Kedjekartläggningsmetoder för relativistiska ljus-materia-interaktioner

Kedjekartläggningsmetoder för relativistiska ljus-materia-interaktioner

Tidsstämpel: 30 januari 2024 8:55
Källnod: 3089374

Robert H. Jonsson1,2 och Johannes Knörzer3

1Max-Planck-Institut für Quantenoptik, Hans-Kopfermann-Str. 1, 85748 Garching, Tyskland
2Nordita, Stockholms universitet och Kungliga Tekniska Högskolan, Hannes Alfvéns väg 12, 106 91 Stockholm, Sverige
3Institutet för teoretiska studier, ETH Zürich, 8092 Zürich, Schweiz

Hitta det här uppsatsen intressant eller vill diskutera? Scite eller lämna en kommentar på SciRate.

Abstrakt

Interaktionen mellan lokaliserade sändare och kvantfält, både i relativistiska miljöer och i fallet med ultrastarka kopplingar, kräver icke-perturbativa metoder bortom den roterande vågens approximation. I detta arbete använder vi kedjekartläggningsmetoder för att uppnå en numeriskt exakt behandling av interaktionen mellan en lokaliserad emitter och ett skalärt kvantfält. Vi utökar tillämpningsområdet för dessa metoder bortom observerbara sändare och tillämpar dem för att studera observerbara fält. Vi ger först en översikt över metoder för kedjekartläggning och deras fysiska tolkning, och diskuterar den termiska dubbelkonstruktionen för system kopplade till termiska fälttillstånd. Genom att modellera sändaren som en Unruh-DeWitt-partikeldetektor, beräknar vi sedan energitätheten som emitteras av en detektor som är starkt kopplad till fältet. Som en stimulerande demonstration av tillvägagångssättets potential beräknar vi strålningen som emitteras från en accelererad detektor i Unruh-effekten, som är nära relaterad till den termiska dubbelkonstruktionen som vi diskuterar. Vi kommenterar möjligheter och utmaningar med metoden.

Utvald bild: Schematisk översikt av transformationer av stjärna till kedja

[Inbäddat innehåll]

Populär sammanfattning

Kvantsystem som är starkt kopplade till sin omgivning är ofta utmanande att behandla, även med avancerade numeriska metoder. Många sådana öppna kvantsystem kan modelleras genom en linjär koppling mellan systemet av intresse och oberoende, harmoniska badlägen.
Uppsatsen studerar denna typ av teoretisk modell och utforskar beräkningsmetoder för att studera interaktionerna mellan lokaliserade sändare och kvantfält, särskilt i relativistiska och ultrastarka kopplingsscenarier. Genom att använda så kallade kedjekartläggningstekniker uppnås en numerärt exakt behandling av problemet. Uppsatsen utvecklar beräkningstekniker för ljus-materia-interaktioner genom att utvidga dessa metoder till både sändare och observerbara fält. Som en spännande demonstration beräknas strålningen som sänds ut av en accelererad partikeldetektor i Unruh-effekten.
I de numeriska fynden kan de fel som introduceras av numeriska implementeringar av kedjemappningen noggrant övervakas. Detta bidrar till en rik numerisk verktygslåda för att studera starka kopplingsregimer i relativistisk kvantinformation och kvantoptik.

► BibTeX-data

► Referenser

[1] Heinz-Peter Breuer och F. Petruccione. "Teorin om öppna kvantsystem". Oxford University Press. Oxford ; New York (2002).
https: / / doi.org/ 10.1093 / acprof: oso / 9780199213900.001.0001

[2] Heinz-Peter Breuer, Elsi-Mari Laine, Jyrki Piilo och Bassano Vacchini. "Colloquium: Icke-markovisk dynamik i öppna kvantsystem". Reviews of Modern Physics 88, 021002 (2016).
https: / / doi.org/ 10.1103 / RevModPhys.88.021002

[3] Hendrik Weimer, Augustine Kshetrimayum och Román Orús. "Simuleringsmetoder för öppna kvantsystem för många kroppar". Reviews of Modern Physics 93, 015008 (2021).
https: / / doi.org/ 10.1103 / RevModPhys.93.015008

[4] Martin V. Gustafsson, Thomas Aref, Anton Frisk Kockum, Maria K. Ekström, Göran Johansson och Per Delsing. "Förökande fononer kopplade till en konstgjord atom". Science 346, 207–211 (2014).
https: / / doi.org/ 10.1126 / science.1257219

[5] Gustav Andersson, Baladitya Suri, Lingzhen Guo, Thomas Aref och Per Delsing. "Icke-exponentiellt sönderfall av en gigantisk konstgjord atom". Nature Physics 15, 1123–1127 (2019).
https:/​/​doi.org/​10.1038/​s41567-019-0605-6

[6] A. González-Tudela, C. Sánchez Muñoz och JI Cirac. "Konstruera och utnyttja jätteatomer i högdimensionella bad: Ett förslag för implementering med kalla atomer". Physical Review Letters 122, 203603 (2019).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.122.203603

[7] Inés de Vega, Diego Porras och J. Ignacio Cirac. "Materia-vågemission i optiska gitter: enskilda partiklar och kollektiva effekter". Physical Review Letters 101, 260404 (2008).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.101.260404

[8] S. Gröblacher, A. Trubarov, N. Prigge, GD Cole, M. Aspelmeyer och J. Eisert. "Observation av icke-markovisk mikromekanisk Brownsk rörelse". Nature Communications 6, 7606 (2015).
https: / / doi.org/ 10.1038 / ncomms8606

[9] Javier del Pino, Florian AYN Schröder, Alex W. Chin, Johannes Feist och Francisco J. Garcia-Vidal. "Tensornätverkssimulering av icke-markovisk dynamik i organiska polaritoner". Physical Review Letters 121, 227401 (2018).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.121.227401

[10] SF Huelga och MB Plenio. "Vibrationer, kvanta och biologi". Contemporary Physics 54, 181–207 (2013).
https: / / doi.org/ 10.1080 / 00405000.2013.829687

[11] Hong-Bin Chen, Neill Lambert, Yuan-Chung Cheng, Yueh-Nan Chen och Franco Nori. "Att använda icke-markoviska åtgärder för att utvärdera kvantmästarekvationer för fotosyntes". Scientific Reports 5, 12753 (2015).
https: / / doi.org/ 10.1038 / srep12753

[12] Felix A. Pollock, César Rodríguez-Rosario, Thomas Frauenheim, Mauro Paternostro och Kavan Modi. "Icke-markoviska kvantprocesser: komplett ram och effektiv karakterisering". Fysisk granskning A 97, 012127 (2018).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.97.012127

[13] Richard Lopp och Eduardo Martín-Martínez. "Kvantdelokalisering, mätare och kvantoptik: Ljus-materia-interaktion i relativistisk kvantinformation". Physical Review A 103, 013703 (2021).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.103.013703

[14] Barbara Šoda, Vivishek Sudhir och Achim Kempf. "Accelerationsinducerade effekter i stimulerade ljus-materia-interaktioner". Physical Review Letters 128, 163603 (2022).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.128.163603

[15] Sadao Nakajima. "Om kvantteori om transportfenomen: stadig diffusion". Progress of Theoretical Physics 20, 948–959 (1958).
https: / / doi.org/ 10.1143 / PTP.20.948

[16] Robert Zwanzig. "Ensemblemetod i teorin om irreversibilitet". The Journal of Chemical Physics 33, 1338–1341 (1960).
https: / / doi.org/ 10.1063 / 1.1731409

[17] Yoshitaka Tanimura och Ryogo Kubo. "Tidsutveckling av ett kvantsystem i kontakt med ett nästan gaussiskt-markoffiskt brusbad". Journal of the Physical Society of Japan 58, 101–114 (1989).
https: / ⠀ </ ⠀ <doi.org/†<10.1143 / ⠀ <JPSJ.58.101

[18] Yoshitaka Tanimura. "Numeriskt "exakt" tillvägagångssätt för öppen kvantdynamik: De hierarkiska rörelseekvationerna (HEOM)". The Journal of Chemical Physics 153, 020901 (2020).
https: / / doi.org/ 10.1063 / 5.0011599

[19] Javier Prior, Alex W. Chin, Susana F. Huelga och Martin B. Plenio. "Effektiv simulering av starka system-miljöinteraktioner". Physical Review Letters 105, 050404 (2010).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.105.050404

[20] Alex W. Chin, Ángel Rivas, Susana F. Huelga och Martin B. Plenio. "Exakt kartläggning mellan systemreservoarkvantmodeller och semi-oändliga diskreta kedjor med hjälp av ortogonala polynom". Journal of Mathematical Physics 51, 092109 (2010).
https: / / doi.org/ 10.1063 / 1.3490188

[21] RP Feynman och FL Vernon. "Teorin om ett allmänt kvantsystem som interagerar med ett linjärt dissipativt system". Annals of Physics 24, 118–173 (1963).
https:/​/​doi.org/​10.1016/​0003-4916(63)90068-X

[22] Kenneth G. Wilson. "Renormaliseringsgruppen: Kritiska fenomen och Kondo-problemet". Reviews of Modern Physics 47, 773–840 (1975).
https: / / doi.org/ 10.1103 / RevModPhys.47.773

[23] Matthias Vojta, Ning-Hua Tong och Ralf Bulla. "Kvantfasövergångar i den subohmiska spin-bosonmodellen: misslyckande med den kvantklassiska kartläggningen". Physical Review Letters 94, 070604 (2005).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.94.070604

[24] Ralf Bulla, Hyun-Jung Lee, Ning-Hua Tong och Matthias Vojta. "Numerisk renormaliseringsgrupp för kvantföroreningar i ett bosoniskt bad". Physical Review B 71, 045122 (2005).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevB.71.045122

[25] Ralf Bulla, Theo A. Costi och Thomas Pruschke. "Numerisk renormaliseringsgruppmetod för kvantföroreningssystem". Reviews of Modern Physics 80, 395–450 (2008).
https: / / doi.org/ 10.1103 / RevModPhys.80.395

[26] Ahsan Nazir och Gernot Schaller. "The Reaction Coordinate Mapping in Quantum Thermodynamics". I Felix Binder, Luis A. Correa, Christian Gogolin, Janet Anders och Gerardo Adesso, redaktörer, Thermodynamics in the Quantum Regime: Fundamental Aspects and New Directions. Sidorna 551–577. Fysikens grundläggande teorier. Springer International Publishing, Cham (2018).

[27] Ricardo Puebla, Giorgio Zicari, Iñigo Arrazola, Enrique Solano, Mauro Paternostro och Jorge Casanova. "Spin-Boson-modell som en simulator av icke-markovska multifoton Jaynes-Cummings-modeller". Symmetry 11, 695 (2019).
https://​/​doi.org/​10.3390/​sym11050695

[28] Philipp Strasberg, Gernot Schaller, Neill Lambert och Tobias Brandes. "Nonequilibrium termodynamik i den starka kopplingen och icke-markoviska regimen baserad på en reaktionskoordinatmappning". New Journal of Physics 18, 073007 (2016).
https:/​/​doi.org/​10.1088/​1367-2630/​18/​7/​073007

[29] Guifré Vidal. "Effektiv simulering av endimensionella kvantsystem med många kroppar". Physical Review Letters 93, 040502 (2004).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.93.040502

[30] J. Ignacio Cirac, David Pérez-García, Norbert Schuch och Frank Verstraete. "Matrisprodukttillstånd och projicerade intrasslade partillstånd: Begrepp, symmetrier, teorem". Reviews of Modern Physics 93, 045003 (2021).
https: / / doi.org/ 10.1103 / RevModPhys.93.045003

[31] MP Woods, M. Cramer och MB Plenio. "Simulera Bosonic Baths med felfält". Physical Review Letters 115, 130401 (2015).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.115.130401

[32] MP Woods och MB Plenio. "Dynamiska felgränser för kontinuumdiskretisering via Gauss kvadraturregler - En Lieb-Robinson bunden tillvägagångssätt". Journal of Mathematical Physics 57, 022105 (2016).
https: / / doi.org/ 10.1063 / 1.4940436

[33] F. Mascherpa, A. Smirne, SF Huelga och MB Plenio. "Öppna system med felgränser: Spin-Boson-modell med spektraldensitetsvariationer". Physical Review Letters 118, 100401 (2017).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.118.100401

[34] Inés de Vega, Ulrich Schollwöck och F. Alexander Wolf. "Hur man diskretiserar ett kvantbad för evolution i realtid". Physical Review B 92, 155126 (2015).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevB.92.155126

[35] Rahul Trivedi, Daniel Malz och J. Ignacio Cirac. "Konvergensgarantier för diskreta lägesapproximationer till icke-markoviska kvantbad". Physical Review Letters 127, 250404 (2021).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.127.250404

[36] Carlos Sánchez Muñoz, Franco Nori och Simone De Liberato. "Upplösning av superluminal signalering i icke-perturbativ kavitetskvantelektrodynamik". Nature Communications 9, 1924 (2018).
https: / / doi.org/ 10.1038 / s41467-018-04339-w

[37] Neill Lambert, Shahnawaz Ahmed, Mauro Cirio och Franco Nori. "Modellering av den ultrastarkt kopplade spin-boson-modellen med opysiska lägen". Nature Communications 10, 1–9 (2019).
https:/​/​doi.org/​10.1038/​s41467-019-11656-1

[38] David D. Noachtar, Johannes Knörzer och Robert H. Jonsson. "Icke-perturbativ behandling av jätteatomer med hjälp av kedjetransformationer". Physical Review A 106, 013702 (2022).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.106.013702

[39] CA Büsser, GB Martins och AE Feiguin. "Lanczos transformation för problem med kvantföroreningar i d-dimensionella gitter: Tillämpning på grafen nanoband". Physical Review B 88, 245113 (2013).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevB.88.245113

[40] Andrew Allerdt, CA Büsser, GB Martins och AE Feiguin. "Kondo kontra indirekt utbyte: Rollen av gitter och faktiska omfång av RKKY-interaktioner i verkliga material". Fysisk granskning B 91, 085101 (2015).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevB.91.085101

[41] Andrew Allerdt och Adrian E. Feiguin. "En numeriskt exakt metod för problem med kvantföroreningar i realistiska gittergeometrier". Frontiers in Physics 7, 67 (2019).
https: / / doi.org/ 10.3389 / fphy.2019.00067

[42] V. Bargmann. "På ett Hilbert-rum av analytiska funktioner och en tillhörande integrerad transformationsdel I". Meddelanden om ren och tillämpad matematik 14, 187–214 (1961).
https: / / doi.org/ 10.1002 / cpa.3160140303

[43] H. Araki och EJ Woods. "Representationer av de kanoniska kommutationsrelationerna som beskriver en icke-relativistisk oändlig fri Bose-gas". Journal of Mathematical Physics 4, 637–662 (1963).
https: / / doi.org/ 10.1063 / 1.1704002

[44] Yasushi Takahashi och Hiroomi Umezawa. "TERMOFÄLTDYNAMIK". International Journal of Modern Physics B 10, 1755–1805 (1996).
https: / / doi.org/ 10.1142 / S0217979296000817

[45] Inés de Vega och Mari-Carmen Bañuls. "Thermofield-baserad kedjekartläggningsmetod för öppna kvantsystem". Physical Review A 92, 052116 (2015).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.92.052116

[46] Dario Tamascelli, Andrea Smirne, James Lim, Susana F. Huelga och Martin B. Plenio. "Effektiv simulering av öppna kvantsystem med ändlig temperatur". Physical Review Letters 123, 090402 (2019). arxiv:1811.12418.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.123.090402
arXiv: 1811.12418

[47] Gabriel T. Landi, Dario Poletti och Gernot Schaller. "Icke-jämviktsgränsdrivna kvantsystem: modeller, metoder och egenskaper". Reviews of Modern Physics 94, 045006 (2022).
https: / / doi.org/ 10.1103 / RevModPhys.94.045006

[48] Chu Guo, Ines de Vega, Ulrich Schollwöck och Dario Poletti. "Stabil-instabil övergång för en Bose-Hubbard-kedja kopplad till en miljö". Physical Review A 97, 053610 (2018).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.97.053610

[49] F. Schwarz, I. Weymann, J. von Delft och A. Weichselbaum. "Nonequilibrium Steady-State Transport in Quantum Purity Models: A Thermofield and Quantum Quench Approach Using Matrix Product States". Physical Review Letters 121, 137702 (2018).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.121.137702

[50] Tianqi Chen, Vinitha Balachandran, Chu Guo och Dario Poletti. "Steady-state kvanttransport genom en anharmonisk oscillator starkt kopplad till två värmereservoarer". Fysisk granskning E 102, 012155 (2020).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevE.102.012155

[51] Angus J. Dunnett och Alex W. Chin. "Matrisprodukttillståndssimuleringar av icke-jämviktsstabila tillstånd och transienta värmeflöden i tvåbadsspin-bosonmodellen vid ändliga temperaturer". Entropy 23, 77 (2021).
https: / / doi.org/ 10.3390 / e23010077

[52] Thibaut Lacroix, Angus Dunnett, Dominic Gribben, Brendon W. Lovett och Alex Chin. "Avslöja icke-markovisk rymdtidssignalering i öppna kvantsystem med långdistanstensornätverksdynamik". Physical Review A 104, 052204 (2021).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.104.052204

[53] Angela Riva, Dario Tamascelli, Angus J. Dunnett och Alex W. Chin. "Termisk cykel och polaronbildning i strukturerade bosoniska miljöer". Physical Review B 108, 195138 (2023).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevB.108.195138

[54] WG Unruh. "Anteckningar om avdunstning av svarta hål". Physical Review D 14, 870–892 (1976).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevD.14.870

[55] BS DeWitt. "Quantgravity: Den nya syntesen". I Stephen Hawking och W. Israel, redaktörer, General Relativity: An Einstein Centenary Survey. Sida 680. Cambridge University Press, Cambridge Eng; New York (1979).

[56] BL Hu, Shih-Yuin Lin och Jorma Louko. "Relativistisk kvantinformation i detektorer-fältinteraktioner". Classical and Quantum Gravity 29, 224005 (2012).
https:/​/​doi.org/​10.1088/​0264-9381/​29/​22/​224005

[57] Luís CB Crispino, Atsushi Higuchi och George EA Matsas. "Unruh-effekten och dess tillämpningar". Reviews of Modern Physics 80, 787–838 (2008).
https: / / doi.org/ 10.1103 / RevModPhys.80.787

[58] RB Mann och TC Ralph. "Relativistisk kvantinformation". Classical and Quantum Gravity 29, 220301 (2012).
https:/​/​doi.org/​10.1088/​0264-9381/​29/​22/​220301

[59] Shih-Yuin Lin och BL Hu. "Accelererade detektor-kvantfältkorrelationer: Från vakuumfluktuationer till strålningsflöde". Physical Review D 73, 124018 (2006).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevD.73.124018

[60] DJ Raine, DW Sciama och PG Grove. "Strålar en enhetligt accelererad kvantoscillator?". Proceedings: Mathematical and Physical Sciences 435, 205–215 (1991).

[61] F. Hinterleitner. "Tröghets- och accelererade partikeldetektorer med bakreaktion i platt rumstid". Annals of Physics 226, 165–204 (1993).
https: / / doi.org/ 10.1006 / aphy.1993.1066

[62] S. Massar, R. Parentani och R. Brout. "Om problemet med den likformigt accelererade oscillatorn". Classical and Quantum Gravity 10, 385 (1993).
https:/​/​doi.org/​10.1088/​0264-9381/​10/​2/​020

[63] S. Massar och R. Parentani. ”Från vakuumfluktuationer till strålning. I. Accelererade detektorer”. Physical Review D 54, 7426–7443 (1996).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevD.54.7426

[64] Jürgen Audretsch och Rainer Müller. "Strålning från en enhetligt accelererad partikeldetektor: Energi, partiklar och kvantmätningsprocessen". Physical Review D 49, 6566–6575 (1994).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevD.49.6566

[65] Hyeong-Chan Kim och Jae Kwan Kim. "Strålning från en jämnt accelererad harmonisk oscillator". Physical Review D 56, 3537–3547 (1997).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevD.56.3537

[66] Hyeong-Chan Kim. "Kvantfält och jämnt accelererad oscillator". Physical Review D 59, 064024 (1999).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevD.59.064024

[67] Erickson Tjoa. "Icke-perturbativa enkelt genererade interaktioner med ett kvantfält för godtyckliga Gaussiska tillstånd" (2023).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevD.108.045003

[68] Eric G. Brown, Eduardo Martín-Martínez, Nicolas C. Menicucci och Robert B. Mann. "Detektorer för att undersöka relativistisk kvantfysik bortom störningsteori". Physical Review D 87, 084062 (2013).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevD.87.084062

[69] David Edward Bruschi, Antony R. Lee och Ivette Fuentes. "Tidsutvecklingstekniker för detektorer i relativistisk kvantinformation". Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical 46, 165303 (2013).
https:/​/​doi.org/​10.1088/​1751-8113/​46/​16/​165303

[70] Wolfram Research, Inc. "Mathematica, Version 12.3.1". Champaign, IL, 2022.

[71] Sebastian Paeckel, Thomas Köhler, Andreas Swoboda, Salvatore R. Manmana, Ulrich Schollwöck och Claudius Hubig. "Tidsutvecklingsmetoder för matris-produkttillstånd". Annals of Physics 411, 167998 (2019).
https: / / doi.org/ 10.1016 / j.aop.2019.167998

[72] Lucas Hackl och Eugenio Bianchi. "Bosoniska och fermioniska Gaussiska tillstånd från Kähler-strukturer". SciPost Physics Core 4, 025 (2021). arxiv:2010.15518.
https://doi.org/ 10.21468/SciPostPhysCore.4.3.025
arXiv: 2010.15518

[73] ND Birrell och PCW Davies. "Kvantumfält i krökt utrymme". Cambridge monografier om matematisk fysik. Cambridge University Press. Cambridge (1982).
https: / / doi.org/ 10.1017 / CBO9780511622632

[74] Dario Tamascelli. "Excitationsdynamik i kedjemappade miljöer". Entropy 22, 1320 (2020). arxiv:2011.11295.
https: / / doi.org/ 10.3390 / e22111320
arXiv: 2011.11295

[75] Robert H. Jonsson, Eduardo Martín-Martínez och Achim Kempf. "Quantum signaling in cavity QED". Physical Review A 89, 022330 (2014).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.89.022330

[76] Eduardo Martín-Martínez. "Kausalitetsproblem för partikeldetektormodeller i QFT och kvantoptik". Physical Review D 92, 104019 (2015).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevD.92.104019

[77] Robert M. Wald. "Kvantfältsteori i krökt rumtid och svarthåls termodynamik". Chicago föreläsningar i fysik. University of Chicago Press. Chicago, IL (1994).

[78] Shin Takagi. "På svar från en Rindler-partikeldetektor". Progress of Theoretical Physics 72, 505–512 (1984).
https: / / doi.org/ 10.1143 / PTP.72.505

[79] Izrail Solomonovich Gradshteyn och Iosif Moiseevich Ryzhik. "Tabell över integraler, serier och produkter (åttonde upplagan)". Akademisk press. (2014).
https:/​/​doi.org/​10.1016/​c2010-0-64839-5

Citerad av

Det gick inte att hämta Crossref citerade data under sista försök 2024-01-30 14:00:51: Det gick inte att hämta citerade data för 10.22331 / q-2024-01-30-1237 från Crossref. Detta är normalt om DOI registrerades nyligen. På SAO / NASA ADS Inga uppgifter om citerande verk hittades (sista försök 2024-01-30 14:00:52).

Detta papper publiceras i Quantum under Creative Commons Attribution 4.0 International (CC BY 4.0) licens. Upphovsrätten kvarstår med de ursprungliga upphovsrättsinnehavarna som författarna eller deras institutioner.

Tidsstämpel:

Mer från Quantum Journal