Če ste ta mesec spremljali matematične novice, veste, da je 35-letni teoretik števil James Maynard osvojil Fieldsova medalja — najvišja čast za matematika. Maynard ima rad matematična vprašanja, ki "so dovolj preprosta, da jih razložim srednješolcem, a dovolj težka, da bodo stoletja v zmedo matematike," Quanta poročali, in eno od teh preprostih vprašanj je naslednje: Ko se pomikate vzdolž številske premice, ali morajo praštevila vedno biti blizu skupaj?
Morda ste opazili, da so matematiki obsedeni s praštevili. Kaj jih privlači? Morda je to dejstvo, da praštevila utelešajo nekatere najbolj temeljne strukture in skrivnosti matematike. Praštevila preslikavajo vesolje množenja, tako da nam omogočajo, da razvrstimo in kategoriziramo vsako število z edinstveno faktorizacijo. Toda čeprav se ljudje igramo s praštevili že od zore množenja, še vedno nismo povsem prepričani, kje se bodo pojavila praštevila, kako razširjena so ali kako blizu morajo biti. Kolikor vemo, praštevila ne sledijo preprostemu vzorcu.
Naše navdušenje nad temi temeljnimi predmeti je vodilo do izuma ali odkritja na stotine različnih vrst praštevil: Mersennova praštevila (praštevila oblike 2n − 1), uravnotežena praštevila (praštevila, ki so povprečje dveh sosednjih praštevil) in praštevila Sophie Germain (praštevila p tako da 2p + 1 je tudi praštevilo), če naštejemo le nekatere.
Zanimanje za ta posebna praštevila je zraslo iz igranja s števili in odkrivanja nečesa novega. To velja tudi za »digitalno občutljiva praštevila«, nedavni dodatek na seznam, ki je privedel do nekaj presenetljivih rezultatov o najbolj osnovnih vprašanjih: kako redke ali pogoste so lahko nekatere vrste praštevil?
Da bi razumeli to vprašanje, začnimo z enim od prvih intrigantnih dejstev, ki jih izve ambiciozni navdušenec nad številkami: praštevil je neskončno veliko. Evklid je to dokazal pred 2,000 leti z uporabo enega najslavnejših dokazov s protislovjem v vsej zgodovini matematike. Začel je s predpostavko, da je praštevil le končno veliko, in vse zamislil n od njih na seznamu:
$latexp_1, p_2, p_3, …, p_n$.
Nato je naredil nekaj pametnega: razmišljal je o številu $latexq=p_1 krat p_2 krat p_3 krat … krat p_n+1$.
To opazite q ne more biti na seznamu praštevil, ker je večje od vsega na seznamu. Torej, če obstaja končen seznam praštevil, je to število q ne more biti glavni. Ampak če q ni praštevilo, mora biti deljivo z nečim drugim kot samim seboj in 1. To pa pomeni, da q mora biti deljiv z nekim praštevilom na seznamu, ampak zaradi načina q je zgrajena, delitev q karkoli na seznamu pusti preostanek 1. Tako očitno q ni niti praštevilo niti deljivo z nobenim praštevilom, kar je protislovje, ki izhaja iz predpostavke, da je praštevil le končno veliko. Zato, da bi se izognili temu protislovju, mora dejansko obstajati neskončno veliko praštevil.
Glede na to, da jih je neskončno veliko, bi morda mislili, da je praštevila vseh vrst enostavno najti, a ena od naslednjih stvari, ki jih detektiv praštevil spozna, je, kako razpršena so lahko praštevila. Preprost rezultat o presledkih med zaporednimi praštevili, ki se imenuje praštevila, pove nekaj precej presenetljivega.
Med prvimi 10 praštevili – 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 in 29 – lahko vidite vrzeli, ki so sestavljene iz enega ali več sestavljenih števil (števila, ki niso praštevila, na primer 4, 12 ali 27). Te vrzeli lahko izmerite tako, da preštejete sestavljena števila vmes: na primer, obstaja vrzel velikosti 0 med 2 in 3, vrzel velikosti 1 med obema 3 in 5 ter 5 in 7, vrzel velikosti 3 med 7 in 11, in tako naprej. Največja vrzel praštevil na tem seznamu je sestavljena iz petih sestavljenih števil - 24, 25, 26, 27 in 28 - med 23 in 29.
Sedaj pa neverjeten rezultat: glavne vrzeli so lahko poljubno dolge. To pomeni, da obstajajo zaporedna praštevila tako daleč narazen, kot si lahko predstavljate. Morda je prav tako neverjetno, kako preprosto je to dejstvo dokazati.
Zgoraj že imamo pravrzel dolžine 5. Bi lahko obstajala dolžina 6? Namesto iskanja po seznamih praštevil v upanju, da ga bomo našli, ga bomo sestavili sami. Za to bomo uporabili faktorialno funkcijo, ki se uporablja v osnovnih formulah za štetje: Po definiciji je $latexn!=n krat (n-1) krat (n-2) krat … krat 3 krat 2 krat 1$, torej na primer $ latex3!=3 krat 2 krat 1 = 6$ in $latex5!=5 krat 4 krat 3 krat 2 krat 1=120$.
Sedaj pa zgradimo našo glavno vrzel. Razmislite o naslednjem zaporedju zaporednih številk:
$lateks 7!+2$, $lateks7!+3$, $lateks 7!+4$, $lateks7!+5$, $lateks 7!+6$, $lateks 7!+7$.
Ker je $latex7!=7 krat 6 krat 5 krat 4 krat 3 krat 2 krat 1$, je prvo število v našem zaporedju, $latex7!+2$, deljivo z 2, kar lahko vidite po malem faktoriziranju:
$latex7!+2=7 krat 6 krat 5 krat 4 krat 3 krat 2 krat 1+2$
$lateks= 2(7 krat 6 krat 5 krat 4 krat 3 krat 1+1)$.
Podobno je drugo število, $latex7!+3$, deljivo s 3, saj
$latex7!+3=7 krat 6 krat 5 krat 4 krat 3 krat 2 krat 1+3$
$lateks= 3(7 krat 6 krat 5 krat 4 krat 2 krat 1+1)$.
Podobno, 7! + 4 je deljivo s 4, 7! + 5 za 5, 7! + 6 za 6 in 7! + 7 krat 7, kar pomeni 7! + 2, 7! + 3, 7! + 4, 7! + 5, 7! + 6, 7! + 7 zaporedje šestih zaporednih sestavljenih števil. Imamo prarazmik vsaj 6.
To strategijo je enostavno posplošiti. Zaporedje
$latexn!+2$, $latexn!+3$, $latexn!+4$, $latex…$, $latexn!+n$.
je zaporedje $latexn-1$ zaporednih sestavljenih števil, kar pomeni, da za katero koli n, obstaja praprostor z dolžino vsaj $latexn-1$. To kaže, da obstajajo poljubno dolge praštevilske vrzeli, zato na seznamu naravnih števil obstajajo mesta, kjer so najbližja praštevila 100, ali 1,000, ali celo 1,000,000,000 števil narazen.
V teh rezultatih je mogoče opaziti klasično napetost. Praštevil je neskončno veliko, a zaporedna praštevila so lahko tudi neskončno oddaljena. Še več, obstaja neskončno veliko zaporednih praštevil, ki so blizu skupaj. Pred približno 10 leti je prelomno delo Yitanga Zhanga sprožilo tekmo za zapolnitev vrzeli in dokazovanje domneve o dvojnih praštevilih, ki trdi, da obstaja neskončno veliko parov praštevil, ki se razlikujejo le za 2. Domneva o dvojčkih praštevilih je ena izmed najbolj slavna odprta vprašanja v matematiki, James Maynard pa je pomembno prispeval k dokazovanju tega izmuzljivega rezultata.
Ta napetost je prisotna tudi v nedavnih rezultatih o tako imenovanih digitalno občutljivih praštevilih. Če želite razumeti, kaj so te številke in kje so lahko ali ne, si vzemite trenutek in razmislite o naslednjem čudnem vprašanju: Ali obstaja dvomestno praštevilo, ki vedno postane sestavljeno s kakršno koli spremembo enice?
Da bi dobili občutek digitalne poslastice, se poigrajmo s številom 23. Vemo, da je praštevilo, toda kaj se zgodi, če spremenite njegovo enico? No, 20, 22, 24, 26 in 28 so vsi sodi in torej sestavljeni; 21 je deljivo s 3, 25 je deljivo s 5 in 27 je deljivo z 9. Zaenkrat je vse v redu. Toda če enice spremenite v 9, dobite 29, ki je še vedno praštevilo. Torej 23 ni praštevilo, ki ga iščemo.
Kaj pa 37? Kot smo videli zgoraj, se nam ni treba truditi s preverjanjem sodih števil ali števil, ki se končajo na 5, zato bomo preverili samo 31, 33 in 39. Ker je 31 tudi praštevilo, tudi 37 ne deluje.
Ali takšno število sploh obstaja? Odgovor je pritrdilen, vendar moramo iti vse do 97, da ga najdemo: 97 je praštevilo, vendar so 91 (deljivo s 7), 93 (deljivo s 3) in 99 (prav tako deljivo s 3) sestavljena , skupaj s sodimi številkami in 95.
Praštevilo je »občutljivo«, če, ko katero koli njegovo števko spremenite v karkoli drugega, izgubi svojo »praštevilo« (ali praštevilo, če uporabimo tehnični izraz). Zaenkrat vidimo, da je 97 občutljivo število enic – saj sprememba te števke vedno proizvede sestavljeno število – toda ali 97 izpolnjuje vsa merila, da je digitalno občutljivo? Odgovor je ne, ker če številko desetic spremenite v 1, dobite 17, praštevilo. (Upoštevajte, da so tudi 37, 47 in 67 praštevila.)
Pravzaprav dvomestno digitalno občutljivo praštevilo ne obstaja. Naslednja tabela vseh dvomestnih števil z dvomestnimi praštevili zasenčenimi prikazuje, zakaj.
Vsa števila v kateri koli dani vrstici imajo enako števko desetic, vsa števila v katerem koli stolpcu pa imajo enako števko enice. Dejstvo, da je 97 edino zasenčeno število v svoji vrstici, odraža dejstvo, da je občutljivo pri enicah, vendar ni edino praštevilo v svojem stolpcu, kar pomeni, da ni občutljivo pri deseticah.
Digitalno občutljivo dvomestno praštevilo bi moralo biti edino praštevilo v svoji vrstici in stolpcu. Kot kaže tabela, tako dvomestno praštevilo ne obstaja. Kaj pa digitalno občutljivo trimestno praštevilo? Tukaj je podobna tabela, ki prikazuje razporeditev trimestnih praštevil med 100 in 199, pri čemer so sestavljena števila izpuščena.
Tukaj vidimo, da je 113 v svoji vrstici, kar pomeni, da je v enicah občutljivo. Toda 113 ni v svojem stolpcu, zato nekatere spremembe desetice (na primer v 0 za 103 ali v 6 za 163) povzročijo praštevila. Ker se nobeno število ne pojavi tako v svoji vrstici kot v svojem stolpcu, hitro ugotovimo, da ni trimestnega števila, ki bi bilo zajamčeno sestavljeno, če spremenite njegovo številko enic ali desetic. To pomeni, da ne more biti trimestnega digitalno občutljivega praštevila. Upoštevajte, da nismo niti preverili stotic. Da bi bilo trimestno število resnično digitalno občutljivo, bi se moralo izogibati praštevilom v treh smereh v tridimenzionalni tabeli.
Ali digitalno občutljiva praštevila sploh obstajajo? Ko greste dlje na številski premici, postanejo praštevila bolj redka, zaradi česar je manj verjetno, da se križajo v vrsticah in stolpcih teh visokodimenzionalnih tabel. Toda večja števila imajo več števk in vsaka dodatna števka zmanjša verjetnost, da bo praštevilo digitalno občutljivo.
Če boste nadaljevali, boste odkrili, da digitalno občutljiva praštevila obstajajo. Najmanjši je 294,001. Ko spremenite eno od števk, bo številka, ki jo dobite - recimo 794,001 ali 284,001 - sestavljena. In še več jih je: naslednjih nekaj je 505,447; 584,141; 604,171; 971,767; in 1,062,599. Pravzaprav se ne ustavijo. Slavni matematik Paul Erdős je dokazal, da obstaja neskončno veliko digitalno občutljivih praštevil. In to je bil le prvi od mnogih presenetljivih rezultatov o teh radovednih številkah.
Na primer, Erdős ni le dokazal, da obstaja neskončno veliko digitalno občutljivih praštevil: dokazal je, da je v kateri koli bazi neskončno veliko digitalno občutljivih praštevil. Torej, če se odločite, da boste svoja števila predstavili v dvojiški, ternarni ali šestnajstiški obliki, boste še vedno zagotovo našli neskončno veliko digitalno občutljivih praštevil.
In digitalno občutljiva praštevila niso le neskončna: obsegajo odstotek, ki ni ničelni, vseh praštevil. To pomeni, da če pogledate razmerje med številom digitalno občutljivih praštevil in skupnim številom praštevil, je ta ulomek neko število, večje od nič. V tehničnem smislu je »pozitiven delež« vseh praštevil digitalno občutljiv, kot je leta 2010 dokazal dobitnik Fieldsove medalje Terence Tao. Praštevila sama po sebi ne sestavljajo pozitivnega deleža vseh praštevil, saj boste našli čedalje manj praštevil. dlje greste vzdolž številske premice. Vendar boste med temi praštevili še naprej našli dovolj pogosto digitalno občutljiva praštevila, da bo razmerje med občutljivimi praštevili in skupnimi praštevili ostalo nad nič.
Morda najbolj šokantno odkritje je bilo a rezultat iz leta 2020 o novi različici teh čudnih številk. Z omilitvijo pojma o tem, kaj je številka, so matematiki na novo zamislili predstavitev števila: namesto da bi razmišljali o 97 samem, so mislili, da ima vodilne ničle:
…0000000097.
Vsako vodilno ničlo je mogoče razumeti kot številko in vprašanje digitalne občutljivosti je mogoče razširiti na te nove predstavitve. Ali lahko obstajajo "široko digitalno občutljiva praštevila" - praštevila, ki vedno postanejo sestavljena, če spremenite katero koli števko, vključno s katero koli od tistih začetnih ničel? Zahvaljujoč delu matematikov Michaela Filasete in Jeremiaha Southwicka vemo, da je odgovor presenetljivo pritrdilen. Ne samo, da obstajajo široko digitalno občutljiva praštevila, ampak jih je neskončno veliko.
Praštevila tvorijo neskončen niz matematičnih ugank, s katerimi se lahko igrajo profesionalci in navdušenci. Morda ne bomo nikoli razvozlali vseh njihovih skrivnosti, vendar lahko računate na matematike, da bodo nenehno odkrivali in izumljali nove vrste praštevil za raziskovanje.
vaje
1. Kakšna je največja praštevilska vrzel med praštevili od 2 do 101?
2. Da bi dokazal, da obstaja neskončno veliko praštevil, Evklid predpostavi, da obstaja končno veliko praštevil $latexp_1, p_2, p_3, …, p_n$, in nato pokaže, da $latexq=p_1 krat p_2 krat p_3 krat … krat p_n+1$ ni ni deljivo z nobenim praštevilom na seznamu. Ali to ne pomeni tega q mora biti prime?
3. Znan rezultat v teoriji števil je, da je vmes vedno praštevilo k in 2k (vključno). To je težko dokazati, vendar je enostavno dokazati, da je vmes vedno praštevilo k in $latexq=p_1 krat p_2 krat p_3 krat … krat p_n+1$ (vključno), kjer so $latexp_1, p_2, p_3, …, p_n$ vsa praštevila manjša ali enaka k. Dokaži.
4. Ali lahko najdete najmanjše praštevilo, ki je digitalno občutljivo v enicah in deseticah? To pomeni, da bo sprememba števila enic ali desetic vedno proizvedla sestavljeno število. (Morda boste želeli napisati računalniški program za to!)
Problem izziva: Ali lahko najdete najmanjše praštevilo, ki je digitalno občutljivo, če ga predstavite v dvojiški obliki? Spomnimo se, da sta v binarni ali osnovi 2 edini števki 0 in 1, vsaka mestna vrednost pa predstavlja potenco števila 2. Na primer, 8 je predstavljeno kot $latex1000_2$, ker je $latex 8=1 krat 2^3 + 0 krat 2^2 + 0 krat 2^1 + 0 krat 2^0$ in 7 v osnovi 2 je $latex111_2$, ker je $latex7=1 krat 2^2 + 1 krat 2^1 + 1 krat 2^0$.
Kliknite za odgovor 1:
Kliknite za odgovor 2:
Ne. Razmislite o prvih šestih praštevilih: 2, 3, 5, 7, 11 in 13. V tem primeru je število q bi bil $lateks 2 krat 3 krat 5 krat 7 krat 11 krat 13 + 1 = 30,031 $ . To ni deljivo z 2, 3, 5, 7, 11 ali 13, vendar ni praštevilo: razloženo je kot $lateks 30,031 = 59 krat 509$. Upoštevajte, da ima praštevila, vendar so vsi večji od prvih šestih praštevil.
Kliknite za odgovor 3:
Če tudi k or q je glavni, končali smo. če q ni praštevilo, je sestavljeno, kar pomeni, da je deljivo z nekim praštevilom, vendar že vemo, da ni deljivo z nobenim od prvih n praštevila. Zato mora biti deljivo s praštevilom, večjim od prvega n praštevila, in ker so to vsa praštevila manjša od k, mora biti ta praštevila večja od k. Toda ta praštevila deli q, torej mora biti manj kot q, zato mora biti med k in q.
Kliknite za odgovor 4:
Prvo praštevilo, ki izpolnjuje to lastnost, je 2,459, saj so 2,451, 2,453 in 2,457 vsa sestavljena (izpolnjujejo občutljiv kriterij števk) in 2,409, 2,419, 2,429, 2,439, 2,449, 2,469, 2,479, 2,489 in 2,499 2,459 je vseh sestavljenih (zadovoljivo občutljivo merilo desetice). Kljub temu 2,659 ni digitalno občutljivo, ker je XNUMX praštevilo, zato ne uspe, ko začnete upoštevati stotico. (Zahvala matematiku Johnu D. Cooku za objavo svojega digitalno občutljiva koda Python za prvo iskanje.)
Kliknite za odgovor na izziv:
$latex127=1111111_2$ je digitalno občutljiv, saj $latex126=1111110_2$, $latex125=1111101_2$, $latex123=1111011_2$, $latex119=1110111_2$, $latex111=1101111_2$, $latex95=1011111 2_63$ in $latex0111111 =2_XNUMX$ so vsi sestavljeni.
