Un arbore triplet formează una dintre cele mai frumoase structuri din matematică | Revista Quanta

Majoritatea oamenilor sunt familiarizați doar cu o mână de numere care nu pot fi scrise ca fracții, cum ar fi $latex sqrt{2}$ sau $latex pi$. Dar astfel de numere, numite numere iraționale, sunt mult mai abundente decât fracțiile sau numerele raționale.

Cât de ușor sunt de aproximat cu fracții? Dacă utilizați o fracție cu un numitor arbitrar mare, vă puteți apropia în mod arbitrar. (După cum se știe, 22/7 oferă o aproximare decentă a $latex pi$; 355/113 este chiar mai bine.) Dar unele numere iraționale sunt mai greu de aproximat decât altele, ceea ce înseamnă că trebuie să utilizați un numitor foarte mare pentru a obține o aproximare apropiată. Cel mai dur se dovedește a fi raportul de aur, $latex phi$ sau $latex (1+ sqrt{5})/2$. Este, într-un sens matematic specific, numărul care este „cel mai departe” de a fi rațional.

Care este următorul-cel mai departe? Și următorul? Secvența numerelor iraționale greu de aproximat se dovedește a fi dată de soluțiile întregi la o ecuație înșelător de simplă care nu are nicio legătură evidentă cu aproximarea numerelor iraționale. Această legătură a fost dovedită de Andrey Markov, un matematician rus prevăzător, în 1879.

Markov este renumit pentru că a venit cu un concept în teoria probabilității numit lanțuri Markov, care sunt folosite în orice, de la algoritmul PageRank de la Google până la modele de evoluție a ADN-ului. Dar, deși soluțiile ecuației sale, numite numere Markov, nu sunt pe departe la fel de bine cunoscute, ele apar într-o gamă largă de discipline matematice, inclusiv combinatoria, teoria numerelor, geometria și teoria grafurilor.

„Nu este doar o ecuație, este un fel de metodă”, a spus Oleg Karpenkov, matematician la Universitatea din Liverpool. „Aceste numere sunt centrale, adânc în matematică... structuri ca aceasta sunt genurile de idei care sunt rare.”

Ecuația sa, $latex x^2+y^2+z^2=3xyz$, are o soluție întreagă evidentă atunci când x, y și z sunt toate 1 (deoarece 1 + 1 + 1 = 3 × 1). Se pare că toate soluțiile întregi ale ecuației sunt legate printr-o regulă simplă. Începeți cu o soluție (a, b, c). Apoi tripletul aferent (a, b, 3ab - c) este, de asemenea, o soluție. Primele două numere rămân aceleași, în timp ce c, al treilea, este înlocuit cu 3ab − c. Aplicați această regulă la (1, 1, 1) și obțineți (1, 1, 2). (Este ușor să verificați că introducerea acestor valori face ca ambele părți ale ecuației să fie egale cu 6.) Aplicați din nou regula și veți reveni de unde ați început, deoarece 3 − 2 = 1. Dar dacă inversați ordinea numerele din triplu înainte de aplicarea regulii, creează un întreg univers de soluții. Introduceți (1, 2, 1) și veți obține (1, 2, 5).

Până acum, din cauza 1-urilor identice, copacul (prezentat în ilustrația de la începutul acestei povești) nu se ramifică - primii pași cresc trunchiul copacului, ca să spunem așa. Dar dacă începeți cu o soluție cu trei numere diferite, cum ar fi (1, 2, 5), ramurile încep să prolifereze. Introduceți (5, 1, 2) și obțineți (2, 5, 29). Dar (2, 5, 1) are ca rezultat (1, 5, 13). (Dacă introduceți (1,2,5), atunci regula vă duce înapoi la o ramură inferioară a copacului.) Din acest moment, fiecare soluție are trei numere diferite, astfel încât fiecare ramură a copacului duce la două ramuri noi. .

Ramura din stânga a arborelui ar putea părea familiară - conține orice alt număr din șirul Fibonacci, unul dintre cele mai cunoscute în matematică (fiecare număr din această secvență este suma celor doi termeni anteriori: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …). Ramura din dreapta conține în mod similar orice alt termen din secvența Pell, o secvență înrudită, deși puțin mai puțin faimoasă. Modul în care aceste secvențe apar în arborele soluțiilor este „unul dintre cele mai frumoase lucruri din matematică pe care le cunosc”, a spus Alexandru Gamburd, profesor la Universitatea City din New York.

Teorema lui Markov din 1879, care leagă fiecare triplet cu un număr irațional greu de aproximat, a fost primul indiciu că această ecuație ar putea rezona profund în matematică. Într-o 2013 carte pe acest subiect, Martin Aigner, un matematician austriac care a murit în octombrie, a numit teorema „fără îndoială unul dintre clasicii din toate timpurile în teoria numerelor”.

În 1913, Georg Frobenius, un matematician german care a făcut contribuții ample la algebră, teoria numerelor și studiul ecuațiilor diferențiale, am observat ceva curios despre triplele lui Markov. Fiecare număr cel mai mare părea să-i determine în mod unic pe cei doi mai mici. Un număr - luați 5 de exemplu - poate apărea în multe triplete, cum ar fi (1, 2, 5), (1, 5, 13), (2, 5, 29) și așa mai departe. Dar, a observat el, dacă te uiți doar la cel mai mare număr din fiecare triplet, acesta va fi afiliat doar cu o singură pereche de numere mai mici.

Deoarece cifrele cresc atât de repede, este departe de a fi evident că acest lucru ar trebui să fie adevărat. De exemplu, luați tripletul (5, 433, 6,466). Nu este ușor evident că dacă setați z la 6,466, singurul posibil x și y care va rezolva ecuația sunt 5 și 433. Dar, din câte a putut spune Frobenius, cel mai mare număr le-a determinat întotdeauna în mod unic pe cele două mai mici. În cei 110 ani de atunci, în ciuda unui corp enorm de cercetări care leagă numerele Markov de alte probleme, nimeni nu a fost capabil să demonstreze ceea ce a ajuns să fie cunoscut sub numele de conjectura unicității.

Simplitatea relativă a conjecturii ilustrează un paradox matematic comun. Instrumente precum ecuația Markov pot fi folosite pentru a demonstra rezultate subtile și complicate, chiar dacă întrebările de bază despre proprietățile lor rămân nerezolvate.

Cu toate acestea, în ultimii câțiva ani, s-au înregistrat progrese notabile în ceea ce privește demonstrarea conjecturei unicității. Se știe de mult timp că este posibil să se creeze o corespondență între fiecare triplă Markov și toate fracțiile dintre zero și 1. Pentru fiecare fracție p/q, care se numește index, puteți atribui un număr Markov m_p/q urmând o anumită procedură matematică. De exemplu, m_2/3 este 29 și m_3/5 este 433.

În 2013, Aigner a făcut trei presupuneri despre cum pot fi ordonate triplele folosind această corespondență. Aceste presupuneri sunt trepte pe calea dovedirii conjecturii unicității. El a emis ipoteza că dacă păstrați constant numărătorul indicelui și creșteți numitorul (ca în 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, …), numerele Markov respective vor continua să devină mai mari. De asemenea, el a crezut că dacă mărești numărătorul, dar păstrezi același numitor (ca în 1/17, 2/17, 3/17, 4/17, …), ar trebui să obții și un șir de numere Markov din ce în ce mai mari. Același model de numere crescătoare, credea el, ar trebui să fie valabil dacă suma numărătorului și numitorului este menținută constantă (ca în 1/100, 2/99, 3/98, …).

Conjectura numărătorului constant a fost demonstrată în o hârtie 2020 in Progrese în matematică by Michelle Rabideau de la Universitatea din Hartford și Ralf Schiffler de la Universitatea din Connecticut. În februarie 2023, împreună cu alți doi colaboratori, Rabideau și Schiffler au publicat o dovadă a alte două presupuneri de asemenea.

Datorită acestor și altor progrese, Karpenkov este optimist că o dovadă a conjecturii unicității lui Frobenius ar putea fi în sfârșit în lucru. „Cunosc oameni care spun că sunt aproape de a dovedi acest lucru”, a spus el. „Cred că suntem destul de aproape – poate în următorii cinci ani.”

Cuante efectuează o serie de sondaje pentru a servi mai bine publicul nostru. Ia-ne sondaj pentru cititorii de matematică și vei fi înscris pentru a câștiga gratuit Cuante Merch.