Kontinuerlig majorisering i kvantfasrum

Kontinuerlig majorisering i kvantfasrum

Tidsstämpel: 24 maj 2023 7:39
Källnod: 2674950

Zacharie Van Herstraeten1,2, Michael G. Jabbour1,3,4och Nicolas J. Cerf1

1Centre for Quantum Information and Communication, École polytechnique de Bruxelles, CP 165/59, Université libre de Bruxelles, 1050 Bryssel, Belgien
2Wyant College of Optical Sciences, University of Arizona, 1630 E. University Blvd., Tucson, AZ 85721, USA
3DAMTP, Center for Mathematical Sciences, University of Cambridge, Cambridge CB3 0WA, Storbritannien
4Institutionen för fysik, Danmarks Tekniske Universitet, 2800 Kongens Lyngby, Danmark

Hitta det här uppsatsen intressant eller vill diskutera? Scite eller lämna en kommentar på SciRate.

Abstrakt

Vi utforskar vilken roll majoriseringsteorin spelar i kvantfasrummet. För detta ändamål begränsar vi oss till kvanttillstånd med positiva Wigner-funktioner och visar att den kontinuerliga versionen av majoriseringsteorin ger ett elegant och mycket naturligt tillvägagångssätt för att utforska de informationsteoretiska egenskaperna hos Wigner-funktioner i fasrymden. Efter att ha identifierat alla Gaussiska rena tillstånd som ekvivalenta i den exakta betydelsen av kontinuerlig majorisering, vilket kan förstås i ljuset av Hudsons teorem, antar vi en fundamental majoriseringsrelation: varje positiv Wigner-funktion majoriseras av Wigner-funktionen av ett Gaussiskt rent tillstånd (särskilt , det bosoniska vakuumtillståndet eller grundtillståndet för den harmoniska oscillatorn). Som en konsekvens är varje Schur-konkav funktion i Wigner-funktionen lägre avgränsad av värdet den tar för vakuumtillståndet. Detta innebär i sin tur att Wigner-entropin är lägre avgränsad av dess värde för vakuumtillståndet, medan det omvända inte är sant. Vårt huvudresultat är sedan att bevisa denna grundläggande majoriseringsrelation för en relevant delmängd av Wigner-positiva kvanttillstånd som är blandningar av de tre lägsta egentillstånden hos den harmoniska oscillatorn. Utöver det stöds gissningarna också av numeriska bevis. Vi avslutar med att diskutera några implikationer av denna gissning i samband med entropiska osäkerhetsrelationer i fasrummet.

Populär sammanfattning

Osäkerhetsprincipen är ett av de mest fascinerande fenomenen inom kvantfysiken. Även om det kan tyckas naturligt att par av mätbara storheter, såsom positionen och rörelsemängden för en partikel, kan förutsägas exakt samtidigt, förbjuder kvantfysiken faktiskt detta för observerbara objekt som inte kan pendla. Heisenberg och Kennard gjorde detta exakt genom att använda variansen av någon mätbar kvantitet för att fånga dess osäkerhet. År senare omformulerades Heisenbergs osäkerhetsprincip genom att övergå till entropi som ett lämpligt sätt att kvantifiera osäkerhet. Här introducerar vi ännu ett starkare informationsteoretiskt paradigm för att förstå osäkerheten hos kvantvariabler i fasrymden, nämligen majoriseringsteorin.

Denna matematiska teori har utvecklats för mer än ett sekel sedan och har använts inom många vetenskapsområden, allt från statistik till fysik. Anmärkningsvärt nog har det applicerats på kvantfysik endast relativt nyligen, där det visade sig vara ett kraftfullt tillvägagångssätt för att utforska kvantförveckling. Som sådan har den aldrig utnyttjats för att karakterisera de kontinuerliga densiteterna som beskriver kvantvariabler i fasrymden, det vill säga Wigner-funktioner. Vi visar att kontinuerlig majorisering är ett passande verktyg för detta. Huvuddragen i vår artikel rör påståendet att Wigner-funktionen för vakuumtillståndet i en bosonisk mod (dvs. grundtillståndet för den harmoniska oscillatorn) kontinuerligt majoriserar alla andra Wigner-funktioner, vilket gör den mindre osäker i betydelsen majorisering .

Medan vi exponerar och diskuterar våra resultat i samband med kvantoptik, överförs de till vilket kanoniskt par som helst och bör därför ha implikationer inom olika fysikområden.

► BibTeX-data

► Referenser

[1] GH Hardy, JE Littlewood och G. Pólya, ``Inequalities,''. Cambridge University Press, 1934.
https: / / doi.org/ 10.2307 / 3605504

[2] AW Marshall, I. Olkin och BC Arnold, ``Inequalities: Theory of Majorization and its Applications,'', vol. 143. Springer, andra upplagan, 2011.
https:/​/​doi.org/​10.1007/​978-0-387-68276-1

[3] T. Ando, ​​``Majorisering, dubbelstokastiska matriser och jämförelse av egenvärden,'' Linear Algebra Appl. 118, 163-248 (1989).
https:/​/​doi.org/​10.1016/​0024-3795(89)90580-6

[4] K. Mosler, "Majorization in economic disparity measurements", Linear Algebra and its Applications 199, 91–114 (1994).
https:/​/​doi.org/​10.1016/​0024-3795(94)90343-3

[5] T. van Erven och P. Harremoës, ``Rényi divergence and majorization,'' i 2010 IEEE International Symposium on Information Theory, s. 1335–1339, IEEE. 2010.
https: / ⠀ </ ⠀ <doi.org/†<10.1109 / ⠀ <ISIT.2010.5513784

[6] MA Alhejji och G. Smith, "A Tight Uniform Continuity Bound for Equivocation", 2020 IEEE International Symposium on Information Theory (ISIT), s. 2270–2274. 2020.
https://doi.org/ 10.1109/ISIT44484.2020.9174350

[7] MG Jabbour och N. Datta, "A Tight Uniform Continuity Bound for the Arimoto-Rényi Conditional Entropy and its Extension to Classical-Quantum States", IEEE Transactions on Information Theory 68, 2169–2181 (2022).
https: / / doi.org/ 10.1109 / TIT.2022.3142812

[8] A. Horn, "Double Stokastical Matrices and the Diagonal of a Rotation Matrix", American Journal of Mathematics 76, 620–630 (1954).
https: / / doi.org/ 10.2307 / 2372705

[9] MA Nielsen, "Villkor för en klass av förvecklingstransformationer", Physical Review Letters 83, 436 (1999).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.83.436

[10] MA Nielsen och G. Vidal, "Majorization and the interconversion of bipartite states", Quantum Information and Computation 1, 76–93 (2001).
https: / / doi.org/ 10.26421 / QIC1.1-5

[11] MA Nielsen och J. Kempe, "Separable States Are More Disordered Globally than Locally", Physical Review Letters 86, 5184–5187 (2001).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.86.5184

[12] T. Hiroshima, ``Majorization Criterion for Distillerability of a Bipartite Quantum State,'' Physical Review Letters 91, 057902 (2003).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.91.057902

[13] Z. Puchała, Ł. Rudnicki och K. Życzkowski, ``Majorization entropic uncertainty relations,'' Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical 46, 272002 (2013).
https:/​/​doi.org/​10.1088/​1751-8113/​46/​27/​272002

[14] L. Rudnicki, Z. Puchała och K. Życzkowski, "Strong majorization entropic uncertainty relations", Physical Review A 89, 052115 (2014).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.89.052115

[15] L. Rudnicki, ``Majorization approach to entropic osäkerhetsrelationer för grovkorniga observerbara objekt,'' Physical Review A 91, 032123 (2015).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.91.032123

[16] F. Brandão, M. Horodecki, N. Ng, J. Oppenheim och S. Wehner, "The second laws of quantum thermodynamics", Proceedings of the National Academy of Sciences 112, 3275–3279 (2015).
https: / / doi.org/ 10.1073 / pnas.1411728112

[17] R. García-Patrón, C. Navarrete-Benlloch, S. Lloyd, JH Shapiro och NJ Cerf, ``Majorization Theory Approach to the Gaussian Channel Minimum Entropy Conjecture,'' Physical Review Letters 108, 110505 (2012).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.108.110505

[18] CN Gagatsos, O. Oreshkov och NJ Cerf, ``Majorisation relations and entanglement generation in a beam splitter,'' Physical Review A 87, 042307 (2013).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.87.042307

[19] G. De Palma, D. Trevisan och V. Giovannetti, "Passive stater optimerar produktionen av Bosonic Gaussian Quantum Channels", IEEE Transactions on Information Theory 62, 2895–2906 (2016).
https: / / doi.org/ 10.1109 / TIT.2016.2547426

[20] MG Jabbour, R. García-Patrón och NJ Cerf, "Majorization preservation of Gaussian bosonic channels", New Journal of Physics 18, 073047 (2016).
https:/​/​doi.org/​10.1088/​1367-2630/​18/​7/​073047

[21] MG Jabbour och NJ Cerf, "Fock majorization in bosonic quantum channels with a passiv environment", Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical 52, 105302 (2019).
https:/​/​doi.org/​10.1088/​1751-8121/​aaf0d2

[22] U. Leonhardt, `` Essentiell kvantoptik: från kvantmätningar till svarta hål,''. Cambridge University Press, 2010.
https: / / doi.org/ 10.1017 / CBO9780511806117

[23] A. Hertz, MG Jabbour och NJ Cerf, ``Entropy-power uncertainty relations: towards a tight inequality for all Gaussian pure states,'' Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical 50, 385301 (2017).
https: / / doi.org/ 10.1088 / 1751-8121 / aa852f

[24] A. Hertz och NJ Cerf, "Continuous-variable entropic uncertainty relations", Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical 52, 173001 (2019).
https:/​/​doi.org/​10.1088/​1751-8121/​ab03f3

[25] C. Weedbrook, S. Pirandola, R. García-Patrón, NJ Cerf, TC Ralph, JH Shapiro och S. Lloyd, "Gaussian quantum information", Review of Modern Physics 84, 621–669 (2012).
https: / / doi.org/ 10.1103 / RevModPhys.84.621

[26] Z. Van Herstraeten och NJ Cerf, "Quantum Wigner entropy", Physical Review A 104, 042211 (2021).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.104.042211

[27] FJ Narcowich, ``Distributions of $hbar$-positive type and applications,'' Journal of mathematical physics 30, 2565–2573 (1989).
https: / / doi.org/ 10.1063 / 1.528537

[28] T. Bröcker och R. Werner, "Blandade tillstånd med positiva Wigner-funktioner", Journal of mathematical physics 36, 62–75 (1995).
https: / / doi.org/ 10.1063 / 1.531326

[29] R. L. Hudson, ``När är Wigner-kvasisannolikhetstätheten icke-negativ?'' Reports on Mathematical Physics 6, 249–252 (1974).
https:/​/​doi.org/​10.1016/​0034-4877(74)90007-X

[30] F. Soto och P. Claverie, "When is the Wigner function of multidimensional systems nonnegative?", Journal of Mathematical Physics 24, 97–100 (1983).
https: / / doi.org/ 10.1063 / 1.525607

[31] FJ Narcowich och R. O'Connell, "Nödvändiga och tillräckliga villkor för att en fas-rymdfunktion ska vara en Wigner-distribution", Physical Review A 34, 1 (1986).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.34.1

[32] A. Mandilara, E. Karpov och NJ Cerf, "Utvidga Hudsons teorem till blandade kvanttillstånd", Physical Review A 79, 062302 (2009).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.79.062302

[33] A. Mandilara, E. Karpov och N. Cerf, "Gaussianitetsgränser för kvantblandade tillstånd med en positiv Wigner-funktion", i Journal of Physics: Conference Series, vol. 254, sid. 012011, IOP Publishing. 2010.
https:/​/​doi.org/​10.1088/​1742-6596/​254/​1/​012011

[34] L. Wang och M. Madiman, "Beyond the Entropy Power Inequality, via Rearrangements", IEEE Transactions on Information Theory 60, 5116–5137 (2014).
https: / / doi.org/ 10.1109 / TIT.2014.2338852

[35] GH Hardy, JE Littlewood och G. Pólya, "Några enkla ojämlikheter tillfredsställda av konvexa funktioner", Messenger of Mathematics 58, 145–152 (1929).

[36] H. Joe, "An order of dependence for distribution of k-tuples, with applications to lotto games", Canadian Journal of Statistics 15, 227–238 (1987).
https: / / doi.org/ 10.2307 / 3314913

[37] I. Schur, ``Uber eine Klasse von Mittelbildungen mit Anwendungen die Determinanten,'' Sitzungsberichte der Berliner Mathematischen Gesellschaft 22, 416–427 (1923).

[38] AW Roberts och DE Varberg, ``Konvexa funktioner,''. Academic Press New York, 1973.
https:/​/​doi.org/​10.1016/​B978-0-444-89597-4.50013-5

[39] A. Rényi, ``Om mått på entropi och information,'' i Proceedings of the Fourth Berkeley Symposium on Mathematical Statistics and Probability, Volym 1: Contributions to the Theory of Statistics, vol. 4, s. 547–562, University of California Press. 1961.

[40] Y. He, AB Hamza och H. Krim, "A generalized divergence measure for robust image registration", IEEE Transactions on Signal Processing 51, 1211–1220 (2003).
https://​/​doi.org/​10.1109/​TSP.2003.810305

[41] JV Ryff, ``Orbits of $L^1$-functions under double stochastic transformations,''Transactions of the American Mathematical Society 117, 92–100 (1965).
https: / / doi.org/ 10.2307 / 1994198

[42] F. Bahrami, SM Manjegani och S. Moein, "Semi-double Stokastical Operators and Majorization of Integrable Functions", Bulletin of the Malaysian Mathematical Sciences Society 44, 693–703 (2021).
https:/​/​doi.org/​10.1007/​s40840-020-00971-2

[43] SM Manjegani och S. Moein, ``Majorization and semiduubly stochastic operators on $ L^{1}(X)$,'' Journal of Inequalities and Applications 2023, 1–20 (2023).
https: / / doi.org/ 10.1186 / s13660-023-02935-z

[44] I. Białynicki-Birula och J. Mycielski, "Uncertainty relations for information entropy in wave mechanics", Communications in Mathematical Physics 44, 129–132 (1975).
https: / / doi.org/ 10.1007 / BF01608825

[45] A. Wehrl, "General properties of entropy", Reviews of Modern Physics 50, 221 (1978).
https: / / doi.org/ 10.1103 / RevModPhys.50.221

[46] EH Lieb, ``Proof of an entropy conjecture of Wehrl'' i Inequalities, s. 359–365. Springer, 2002.
https:/​/​doi.org/​10.1007/​978-3-642-55925-9_30

[47] EH Lieb och JP Solovej, "Bevis på en entropiförmodan för Blochs koherenta spinntillstånd och dess generaliseringar", Acta Mathematica 212, 379 (2014).
https:/​/​doi.org/​10.1007/​s11511-014-0113-6

[48] JR Johansson, PD Nation och F. Nori, "QuTiP: An open source Python framework for the dynamics of open quantum systems", Computer Physics Communications 183, 1760–1772 (2012).
https: / / doi.org/ 10.1016 / j.cpc.2012.02.021

[49] K. Życzkowski, P. Horodecki, A. Sanpera och M. Lewenstein, "Volym av uppsättningen av separerbara tillstånd", Physical Review A 58, 883 (1998).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.58.883

Citerad av

[1] Nuno Costa Dias och João Nuno Prata, "På en nyligen gissning av Z. Van Herstraeten och NJ Cerf för kvant-Wigner-entropin", arXiv: 2303.10531, (2023).

[2] Zacharie Van Herstraeten och Nicolas J. Cerf, "Quantum Wigner entropy", Fysisk granskning A 104 4, 042211 (2021).

[3] Martin Gärttner, Tobias Haas och Johannes Noll, "Detektering av kontinuerlig variabel intrassling i fasrymden med $Q$-distributionen", arXiv: 2211.17165, (2022).

Ovanstående citat är från SAO / NASA ADS (senast uppdaterad framgångsrikt 2023-05-24 23:55:18). Listan kan vara ofullständig eftersom inte alla utgivare tillhandahåller lämpliga och fullständiga citatdata.

On Crossrefs citerad av tjänsten Inga uppgifter om citerande verk hittades (sista försök 2023-05-24 23:55:17).

Detta papper publiceras i Quantum under Creative Commons Attribution 4.0 International (CC BY 4.0) licens. Upphovsrätten kvarstår med de ursprungliga upphovsrättsinnehavarna som författarna eller deras institutioner.

Tidsstämpel:

Mer från Quantum Journal