Jeśli śledziłeś wiadomości matematyczne w tym miesiącu, wiesz, że 35-letni teoretyk liczb James Maynard wygrał Medal Fields — najwyższe wyróżnienie dla matematyka. Maynard lubi pytania matematyczne, które „są wystarczająco proste, by wyjaśnić uczniowi szkoły średniej, ale wystarczająco trudne, by przez wieki ogłupiały matematyków”. Quanta zgłaszane, a jedno z tych prostych pytań jest takie: Kiedy poruszasz się wzdłuż osi liczbowej, czy zawsze muszą istnieć liczby pierwsze, które są blisko siebie?
Być może zauważyłeś, że matematycy mają obsesję na punkcie liczb pierwszych. Co ich przyciąga? Może to fakt, że liczby pierwsze ucieleśniają niektóre z najbardziej podstawowych struktur i tajemnic matematyki. Liczby pierwsze odwzorowują wszechświat mnożenia, pozwalając nam klasyfikować i kategoryzować każdą liczbę z unikalnym rozkładem na czynniki. Ale chociaż ludzie bawią się liczbami pierwszymi od zarania mnożenia, nadal nie jesteśmy do końca pewni, gdzie pojawią się liczby pierwsze, jak są rozłożone ani jak blisko muszą być. O ile nam wiadomo, liczby pierwsze nie mają prostego wzoru.
Nasza fascynacja tymi podstawowymi obiektami doprowadziła do wynalezienia lub odkrycia setek różnych typów liczb pierwszych:n − 1), zrównoważone liczby pierwsze (liczby pierwsze, które są średnią dwóch sąsiednich liczb pierwszych) i liczby pierwsze Sophie Germain (liczby pierwsze p tak, że 2p + 1 jest również liczbą pierwszą), żeby wymienić tylko kilka.
Zainteresowanie tymi specjalnymi liczbami pierwszymi wyrosło z zabawy z liczbami i odkrywania czegoś nowego. Odnosi się to również do „cyfrowych delikatnych liczb pierwszych”, niedawnego dodatku do listy, który doprowadził do zaskakujących wyników dotyczących najbardziej podstawowych pytań: jak rzadkie lub powszechne mogą być niektóre rodzaje liczb pierwszych?
Aby docenić to pytanie, zacznijmy od jednego z pierwszych intrygujących faktów, których dowiaduje się początkujący entuzjasta liczb: jest nieskończenie wiele liczb pierwszych. Euclid udowodnił to 2,000 lat temu, używając jednego z najsłynniejszych dowodów sprzeczności w całej historii matematyki. Zaczął od założenia, że istnieje tylko skończenie wiele liczb pierwszych i wyobraził sobie, że wszystko n z nich na liście:
$lateks_1, p_2, p_3, …, p_n$.
Potem zrobił coś mądrego: pomyślał o liczbie $lateksq=p_1 razy p_2 razy p_3 razy … razy p_n+1$.
Zauważ, że q nie może być na liście liczb pierwszych, ponieważ jest większa niż wszystko na liście. Więc jeśli istnieje skończona lista liczb pierwszych, ta liczba q nie może być pierwsza. Ale jeśli q nie jest liczbą pierwszą, musi być podzielna przez coś innego niż siebie i 1. To z kolei oznacza, że q musi być podzielne przez jakąś liczbę pierwszą z listy, ale ze względu na sposób q jest skonstruowany, dzielący q przez cokolwiek na liście pozostawia resztę 1. Więc najwyraźniej q nie jest ani liczbą pierwszą, ani podzielną przez żadną liczbę pierwszą, co jest sprzecznością wynikającą z założenia, że istnieje tylko skończenie wiele liczb pierwszych. Dlatego, aby uniknąć tej sprzeczności, w rzeczywistości musi być nieskończenie wiele liczb pierwszych.
Biorąc pod uwagę, że jest ich nieskończenie wiele, można by pomyśleć, że liczby pierwsze wszelkiego rodzaju są łatwe do znalezienia, ale jedną z następnych rzeczy, których dowiaduje się detektyw liczb pierwszych, jest to, jak rozłożone mogą być liczby pierwsze. Prosty wynik o odstępach między kolejnymi liczbami pierwszymi, zwany odstępami pierwszymi, mówi coś całkiem zaskakującego.
Wśród pierwszych 10 liczb pierwszych — 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 i 29 — można zobaczyć przerwy, które składają się z jednej lub więcej liczb złożonych (liczby, które nie są pierwsze, np. 4, 12 lub 27). Możesz zmierzyć te odstępy, licząc liczby złożone pomiędzy: Na przykład jest odstęp o rozmiarze 0 między 2 a 3, odstęp o rozmiarze 1 między 3 a 5 i 5 i 7, odstęp o rozmiarze 3 między 7 i 11 i tak dalej. Największa luka pierwsza na tej liście składa się z pięciu liczb złożonych — 24, 25, 26, 27 i 28 — między 23 a 29.
Teraz niesamowity wynik: przerwy na pierwsze mogą być dowolnie długie. Oznacza to, że istnieją kolejne liczby pierwsze tak daleko od siebie, jak możesz sobie wyobrazić. Być może równie niesamowite jest to, jak łatwo ten fakt udowodnić.
Mamy już lukę prime o długości 5 powyżej. Czy może być jeden o długości 6? Zamiast przeszukiwać listy liczb pierwszych w nadziei na znalezienie jednej, po prostu zbudujemy ją sami. W tym celu użyjemy funkcji silni używanej w podstawowych formułach liczących: Z definicji $lateksn!=n razy(n-1) razy (n-2) razy … razy 3 razy 2 razy 1$, czyli na przykład $ lateks3!=3 razy 2 razy 1 = 6$ i $lateks5!=5 razy 4 razy 3 razy 2 razy 1=120$.
Teraz zbudujmy naszą pierwszą lukę. Rozważ następującą sekwencję kolejnych liczb:
$lateks 7!+2$, $lateks7!+3$, $lateks 7!+4$, $lateks7!+5$, $lateks 7!+6$, $lateks 7!+7$.
Ponieważ $latex7!=7 razy 6 razy 5 razy 4 razy 3 razy2 razy 1$, pierwsza liczba w naszym ciągu, $latex7!+2$, jest podzielna przez 2, co widać po krótkim faktoringu:
$lateks7!+2=7 razy 6 razy 5 razy 4 razy 3 razy2 razy 1+2$
$lateks= 2(7 razy 6 razy 5 razy 4 razy 3 razy 1+1)$.
Podobnie druga liczba, $latex7!+3$, jest podzielna przez 3, ponieważ
$lateks7!+3=7 razy 6 razy 5 razy 4 razy 3 razy2 razy 1+3$
$lateks= 3(7 razy 6 razy 5 razy 4 razy2 razy 1+1)$.
Podobnie 7! + 4 jest podzielne przez 4, 7! + 5 na 5, 7! + 6 na 6 i 7! + 7 na 7, co daje 7! + 2, 7! + 3, 7! + 4, 7! + 5, 7! + 6, 7! + 7 ciąg sześciu kolejnych liczb złożonych. Mamy lukę pierwszorzędową wynoszącą co najmniej 6.
Ta strategia jest łatwa do uogólnienia. Sekwencja
$lateksn!+2$, $lateksn!+3$, $lateksn!+4$, $lateks…$, $lateksn!+n$.
jest ciągiem $lateksn-1$ kolejnych liczb złożonych, co oznacza, że dla dowolnego n, istnieje luka liczb pierwszych o długości co najmniej $lateksn-1$. To pokazuje, że istnieją arbitralnie długie odstępy między liczbami pierwszymi, a więc na liście liczb naturalnych są miejsca, w których najbliższe liczby pierwsze są oddalone od siebie o 100, 1,000, a nawet 1,000,000,000 XNUMX XNUMX XNUMX liczb.
W tych wynikach widać klasyczne napięcie. Istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych, ale kolejne liczby pierwsze mogą być również nieskończenie daleko od siebie. Co więcej, istnieje nieskończenie wiele kolejnych liczb pierwszych, które są blisko siebie. Około 10 lat temu przełomowe dzieło Yitanga Zhanga rozpoczęło wyścig mający na celu wypełnienie luki i udowodnienie hipotezy o podwójnych liczbach pierwszych, która twierdzi, że istnieje nieskończenie wiele par liczb pierwszych, które różnią się zaledwie o 2. Hipoteza o bliźniaczych liczbach pierwszych jest jedną z najbardziej słynne pytania otwarte w matematyce, a James Maynard wniósł swój własny znaczący wkład w udowodnienie tego nieuchwytnego wyniku.
To napięcie jest również obecne w ostatnich wynikach dotyczących tak zwanych cyfrowo delikatnych liczb pierwszych. Aby zorientować się, czym są te liczby i gdzie mogą być lub nie, poświęć chwilę na zastanowienie się nad następującym dziwnym pytaniem: Czy istnieje dwucyfrowa liczba pierwsza, która zawsze staje się złożona z każdą zmianą jej cyfry jedynek?
Aby poczuć cyfrową delikatność, pobawmy się liczbą 23. Wiemy, że to liczba pierwsza, ale co się stanie, jeśli zmienisz cyfrę jedynek? Cóż, 20, 22, 24, 26 i 28 są parzyste, a więc złożone; 21 jest podzielne przez 3, 25 jest podzielne przez 5, a 27 jest podzielne przez 9. Jak na razie dobrze. Ale jeśli zmienisz cyfrę jedynek na 9, otrzymasz 29, co nadal jest liczbą pierwszą. Więc 23 nie jest rodzajem liczby pierwszej, której szukamy.
A co z 37? Jak widzieliśmy powyżej, nie musimy zawracać sobie głowy sprawdzaniem parzystych liczb lub liczb kończących się na 5, więc sprawdzimy tylko 31, 33 i 39. Ponieważ 31 jest również liczbą pierwszą, 37 też nie działa.
Czy taka liczba w ogóle istnieje? Odpowiedź brzmi tak, ale musimy przejść aż do 97, aby ją znaleźć: 97 jest liczbą pierwszą, ale 91 (podzielne przez 7), 93 (podzielne przez 3) i 99 (również podzielne przez 3) są złożone , wraz z liczbami parzystymi i 95.
Liczba pierwsza jest „delikatna”, jeśli po zmianie którejkolwiek z jej cyfr na jakąkolwiek inną, traci ona swoją „pierwszorzędność” (lub pierwszorzędność, używając terminu technicznego). Jak dotąd widzimy, że 97 jest delikatne w cyfrze jedności — ponieważ zmiana tej cyfry zawsze daje liczbę złożoną — ale czy 97 spełnia pełne kryteria bycia cyfrowo delikatnym? Odpowiedź brzmi nie, ponieważ jeśli zmienisz cyfrę dziesiątek na 1, otrzymasz 17, liczbę pierwszą. (Zauważ, że 37, 47 i 67 również są liczbami pierwszymi).
W rzeczywistości nie ma dwucyfrowej, delikatnej cyfrowo liczby pierwszej. Poniższa tabela wszystkich liczb dwucyfrowych, z zacienionymi dwucyfrowymi liczbami pierwszymi, pokazuje dlaczego.
Wszystkie liczby w danym wierszu mają tę samą cyfrę dziesiątek, a wszystkie liczby w danej kolumnie mają tę samą cyfrę jedności. Fakt, że 97 jest jedyną zacieniowaną liczbą w swoim rzędzie, świadczy o tym, że jest delikatna w cyfrze jedności, ale nie jest jedyną liczbą pierwszą w swojej kolumnie, co oznacza, że nie jest delikatna w cyfrze dziesiątek.
Cyfrowo delikatna dwucyfrowa liczba pierwsza musiałaby być jedyną liczbą pierwszą w swoim rzędzie i kolumnie. Jak pokazuje tabela, taka dwucyfrowa liczba pierwsza nie istnieje. A co z cyfrowo delikatną trzycyfrową liczbą pierwszą? Oto podobna tabela przedstawiająca układ trzycyfrowych liczb pierwszych od 100 do 199, z pominięciem liczb złożonych.
Tutaj widzimy, że 113 jest w swoim rzędzie, co oznacza, że jest delikatna w cyfrze jedności. Ale 113 nie znajduje się w osobnej kolumnie, więc niektóre zmiany cyfry dziesiątek (np. 0 dla 103 lub 6 dla 163) dają liczby pierwsze. Ponieważ żadna liczba nie pojawia się zarówno w osobnym wierszu, jak i we własnej kolumnie, szybko widzimy, że nie ma trzycyfrowej liczby, która jest gwarantowana jako złożona, jeśli zmienisz jej cyfrę jedności lub cyfrę dziesiątek. Oznacza to, że nie może być trzycyfrowej, delikatnej cyfrowo liczby pierwszej. Zauważ, że nawet nie sprawdziliśmy cyfry setek. Aby być naprawdę delikatną cyfrowo, trzycyfrowa liczba musiałaby unikać liczb pierwszych w trzech kierunkach w trójwymiarowej tabeli.
Czy cyfrowo delikatne liczby pierwsze w ogóle istnieją? Im dalej na osi liczbowej, liczby pierwsze stają się coraz rzadsze, co sprawia, że mniej prawdopodobne jest, że krzyżują się one w rzędach i kolumnach tych wielowymiarowych tabel. Ale większe liczby mają więcej cyfr, a każda dodatkowa cyfra zmniejsza prawdopodobieństwo, że liczba pierwsza jest cyfrowo delikatna.
Jeśli będziesz kontynuować, odkryjesz, że cyfrowo delikatne liczby pierwsze istnieją. Najmniejszy to 294,001 794,001. Kiedy zmienisz jedną z jego cyfr, otrzymana liczba — powiedzmy 284,001 505,447 lub 584,141 — będzie złożona. A jest ich więcej: kilka następnych to 604,171; 971,767 1,062,599; XNUMX; XNUMX; oraz XNUMX XNUMX XNUMX. W rzeczywistości nie zatrzymują się. Słynny matematyk Paul Erdős udowodnił, że istnieje nieskończenie wiele delikatnych cyfrowo liczb pierwszych. I to był tylko pierwszy z wielu zaskakujących wyników dotyczących tych dziwnych liczb.
Na przykład Erd's nie tylko udowodnił, że istnieje nieskończenie wiele delikatnych cyfrowo liczb pierwszych: udowodnił, że w każdej bazie jest nieskończenie wiele cyfrowo delikatnych liczb pierwszych. Więc jeśli zdecydujesz się reprezentować swoje liczby w postaci binarnej, trójkowej lub szesnastkowej, nadal masz gwarancję, że znajdziesz nieskończenie wiele cyfrowo delikatnych liczb pierwszych.
Cyfrowo delikatne liczby pierwsze nie są po prostu nieskończone: stanowią niezerowy procent wszystkich liczb pierwszych. Oznacza to, że jeśli spojrzysz na stosunek liczby cyfrowo delikatnych liczb pierwszych do ogólnej liczby liczb pierwszych, ten ułamek jest liczbą większą od zera. Z technicznego punktu widzenia „dodatnia proporcja” wszystkich liczb pierwszych jest cyfrowo delikatna, jak udowodnił medalista Fieldsa Terence Tao w 2010 roku. Same liczby pierwsze nie stanowią dodatniej proporcji wszystkich liczb, ponieważ można znaleźć coraz mniej liczb pierwszych im dalej idziesz wzdłuż osi liczbowej. Jednak wśród tych liczb pierwszych nadal będziesz znajdować cyfrowo delikatne liczby pierwsze wystarczająco często, aby utrzymać stosunek delikatnych liczb pierwszych do całkowitych liczb pierwszych powyżej zera.
Może najbardziej szokującym odkryciem było… wynik z 2020 roku o nowej odmianie tych dziwnych liczb. Rozluźniając pojęcie cyfry, matematycy na nowo wyobrazili sobie reprezentację liczby: zamiast myśleć o 97 samodzielnie, myśleli, że ma ona wiodące zera:
…0000000097.
Każde wiodące zero można traktować jako cyfrę, a kwestię cyfrowej delikatności można rozszerzyć na te nowe reprezentacje. Czy mogą istnieć „szeroko delikatne cyfrowo liczby pierwsze” — liczby pierwsze, które zawsze stają się złożone, jeśli zmienisz którąkolwiek z cyfr, w tym którekolwiek z tych wiodących zer? Dzięki pracy matematyków Michaela Filasety i Jeremiaha Southwicka wiemy, że odpowiedź, o dziwo, brzmi tak. Nie tylko istnieją bardzo delikatne cyfrowo liczby pierwsze, ale jest ich nieskończenie wiele.
Liczby pierwsze tworzą nieskończony ciąg matematycznych zagadek, którymi mogą bawić się profesjonaliści i entuzjaści. Być może nigdy nie rozwikłamy wszystkich ich tajemnic, ale możesz liczyć na to, że matematycy będą nieustannie odkrywać i wymyślać nowe rodzaje liczb pierwszych do zbadania.
ćwiczenia
1. Jaka jest największa luka między liczbami pierwszymi od 2 do 101?
2. Aby udowodnić, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych, Euclid zakłada, że istnieje skończenie wiele liczb pierwszych $lateks_1, p_2, p_3, …, p_n$, a następnie pokazuje, że $lateksq=p_1 razy p_2 razy p_3 razy … razy p_n+1$ jest nie jest podzielna przez żadną liczbę pierwszą na liście. Czy to nie znaczy, że? q musi być pierwsza?
3. Znanym wynikiem teorii liczb jest to, że zawsze istnieje liczba pierwsza między k i 2k (włącznie). Trudno to udowodnić, ale łatwo udowodnić, że między nimi zawsze jest liczba pierwsza k oraz $lateksq=p_1 razy p_2 razy p_3 razy … razy p_n+1$ (włącznie), gdzie $lateks_1, p_2, p_3, …, p_n$ są liczbami pierwszymi mniejszymi lub równymi k. Udowodnij to.
4. Czy potrafisz znaleźć najmniejszą cyfrowo delikatną liczbę pierwszą w cyfrach jedności i dziesiątek? Oznacza to, że zmiana cyfry jedności lub dziesiątek zawsze da w wyniku liczbę złożoną. (Możesz napisać program komputerowy, który to zrobi!)
Wyzwanie Problem: Czy potrafisz znaleźć najmniejszą liczbę pierwszą, która jest cyfrowo delikatna, gdy jest reprezentowana w postaci binarnej? Przypomnij sobie, że w systemie binarnym lub podstawie 2 jedyne cyfry to 0 i 1, a każda wartość miejsca reprezentuje potęgę 2. Na przykład 8 jest reprezentowane jako $lateks1000_2$, ponieważ $lateks 8=1 razy 2^3 + 0 razy 2^2 + 0 razy 2^1 + 0 razy 2^0$, a 7 w bazie 2 to $latex111_2$, ponieważ $latex7=1 razy2^2 + 1 razy 2^1 + 1 razy 2^0$.
Kliknij, aby uzyskać odpowiedź 1:
Kliknij, aby uzyskać odpowiedź 2:
Nie. Rozważmy pierwsze sześć liczb pierwszych: 2, 3, 5, 7, 11 i 13. W tym przypadku liczba q będzie to $lateks 2 razy 3 razy 5 razy 7 razy 11 razy13 + 1 = 30,031 2 $ . Nie jest podzielna przez 3, 5, 7, 11, 13 lub 30,031, ale nie jest liczbą pierwszą: rozkłada się na 59 $lateksu = 509 razy XNUMX$. Zauważ, że ma czynniki pierwsze, ale wszystkie są większe od pierwszych sześciu liczb pierwszych.
Kliknij, aby uzyskać odpowiedź 3:
Jeśli albo k or q jest pierwszorzędny, skończyliśmy. Jeśli q nie jest liczbą pierwszą jest złożona, co oznacza, że jest podzielna przez jakąś liczbę pierwszą, ale już wiemy, że nie jest podzielna przez żadną z pierwszych n liczby pierwsze. Musi więc być podzielna przez liczbę pierwszą większą niż pierwsza n liczby pierwsze, a ponieważ wszystkie są liczbami pierwszymi mniejszymi niż k, ta liczba pierwsza musi być większa niż k. Ale ta liczba pierwsza dzieli q, więc musi być mniej niż q, więc musi być liczba pierwsza między k i q.
Kliknij, aby uzyskać odpowiedź 4:
Pierwsza liczba pierwsza spełniająca tę właściwość to 2,459, ponieważ 2,451, 2,453 i 2,457 są wszystkie złożone (spełniając kryterium cyfr delikatnych), a 2,409, 2,419, 2,429, 2,439, 2,449, 2,469, 2,479, 2,489 i 2,499 są wszystkie złożone (spełniające delikatne kryterium dziesiątek cyfr). Jednak 2,459 nie jest cyfrowo delikatny, ponieważ 2,659 jest liczbą pierwszą, więc zawodzi, gdy zaczniesz rozważać cyfrę setek. (Podziękowania dla matematyka Johna D. Cooka za opublikowanie jego cyfrowo delikatny kod Pythona do wyszukiwania liczb pierwszych.)
Kliknij, aby uzyskać odpowiedź na problem z wyzwaniem:
$latex127=1111111_2$ jest cyfrowo delikatny, ponieważ $latex 126=1111110_2$, $latex125=1111101_2$, $latex123=1111011_2$, $latex119=1110111_2$, $latex111=1101111_2$, $latex95=1011111_2$ i $latex63 =0111111_2$ są złożone.
