Predstavitev
O matematiki ponavadi razmišljamo kot o povsem logičnem, vendar je poučevanje matematike, njene vrednosti, uporabnost in njeno delovanje polno nians. Kaj je torej "dobra" matematika? Leta 2007 matematik Terence tao napisal esej za Bilten Ameriškega matematičnega društva ki je skušal odgovoriti na to vprašanje. Danes je Tao kot prejemnik Fieldsove medalje, nagrade za preboj v matematiki in MacArthurjeve štipendije eden najbolj cenjenih in plodovitih živečih matematikov. V tokratni epizodi se pridruži našemu gostitelju in kolegu matematiku Steven Strogatz ponovno preučiti nastanek dobre matematike.
Poslušaj Apple Podcasts, Spotify, Google Podcasti, Krojač, TuneIn ali vašo najljubšo aplikacijo za podcaste ali pa lahko pretakajte iz Quanta.
Prepis
STEVEN STROGATZ: Oktobra 2007, davnega časa, ko je bila prva generacija iPhona še vroča dobrina in je bil delniški trg pred veliko recesijo na najvišji ravni vseh časov, je bil Terence Tao, profesor matematike na UCLA, odločen odgovoriti na vprašanje. vprašanje, o katerem so matematiki dolgo razpravljali: Kaj točno je dobra matematika?
Gre za strogost? Eleganca? Uporabnost v resničnem svetu? Terry je napisal zelo premišljen in radodaren, rekel bi celo odkritosrčen esej o vseh načinih, kako je lahko matematika dobra. Toda ali moramo zdaj, več kot 15 let pozneje, ponovno premisliti, kaj je dobra matematika?
Sem Steve Strogatz in to je "The Joy of Why", podcast avtorja Revija Quanta kjer z mojo sovoditeljico Janno Levin izmenično raziskujemo nekatera največja neodgovorjena vprašanja v matematiki in znanosti danes.
(Tematske igre)
Terry Tao je danes tukaj, da bi se znova posvetil večnemu vprašanju, kaj naredi matematiko dobro. Profesor Tao je avtor več kot 300 raziskovalnih člankov o neverjetno širokem pasu matematike, vključno s harmonično analizo, parcialnimi diferencialnimi enačbami, kombinatoriko, teorijo števil, znanostjo o podatkih, naključnimi matrikami in še veliko več. Imenovan je bil kot »Mozart matematike«. In ker je dobitnik Fieldsove medalje, nagrade za preboj v matematiki, MacArthurjeve štipendije in mnogih drugih nagrad, si ta vzdevek vsekakor zasluži.
Terry, dobrodošli v "The Joy of Why."
TERENCE TAO: Vesel sem, da sem tukaj.
STROGATZ: Zelo sem navdušen, da lahko s tabo govorim o tem vprašanju, kaj je tisto, zaradi česar so nekatere vrste matematičnih raziskav dobre. Zelo živo se spomnim, kako sem prelistal Bilten Ameriškega matematičnega društva že leta 2007 in naleteli vaš esej o tem vprašanju da si nam poziral. To je nekaj, o čemer razmišljajo vsi matematiki. Toda za ljudi zunaj, ki morda niso tako seznanjeni, nam lahko poveste, kako ste pristali na tem vprašanju? Kako ste takrat definirali dobro matematiko?
TAO: Prav, ja. To je bilo pravzaprav nagovarjanje. Torej urednik časopisa bilten takrat me je prosil, naj prispevam članek. Mislim, da sem imel kot študent zelo naivno predstavo o tem, kaj je matematika. Nekako sem imel idejo, da obstaja nekakšen svet sivobradih, ki bi ljudem razdeljeval probleme, na katerih bi delali. In zame kot podiplomskega študenta je bil nekakšen šok, ko sem ugotovil, da pravzaprav ni te osrednje avtoritete, ki bi delila probleme, in da so ljudje raziskovali sami.
Kar naprej sem hodil na predavanja in poslušal, kako so drugi matematiki govorili o tem, kaj se jim zdi vznemirljivo in kaj jih navdušuje pri matematiki, ter o dejstvu, da ima vsak matematik drugačen pristop k matematiki. Na primer, nekateri bi si prizadevali za aplikacije, nekateri zaradi neke vrste estetske lepote, nekateri samo zaradi reševanja problemov. Želeli so rešiti problem in se osredotočili na neke vrste najtežje, najbolj zahtevne naloge. Nekateri bi se osredotočili na tehniko; nekateri bi poskušali stvari narediti čim bolj elegantne.
Toda tisto, kar me je presunilo, ko sem nekako poslušal toliko različnih matematikov, ki govorijo o tem, kaj se jim zdi v matematiki dragoceno, je to, da čeprav smo imeli vsi različne ideale o tem, kako naj bi dobra matematika izgledala, vsi težijo k približati isti stvari.
Če je matematika res dobra, jo bodo na koncu srečali ljudje, ki si prizadevajo za lepoto. Ljudje, ki si prizadevajo, ki cenijo tehnično moč ali aplikacije, bodo sčasoma pristali na njej.
Eugene Wigner je imel zelo znan esej o nerazumna učinkovitost matematike v fizikalnih znanostih pred skoraj stoletjem, kjer je pravkar opazil, da obstajajo področja matematike - na primer Riemannova geometrija, preučevanje ukrivljenega prostora - ki so bila sprva le čisto teoretična vaja za matematike, veste, poskušali dokazati vzporedni postulat in tako naprej, pri čemer se je izkazalo, da je točno to, kar so Einstein, Poincaré in Hilbert potrebovali za opis matematike splošne teorije relativnosti. In to je le pojav, ki se pojavi.
Torej ne gre samo za matematiko, tisto, kar se matematikom zdi intelektualno zanimivo, na koncu postane fizično pomembno. Toda tudi znotraj matematike se zgodi, da predmeti, ki se matematikom zdijo elegantni, nudijo globok vpogled.
Počutim se, kot da je nekaj platonsko dobre matematike tam zunaj in vsi naši različni vrednostni sistemi so samo različni načini dostopa do teh objektivnih dobrih stvari.
STROGATZ: To je zelo zanimivo. Ker sem sam neke vrste oseba, ki je nagnjena k platonskemu razmišljanju, me mika, da bi se strinjal. Čeprav sem nekoliko presenečen, ko to slišiš, ker bi si mislil, da se je sprva zdelo, kam greš, kot da obstaja toliko različnih stališč o tem. Je pa zanimivo dejstvo, nekakšno empirično dejstvo, da se strinjamo, kaj je dobro in kaj ni dobro, čeprav, kot pravite, izhajamo iz toliko različnih vrednot.
TAO: Prav. Konvergenca lahko traja nekaj časa. Veste, tako da zagotovo obstajajo področja, kjer so na primer videti veliko bolje, merjeno z eno metriko, od drugih. Kot da imajo morda veliko aplikacij, vendar je njihova predstavitev izjemno odvratna, veste.
(Strogatz se smeji)
Ali stvari, ki so zelo elegantne, vendar še nimajo veliko dobrih aplikacij v resničnem svetu. Ampak čutim, da se bo sčasoma združilo.
STROGATZ: No, naj te vprašam o tej stični točki z realnim svetom. V matematiki je zanimiva napetost. In veste, kot majhni otroci, recimo, ko se prvič učimo o geometriji, boste morda takrat pomislili, da so trikotniki resnični, krogi ali ravne črte resnični in da vam lahko povedo o pravokotnih oblikah, ki jih vidite v zgradbah zunaj sveta ali da morajo geodeti uporabljati geometrijo. In navsezadnje beseda izvira iz merjenja Zemlje, kajne, "geometrija". In tako je bil čas, ko je bila geometrija empirična.
Toda to, kar sem te hotel vprašati, je povezano s komentarjem, ki John von Neumann narejeno. Tako je bil von Neumann, za vsakogar, ki ga ne pozna, sam velik matematik. In v tem eseju je podal to pripombo, "Matematik,« o razmerju med matematiko in empiričnim svetom, resničnim svetom, kjer približno pove, da matematične ideje izvirajo iz empirij, a da na neki točki, ko dobiš matematične ideje, subjekt začne živeti svoje življenje. lasten. In potem je bolj kot ustvarjalno umetniško delo. Pomembna postanejo estetska merila. Vendar pravi, da to povzroča nevarnost. Ko se subjekt začne predaleč oddaljevati od svojega empiričnega vira, zlasti v drugi ali tretji generaciji, pravi, da obstaja možnost, da subjekt trpi zaradi preveč abstraktnega parjenja v sorodstvu in je v nevarnosti degeneracije.
Kakšne misli o tem? Mislim, ali mora matematika ostati v stiku s svojim empiričnim virom?
TAO: Da, mislim, da mora biti utemeljeno. Ko rečem, da se empirično vsi ti različni načini izvajanja matematike zbližajo, je to samo zato, ker - to se zgodi le, ko je subjekt zdrav. Torej, veste, dobra novica je, da je običajno tako.
Toda na primer matematiki cenijo kratke dokaze pred dolgimi, če so vse druge stvari enake. Toda lahko bi si predstavljali, da bi ljudje pretiravali in da bi bilo eno podpodročje matematike obsedeno s čim krajšimi dokazi in s temi izjemno nepreglednimi dvovrstičnimi dokazi globokih izrekov. In naredijo to nekakšno tekmovanje, potem pa postane nekakšna nerazumljiva igra in potem izgubiš vso intuicijo. Morda izgubiš globlje razumevanje, ker si tako obseden s tem, da bi bili vsi tvoji dokazi čim krajši. To se v praksi dejansko ne dogaja. Toda to je nekakšen teoretičen primer in mislim, da je von Neumann trdil podobno.
In v šestdesetih in sedemdesetih je bilo obdobje matematike, kjer je abstrakcija naredila velike korake pri poenostavljanju in poenotenju veliko matematike, ki je bila prej zelo empirična. Zlasti v algebri so ljudje spoznavali, saj veste, števila in polinome ter mnoge druge predmete, ki so bili prej obravnavani ločeno, si jih lahko vsi predstavljate kot člane istega algebraičnega razreda, v tem primeru obroča.
In velik napredek v matematiki je bil dosežen z iskanjem prave abstrakcije, saj veste, ne glede na to, ali je šlo za topološki prostor ali vektorski prostor, karkoli, in dokazovanjem izrekov v veliki splošnosti. In to včasih v matematiki imenujemo Bourbakijeva doba. In zavilo je malo predaleč od tega, da bi bilo prizemljeno.
Seveda smo imeli celo epizodo nove matematike v državah, kjer so učitelji poskušali učite matematiko v Bourbakijevem slogu in sčasoma spoznal, da to ni ustrezna pedagogika na tej ravni.
Zdaj pa je nihalo zanihalo precej nazaj. Nekako imamo - predmet je precej dozorel in vsako področje matematike, geometrije, topologije, karkoli, imamo nekako zadovoljive formalizacije in nekako vemo, kaj so prave abstrakcije. In zdaj se področje spet osredotoča na medsebojne povezave in aplikacije. Zdaj se veliko bolj povezuje z resničnim svetom.
Mislim, ne samo nekakšna fizika, ki je tradicionalna povezava, ampak, saj veste, računalništvo, vede o življenju, družbene vede, veste. Z vzponom velikih podatkov je skoraj vsako človeško disciplino mogoče do neke mere matematizirati.
STROGATZ: Zelo me zanima beseda, ki ste jo pravkar uporabili pred minuto o "medsebojnih povezavah", ker se zdi, da je to osrednja točka, o kateri bi morali razpravljati. Nekaj, kar ste omenili v svojem eseju, je, da skupaj s temi, kar imenujete "lokalna" merila o eleganci ali aplikacijah v resničnem svetu ali karkoli drugega, omenjate ta "globalni" vidik dobre matematike: da se dobra matematika povezuje z drugimi dobra matematika.
To je skoraj ključno za to, kar ga naredi dobrega, da je integriran z drugimi deli. Je pa zanimivo, ker zveni skoraj kot krožno sklepanje: dobra matematika je tista matematika, ki je povezana z drugo dobro matematiko. Ampak to je res močna ideja in sprašujem se, če bi jo lahko še malo razširili.
TAO: Ja, torej, mislim, kaj je matematika - ena od stvari, ki jih matematika počne, je, da vzpostavlja povezave, ki so zelo osnovne in temeljne, vendar niso očitne, če nanjo gledate samo s površinske ravni. Zelo zgodnji primer tega je Descartesova iznajdba kartezičnih koordinat, ki je vzpostavila temeljno povezavo med geometrijo - preučevanjem točk in črt ter prostorskih objektov - in števili, algebro.
Torej, na primer, krog, ki si ga lahko predstavljate kot geometrijski predmet, lahko pa si ga predstavljate tudi kot enačbo: x2 + y2 = 1 je enačba kroga. Takrat je bila to zelo revolucionarna povezava. Veste, stari Grki so na teorijo števil in geometrijo gledali kot na skoraj popolnoma nepovezana predmeta.
Toda z Descartesom je obstajala ta temeljna povezava. In zdaj je ponotranjeno; saj veste, kako poučujemo matematiko. Ni več presenetljivo, da če imate geometrijski problem, ga napadete s številkami. Če pa imate težave s številkami, jih lahko napadete z geometrijo.
Nekako zato, ker sta tako geometrija kot števila vidika istega matematičnega koncepta. Imamo celotno področje, imenovano algebraična geometrija, ki ni niti algebra niti geometrija, ampak je enoten predmet, ki proučuje predmete, ki si jih lahko predstavljate kot geometrijske oblike, kot so črte in krogi in tako naprej, ali kot enačbe.
Toda v resnici preučujemo celostno združitev obeh. In ko se je tema poglobila, smo ugotovili, da je to na nek način bolj temeljno kot algebra ali geometrija ločeno. Torej, te povezave nam pomagajo odkriti nekakšno pravo matematiko, ki nam na začetku, nekako, naše empirične študije dajejo samo kotiček predmeta.
Tam je ta slavna prilika o slonu, pozabil sem kje, da če imaš… Štirje slepci so in odkrijejo slona. In eden od njih začuti slonovo nogo in si mislijo: »Oh, to je zelo grobo. Mora biti kot drevo ali kaj podobnega."
In eden od njih otipa rilec in šele veliko kasneje vidijo, da obstaja en sam predmet slona, ki pojasnjuje vse njihove ločene hipoteze. Ja, torej smo na začetku vsi slepi, veš. Samo opazujemo sence v Platonovi votlini in šele kasneje ugotovimo -
STROGATZ: Vau, tukaj ste zelo filozofski. To je nekaj. Zdaj se ne morem upreti: Če boste začeli govoriti o slonu in slepih ljudeh, to nakazuje, da mislite, da je matematika tam zunaj – da je nekaj podobnega slonu in da smo mi slepi … Ali pa vi vem, poskušamo videti nekaj, kar obstaja neodvisno od ljudi. Ali res verjamete v to?
TAO: Ko delaš dobro matematiko, na primer ne gre samo za potiskanje simbolov. Imate občutek, da obstaja nek dejanski predmet, ki ga poskušate razumeti, in vse naše enačbe, ki jih imamo, so samo neke vrste približki tega ali sence.
Lahko razpravljate o filozofski točki o tem, kaj je dejansko resničnost in tako naprej. Mislim, to so stvari, ki se jih dejansko lahko dotakneš, in bolj kot so stvari matematično resnične, včasih se zdijo manj fizične. Kot ste rekli, je bila geometrija na začetku, veste, zelo oprijemljiva stvar glede predmetov v fizičnem prostoru, ki bi jo lahko - veste, dejansko lahko zgradite krog in kvadrat in tako naprej.
Toda v sodobni geometriji, veste, delamo v višjih dimenzijah. Lahko govorimo o diskretnih geometrijah, vseh vrstah čudaških topologij. In, mislim, predmet si še vedno zasluži, da se imenuje geometrija, čeprav se Zemlje ne meri več. Starogrška etimologija je zelo zastarela, vendar je, vendar tam zagotovo nekaj je. Ne glede na to, kako resnično bi temu rekli. Ampak mislim, da je bistvo v tem, da za namene dejanskega ukvarjanja z matematiko pomaga verjeti, da je resnična.
STROGATZ: Ja, a ni to zanimivo? Res je. Zdi se, da je to nekaj, kar sega zelo globoko v zgodovino matematike. Presenetil me je esej, ki ga je Arhimed pisal svojemu prijatelju ali vsaj kolegu Eratostenu.
Zdaj govorimo o letu 250 pr. n. št. In pripomnil je, da je odkril način, kako najti območje tega, čemur bi rekli segment parabole. Vzame parabolo, jo prereže s črto, ki je pod poševnim kotom na os parabole, in ugotovi to območje. Dobi zelo lep rezultat. Toda Eratostenu reče nekaj, kot je: "Ti rezultati so bili ves čas neločljivo povezani s številkami." Veš, kot da so tam. tam so. Samo čakajo, da ga najdejo.
Ni tako, da jih je on ustvaril. Ni kot poezija. Mislim, pravzaprav je zanimivo, kajne? Veliko velikih umetnikov – Michelangelo je govoril o sprostitvi kipa iz kamna, saj veste, kot da bi bil na začetku tam notri. In zdi se, kot da ste vi in mnogi drugi veliki matematiki - kot pravite, zelo koristno je verjeti tej ideji, da je tam in čaka na nas, čaka na prave ume, da jo odkrijejo.
TAO: Prav. No, mislim, da je ena od manifestacij tega, da se ideje, ki jih je pogosto zelo zapleteno razložiti, ko so prvič odkrite, poenostavijo. Mislim, veste, pogosto je razlog, zakaj je nekaj videti zelo globoko ali težko na začetku, ta, da nimate prave notacije.
Na primer, zdaj imamo decimalni zapis za manipulacijo s številkami in je zelo priročen. Toda v preteklosti smo imeli, kot veste, rimske številke in potem so bili še bolj primitivni številski sistemi, s katerimi je bilo res, zelo težko delati, če si se želel ukvarjati z matematiko.
Evklidovega Elementi, saj veste — nekaj argumentov v teh starodavnih besedilih. Kot, v Evklidovem je en izrek Elementi Mislim, da se imenuje Most norcev ali kaj podobnega. To je kot izjava, mislim, da je izjava podobna enakokrakemu trikotniku, dva osnovna kota sta enaka. Kot, to je kot dvovrstični dokaz v sodobnih geometrijskih besedilih, saj veste, s pravimi aksiomi. Toda Evklid je imel ta grozen način za to. In tam so številni študenti geometrije v klasični dobi popolnoma obupali nad matematiko.
STROGATZ: Prav. (smeji)
TAO: Ampak, veste, zdaj imamo veliko boljši način za to. Pogosto so zapleti, ki jih vidimo v matematiki, artefakti naših lastnih omejitev. In tako, ko odraščamo, stvari postajajo enostavnejše. In zaradi tega se počuti bolj resnično. Ne vidimo artefaktov. Vidimo bistvo.
STROGATZ: No, če se vrnem k vašemu eseju: ko ste ga takrat napisali — mislim, to je bilo precej zgodaj v vaši karieri, ne na samem začetku, a vseeno. Zakaj ste takrat menili, da je pomembno poskušati definirati, kaj je dobra matematika?
TAO: Mislim ... Do tistega trenutka sem že začel svetovati podiplomskim študentom in opazil sem, da veste, obstaja nekaj napačnih predstav o tem, kaj je dobro in kaj ne. Pogovarjal sem se tudi z matematiki na različnih področjih in tisto področje, ki ga posameznik ceni v matematiki, se je zdelo drugačno od drugih. Vendar smo nekako vsi študirali isti predmet.
In včasih bi kdo rekel nekaj, kar me je narobe zmotilo, saj veste, na primer: "Ta matematika nima uporabe, zato nima vrednosti." Ali »Ta dokaz je preprosto preveč zapleten; zato nima nobene vrednosti« ali kaj podobnega. Ali obratno, veste: »Ta dokaz je preveč preprost; zato ni vredno ...« Saj veste. Bilo je neke vrste snobizma in tako naprej, na kar sem včasih naletel.
In po mojih izkušnjah je najboljša matematika prišla, ko sem razumel drugačno stališče, drugačen način razmišljanja o matematiki od nekoga z drugega področja in to uporabil pri problemu, ki me je zanimal. In tako je bila moja izkušnja, kako pravilno uporabljati matematiko, kako jo uporabljati, tako drugačna od teh — nekakšen »en pravi način delanja matematike«.
Čutil sem, da je to točko treba nekako izpostaviti. Da res obstaja pluralen način delanja matematike, vendar je matematika še vedno enotna.
STROGATZ: To je zelo razkrivajoče, saj sem se spraševal, saj veste, v svojem uvodu sem omenil veliko različnih vej matematike, ki ste jih raziskovali, nekaterih pa sploh nisem vključil. Pred nekaj leti se lahko spomnim vašega dela o tej skrivnosti dinamike tekočin, o tem, ali nekatere enačbe, za katere menimo, dobro opravljajo delo pri približevanju gibanja vode in zraka. Ne želim se preveč spuščati v podrobnosti, ampak naj povem, tukaj ste, ljudje mislijo, da delate teorijo števil ali harmonično analizo, in nenadoma se ukvarjate z vprašanji dinamike tekočin. Mislim, zavedam se, da gre za parcialne diferencialne enačbe. Še vedno pa se zdi, da je vaša širina zanimanja povezana z vašo širino sprejemanja različnih vpogledov, različnih dragocenih idej iz vseh različnih načinov dobrega računanja.
TAO: Pozabil sem, kdo je to rekel, vendar obstajata dve vrsti matematikov. Tam so ježi in lisice. Lisica je nekdo, ki ve o vsem nekaj malega. Jež je bitje, ki zelo, zelo dobro ve eno stvar. In nobeden ni boljši od drugega. Med seboj se dopolnjujeta. Mislim, v matematiki potrebujete ljudi, ki so resnično globoki strokovnjaki na enem podpolju in poznajo predmet od znotraj navzven. In potrebujete ljudi, ki lahko vidijo povezave med enim in drugim področjem. Tako da se vsekakor identificiram kot lisica, vendar delam z veliko ježi. Delo, na katerega sem najbolj ponosen, je pogosto takšno sodelovanje.
STROGATZ: Oh, ja. Ali se zavedajo, da so ježi?
TAO: No, v redu, vloge se sčasoma spreminjajo. Na primer, obstajajo druga sodelovanja, kjer sem jaz jež, nekdo drug pa je lisica. To nekako ni trajno - veste, ni v vaši DNK.
STROGATZ: Ah, dobro. Lahko posvojimo — lahko nosimo oba plašča.
No, kaj pa, ali je bil takrat odziv na esej? So vam ljudje kaj odgovorili?
TAO: Na splošno sem dobil dokaj pozitiven odgovor. Mislim, na Bilten AMS mislim, da ni zelo razširjena publikacija. In prav tako nisem rekel ničesar preveč spornega. Tudi tovrstni socialni mediji, ki so bili pred tem, mislim, da je morda nekaj matematičnih blogov, ki so to pobrali, vendar ni bilo Twitterja. Ničesar ni bilo, da bi postalo viralno.
Ja, prav tako mislim, da matematiki na splošno ne porabijo veliko svojega časa in intelektualnega kapitala za špekulacije. Mislim, poklicali so še enega matematika Minhyong Kim ki je imel to zelo lepo metaforo, da je za matematike verodostojnost kot valuta, kot denar. Če dokažete izreke in pokažete, da poznate temo, si nekako naberete to valuto verodostojnosti v banki. In ko imate dovolj denarja, si lahko privoščite malo špekulacij, tako da ste nekoliko filozofski in govorite, kaj bi lahko bilo res, namesto tega, kar lahko dejansko dokažete.
Vendar smo nagnjeni k temu, da smo konzervativni in ne želimo prekoračitve stanja na našem bančnem računu. Veš, nočeš, da je večina tvojega pisanja špekulativna in samo en odstotek, da bi nekaj dejansko dokazal.
STROGATZ: Pošteno. Torej, v redu. Od takrat je torej minilo že veliko let. O čem govorimo? Več kot 15 let je.
TAO: Oh ja, čas beži.
STROGATZ: Se je vaše mnenje spremenilo? Ali moramo kaj pregledati?
TAO: No, kultura matematike se precej spreminja. Na matematiko sem že imel širok pogled, zdaj pa še širšega.
Torej, en zelo konkreten primer je: računalniško podprti dokazi so bili leta 2007 še vedno sporni. Obstajala je znana domneva, imenovana Keplerjeva domneva, ki zadeva najučinkovitejši način pakiranja enotskih kroglic v tridimenzionalnem prostoru. In obstaja standardno pakiranje, mislim, da se imenuje kubično centralno pakiranje ali kaj podobnega, za katerega je Kepler domneval, da je najboljše možno.
To je bilo končno rešeno, vendar dokazovanje je bilo zelo računalniško podprto. Bilo je precej zapleteno in [Thomas] Halessčasoma je dejansko ustvaril celoten računalniški jezik za formalno preverjanje tega določenega dokaza, vendar ga več let niso sprejeli kot pravi dokaz. Vendar je ponazorilo, kako sporen je bil koncept dokaza, za preverjanje katerega potrebujete računalniško pomoč.
V letih od takrat je bilo veliko, veliko drugih primerov dokazov, kjer lahko človek zmanjša zapleteno težavo na nekaj, kar še vedno zahteva računalnik za preverjanje. In potem gre računalnik naprej in to preveri. Nekako smo razvili prakse, kako to narediti odgovorno. Veste, kako objaviti kodo in podatke ter načine za preverjanje in nove odprtokodne stvari in tako naprej. In zdaj je računalniško podprto dokazovanje široko sprejeto.
Zdaj mislim, da bo naslednji kulturni premik ali bodo dokazila, ustvarjena z AI, sprejeta. Orodja umetne inteligence trenutno niso na ravni, kjer bi lahko ustvarila dokaze za resnično napredovanje matematičnih problemov. Mogoče domače naloge na dodiplomskem študiju, jim nekako uspe, toda raziskovalna matematika, še niso na tej ravni. Toda na neki točki bomo začeli videti, da bodo objavljeni dokumenti, podprti z AI, in prišlo bo do razprave.
Način, kako se je naša kultura na nek način spremenila ... Leta 2007 je le delček matematikov dal na voljo svoje prednatise pred objavo. Avtorji so ljubosumno varovali svoje prednatise, dokler niso prejeli obvestila o sprejemu iz revije. In potem lahko delijo.
Zdaj pa vsi dajo svoje papirje javnih strežnikih, kot je arXiv. Veliko več je odprtosti za objavljanje videoposnetkov in objav v blogih o tem, od kod prihajajo ideje za časopis. Ker se ljudje zavedajo, da je zaradi tega delo bolj vplivno in odmevno. Če se trudiš, da svojega dela ne razglašaš in si o njem zelo skrivnosten, se to ne odmeva.
Matematika je postala veliko bolj sodelovalni. Veste, pred 50 leti bi rekel, da je bila večina prispevkov iz matematike enega avtorja. Zdaj je zagotovo večina dveh, treh ali štirih avtorjev. In šele začenjamo opažati res velike projekte, kot jih počnemo v znanosti, saj veste, na primer sodeluje na desetine, na stotine ljudi. Matematikom je to še vedno težko narediti, a mislim, da nam bo uspelo.
Hkrati pa postajamo veliko bolj interdisciplinarni. Veliko več delamo z drugimi znanostmi. Delamo med področji matematike. In zaradi interneta lahko sodelujemo z ljudmi po vsem svetu. Torej se način, kako delamo matematiko, zagotovo spreminja.
Upam, da bomo v prihodnosti lahko bolj izkoristili amatersko matematično skupnost. Obstajajo druga področja, kot je astronomija, kjer astronomi zelo izkoriščajo amatersko astronomsko skupnost, saj veste, veliko kometov na primer najdejo amaterji.
Toda matematiki ... Obstaja nekaj izoliranih področij matematike, kot je razlaganje, dvodimenzionalno razlaganje in morda iskanje zapisov v praštevilih. Obstaja nekaj zelo izbranih področij matematike, kjer amaterji prispevajo in so dobrodošli. Vendar je veliko ovir. Na večini področij matematike potrebujete toliko usposabljanja in ponotranjene ali konvencionalne modrosti, da stvari ne moremo zbrati. Toda to se lahko v prihodnosti spremeni. Morda bi bil eden od učinkov umetne inteligence ta, da bi amaterskim matematikom omogočili, da pomembno prispevajo k matematiki.
STROGATZ: To je zelo zanimivo.
[Premor za vstavljanje oglasa]
STROGATZ: Torej lahko amaterji s pomočjo umetne inteligence postavljajo nova vprašanja, ki so dobra, ali pomagajo pri dobrih raziskavah obstoječih vprašanj, česa takega?
TAO: Obstaja veliko različnih modalitet - ja. Tako na primer zdaj obstajajo projekti za formalizacijo dokazov velikih izrekov v teh rečeh pomočniki za formalno dokazovanje, ki so kot računalniški jeziki, ki lahko 100 % preverijo, ali je izrek resničen ali ne in — ali je dokazan ali ne. To dejansko omogoča obsežno sodelovanje v matematiki.
Torej, če v preteklosti sodelujete z 10 drugimi ljudmi, da bi dokazali izrek, in vsak prispeva korak, mora vsak preveriti matematiko drugih. Kajti pri matematiki je tako, da če ima en korak napako, se lahko vsa stvar razpade.
Torej potrebujete zaupanje in tako - zato to preprečuje, to resnično zavira resnično obsežno sodelovanje v matematiki. Ampak zdaj obstajajo, bili so uspešni primeri res velikih izrekov, ki so formalizirani, kjer obstaja ogromna skupnost, vsi se ne poznajo, si ne zaupajo vsi, vendar komunicirajo prek nalaganja v neko Githubovo skladišče oz. nekaj, kot so posamezni dokazi posameznih korakov v argumentu. Programska oprema za uradni dokaz vse preveri, zato vam ni treba skrbeti za zaupanje. Tako omogočamo nove načine sodelovanja, ki jih v preteklosti še nismo videli.
STROGATZ: Res je zanimivo slišati tvojo vizijo, Terry. To je fascinantna misel. Ne slišite besedne zveze "državljanski matematik." Slišali ste za državljansko znanost, a zakaj ne bi slišali za državljansko matematiko?
Vendar me samo zanima, ali obstajajo kakšni trendi, ki vas skrbijo, na primer glede računalniško podprtih dokazov ali dokazov, ustvarjenih z umetno inteligenco? Ali bomo vedeli, da so nekateri rezultati resnični, ne bomo pa razumeli, zakaj?
TAO: Torej je to problem. Mislim, to je problem že pred pojavom AI. Torej, obstaja veliko področij, kjer prispevki na temo postajajo daljši in daljši, na stotine strani. In upam, da lahko umetna inteligenca dejansko pomaga pri poenostavitvi in lahko pojasni ter dokaže.
Torej že obstaja eksperimentalna programska oprema, kjer, na primer, če vzamete dokaz, ki je bil formaliziran, ga lahko dejansko pretvorite v interaktivni človeku berljiv dokument, kjer imate dokaz in vidite korake na visoki ravni in če obstaja stavek če ne razumete, ga lahko dvokliknete in razširil se bo v manjše korake. Kmalu mislim, da boš lahko dobil tudi klepetalnega robota z umetno inteligenco, ki bo sedel zraven tebe, medtem ko boš pregledoval dokaz, in bo lahko odgovarjal na vprašanja ter lahko razložil vsak korak, kot da bi bil avtor. Mislim, da smo temu že zelo blizu.
Obstajajo pomisleki. Spremeniti moramo način, kako izobražujemo naše študente, zlasti zdaj, ko je veliko naših tradicionalnih načinov dodeljevanja domačih nalog in tako naprej, smo skoraj na točki, ko lahko ta orodja AI takoj odgovorijo na mnoga naša standardna izpitna vprašanja. Zato moramo naše študente naučiti novih veščin, na primer, kako preveriti, ali je rezultat, ki ga ustvari umetna inteligenca, pravilen ali ne, in kako pridobiti drugo mnenje.
In morda bomo videli prihod bolj eksperimentalne strani matematike, veste. Matematika je torej skoraj v celoti teoretična, medtem ko ima večina znanosti tako teoretično kot eksperimentalno komponento. Morda bomo sčasoma dobili rezultate, ki so najprej dokazani samo z računalniki in, kot pravite, ne razumemo. Toda ko bomo imeli podatke, ki jih zagotavlja umetna inteligenca, računalniško ustvarjene dokaze, bomo morda lahko izvajali poskuse.
Zdaj je malo eksperimentalne matematike. Ljudje preučujejo, na primer, velike nize podatkov o različnih stvareh, recimo eliptične krivulje. Toda v prihodnosti bi lahko postal veliko večji.
STROGATZ: Joj, meni se sliši zelo optimističen pogled. Ni tako, kot da je zlata doba v preteklosti. Če vas prav slišim, mislite, da je pred vami veliko zelo razburljivih stvari.
TAO: Ja, veliko novih tehnoloških orodij daje veliko moči. Mislim, AI ima na splošno veliko zapletenih vzponov in slabosti. In zunaj znanosti obstaja veliko možnih motenj v gospodarstvu, pravicah intelektualne lastnine in tako naprej. Toda znotraj matematike mislim, da je razmerje med dobrim in slabim boljše kot na mnogih drugih področjih.
In veste, internet je resnično spremenil način, kako delamo matematiko. Sodelujem z veliko ljudmi na različnih področjih. Tega ne bi mogel storiti brez interneta. Dejstvo, da lahko grem na Wikipedijo ali kar koli drugega in se začnem učiti predmet, lahko nekomu pošljem e-pošto in lahko sodelujeva na spletu. Če bi moral delati stvari stare šole, kjer bi se lahko pogovarjal le z ljudmi v svojem oddelku in za vse ostalo uporabljal fizično pošto, ne bi mogel računati tako, kot zdaj.
STROGATZ: Vau, v redu. Samo podčrtati moram, kar ste pravkar rekli, ker si nikoli v milijonih let nisem mislil, da bom slišal tole: Terry Tao bere Wikipedijo, da bi se učil matematike?
TAO: Kot izhodišče. Mislim, ni vedno Wikipedia, ampak samo zato, da dobim ključne besede, nato pa bom izvedel bolj specializirano iskanje, recimo, MathSciNet ali kakšno drugo bazo podatkov. Ampak ja.
STROGATZ: Ne gre za kritiko. Mislim, delam isto stvar. Wikipedija je pravzaprav, če je kakšna kritika matematike na Wikipediji, morda to, da je včasih malo preveč napredna za bralce, ki jim je namenjena, mislim. Ni vedno. Mislim, odvisno je. Od članka do članka se zelo razlikuje. Ampak to je samo smešno. Rad to slišim.
TAO: Mislim, pri teh orodjih moraš biti sposoben preveriti rezultate. Veste, torej, mislim, razlog, zakaj lahko uporabljam Wikipedijo za matematiko, je ta, da že znam dovolj matematike, da lahko zavoham, ali je del Wikipedije pri matematiki sumljiv ali ne. Veste, morda dobi nekaj virov in eden od njih bo boljši od drugega. In poznam avtorje in imam idejo, katera referenca bo zame boljša. Če bi uporabil Wikipedijo za učenje o temi, s katero nisem imel izkušenj, mislim, da bi bila to bolj naključna spremenljivka.
STROGATZ: No, kar nekaj smo govorili o tem, kaj je tisto, kar naredi dobro matematiko, o možni prihodnosti za nove vrste dobre matematike. Morda pa bi se morali vprašati: Zakaj je to sploh pomembno? Zakaj je pomembno, da je matematika dobra?
TAO: No, torej, najprej mislim, zakaj sploh imamo matematike? Zakaj družba ceni matematike in nam daje sredstva za to, kar počnemo? Veste, to je zato, ker zagotavljamo nekaj vrednosti. Lahko imamo aplikacije v resničnem svetu. Obstaja intelektualno zanimanje in nekatere teorije, ki jih razvijemo, sčasoma omogočijo vpogled v druge pojave.
In ni vsa matematika enake vrednosti. Mislim, lahko bi izračunali več in več števk števila pi, vendar se na neki točki ne naučite ničesar. Vsak predmet potrebuje nekakšno vrednostno presojo, ker morate razporediti sredstva. Tam je toliko matematike. Katere napredke želite poudariti in objaviti ter o njih obvestiti druge ljudi in kateri bi morda morali tiho ostati nekje v dnevniku?
Tudi če menite, da je predmet popolnoma objektiven in, veste, obstaja le res ali napačno, se moramo še vedno odločiti. Veš, samo zato, ker je čas omejen vir. Pozornost je omejen vir. Denar je omejen vir. Torej, to so vedno pomembna vprašanja.
STROGATZ: No, zanimivo, da ste omenili publiciranje, ker je to nekaj, kar mislim, da je značilnost vašega dela, da ste vložili tudi veliko truda, da bi bila matematika javno dostopna prek vašega bloga, prek različnih člankov, ki jih sem napisal. Spomnim se, da smo razpravljali o eni, ki ste jo napisali Ameriški znanstvenik o univerzalnosti in tej ideji. Zakaj je pomembno, da je matematika javno dostopna in razumljiva? Mislim, kaj je tisto, kar poskušaš narediti?
TAO: Zgodilo se je nekako organsko. Na začetku moje kariere je bil svetovni splet še zelo nov in matematiki so začeli imeti spletne strani z različnimi vsebinami, vendar ni bilo veliko osrednjega imenika. Pred Googlom in tako naprej je bilo dejansko težko najti posamezne vire.
Tako sem začel nekako izdelovati majhni imeniki na moji spletni strani. Izdelal bi tudi spletne strani za svoje časopise in dal nekaj komentarjev. Sprva je bilo to bolj v mojo lastno korist, le kot organizacijsko orodje, samo zato, da bi mi pomagal najti stvari. Kot stranski produkt je bil na voljo javnosti, vendar sem bil nekako primarni potrošnik, vsaj tako sem mislil, svojih spletnih strani.
Vendar se zelo jasno spomnim, nekoč sem napisal prispevek in ga dal na svojo spletno stran, in imel sem majhno podstran z naslovom "Kaj je novega?" In pravkar sem rekel: »Tukaj je papir. V njem je vprašanje, na katerega še vedno nisem znal odgovoriti in ne vem, kako ga rešiti.” In pravkar sem dal ta komentar. In potem sem približno dva dni pozneje prejel e-poštno sporočilo: »Oh, samo pregledoval sem vašo domačo stran. Poznam odgovor na to. Obstaja papir, ki bo rešil vašo težavo.«
In najprej sem spoznal, da so ljudje dejansko obiskovali mojo spletno stran, česar pravzaprav nisem poznal. Toda ta interakcija s skupnostjo bi res lahko – no, lahko bi mi pomagala neposredno rešiti moja vprašanja.
Ta zakon se imenuje Metcalfov zakon v mreženju to, veš, če imaš n ljudje in vsi se med seboj pogovarjajo, tam je približno n2 povezave med njimi. In tako, večje kot je občinstvo in večji kot je forum, kjer se lahko vsak pogovarja z vsemi drugimi, več potencialnih povezav lahko vzpostavite in več dobrih stvari se lahko zgodi.
Mislim, v svoji karieri je toliko odkritij, ki sem jih naredil, ali povezav, ki sem jih vzpostavil, posledica nepričakovane povezave. Celotna izkušnja moje kariere je bila nekako več povezav enako, da se dogajajo samo boljše stvari.
STROGATZ: Mislim, da je lep primer tega, kar ravnokar omenjate, vendar bi rad slišal, da govorite o tem, povezave, ki ste jih vzpostavili z ljudmi v podatkovni znanosti, ki jih zanimajo vprašanja v zvezi z medicinskim resonančnim slikanjem , MRI. Nam lahko poveste nekaj o tej zgodbi?
TAO: Torej, to je bilo okoli leta 2006, 2005, mislim. Torej, tu v kampusu UCLA je bil interdisciplinarni program o, mislim, večstopenjski geometrijski analizi ali nečem podobnem, kjer so združevali čiste matematike, ki jih je zanimala vrsta večstopenjske geometrije sama po sebi, in potem, saj veste, ljudje, ki so imeli zelo konkretne težave z vrsto podatkov.
Pravkar sem začel delati na nekaterih problemih v teoriji naključnih matrik, tako da sem bil znan kot nekdo, ki lahko manipulira z matrikami. In srečal sem nekoga, ki sem ga že poznal, Emmanuel Candès, ker je takrat delal v bližini na Caltechu. In on in še en sodelavec, Justin Romberg, so odkrili ta nenavaden pojav.
Tako so gledali slike MRI, vendar so bile zelo počasne. Da bi zbrali dovolj slike človeškega telesa v res visoki ločljivosti ali dovolj, da morda ujamete tumor ali katero koli medicinsko pomembno značilnost, ki jo želite najti, pogosto traja nekaj minut, ker morajo skenirati vse te različne kote in nato sintetizirati podatke. . In to je bil pravzaprav problem, ker je bilo na primer majhnim otrokom precej problematično samo sedeti pri miru tri minute v aparatu za magnetno resonanco.
Zato so eksperimentirali na drugačen način, z uporabo neke linearne algebre. Upali so, da bodo dosegli 10 %, 20 % izboljšanje zmogljivosti. Saj veste, nekoliko ostrejša slika z malo prilagoditvijo standardnega algoritma.
Standardni algoritem se je torej imenoval aproksimacija najmanjših kvadratov, delali pa so nekaj drugega, kar se je imenovalo popolna minimizacija variacije. Toda potem, ko so zagnali računalniško programsko opremo, so dobili skoraj popolno rekonstrukcijo svoje testne slike. Ogromen, ogromen napredek. In tega si niso mogli razložiti.
Ampak Emmanuel je bil na tem programu in sva klepetala ob čaju ali kaj podobnega. In pravkar je omenil to in pravzaprav je bila moja prva misel, da ste se verjetno zmotili v svojem izračunu, da to, kar govorite, dejansko ni mogoče. In spomnim se, da sem se tisti večer vrnil domov in poskušal zapisati dejanski dokaz, da se to, kar so videli, dejansko ni moglo zgoditi. In potem sem na polovici ugotovil, da sem domneval, ki ni bila resnična. In potem sem spoznal, da dejansko lahko deluje. In potem sem ugotovil, kaj bi lahko bila razlaga. Potem sva delala skupaj in dejansko sva našla dobro razlago in to objavila.
In ko smo to storili, so ljudje ugotovili, da je bilo veliko drugih situacij, ko je bilo treba opraviti meritev, ki je običajno zahtevala veliko in veliko podatkov, v nekaterih primerih pa lahko vzamete veliko manjšo količino podatkov in še vedno dobite res visoko- merjenje ločljivosti.
Tako zdaj, na primer, sodobne naprave za magnetno resonanco - skeniranje, ki je včasih trajalo tri minute, lahko zdaj traja 30 sekund, ker je ta programska oprema, ta algoritem zdaj vgrajen v stroje, trdo kodiran.
STROGATZ: To je lepa zgodba, tako odlična zgodba. Mislim, govoriti o pomembni matematiki, ki spreminja življenja, dobesedno, v tem kontekstu medicinskega slikanja. Všeč mi je naključje in tvoja odprtost, saj veš, da slišiš to idejo in potem pomisliš, no, "to je nemogoče, to lahko dokažem." In potem ugotovil, da pravzaprav ne. Čudovito je videti, da ima matematika tako velik vpliv.
No, v redu, mislim, da je bolje, da te pustim, Terry. V resni užitek je bilo razpravljati z vami o bistvu dobre matematike. Najlepša hvala, da ste se nam danes pridružili.
TAO: Ja, ne, bilo mi je v veselje.
[Premor za vstavljanje oglasa]
STROGATZ: "The Joy of Why" je podcast iz Revija Quanta, uredniško neodvisna publikacija, ki jo podpira Fundacija Simons. Odločitve o financiranju fundacije Simons nimajo vpliva na izbor tem, gostov ali druge uredniške odločitve v tem podcastu ali v Revija Quanta.
"The Joy of Why" producira PRX Productions. Produkcijska ekipa je Caitlin Faulds, Livia Brock, Genevieve Sponsler in Merritt Jacob. Izvršna producentka PRX Productions je Jocelyn Gonzales. Morgan Church in Edwin Ochoa sta zagotovila dodatno pomoč. Od Revija Quanta, John Rennie in Thomas Lin sta zagotovila uredniško vodstvo ob podpori Matta Carlstroma, Samuela Velasca, None Griffin, Arleen Santana in Madison Goldberg.
Naša tematska glasba je iz APM Music. Ime podkasta je izmislil Julian Lin. Sliko epizode je napisal Peter Greenwood, naš logotip pa Jaki King in Kristina Armitage. Posebna zahvala Columbia Journalism School in Burtu Odom-Reedu iz Cornell Broadcast Studios.
Sem vaš gostitelj, Steve Strogatz. Če imate kakršna koli vprašanja ali komentarje za nas, nam pišite na . Hvala za poslušanje.
- Distribucija vsebine in PR s pomočjo SEO. Okrepite se še danes.
- PlatoData.Network Vertical Generative Ai. Opolnomočite se. Dostopite tukaj.
- PlatoAiStream. Web3 Intelligence. Razširjeno znanje. Dostopite tukaj.
- PlatoESG. Ogljik, CleanTech, Energija, Okolje, sončna energija, Ravnanje z odpadki. Dostopite tukaj.
- PlatoHealth. Obveščanje o biotehnologiji in kliničnih preskušanjih. Dostopite tukaj.
- vir: https://www.quantamagazine.org/what-makes-for-good-mathematics-20240201/
- :ima
- : je
- :ne
- :kje
- ][str
- $GOR
- 1
- 10
- 15 let
- 15%
- 2005
- 2006
- 250
- 30
- 300
- 50
- 50 Years
- a
- Sposobna
- O meni
- o IT
- POVZETEK
- abstrakcija
- AC
- sprejem
- sprejeta
- sprejemanje
- dostopen
- Dostop
- Račun
- čez
- dejanska
- dejansko
- Ad
- Dodatne
- Naslov
- sprejme
- napredovanje
- napredno
- napredek
- prihod
- svetuje
- po
- spet
- starost
- Avgust
- strinjam
- naprej
- AI
- AI klepet
- AIR
- ais
- algoritem
- živ
- vsi
- dodeliti
- omogočajo
- skoraj
- skupaj
- že
- Prav tako
- Čeprav
- vedno
- amater
- Ameriška
- med
- znesek
- an
- Analiza
- Ancient
- in
- Še ena
- odgovor
- kaj
- več
- kdo
- karkoli
- narazen
- aplikacija
- Apple
- aplikacije
- Uporaba
- približuje se
- primerno
- SE
- OBMOČJE
- območja
- Argument
- Argumenti
- okoli
- Umetnost
- članek
- članki
- Izvajalci
- AS
- vprašati
- vidik
- vidiki
- pomoč
- predpostavka
- astronomija
- At
- napad
- pozornosti
- Občinstvo
- Avtor
- avtor
- organ
- Avtorji
- Na voljo
- Nagrade
- Os
- b
- nazaj
- Slab
- Banka
- Bančni račun
- ovire
- baza
- Osnovni
- BE
- lepa
- Beauty
- ker
- postanejo
- postane
- postajajo
- bilo
- pred
- začetek
- Začetek
- počutje
- bitja
- Verjemite
- koristi
- BEST
- Boljše
- med
- Big
- Big Podatki
- večji
- največji
- Bit
- slepi
- Blog
- Blog Prispevkov
- blogi
- telo
- tako
- veje
- širina
- Break
- preboj
- MOST
- Predložitev
- široka
- oddaja
- širši
- brock
- izgradnjo
- vendar
- by
- izračun
- klic
- se imenuje
- prišel
- Campus
- CAN
- Kapital
- Kariera
- primeru
- primeri
- wrestling
- vzroki
- jama
- Osrednji
- centralna oblast
- Stoletje
- nekatere
- Zagotovo
- izziv
- priložnost
- spremenite
- spremenilo
- spreminjanje
- chatbot
- klepet
- preveriti
- preverjanje
- možnosti
- Cerkev
- Krog
- krogi
- Krožna
- Državljan
- razred
- Zapri
- Sočasni gostitelj
- Koda
- sodelovati
- sodelovanje
- sodelovanj
- Sodelavec
- zbiranje
- Columbia
- kako
- prihaja
- Kometi
- prihajajo
- komentar
- komentar
- komentarji
- blago
- komunicirajo
- skupnost
- Dopolnilo
- popolnoma
- kompleksna
- zapleten
- zaplete
- komponenta
- Izračunajte
- računalnik
- Računalništvo
- Računalniška programska oprema
- računalniško ustvarjen
- računalniki
- Koncept
- Skrbi
- betonska
- domnevo
- Povezovanje
- povezava
- povezave
- povezuje
- konzervativni
- Potrošnik
- kontakt
- vsebina
- Tekmovanje
- ozadje
- prispevajo
- prispeva
- sporen
- Priročen
- konvencionalne
- zbližati
- Konvergenca
- nasprotno
- pretvorbo
- Cornell
- Kotiček
- popravi
- bi
- Svet
- Tečaj
- ustvaril
- Creative
- bitje
- verodostojnost
- Merila
- kritika
- Množica
- kulturne
- Kultura
- valuta
- kosi
- NEVARNOST
- datum
- znanost o podatkih
- nabori podatkov
- Baze podatkov
- Dnevi
- Razprava
- odločitve
- globoko
- globlje
- opredeliti
- vsekakor
- izkazati
- Oddelek
- odvisno
- opisati
- zasluži
- Podrobnosti
- določi
- Razvoj
- razvili
- DID
- drugačen
- težko
- števk
- dimenzije
- neposredno
- imeniki
- disciplina
- odkriti
- odkril
- razpravlja
- razpravljali
- Motnje
- izrazito
- izrazito
- DNK
- do
- dokument
- ne
- Ne
- tem
- domena
- dont
- By
- navzdol
- slabe strani
- dinamika
- vsak
- Zgodnje
- Zemlja
- Gospodarstvo
- urednik
- Uredništvo
- izobraževanje
- vzgojitelji
- Edwin
- učinkovitost
- učinkovite
- prizadevanje
- Einstein
- bodisi
- slon
- Elipsasta
- ostalo
- Drugače
- E-naslov
- pooblastitvi
- omogoča
- omogočanje
- srečanje
- konec
- dovolj
- Celotna
- popolnoma
- epizoda
- enako
- enako
- enačbe
- Era
- Napaka
- zlasti
- ESEJ
- Bistvo
- Tudi
- sčasoma
- Tudi vsak
- Vsi
- vsi
- vse
- točno
- izpit
- Primer
- Primeri
- razburjen
- zanimivo
- izvršni
- izvršni producent
- Vaja
- obstoječih
- obstaja
- Razširi
- izkušnje
- eksperimentalni
- eksperimentiranje
- Poskusi
- Strokovnjaki
- Pojasnite
- pojasnjujejo
- Razlaga
- Raziskano
- Raziskovati
- obseg
- izredno
- Dejstvo
- sejem
- pošteno
- Padec
- false
- seznanjeni
- slavni
- fantastičen
- daleč
- zanimivo
- Priljubljeni
- Feature
- občutek
- počuti
- kolega
- Napaka
- Nekaj
- Polje
- Področja
- ugotovil
- Številke
- končno
- Najdi
- iskanje
- prva
- tekočina
- Dinamika tekočin
- Osredotočite
- osredotoča
- za
- formalno
- Formalno
- Naprej
- Forum
- je pokazala,
- Fundacija
- štiri
- lisica
- ulomek
- prijatelj
- iz
- temeljna
- Financiranje
- smešno
- Prihodnost
- igra
- dal
- splošno
- ustvarjajo
- generacija
- radodaren
- geometrija
- dobili
- dobi
- pridobivanje
- GitHub
- Daj
- Go
- goes
- dogaja
- Zlata
- dobro
- dobro delo
- prisodil
- diplomiral
- veliko
- grški
- Greenwood
- Griffin
- prizemljen
- Guard
- Verjetno
- gostov
- Navodila
- imel
- na pol poti
- strani
- se zgodi
- se je zgodilo
- Zgodi se
- se zgodi
- Trdi
- Imajo
- ob
- he
- zdravo
- slišati
- sluha
- Jež
- pomoč
- pomoč
- Pomaga
- tukaj
- visoka
- na visoki ravni
- visoka ločljivost
- več
- Označite
- ga
- sam
- njegov
- zgodovina
- celosten
- Domov
- domača stran
- domače naloge
- počaščen
- upam,
- upa
- v upanju,
- gostitelj
- HOT
- Kako
- Kako
- HTTPS
- velika
- Ogromno
- človeškega
- človeško berljivo
- Stotine
- i
- Ideja
- ideale
- Ideje
- identificirati
- if
- slika
- slike
- slika
- slikanje
- vpliv
- vplivno
- Pomembno
- nemogoče
- Izboljšanje
- in
- nagnjen
- vključujejo
- Vključno
- Neodvisni
- individualna
- vplivajo
- Vplivno
- inherentno
- na začetku
- vpogled
- vpogledi
- takoj
- integrirana
- intelektualne
- intelektualne lastnine
- namenjen
- interakcije
- interaktivno
- obresti
- zainteresirani
- Zanimivo
- Internet
- v
- Predstavitev
- intuicija
- Izum
- iPhone
- izolirani
- IT
- ITS
- Job
- John
- pridružil
- se nam pridružiš
- Pridružuje
- Revija
- novinarstvo
- veselje
- samo
- hranijo
- Ključne
- ključne besede
- otroci
- Otrok
- vrste
- King
- Vedite
- znano
- ve
- Država
- jezik
- jeziki
- velika
- obsežne
- večja
- pozneje
- zakon
- UČITE
- učenje
- vsaj
- manj
- Naj
- Stopnja
- življenje
- Life Sciences
- kot
- omejitve
- Limited
- lin
- vrstica
- linearna
- linije
- Poslušanje
- malo
- živi
- logično
- logo
- Long
- več
- Poglej
- izgleda kot
- si
- POGLEDI
- izgubiti
- Sklop
- veliko
- ljubezen
- stroj
- Stroji
- je
- revije
- Večina
- Znamka
- IZDELA
- Izdelava
- upravljanje
- več
- Tržna
- ogromen
- math
- matematični
- matematično
- matematika
- Matrix
- mat
- Matter
- zrel
- Maj ..
- mogoče
- me
- pomeni
- izmerjena
- Merjenje
- mediji
- medicinski
- medicinsko slikanje
- člani
- Moški
- omenjam
- omenjeno
- pol
- meritev
- morda
- milijonov
- misli
- minimizacija
- min
- min
- napačne predstave
- napaka
- modalitete
- sodobna
- načini
- Denar
- več
- Morgan
- Najbolj
- Predlogi
- MRI
- veliko
- Glasba
- morajo
- my
- jaz
- Mystery
- naivna
- Ime
- Nimate
- potrebna
- potrebe
- Niti
- nikoli
- Novo
- novice
- Naslednja
- lepo
- noč
- št
- niti
- Običajno
- nič
- Obvestilo
- zdaj
- Nuance
- Številka
- številke
- predmet
- Cilj
- predmeti
- opazovana
- Očitna
- OCHOA
- oktober
- of
- pogosto
- oh
- Ok
- on
- enkrat
- ONE
- tiste
- na spletu
- samo
- motno
- open source
- Odprtost
- Mnenje
- Optimistično
- or
- organsko
- organizacijsko
- Ostalo
- drugi
- naši
- ven
- zastarel
- izhod
- zunaj
- več
- lastne
- Pack
- pakirano
- strani
- Papir
- članki
- vzporedno
- deloma
- zlasti
- zlasti
- deli
- opravil
- preteklosti
- ljudje
- odstotkov
- popolna
- performance
- trajna
- oseba
- Peter
- pojav
- fizično
- Fizikalne znanosti
- Fizično
- Fizika
- izbrali
- kos
- platon
- Platonova podatkovna inteligenca
- Platonove
- PlatoData
- prosim
- užitek
- Podcast
- Podcasting
- Poezija
- Točka
- Pogled na točko
- točke
- zastavljeno
- pozitiven
- mogoče
- Prispevkov
- potencial
- moč
- močan
- praksa
- vaje
- Ravno
- predstavitev
- precej
- preprečuje
- prej
- primarni
- Predsednik
- primitivna
- Nagrada
- problem
- Težave
- Proizvedeno
- Proizvajalec
- proizvodnja
- produkcije
- Učitelj
- Program
- Napredek
- projekti
- plodovit
- dokazilo
- dokazov
- pravilno
- nepremičnine
- Premoženjske pravice
- zaščiteni
- Ponosni
- Dokaži
- dokazano
- zagotavljajo
- če
- zagotavljanje
- dokazovanje
- javnega
- Objava
- javno
- objavijo
- objavljeno
- Založništvo
- čista
- izključno
- Namen
- zasledovati
- Potiskanje
- dal
- Postavlja
- Quantamagazine
- vprašanje
- vprašanja
- tiho
- precej
- naključno
- precej
- razmerje
- bralci
- pravo
- resnični svet
- Reality
- uresničitev
- realizirano
- uresničevanje
- res
- Razlog
- recesija
- evidence
- zmanjša
- reference
- besedilu
- povezane
- Razmerje
- relativnost
- sprošča
- ne pozabite
- Odstranjeno
- Skladišče
- obvezna
- zahteva
- Raziskave
- rešiti
- resonanca
- vir
- viri
- Odgovor
- odgovorno
- povzroči
- Rezultati
- razkrivajo
- revidirati
- Revolucionarni
- Pravica
- pravice
- Ring
- Rise
- vloge
- grobo
- Run
- Je dejal
- Enako
- pravijo,
- rek
- pravi
- skeniranje
- <span style="color: #f7f7f7;">Šola</span>
- Znanost
- ZNANOSTI
- Iskalnik
- drugi
- sekund
- glej
- videnje
- zdi se
- zdelo
- Zdi se,
- videl
- Segment
- izberite
- izbor
- samostojno usmerjeno
- stavek
- ločena
- strežniki
- Kompleti
- več
- Oblike
- Delite s prijatelji, znanci, družino in partnerji :-)
- premik
- Kratke Hlače
- shouldnt
- strani
- Podoben
- Enostavno
- enostavnejši
- poenostavljeno
- poenostavitev
- poenostavitev
- saj
- sam
- sit
- Sedenje
- situacije
- spretnosti
- počasi
- manj
- vonj
- So
- socialna
- družbeni mediji
- Društvo
- Software
- nagovarjanje
- SOLVE
- Reševanje
- nekaj
- nekako
- nekdo
- Nekaj
- Včasih
- nekoliko
- nekje
- Kmalu
- Predlogi
- zvoki
- vir
- Viri
- Vesolje
- prostorsko
- posebna
- specializirani
- špekulacije
- špekulativno
- preživeti
- Spotify
- kvadrat
- kvadratov
- standardna
- Stanford
- Začetek
- začel
- Začetek
- začne
- Izjava
- Države
- bivanje
- Korak
- Koraki
- Steve
- Še vedno
- zaloge
- borza
- STONE
- Zgodba
- naravnost
- korakov
- študent
- Študenti
- Študije
- studii
- študija
- Študij
- predmet
- uspešno
- taka
- Predlaga
- podpora
- Podprti
- Površina
- presenečen
- presenetljivo
- sumljiv
- sintetizirati
- sistemi
- Bodite
- meni
- ob
- Pogovor
- pogovor
- pogovori
- opredmetena
- Naloge
- Tea
- poučevanje
- skupina
- tehnični
- tehnika
- tehnološki
- povej
- nagiba
- deset
- Test
- kot
- hvala
- da
- O
- Območje
- Prihodnost
- svet
- njihove
- Njih
- tema
- POTEM
- Teoretični
- Teorija
- Tukaj.
- zato
- te
- jih
- stvar
- stvari
- mislim
- Razmišljanje
- tretja
- Tretja generacija
- ta
- čeprav?
- mislil
- 3
- Tridimenzionalni
- skozi
- čas
- do
- danes
- skupaj
- tudi
- orodje
- orodja
- Teme
- Skupaj za plačilo
- na dotik
- tradicionalna
- usposabljanje
- preoblikovati
- zdravljeni
- Drevo
- Trends
- Poskušal
- Res
- Zaupajte
- poskusite
- poskuša
- tumor
- Obračalni
- zavoji
- tweaking
- dva
- tip
- Vrste
- UCLA
- Podčrtajte
- razumeli
- razumljivo
- razumevanje
- razumel
- Nepričakovana
- poenoteno
- unija
- Enota
- Velika
- dokler
- nenavadno
- Prenos
- naprej
- UPS
- us
- uporaba
- Rabljeni
- koristno
- uporabo
- navadno
- pripomoček
- uporabiti
- dragocene
- vrednost
- vrednoti
- Vrednote
- spremenljivka
- različnih
- VeeR
- preverjanje
- zelo
- VET
- Video posnetki
- Poglej
- gledano
- virusne
- Vizija
- za
- Čakam
- želeli
- hotel
- je
- gledanju
- Voda
- način..
- načini
- we
- nositi
- web
- webp
- dobrodošli
- pozdraviti
- Dobro
- so bili
- Kaj
- Kaj je
- karkoli
- kdaj
- medtem ko
- ali
- ki
- medtem
- WHO
- celoti
- zakaj
- široka
- pogosto
- razširjen
- obvladati
- Wikipedia
- bo
- Zmagovalec
- modrost
- z
- v
- brez
- spraševati
- beseda
- WordPress
- delo
- delal
- deluje
- dela
- svet
- Svetovni splet
- Skrbi
- skrbi
- bi
- WoW
- pisati
- pisanje
- pisni
- Napačen
- Napisal
- let
- ja
- še
- jo
- Vaša rutina za
- zefirnet