guo och R. Duan, Erhålla ett W-tillstånd från en Greenberger-Horne-Zeilinger-stat via stokastiska lokala operationer och klassisk kommunikation med en hastighet som närmar sig enhet, Phys. Rev. Lett. 112, 160401 (2014).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.112.160401

[16] P. Vrana och M. Christandl, Asymptotic entanglement transformation between W and GHZ states, J. Math. Phys. 56, 022204 (2015).
https: / / doi.org/ 10.1063 / 1.4908106

[17] P. Vrana och M. Christandl, Entanglement Destillation from Greenberger–Horne–Zeilinger Shares, Commun. Matematik. Phys. 352, 621 (2017).
https:/​/​doi.org/​10.1007/​s00220-017-2861-6

[18] M. Gharahi, S. Mancini och G. Ottaviani, Fin-struktur klassificering av multiqubit entanglement genom algebraisk geometri, Phys. Rev. Research 2, 043003 (2020).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevResearch.2.043003

[19] P. Walther, KJ Resch och A. Zeilinger, Local Conversion of Greenberger-Horne-Zeilinger States to Approximate W States, Phys. Rev. Lett. 94, 240501 (2005).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.94.240501

[20] J. Håstad, Tensor rank är NP-komplett, J. Algorithms 11, 644 (1990).
https:/​/​doi.org/​10.1016/​0196-6774(90)90014-6

[21] L. Chen och S. Friedland, Tensorrankningen för tensorprodukten av två tre-qubit W-tillstånd är åtta, Linear Algebra App. 543, 1 (2018).
https: / / doi.org/ 10.1016 / j.laa.2017.12.015

[22] N. Bourbaki, Algebra I (Elements of Mathematics) (Springer-Verlag, Berlin, 1989). https://​/​doi.org/​10.1007/​978-3-540-35339-3.
https:/​/​doi.org/​10.1007/​978-3-540-35339-3

[23] P. Comon, G. Golub, LH. Lim och B. Mourrain, symmetriska tensorer och symmetriska tensorrang, SIAM J. Matrix Anal. Appl. 30, 1254 (2008).
https: / / doi.org/ 10.1137 / 060661569

[24] JM Landsberg och Z. Teitler, On the Ranks and Border Ranks of Symmetric Tensors, Found. Comput. Matematik. 10, 339 (2010).
https:/​/​doi.org/​10.1007/​s10208-009-9055-3

[25] Y. Shitov, A Counterexample to Comon's Conjecture, SIAM J. Appl. Algebra Geometry 2, 428 (2018).
https: / / doi.org/ 10.1137 / 17M1131970

[26] M. Christandl, AK Jensen och J. Zuiddam, Tensorrankningen är inte multiplikativ under tensorprodukten, Linear Algebra App. 543, 125 (2018).
https: / / doi.org/ 10.1016 / j.laa.2017.12.020

[27] M. Nielsen och I. Chuang, Quantum Computation and Quantum Information (Cambridge University Press, Cambridge, 2010). https://​/​doi.org/​10.1017/​CBO9780511976667.
https: / / doi.org/ 10.1017 / CBO9780511976667

[28] B. Alexeev, MA Forbes, och J. Tsimerman, Tensor rank: Vissa nedre och övre gränser, I CCC '11: Proceedings of the 26th Annual IEEE Conference on Computational Complexity, sid. 283-291 (IEEE Computer Society, NW Washington, DC, 2011). https://​/​doi.org/​10.1109/​CCC.2011.28.
https: / / doi.org/ 10.1109 / CCC.2011.28

[29] D. Li, X. Li, H. Huang och X. Li, Enkla kriterier för SLOCC-klassificeringen, Phys. Lett. A 359, 428 (2006).
https: / / doi.org/ 10.1016 / j.physleta.2006.07.004

[30] D. Coppersmith och S. Winograd, Matrix multiplikation via aritmetiska progressioner, J. Symb. Comput. 9, 251 (1990).
https:/​/​doi.org/​10.1016/​S0747-7171(08)80013-2

[31] M. Christandl, F. Gesmundo, DS França och AH Werner, Optimering vid gränsen för tensornätverksvarianten, Phys. Rev. B 103, 195139 (2021).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevB.103.195139

[32] J. Alman, VV Williams, Limits on All Known (and Some Unknown) Approaches to Matrix Multiplication, In 59th IEEE Annual Symposium on Foundations of Computer Science, sid. 580–591 (IEEE Computer Society, NW Washington, DC, 2018). https://​/​doi.org/​10.1109/​FOCS.2018.00061.
https: / / doi.org/ 10.1109 / FOCS.2018.00061

[33] E. Schmidt, Zur Theorie der linearen und nichtlinearen Integralgleichungen, Math. Ann. 63, 433 (1907).
https: / / doi.org/ 10.1007 / BF01449770

[34] A. Alder, V. Strassen, Om den algoritmiska komplexiteten hos associativ algebra, Theor. Comput. Sci. 15, 201 (1981).
https:/​/​doi.org/​10.1016/​0304-3975(81)90070-0

[35] J. Buczyński, E. Postinghel och F. Rupniewski, Om Strassens rankadditivitet för små trevägstensorer, SIAM J. Matrix Anal. Appl. 41, 106 (2020).
https: / / doi.org/ 10.1137 / 19M1243099

[36] JM Landsberg, M. Michałek, Abeliska tensorer, J. Math. Pures Appl. 108, 333 (2017).
https://​/​doi.org/​10.1016/​j.matpur.2016.11.004

[37] Y. Wand, Z. Hu, BC Sanders och S. Kais, Qudits and High-Dimensional Quantum Computing, Front. Phys. 8, 589504 (2020).
https: / / doi.org/ 10.3389 / fphy.2020.589504

[38] NJ Cerf, M. Bourennane, A. Karlsson och N. Gisin, Security of Quantum Key Distribution Using d-Level Systems, Phys. Rev. Lett. 88, 127902 (2002).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.88.127902

[39] J. Daboul, X. Wang och BC Sanders, Quantum gates on hybrid qudits, J. Phys. A: Matematik. Gen. 36, 2525 (2003).
https:/​/​doi.org/​10.1088/​0305-4470/​36/​10/​312

[40] L. Sheridan och V. Scarani, Säkerhetssäkert för distribution av kvantnyckel med qudit-system, Phys. Rev. A 82, 030301(R) (2011).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.82.030301

[41] C. Cafaro, F. Maiolini och S. Mancini, Quantum stabilizer-koder som bäddar in qubits i qudits, Phys. Rev. A 86, 022308 (2012).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.86.022308

[42] D. Zhang, Y. Zhang, X. Li, D. Zhang, L. Cheng, C. Li och Y. Zhang, Generering av högdimensionella energi-tid-entangled fotonpar, Phys. Rev. A 95, 053849 (2017).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.96.053849

[43] LE Fischer, A. Chiesa, F. Tacchino, DJ Egger, S. Carretta och I. Tavernelli, Universal Qudit Gate Synthesis for Transmons, PRX Quantum 4, 030327 (2023).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PRXQuantum.4.030327

Citerad av

Det gick inte att hämta Crossref citerade data under sista försök 2024-01-31 14:39:14: Det gick inte att hämta citerade data för 10.22331 / q-2024-01-31-1238 från Crossref. Detta är normalt om DOI registrerades nyligen. På SAO / NASA ADS Inga uppgifter om citerande verk hittades (sista försök 2024-01-31 14:39:15).

Detta papper publiceras i Quantum under Creative Commons Attribution 4.0 International (CC BY 4.0) licens. Upphovsrätten kvarstår med de ursprungliga upphovsrättsinnehavarna som författarna eller deras institutioner.

Tidsstämpel:

Mer från Quantum Journal