Se você está acompanhando as notícias de matemática este mês, sabe que o teórico dos números de 35 anos, James Maynard, ganhou um prêmio Medalha Fields — a maior honra para um matemático. Maynard gosta de perguntas de matemática que “são simples o suficiente para explicar a um estudante do ensino médio, mas difíceis o suficiente para atrapalhar os matemáticos por séculos”. Quanta relatado, e uma dessas perguntas simples é esta: à medida que você se move ao longo da reta numérica, deve haver sempre números primos próximos?
Você deve ter notado que os matemáticos são obcecados por números primos. O que os atrai? Talvez seja o fato de que os números primos incorporam algumas das estruturas e mistérios mais fundamentais da matemática. Os primos mapeiam o universo da multiplicação, permitindo-nos classificar e categorizar cada número com uma fatoração única. Mas mesmo que os humanos brinquem com os primos desde o início da multiplicação, ainda não temos certeza de onde os primos aparecerão, quão dispersos eles estão ou quão próximos devem estar. Até onde sabemos, os números primos não seguem um padrão simples.
Nosso fascínio por esses objetos fundamentais levou à invenção, ou descoberta, de centenas de tipos diferentes de primos: Primos de Mersenne (primos da forma 2n − 1), primos balanceados (primos que são a média de dois primos vizinhos) e primos de Sophie Germain (um primo p tal que 2p + 1 também é primo), para citar alguns.
O interesse por esses primos especiais surgiu de brincar com números e descobrir algo novo. Isso também vale para os “primos digitalmente delicados”, uma adição recente à lista que levou a alguns resultados surpreendentes sobre as questões mais básicas: quão raros ou comuns podem ser certos tipos de primos?
Para apreciar essa pergunta, vamos começar com um dos primeiros fatos intrigantes que um aspirante a entusiasta dos números aprende: existem infinitos números primos. Euclides provou isso 2,000 anos atrás usando uma das mais famosas provas por contradição em toda a história da matemática. Ele começou supondo que há apenas um número finito de primos e imaginou todos n deles em uma lista:
$latex_1, p_2, p_3, …, p_n$.
Então ele fez algo inteligente: ele pensou no número $latexq=p_1 vezes p_2 vezes p_3 vezes... vezes p_n+1$.
Observe que q não pode estar na lista de primos, porque é maior que tudo na lista. Então, se existe uma lista finita de primos, esse número q não pode ser primo. Mas se q não é um primo, deve ser divisível por algo diferente de si mesmo e 1. Isso, por sua vez, significa que q deve ser divisível por algum primo na lista, mas por causa da maneira q é construído, dividindo q por qualquer coisa na lista deixa um resto de 1. Então, aparentemente q não é primo nem divisível por nenhum primo, o que é uma contradição que resulta da suposição de que há apenas um número finito de primos. Portanto, para evitar essa contradição, deve haver de fato um número infinito de primos.
Dado que existem infinitamente muitos deles, você pode pensar que primos de todos os tipos são fáceis de encontrar, mas uma das próximas coisas que um detetive de números primos aprende é quão dispersos os primos podem ser. Um resultado simples sobre os espaços entre números primos consecutivos, chamados de intervalos primos, diz algo bastante surpreendente.
Entre os 10 primeiros números primos — 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 e 29 — você pode ver lacunas que consistem em um ou mais números compostos (números que não são primos, como 4, 12 ou 27). Você pode medir essas lacunas contando os números compostos entre elas: Por exemplo, há uma lacuna de tamanho 0 entre 2 e 3, uma lacuna de tamanho 1 entre 3 e 5 e 5 e 7, uma lacuna de tamanho 3 entre 7 e 11, e assim por diante. A maior lacuna principal nesta lista consiste nos cinco números compostos — 24, 25, 26, 27 e 28 — entre 23 e 29.
Agora, para o resultado incrível: as lacunas principais podem ser arbitrariamente longas. Isso significa que existem números primos consecutivos tão distantes quanto você possa imaginar. Talvez tão incrível seja como esse fato é fácil de provar.
Já temos uma lacuna principal de comprimento 5 acima. Poderia haver um de comprimento 6? Em vez de pesquisar listas de primos na esperança de encontrar um, vamos construí-lo nós mesmos. Para isso, usaremos a função fatorial usada nas fórmulas básicas de contagem: Por definição, $latexn!=n vezes(n-1) vezes (n-2) vezes … vezes 3 vezes 2 vezes 1$, então, por exemplo, $ latex3!=3 vezes 2 vezes 1 = 6$ e $latex5!=5 vezes 4 vezes 3 vezes 2 vezes 1=120$.
Agora vamos construir nossa lacuna principal. Considere a seguinte sequência de números consecutivos:
$látex 7!+2$, $látex7!+3$, $látex 7!+4$, $látex7!+5$, $látex 7!+6$, $látex 7!+7$.
Como $latex7!=7 vezes 6 vezes 5 vezes 4 vezes 3 vezes2 vezes 1$, o primeiro número em nossa sequência, $latex7!+2$, é divisível por 2, o que você pode ver após um pouco de fatoração:
$latex7!+2=7 vezes 6 vezes 5 vezes 4 vezes 3 vezes2 vezes 1+2$
$latex= 2(7 vezes 6 vezes 5 vezes 4 vezes 3 vezes 1+1)$.
Da mesma forma, o segundo número, $latex7!+3$, é divisível por 3, pois
$latex7!+3=7 vezes 6 vezes 5 vezes 4 vezes 3 vezes2 vezes 1+3$
$latex= 3(7 vezes 6 vezes 5 vezes 4 vezes2 vezes 1+1)$.
Da mesma forma, 7! + 4 é divisível por 4, 7! + 5 por 5, 7! + 6 por 6 e 7! + 7 por 7, o que dá 7! + 2, 7! + 3, 7! + 4, 7! + 5, 7! + 6, 7! + 7 uma sequência de seis números compostos consecutivos. Temos uma lacuna principal de pelo menos 6.
Essa estratégia é fácil de generalizar. A sequência
$látexn!+2$, $látexn!+3$, $látexn!+4$, $látex…$, $látexn!+n$.
é uma sequência de números compostos consecutivos $latexn-1$, o que significa que, para qualquer n, há uma lacuna principal com um comprimento de pelo menos $latexn-1$. Isso mostra que existem intervalos entre primos arbitrariamente longos, e assim ao longo da lista de números naturais há lugares onde os primos mais próximos estão separados por 100, ou 1,000, ou mesmo 1,000,000,000 de números.
Uma tensão clássica pode ser vista nestes resultados. Existem infinitos números primos, mas primos consecutivos também podem estar infinitamente distantes. Além do mais, existem infinitos primos consecutivos que estão próximos uns dos outros. Cerca de 10 anos atrás, o trabalho inovador de Yitang Zhang desencadeou uma corrida para fechar a lacuna e provar a conjectura dos primos gêmeos, que afirma que existem infinitos pares de primos que diferem por apenas 2. A conjectura dos primos gêmeos é uma das mais famosas questões abertas em matemática, e James Maynard fez suas próprias contribuições significativas para provar esse resultado indescritível.
Essa tensão também está presente em resultados recentes sobre os chamados primos digitalmente delicados. Para ter uma noção de quais são esses números e onde eles podem ou não estar, pare um momento para refletir sobre a seguinte pergunta estranha: Existe um número primo de dois dígitos que sempre se torna composto com qualquer alteração em seu dígito?
Para ter uma ideia da delicadeza digital, vamos brincar com o número 23. Sabemos que é um primo, mas o que acontece se você alterar o dígito das unidades? Bem, 20, 22, 24, 26 e 28 são todos pares e, portanto, compostos; 21 é divisível por 3, 25 é divisível por 5 e 27 é divisível por 9. Até agora, tudo bem. Mas se você mudar o dígito das unidades para 9, você obtém 29, que ainda é um primo. Então 23 não é o tipo de primo que estamos procurando.
E o 37? Como vimos acima, não precisamos nos preocupar em checar números pares ou números que terminam em 5, então vamos apenas checar 31, 33 e 39. Como 31 também é primo, 37 também não funciona.
Esse número existe mesmo? A resposta é sim, mas temos que ir até 97 para encontrá-lo: 97 é primo, mas 91 (divisível por 7), 93 (divisível por 3) e 99 (também divisível por 3) são todos compostos , juntamente com os números pares e 95.
Um número primo é “delicado” se, ao mudar qualquer um de seus dígitos para qualquer outro, ele perde sua “primidade” (ou primalidade, para usar o termo técnico). Até agora, vemos que 97 é delicado no dígito das unidades – uma vez que mudar esse dígito sempre produz um número composto – mas 97 satisfaz todos os critérios de ser digitalmente delicado? A resposta é não, porque se você mudar o dígito das dezenas para 1 você obtém 17, um primo. (Observe que 37, 47 e 67 também são primos.)
Na verdade, não há primo digitalmente delicado de dois dígitos. A tabela a seguir de todos os números de dois dígitos, com os primos de dois dígitos sombreados, mostra o porquê.
Todos os números em qualquer linha têm o mesmo dígito das dezenas, e todos os números em qualquer coluna têm o mesmo dígito das unidades. O fato de 97 ser o único número sombreado em sua linha reflete o fato de que é delicado no dígito das unidades, mas não é o único número primo em sua coluna, o que significa que não é delicado no dígito das dezenas.
Um primo de dois dígitos digitalmente delicado teria que ser o único primo em sua linha e coluna. Como mostra a tabela, não existe esse primo de dois dígitos. Que tal um primo de três dígitos digitalmente delicado? Aqui está uma tabela semelhante mostrando o layout dos primos de três dígitos entre 100 e 199, com números compostos omitidos.
Aqui vemos que 113 está em sua própria linha, o que significa que é delicado no dígito das unidades. Mas 113 não está em sua própria coluna, então algumas mudanças no dígito das dezenas (como 0 para 103 ou 6 para 163) produzem primos. Como nenhum número aparece em sua própria linha e em sua própria coluna, vemos rapidamente que não há um número de três dígitos garantido como composto se você alterar o dígito das unidades ou das dezenas. Isso significa que não pode haver primo digital delicado de três dígitos. Observe que nem verificamos o dígito das centenas. Para ser verdadeiramente delicado digitalmente, um número de três dígitos teria que evitar primos em três direções em uma tabela tridimensional.
Os primos digitalmente delicados ainda existem? À medida que você avança na linha numérica, os primos tendem a ficar mais esparsos, o que os torna menos propensos a se cruzar nas linhas e colunas dessas tabelas de alta dimensão. Mas números maiores têm mais dígitos, e cada dígito adicional diminui a probabilidade de um primo ser digitalmente delicado.
Se você continuar, descobrirá que existem primos digitalmente delicados. O menor é 294,001. Quando você altera um de seus dígitos, o número obtido – 794,001, digamos, ou 284,001 – será composto. E há mais: os próximos são 505,447; 584,141; 604,171; 971,767; e 1,062,599. Na verdade, eles não param. O famoso matemático Paul Erdős provou que existem infinitos primos digitalmente delicados. E esse foi apenas o primeiro de muitos resultados surpreendentes sobre esses números curiosos.
Por exemplo, Erdős não provou apenas que existem infinitos primos digitalmente delicados: ele provou que existem infinitos primos digitalmente delicados em qualquer base. Portanto, se você optar por representar seus números em binário, ternário ou hexadecimal, ainda terá a garantia de encontrar infinitos primos digitalmente delicados.
E primos digitalmente delicados não são apenas infinitos: eles compreendem uma porcentagem diferente de zero de todos os números primos. Isso significa que, se você observar a razão entre o número de primos digitalmente delicados e o número total de primos, essa fração é um número maior que zero. Em termos técnicos, uma “proporção positiva” de todos os números primos é digitalmente delicada, como o medalhista Fields Terence Tao provou em 2010. Os próprios primos não constituem uma proporção positiva de todos os números, pois você encontrará cada vez menos primos quanto mais longe você for ao longo da reta numérica. No entanto, entre esses primos, você continuará encontrando primos digitalmente delicados com frequência suficiente para manter a proporção entre primos delicados e primos totais acima de zero.
Talvez a descoberta mais chocante tenha sido um resultado de 2020 sobre uma nova variação desses números estranhos. Ao relaxar o conceito do que é um dígito, os matemáticos reimaginaram a representação de um número: em vez de pensar em 97 por si só, eles pensaram nele como tendo zeros à esquerda:
… 0000000097.
Cada zero à esquerda pode ser pensado como um dígito, e a questão da delicadeza digital pode ser estendida a essas novas representações. Poderia existir “primos amplamente digitalmente delicados” – números primos que sempre se tornam compostos se você alterar qualquer um dos dígitos, incluindo qualquer um desses zeros à esquerda? Graças ao trabalho dos matemáticos Michael Filaseta e Jeremiah Southwick, sabemos que a resposta, surpreendentemente, é sim. Não só existem primos amplamente delicados digitalmente, mas existem infinitamente muitos deles.
Os números primos formam uma série infinita de quebra-cabeças matemáticos para profissionais e entusiastas brincarem. Podemos nunca desvendar todos os seus mistérios, mas você pode contar com os matemáticos para descobrir e inventar continuamente novos tipos de primos para explorar.
Exercícios
1. Qual é a maior diferença entre os primos de 2 a 101?
2. Para provar que existem infinitos primos, Euclides assume que existem finitos primos $latex_1, p_2, p_3, …, p_n$, e então mostra que $latexq=p_1 vezes p_2 vezes p_3 vezes … vezes p_n+1$ é não é divisível por nenhum primo da lista. Isso não significa que q tem que ser primo?
3. Um resultado famoso na teoria dos números é que há sempre um primo entre k e 2k (inclusive). Isso é difícil de provar, mas é fácil provar que sempre há um primo entre k e $latexq=p_1 vezes p_2 vezes p_3 vezes … vezes p_n+1$ (inclusive), onde $latex_1, p_2, p_3, …, p_n$ são todos os primos menores ou iguais a k. Prove.
4. Você consegue encontrar o menor número primo digitalmente delicado nos dígitos das unidades e das dezenas? Isso significa que alterar o dígito das unidades ou das dezenas sempre produzirá um número composto. (Você pode querer escrever um programa de computador para fazer isso!)
Desafio Problema: Você consegue encontrar o menor número primo que é digitalmente delicado quando representado em binário? Lembre-se que em binário, ou base 2, os únicos dígitos são 0 e 1, e cada valor posicional representa uma potência de 2. Por exemplo, 8 é representado como $latex1000_2$, já que $latex 8=1 vezes 2^3 + 0 vezes 2^2 + 0 vezes 2^1 + 0 vezes 2^0$, e 7 na base 2 é $latex111_2$, pois $latex7=1 vezes2^2 + 1 vezes 2^1 + 1 vezes 2^0$.
Clique para ver a resposta 1:
Clique para ver a resposta 2:
Não. Considere os seis primeiros primos: 2, 3, 5, 7, 11 e 13. Neste caso, o número q seria $latex 2 vezes 3 vezes 5 vezes 7 vezes 11 vezes13 + 1 = 30,031$ . Isso não é divisível por 2, 3, 5, 7, 11 ou 13, mas não é primo: é fatorado como $latex 30,031 = 59 vezes 509$. Observe que tem fatores primos, mas todos são maiores que os seis primeiros primos.
Clique para ver a resposta 3:
Se k or q é primo, terminamos. Se q não é primo é composto, o que significa que é divisível por algum número primo, mas já sabemos que não é divisível por nenhum dos primeiros n primos. Assim, tem que ser divisível por um primo maior que o primeiro n primos, e como esses são todos os primos menores que k, este primo deve ser maior que k. Mas este primo divide q, então deve ser menor que q, então deve haver um primo entre k e q.
Clique para ver a resposta 4:
O primeiro primo que satisfaz essa propriedade é 2,459, pois 2,451, 2,453 e 2,457 são todos compostos (satisfazendo o delicado critério de dígitos) e 2,409, 2,419, 2,429, 2,439, 2,449, 2,469, 2,479, 2,489, 2,499 e 2,459 são todos compostos o delicado critério dos dígitos das dezenas). No entanto, 2,659 não é digitalmente delicado, porque XNUMX é primo, então ele falha quando você começa a considerar o dígito das centenas. (Agradecimentos ao matemático John D. Cook por publicar seu código Python digitalmente delicado para encontrar primos.)
Clique para responder ao problema do desafio:
$latex127=1111111_2$ é digitalmente delicado, pois $latex 126=1111110_2$, $latex125=1111101_2$, $latex123=1111011_2$, $latex119=1110111_2$, $latex111=1101111$, e $xlatex2=95_1011111$ =2_63$ são todos compostos.
