Поиски расшифровки множества Мандельброта, знаменитого математического фрактала | Журнал Кванта

В середине 1980-х, подобно кассетным плеерам Walkman и окрашенным в галстуки рубашкам, похожий на жука силуэт набора Мандельброта был повсюду.

Студенты наклеили его на стены общежитий по всему миру. Математики получили сотни писем с настойчивыми просьбами распечатать набор. (В ответ некоторые из них выпустили каталоги с прайс-листами; другие собрали наиболее яркие характеристики в книги.) Более технически подкованные поклонники могли бы обратиться к августовскому выпуску журнала 1985 года. Scientific American. На обложке набор Мандельброта развернулся огненными завитками, его граница пылала; внутри были подробные инструкции по программированию, подробно описывающие, как читатели могут создать для себя культовое изображение.

К тому времени эти щупальца распространили свое влияние далеко за пределы математики, в, казалось бы, несвязанные между собой уголки повседневной жизни. В течение следующих нескольких лет набор Мандельброта вдохновил Дэвида Хокни на создание новейших картин и новейших композиций нескольких музыкантов — фугоподобных пьес в стиле Баха. Он появится на страницах художественной литературы Джона Апдайка и станет руководством для анализа поэзии Эзры Паунда литературным критиком Хью Кеннером. Это стало предметом психоделических галлюцинаций и популярного документального фильма, рассказанного великим фантастом Артуром Кларком.

Множество Мандельброта представляет собой особую форму с фрактальным контуром. Используйте компьютер, чтобы увеличить зубчатую границу набора, и вы увидите долины морских коньков и парады слонов, спиральные галактики и нейроноподобные волокна. Независимо от того, насколько глубоко вы исследуете, вы всегда увидите почти копии исходного набора — бесконечный, головокружительный каскад самоподобия.

Это самоподобие было ключевым элементом бестселлера Джеймса Глейка. Chaos, что закрепило место набора Мандельброта в популярной культуре. «В нем содержалась вселенная идей», — писал Глейк. «Современная философия искусства, оправдание новой роли экспериментов в математике, способ представить сложные системы широкой публике».

Множество Мандельброта стало символом. Это означало необходимость в новом математическом языке, лучшем способе описания фрактальной природы окружающего нас мира. Он продемонстрировал, насколько глубокая сложность может возникнуть из самых простых правил — как и сама жизнь. («Поэтому это настоящее послание надежды», Джон Хаббард, один из первых математиков, изучавших это множество, сказал в видео 1989 года, что «возможно, биологию действительно можно понять так же, как можно понять эти картинки».) В множестве Мандельброта порядок и хаос жили в гармонии; детерминизм и свобода воли могут быть примирены. Один математик вспоминал, как подростком наткнулся на это множество и увидел в нем метафору сложной границы между истиной и ложью.

Множество Мандельброта было повсюду, пока его не исчезло.

В течение десятилетия оно, казалось, исчезло. Математики перешли к другим предметам, а общественность — к другим символам. Сегодня, всего через 40 лет после своего открытия, фрактал стал клише, граничащим с китчем.

Но горстка математиков отказалась оставить это без внимания. Они посвятили свою жизнь раскрытию тайн множества Мандельброта. Теперь они думают, что наконец-то на грани настоящего понимания этого.

Их история — это история исследований, экспериментов и того, как технологии формируют наше мышление и вопросы, которые мы задаем о мире.

Охотники за головами

В октябре 2023 года 20 математиков со всего мира собрались в приземистом кирпичном здании на территории бывшей датской военной исследовательской базы. База, построенная в конце 1800-х годов посреди леса, была спрятана во фьорде на северо-западном побережье самого густонаселенного острова Дании. Вход охраняла старая торпеда. Стены украшали черно-белые фотографии, изображающие офицеров ВМФ в форме, лодки, выстроившиеся в очередь у причала, и ход испытаний подводных лодок. В течение трех дней, пока жестокий ветер взбивал воду за окнами в пенистые белые шапки, группа выслушала серию докладов, большинство из которых были написаны двумя математиками из Университета Стоуни-Брук в Нью-Йорке: Миша Любич и Дима Дудко.

Среди слушателей семинара были одни из самых отважных исследователей множества Мандельброта. Возле фронта сидел Мицухиро Шишикура из Киотского университета, который в 1990-х годах доказал, что граница множества настолько сложна, насколько это возможно. Несколькими местами выше был Хироюки Иноу, который вместе с Шишикурой разработал важные методы изучения особенно важной области множества Мандельброта. В последнем ряду было Вольф Юнг, создатель Mandel, популярного среди математиков программного обеспечения для интерактивного исследования множества Мандельброта. Также присутствовали Арно Шерита Университета Тулузы, Карстен Петерсен из Университета Роскилле (организовавшего семинар) и нескольких других, которые внесли большой вклад в понимание математиками множества Мандельброта.

А у доски стояли Любич, крупнейший в мире эксперт по этой теме, и Дудко, один из его ближайших сотрудников. Вместе с математиками Джереми Кан и Алекс Капиамбаони работали над доказательством давней гипотезы о геометрической структуре множества Мандельброта. Эта гипотеза, известная как MLC, является последним препятствием в многолетних поисках характеристики фрактала и укрощения его запутанной дикой природы.

Создав и усовершенствовав мощный набор инструментов, математики добились контроля над геометрией «почти всего, что есть в множестве Мандельброта», — сказал он. Кэролайн Дэвис Университета Индианы — за исключением нескольких оставшихся случаев. «Миша, Дима, Джереми и Алекс словно охотники за головами пытаются выследить этих последних».

Любич и Дудко приехали в Данию, чтобы проинформировать других математиков о недавнем прогрессе в доказательстве MLC и о методах, которые они разработали для этого. Последние 20 лет здесь собираются исследователи на мастер-классы, посвященные распаковке результатов и методов в области комплексного анализа, математическому изучению видов чисел и функций, используемых для генерации множества Мандельброта.

Это была необычная обстановка: математики ели вместе, разговаривали и смеялись за пивом до рассвета. Когда они, наконец, решили пойти спать, они расположились на двухъярусных кроватях или детских кроватках в маленьких комнатах, которые делили на втором этаже учреждения. (По прибытии нам сказали взять из кучи простыни и наволочки и отнести их наверх, чтобы застелить кровати.) В некоторые годы посетители конференций осмеливаются искупаться в холодной воде; чаще они бродят по лесу. Но по большей части кроме математики делать нечего.

Как рассказал мне один из участников, семинар обычно привлекает много молодых математиков. Но на этот раз все было не так — возможно, потому, что была середина семестра, или, как он предположил, из-за того, насколько трудным был предмет. Он признался, что в тот момент его немного напугала перспектива выступить перед таким количеством великих людей в этой области.

Но учитывая, что большинство математиков в более широкой области комплексного анализа больше не работают непосредственно с множеством Мандельброта, зачем посвящать целый семинар MLC?

Множество Мандельброта — это больше, чем фрактал, и не только в метафорическом смысле. Он служит своего рода генеральным каталогом динамических систем — всех различных способов перемещения точки в пространстве согласно простому правилу. Чтобы понять этот главный каталог, необходимо изучить множество различных математических ландшафтов. Множество Мандельброта глубоко связано не только с динамикой, но и с теорией чисел, топологией, алгебраической геометрией, теорией групп и даже физикой. «Она прекрасно взаимодействует с остальной математикой», — сказал Сабясачи Мукерджи Института фундаментальных исследований Тата в Индии.

Чтобы добиться прогресса в MLC, математикам пришлось разработать сложный набор методов — то, что Шерита называет «мощной философией». Эти инструменты привлекли большое внимание. Сегодня они составляют центральную основу в изучении динамических систем в более широком смысле. Они оказались решающими для решения множества других проблем — проблем, не имеющих ничего общего с множеством Мандельброта. И они превратили MLC из нишевого вопроса в одну из самых глубоких и важных открытых гипотез в этой области.

Любич, математик, возможно, наиболее ответственный за придание этой «философии» ее нынешней формы, стоит прямо и прямо и говорит тихо. Когда другие математики в мастерской подходят к нему, чтобы обсудить концепцию или задать вопрос, он закрывает глаза и внимательно слушает, нахмурив густые брови. Он отвечает осторожно, с русским акцентом.

Но он также быстро разражается громким и теплым смехом и отпускает кривые шутки. Он щедр на свое время и советы. Он «действительно воспитал немало поколений математиков», — сказал Мукерджи, один из бывших постдоков Любича и его частый сотрудник. По его словам, любой, кто интересуется изучением сложной динамики, проводит некоторое время в Стоуни-Брук, обучаясь у Любича. «У Миши есть свое видение того, как нам следует реализовать определенный проект или на что обратить внимание дальше», — сказал Мукерджи. «У него в голове эта грандиозная картина. И он рад поделиться этим с людьми».

Впервые Любич чувствует, что способен увидеть эту грандиозную картину во всей ее полноте.

Призовые бойцы

Набор Мандельброта начался с приза.

В 1915 году, мотивированная недавним прогрессом в изучении функций, Французская академия наук объявила конкурс: через три года она предложит главный приз в 3,000 франков за работу над процессом итерации — тем самым процессом, который позже сгенерируйте множество Мандельброта.

Итерация — это повторное применение правила. Подключите число к функции, а затем используйте результат в качестве следующего ввода. Продолжайте делать это и наблюдайте, что происходит со временем. По мере того как вы продолжаете повторять свою функцию, получаемые вами числа могут быстро приближаться к бесконечности. Или они могут быть притянуты к конкретному числу, как железные опилки, движущиеся к магниту. Или в конечном итоге будут метаться между одними и теми же двумя числами, или тремя, или тысячами, на стабильной орбите, с которой они никогда не смогут сбежать. Или прыгайте от одного номера к другому без рифмы и причины, следуя хаотичной, непредсказуемой траекторией.

У Французской академии и математиков в целом была еще одна причина интересоваться итерацией. Этот процесс сыграл важную роль в изучении динамических систем — систем, подобных вращению планет вокруг Солнца или течении турбулентного потока, систем, которые со временем меняются по некоторому заданному набору правил.

Эта премия вдохновила двух математиков на разработку совершенно новой области исследований.

Первым был Пьер Фату, который в другой жизни мог бы стать моряком (семейная традиция), если бы не его слабое здоровье. Вместо этого он сделал карьеру в области математики и астрономии и к 1915 году уже доказал несколько важных результатов в области анализа. Еще был Гастон Джулия, многообещающий молодой математик, родившийся в оккупированном французами Алжире, учеба которого была прервана Первой мировой войной и его призывом во французскую армию. В возрасте 22 лет, получив тяжелую травму вскоре после начала службы (он всю оставшуюся жизнь носил кожаный ремешок на лице, после того как врачи не смогли устранить повреждения), он вернулся к математике, занимаясь некоторыми из работу, которую он представит на премию Академии, лежа на больничной койке.

Эта премия побудила Фату и Джулию изучить, что происходит при итерации функций. Они работали независимо, но в итоге сделали очень похожие открытия. Их результаты настолько пересекались, что даже сейчас не всегда ясно, как присвоить им заслуги. (Джулия была более общительной и поэтому получала больше внимания. В итоге он выиграл премию; Фату даже не подал заявку.) Благодаря этой работе их теперь считают основателями области сложной динамики.

«Сложным», потому что Фату и Жюли повторяли функции комплексных чисел — чисел, которые объединяют знакомое действительное число с так называемым мнимым числом (кратным i, символ, который математики используют для обозначения квадратного корня из −1). В то время как действительные числа можно расположить в виде точек на линии, комплексные числа визуализируются в виде точек на плоскости, например:

Фату и Джулия обнаружили, что итерация даже простых сложных функций (это не парадокс в области математики!) может привести к богатому и сложному поведению, в зависимости от вашей отправной точки. Они начали документировать это поведение и представлять его геометрически.

Но затем их работа канула в безвестность на полвека. «Люди даже не знали, что искать. Они были ограничены в том, какие вопросы вообще задавать», — сказал Артур Авила, профессор Цюрихского университета.

Ситуация изменилась, когда в 1970-х годах компьютерная графика достигла совершеннолетия.

К тому времени математик Бенуа Мандельброт приобрел репутацию академического дилетанта. Он пробовал себя во многих различных областях, от экономики до астрономии, работая в исследовательском центре IBM к северу от Нью-Йорка. Когда в 1974 году его назначили научным сотрудником IBM, у него было еще больше свободы для реализации независимых проектов. Он решил применить значительные вычислительные мощности центра для вывода сложной динамики из спячки.

Сначала Мандельброт использовал компьютеры для создания форм, которые изучали Фату и Джулия. Изображения закодировали информацию о том, когда начальная точка при повторении уйдет в бесконечность, а когда она окажется в ловушке какого-то другого шаблона. Рисунки Фату и Джулии, сделанные 60 лет назад, выглядели как группы кругов и треугольников, но созданные компьютером изображения Мандельброта выглядели как драконы и бабочки, кролики, соборы и головки цветной капусты, а иногда даже как отдельные облака пыли. К тому времени Мандельброт уже придумал слово «фрактал» для обозначения форм, которые выглядели одинаково в разных масштабах; это слово вызвало представление о новом виде геометрии — о чем-то фрагментированном, дробном или сломанном.

Изображения, появляющиеся на экране его компьютера — сегодня известные как множества Джулии — были одними из самых красивых и сложных примеров фракталов, которые Мандельброт когда-либо видел.

Работа Фату и Джулии была сосредоточена на геометрии и динамике каждого из этих наборов (и соответствующих им функций) индивидуально. Но компьютеры дали Мандельброту возможность одновременно думать о целом семействе функций. Он мог бы закодировать их все в образе, который впоследствии будет носить его имя, хотя до сих пор остается предметом споров, был ли он на самом деле первым, кто это обнаружил.

Множество Мандельброта имеет дело с простейшими уравнениями, которые при повторении все же делают что-то интересное. Это квадратичные функции вида f(z) = z² + c. Зафиксировать значение c — это может быть любое комплексное число. Если вы повторите уравнение, начиная с z = 0 и обнаружите, что числа, которые вы генерируете, остаются малыми (или ограниченными, как говорят математики), тогда c находится в множестве Мандельброта. Если, с другой стороны, вы выполните итерацию и обнаружите, что в конечном итоге ваши числа начнут расти до бесконечности, тогда c не входит в множество Мандельброта.

Несложно показать, что значения c близкие к нулю находятся в наборе. И так же просто показать, что большие значения c нет. Но комплексные числа оправдывают свое название: граница множества чрезвычайно сложна. Нет очевидной причины, по которой изменение c на крошечные количества, вы должны продолжать пересекать границу, но по мере увеличения масштаба появляется бесконечное количество деталей.

Более того, множество Мандельброта действует как карта множеств Жюлиа, как это видно на интерактивном рисунке ниже. Выберите значение c в множестве Мандельброта. Соответствующее множество Жюлиа будет связным. Но если оставить множество Мандельброта, то соответствующее множество Жюлиа окажется отключенной пылью.