Квантовые калибровочные сети: новый вид тензорных сетей

Квантовые калибровочные сети: новый вид тензорных сетей

Отметка времени: 14 сентября 2023 г., 11:33
Исходный узел: 2881281

Кевин Слэгл

Факультет электротехники и вычислительной техники, Университет Райса, Хьюстон, Техас 77005 США
Кафедра физики Калифорнийского технологического института, Пасадена, Калифорния 91125, США
Институт квантовой информации и материи и Институт теоретической физики Уолтера Бёрка, Калифорнийский технологический институт, Пасадена, Калифорния 91125, США

Находите эту статью интересной или хотите обсудить? Scite или оставить комментарий на SciRate.

Абстрактные

Хотя тензорные сети являются мощными инструментами для моделирования низкоразмерной квантовой физики, алгоритмы тензорных сетей требуют очень больших вычислительных затрат в более высоких пространственных измерениях. Мы представляем $textit{квантовые калибровочные сети}$: другой вид анзаца тензорной сети, для которого вычислительная стоимость моделирования не увеличивается явно при увеличении пространственных измерений. Мы черпаем вдохновение из калибровочной картины квантовой динамики, которая состоит из локальной волновой функции для каждого участка пространства с соседними участками, связанными унитарными связями. Квантовая калибровочная сеть (КГН) имеет аналогичную структуру, за исключением того, что размерности гильбертова пространства локальных волновых функций и связей усекаются. Мы описываем, как QGN может быть получен из общей волновой функции или состояния матричного произведения (MPS). Все $2k$-точечные корреляционные функции любой волновой функции для $M$ многих операторов могут быть точно закодированы КГН со связной размерностью $O(M^k)$. Для сравнения, всего лишь для $k=1$ для MPS кубитов обычно требуется экспоненциально больший размер связи, равный $2^{M/6}$. Мы предоставляем простой алгоритм QGN для приближенного моделирования квантовой динамики в любом пространственном измерении. Приближенная динамика может обеспечить точное сохранение энергии для независимых от времени гамильтонианов, а также может точно сохраняться пространственная симметрия. Мы тестируем алгоритм, моделируя квантовое гашение фермионных гамильтонианов в трех пространственных измерениях.

Рекомендованное изображение: На калибровочном изображении различные участки пространства (овалы на рисунке) связаны со своими собственными гильбертовыми пространствами и волновыми функциями, которые связаны развивающимися во времени унитарными преобразованиями. Каждое из этих гильбертовых пространств имеет обычную размерность $2^n$ для системы $n$ кубитов. Квантовые калибровочные сети используют преимущества этих множественных гильбертовых пространств путем эффективного усечения каждого гильбертова пространства на меньшее подпространство состояний, которое наиболее актуально для локальной физики соответствующего участка, с использованием линейной карты усечения.

[Встраиваемое содержимое]

Популярное резюме

Моделирование квантовых систем со многими частицами или многими кубитами требует вычислительных затрат из-за экспоненциального роста размерности гильбертова пространства с увеличением количества частиц или кубитов. Класс анзацев волновых функций, известный как «тензорные сети», может эффективно параметризовать эти огромные гильбертовы пространства, используя сжатие сетки тензоров. Хотя они продемонстрировали заметный успех в одном пространственном измерении (например, с помощью алгоритма «DMRG»), алгоритмы тензорных сетей менее эффективны и более сложны в двух или более пространственных измерениях.

Наша работа инициирует исследование нового анзаца волновой функции, называемого «квантовой калибровочной сетью». Мы показываем, что квантовые калибровочные сети связаны с тензорными сетями в одном пространственном измерении, но алгоритмически проще и потенциально более эффективны в двух или более пространственных измерениях. Квантово-калибровочные сети используют новую картину квантовой механики, называемую «калибровочной картиной», которая кратко описана на изображении. Мы предоставляем простой алгоритм для приблизительного моделирования временной эволюции волновой функции с использованием квантовой калибровочной сети. Мы тестируем алгоритм на системе фермионов в трёх пространственных измерениях. Моделирование трехмерной системы с использованием тензорных сетей было бы чрезвычайно сложной задачей. Однако необходимы дальнейшие исследования, чтобы лучше понять теорию квантовых калибровочных сетей и разработать больше алгоритмов, таких как алгоритм оптимизации основного состояния.

► Данные BibTeX

► Рекомендации

[1] Кевин Слэгл. «Калибровочная картина квантовой динамики» (2022). arXiv: 2210.09314.
Arxiv: 2210.09314

[2] Роман Орус. «Тензорные сети для сложных квантовых систем». Nature Reviews Physics 1, 538–550 (2019). arXiv: 1812.04011.
https:/​/​doi.org/​10.1038/​s42254-019-0086-7
Arxiv: 1812.04011

[3] Роман Орус. «Практическое введение в тензорные сети: состояния матричного произведения и прогнозируемые состояния запутанных пар». Анналы физики 349, 117–158 (2014). arXiv: 1306.2164.
https: / / doi.org/ 10.1016 / j.aop.2014.06.013
Arxiv: 1306.2164

[4] Гарнет Кин-Лик Чан, Анна Кесельман, Наоки Накатани, Жендонг Ли и Стивен Р. Уайт. «Операторы матричного произведения, состояния матричного произведения и ab initio алгоритмы группы ренормализации матрицы плотности» (2016). arXiv: 1605.02611.
Arxiv: 1605.02611

[5] Игнасио Сирак, Давид Перес-Гарсия, Норберт Шух и Фрэнк Верстрете. «Состояния матричного продукта и прогнозируемые состояния запутанной пары: концепции, симметрии и теоремы» (2020). arXiv:2011.12127.
https: / / doi.org/ 10.1103 / RevModPhys.93.045003
Arxiv: 2011.12127

[6] Ши-Джу Ран, Эмануэле Тиррито, Ченг Пэн, Си Чен, Лука Тальякоццо, Ган Су и Мацей Левенштейн. «Сокращение тензорной сети» (2020). arXiv: 1708.09213.
https:/​/​doi.org/​10.1007/​978-3-030-34489-4
Arxiv: 1708.09213

[7] Джейкоб С. Бриджман и Кристофер Т. Чабб. «Размахивание руками и интерпретирующий танец: вводный курс по тензорным сетям». Журнал физики A Mathematical General 50, 223001 (2017). arXiv: 1603.03039.
https:/​/​doi.org/​10.1088/​1751-8121/​aa6dc3
Arxiv: 1603.03039

[8] Майкл П. Залетел и Фрэнк Поллманн. «Состояния изометрической тензорной сети в двух измерениях». Физ. Преподобный Летт. 124, 037201 (2020). arXiv: 1902.05100.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.124.037201
Arxiv: 1902.05100

[9] Кэтрин Хаятт и Э. М. Стоуденмайр. «Подход DMRG к оптимизации двумерных тензорных сетей» (2019). arXiv: 1908.08833.
Arxiv: 1908.08833

[10] Реза Хагшенас, Мэтью Дж. О'Рурк и Гарнет Кин-Лик Чан. «Преобразование спроецированных состояний запутанной пары в каноническую форму». Физ. Ред. Б 100, 054404 (2019). arXiv: 1903.03843.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevB.100.054404
Arxiv: 1903.03843

[11] Мауриц С. Дж. Тепаске и Дэвид Дж. Луитц. «Трехмерные изометрические тензорные сети». Physical Review Research 3, 023236 (2021). arXiv:2005.13592.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevResearch.3.023236
Arxiv: 2005.13592

[12] Г. Видаль. «Класс квантовых состояний многих тел, которые можно эффективно моделировать». Физ. Преподобный Летт. 101, 110501 (2008). arXiv:quant-ph/​0610099.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.101.110501
Arxiv: колич-фот / 0610099

[13] Г. Эвенбли и Г. Видаль. «Класс сильно запутанных состояний многих тел, которые можно эффективно моделировать». Физ. Преподобный Летт. 112, 240502 (2014). arXiv:1210.1895.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.112.240502
Arxiv: 1210.1895

[14] Г. Эвенбли и Г. Видаль. «Алгоритмы перенормировки запутанности». Физ. Ред. Б 79, 144108 (2009). arXiv:0707.1454.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevB.79.144108
Arxiv: 0707.1454

[15] Артуро Акуавива, Вису Макам, Гарольд Ньюбоер, Давид Перес-Гарсиа, Фридрих Ситтнер, Майкл Уолтер и Фрик Виттевен. «Минимальная каноническая форма тензорной сети» (2022). arXiv: 2209.14358.
Arxiv: 2209.14358

[16] Джованни Феррари, Джузеппе Магнифико и Симоне Монтанжеро. «Адаптивно-взвешенные древесно-тензорные сети для неупорядоченных квантовых систем многих тел». Физ. Ред. Б 105, 214201 (2022). arXiv: 2111.12398.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevB.105.214201
Arxiv: 2111.12398

[17] Временную динамику гамильтониана свободного фермиона $hat{H} = sum_{ij} h_{ij} Hat{c}_i^dagger Hat{c}_j$ можно точно смоделировать, вычислив эволюционирующие во времени заполненные однофермионные волновые функции $|{phi_alpha(t)rangle} = e^{-iht} |{phi_alpha(0)rangle}$. Волновая функция $|{Psi}rangle = prod_alpha^text{filled} big(sum_i langle{i|phi_alpha}rangle Hat{c}_i^daggerbig) |{0}rangle$ никогда не вычисляется явно. $prod_alpha^text{filled}$ обозначает произведение заполненных однофермионных волновых функций, а $|{0}rangle$ — пустое состояние без фермионов. Тогда $langle{hat{n}_i(t)}rangle = sum_alpha^text{filled} |langle{i|phi_alpha(t)rangle}|^2$, где $|{i}rangle$ — однофермионный волновая функция фермиона в узле $i$.

[18] Роман Орус. «Достижения в теории тензорных сетей: симметрии, фермионы, запутанность и голография». Европейский физический журнал B 87, 280 (2014). arXiv: 1407.6552.
https: / / doi.org/ 10.1140 / epjb / e2014-50502-9
Arxiv: 1407.6552

[19] Филипп Корбоз и Гифре Видаль. «Анзац перенормировки фермионной многомасштабной запутанности». Физ. Ред. Б 80, 165129 (2009). arXiv:0907.3184.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevB.80.165129
Arxiv: 0907.3184

[20] Эндрю М. Чайлдс, Юань Су, Минь К. Тран, Натан Вибе и Шучен Чжу. «Теория ошибки рысака с коммутаторным масштабированием». Физ. Ред. X 11, 011020 (2021). arXiv: 1912.08854.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevX.11.011020
Arxiv: 1912.08854

[21] Брэм Ванхеке, Лоренс Вандерстратен и Фрэнк Верстраете. «Симметричные расширения кластеров с помощью тензорных сетей» (2019). arXiv: 1912.10512.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.103.L020402
Arxiv: 1912.10512

[22] Йи-Кай Лю. «Согласованность локальных матриц плотности является qma-полной». Хосеп Диас, Клаус Янсен, Хосе Д.П. Ролим и Ури Цвик, редакторы журнала «Аппроксимация, рандомизация и комбинаторная оптимизация». Алгоритмы и методы. Страницы 438–449. Берлин, Гейдельберг (2006). Шпрингер Берлин Гейдельберг. arXiv:quant-ph/​0604166.
Arxiv: колич-фот / 0604166

[23] Александр Алексеевич Клячко. «Квантовая предельная задача и N-представимость». В серии конференций журнала Journal of Physics. Том 36 серии конференций Journal of Physics, страницы 72–86. (2006). arXiv:quant-ph/0511102.
https:/​/​doi.org/​10.1088/​1742-6596/​36/​1/​014
Arxiv: колич-фот / 0511102

[24] Цзяньсинь Чен, Чжэнфэн Цзи, Нэнкунь Юй и Бэй Цзэн. «Обнаружение согласованности перекрывающихся квантовых маргиналов посредством разделимости». Физ. Ред. А 93, 032105 (2016). arXiv: 1509.06591.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.93.032105
Arxiv: 1509.06591

[25] Дэвид А. Мацциотти. «Структура фермионных матриц плотности: полные условия $n$-представимости». Физ. Преподобный Летт. 108, 263002 (2012). arXiv: 1112.5866.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.108.263002
Arxiv: 1112.5866

[26] Сяо-Ган Вэнь. «Коллоквиум: Зоопарк квантово-топологических фаз материи». Обзоры современной физики 89, 041004 (2017). arXiv: 1610.03911.
https: / / doi.org/ 10.1103 / RevModPhys.89.041004
Arxiv: 1610.03911

[27] Чжэн-Чэн Гу, Майкл Левин, Брайан Свингл и Сяо-Ган Вэнь. «Представления тензорных произведений для конденсированных состояний струнной сети». Физ. Ред. Б 79, 085118 (2009). arXiv:0809.2821.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevB.79.085118
Arxiv: 0809.2821

[28] Оливер Буершапер, Мигель Агуадо и Гифре Видаль. «Явное тензорное сетевое представление основных состояний моделей струнных сетей». Физ. Ред. Б 79, 085119 (2009). arXiv: 0809.2393.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevB.79.085119
Arxiv: 0809.2393

[29] Доминик Дж. Уильямсон, Ник Бултинк и Фрэнк Верстрете. «Топологический порядок, обогащенный симметрией, в тензорных сетях: дефекты, калибровка и анионная конденсация» (2017). arXiv: 1711.07982.
Arxiv: 1711.07982

[30] Томохиро Соэдзима, Картик Шива, Ник Бултинк, Шубхаю Чаттерджи, Фрэнк Поллманн и Майкл П. Залетел. «Изометрическое тензорное сетевое представление струнно-сеточных жидкостей». Физ. Ред. Б 101, 085117 (2020). arXiv: 1908.07545.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevB.101.085117
Arxiv: 1908.07545

[31] Гифре Видаль. «Эффективное моделирование одномерных квантовых систем многих тел». Физ. Преподобный Летт. 93, 040502 (2004). arXiv:quant-ph/​0310089.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.93.040502
Arxiv: колич-фот / 0310089

[32] Себастьян Пэкель, Томас Кёлер, Андреас Свобода, Сальваторе Р. Манмана, Ульрих Шольвёк и Клавдий Хубиг. «Методы временной эволюции для состояний матричных произведений». Анналы физики 411, 167998 (2019). arXiv: 1901.05824.
https: / / doi.org/ 10.1016 / j.aop.2019.167998
Arxiv: 1901.05824

[33] Стивен Р. Уайт и Адриан Э. Фейгин. «Эволюция в реальном времени с использованием ренормгруппы матрицы плотности». Физ. Преподобный Летт. 93, 076401 (2004). arXiv:cond-mat/0403310.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.93.076401
Arxiv: конд-мат / 0403310

[34] Юто Хегеман, Кристиан Любич, Иван Оселедец, Барт Вандерейкен и Фрэнк Верстрете. «Объединение временной эволюции и оптимизации с состояниями матричного продукта». Физ. Б 94, 165116 (2016). arXiv: 1408.5056.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevB.94.165116
Arxiv: 1408.5056

[35] Эяль Левиатан, Фрэнк Поллманн, Йенс Х. Бардарсон, Дэвид А. Хьюз и Эхуд Альтман. «Динамика квантовой термализации с состояниями матрицы-продукта» (2017). arXiv: 1702.08894.
Arxiv: 1702.08894

[36] Кристиан Б. Мендл. «Временная эволюция операторов матричных произведений с сохранением энергии» (2018). arXiv:1812.11876.
Arxiv: 1812.11876

[37] Петр Чарник, Яцек Дзярмага и Филипп Корбоз. «Эволюция во времени бесконечного проецируемого состояния запутанной пары: эффективный алгоритм». Физ. Ред. Б 99, 035115 (2019). arXiv: 1811.05497.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevB.99.035115
Arxiv: 1811.05497

[38] Дэниел Бауэрнфейнд и Маркус Айххорн. «Вариационный принцип, зависящий от времени, для древовидных тензорных сетей». SciPost Physics 8, 024 (2020). arXiv: 1908.03090.
https: / / doi.org/ 10.21468 / SciPostPhys.8.2.024
Arxiv: 1908.03090

[39] Кристофер Дэвид Уайт, Майкл Залетел, Роджер С.К. Монг и Гил Рафаэль. «Квантовая динамика термализующихся систем». Физ. Ред. Б 97, 035127 (2018). arXiv: 1707.01506.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevB.97.035127
Arxiv: 1707.01506

[40] Тибор Раковски, К.В. фон Кейзерлингк и Франк Поллманн. «Метод диссипационной эволюции операторов для учета гидродинамического переноса». Физ. Ред. Б 105, 075131 (2022). arXiv:2004.05177.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevB.105.075131
Arxiv: 2004.05177

[41] Мингру Янг и Стивен Р. Уайт. «Вариационный принцип, зависящий от времени, со вспомогательным подпространством Крылова». Физ. Ред. Б 102, 094315 (2020). arXiv:2005.06104.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevB.102.094315
Arxiv: 2005.06104

[42] Бенедикт Клосс, Дэвид Райхман и Евгений Бар Лев. «Изучение динамики в двумерных квантовых решетках с использованием состояний древовидной тензорной сети». SciPost Physics 9, 070 (2020). arXiv:2003.08944.
https: / / doi.org/ 10.21468 / SciPostPhys.9.5.070
Arxiv: 2003.08944

[43] Альваро М. Альгамбра и Х. Игнасио Сирак. «Локально точные тензорные сети для тепловых состояний и эволюции времени». PRX Quantum 2, 040331 (2021 г.). arXiv:2106.00710.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PRXQuantum.2.040331
Arxiv: 2106.00710

[44] Шэн-Сюань Линь, Майкл Залетел и Фрэнк Поллманн. «Эффективное моделирование динамики в двумерных квантовых спиновых системах с изометрическими тензорными сетями» (2021). arXiv: 2112.08394.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevB.106.245102
Arxiv: 2112.08394

[45] Маркус Шмитт и Маркус Хейл. «Квантовая динамика многих тел в двух измерениях с искусственными нейронными сетями». Физ. Преподобный Летт. 125, 100503 (2020). arXiv: 1912.08828.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.125.100503
Arxiv: 1912.08828

[46] Ирен Лопес Гутьеррес и Кристиан Б. Мендл. «Эволюция в реальном времени с использованием квантовых состояний нейронной сети». Квант 6, 627 (2022). arXiv: 1912.08831.
https:/​/​doi.org/​10.22331/​q-2022-01-20-627
Arxiv: 1912.08831

[47] Шэн-Сюань Линь и Фрэнк Поллманн. «Масштабирование квантовых состояний нейронной сети для временной эволюции». Physica Status Solidi B Basic Research 259, 2100172 (2022). arXiv: 2104.10696.
https://doi.org/10.1002/pssb.202100172
Arxiv: 2104.10696

[48] Дарья Егорова и Джошуа С. Кречмер. «Многофрагментное расширение теории встраивания прогнозируемой матрицы плотности в реальном времени: неравновесная электронная динамика в расширенных системах» (2022). arXiv: 2209.06368.
https: / / doi.org/ 10.1063 / 5.0146973
Arxiv: 2209.06368

[49] Г. Мюнстер и М. Вальцль. «Теория решетчатых калибров – краткий учебник» (2000). arXiv:hep-lat/​0012005.
arXiv:hep-lat/0012005

[50] Джон Б. Когут. «Введение в калибровочную теорию решетки и спиновые системы». Преподобный Мод. физ. 51, 659–713 (1979).
https: / / doi.org/ 10.1103 / RevModPhys.51.659

[51] Кевин Слэгл и Джон Прескилл. «Эмерджентная квантовая механика на границе локальной классической решеточной модели» (2022). arXiv: 2207.09465.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.108.012217
Arxiv: 2207.09465

[52] Скотт Ааронсон. «Многолинейные формулы и скептицизм в отношении квантовых вычислений». В материалах тридцать шестого ежегодного симпозиума ACM по теории вычислений. Стр. 118–127. STOC '04 Нью-Йорк, Нью-Йорк, США (2004 г.). Ассоциация вычислительной техники. arXiv:quant-ph/​0311039.
https: / / doi.org/ 10.1145 / 1007352.1007378
Arxiv: колич-фот / 0311039

[53] Джерард 'т Хофт. «Детерминированная квантовая механика: математические уравнения» (2020). arXiv:2005.06374.
Arxiv: 2005.06374

[54] Стивен Л. Адлер. «Квантовая теория как возникающее явление: основы и феноменология». Физический журнал: серия конференций 361, 012002 (2012).
https:/​/​doi.org/​10.1088/​1742-6596/​361/​1/​012002

[55] Виталий Ванчурин. «Энтропийная механика: к стохастическому описанию квантовой механики». Основы физики 50, 40–53 (2019). arXiv: 1901.07369.
https:/​/​doi.org/​10.1007/​s10701-019-00315-6
Arxiv: 1901.07369

[56] Эдвард Нельсон. «Обзор стохастической механики». Физический журнал: серия конференций 361, 012011 (2012).
https:/​/​doi.org/​10.1088/​1742-6596/​361/​1/​012011

[57] Майкл Дж. У. Холл, Дирк-Андре Декерт и Говард М. Уайзман. «Квантовые явления, моделируемые взаимодействиями между многими классическими мирами». Физическое обозрение X 4, 041013 (2014). arXiv: 1402.6144.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevX.4.041013
Arxiv: 1402.6144

[58] Гифре Видаль. «Эффективное классическое моделирование слегка запутанных квантовых вычислений». Физ. Преподобный Летт. 91, 147902 (2003). arXiv:quant-ph/0301063.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.91.147902
Arxiv: колич-фот / 0301063

[59] Г. Видаль. «Классическое моделирование квантовых решетчатых систем бесконечного размера в одном пространственном измерении». Физ. Преподобный Летт. 98, 070201 (2007). arXiv:cond-mat/0605597.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.98.070201
Arxiv: конд-мат / 0605597

[60] Стефан Рамон Гарсия, Мэтью Окубо Паттерсон и Уильям Т. Росс. «Частично изометрические матрицы: краткий и выборочный обзор» (2019). arXiv: 1903.11648.
Arxiv: 1903.11648

[61] Си Джей Хамер. «Конечный размерный масштабирование в поперечной модели Изинга на квадратной решетке». Journal of Physics A Mathematical General 33, 6683–6698 (2000). arXiv:cond-mat/0007063.
https:/​/​doi.org/​10.1088/​0305-4470/​33/​38/​303
Arxiv: конд-мат / 0007063

Цитируется

[1] Саяк Гуха Рой и Кевин Слэгл, «Интерполяция между калибровочной и шредингеровской картинами квантовой динамики», Arxiv: 2307.02369, (2023).

[2] Кевин Слэгл, «Калибровочная картина квантовой динамики», Arxiv: 2210.09314, (2022).

Приведенные цитаты из САО / НАСА ADS (последнее обновление успешно 2023-09-14 17:27:13). Список может быть неполным, поскольку не все издатели предоставляют подходящие и полные данные о цитировании.

Не удалось получить Перекрестная ссылка на данные во время последней попытки 2023-09-14 17:27:12: Не удалось получить цитируемые данные для 10.22331 / q-2023-09-14-1113 от Crossref. Это нормально, если DOI был зарегистрирован недавно.

Эта статья опубликована в Quantum под Creative Commons Attribution 4.0 International (CC BY 4.0) лицензия. Авторское право остается за первоначальными правообладателями, такими как авторы или их учреждения.

Отметка времени:

Больше от Квантовый журнал