Sieci kwantowe: nowy rodzaj sieci tensorowej

Sieci kwantowe: nowy rodzaj sieci tensorowej

Znacznik czasu: 14 września 2023 11:33
Węzeł źródłowy: 2881281

Kevina Slagle’a

Wydział Inżynierii Elektrycznej i Komputerowej, Uniwersytet Rice, Houston, Teksas 77005 USA
Wydział Fizyki, California Institute of Technology, Pasadena, California 91125, USA
Institute for Quantum Information and Matter oraz Walter Burke Institute for Theoretical Physics, California Institute of Technology, Pasadena, California 91125, USA

Czy ten artykuł jest interesujący czy chcesz dyskutować? Napisz lub zostaw komentarz do SciRate.

Abstrakcyjny

Chociaż sieci tensorowe są potężnymi narzędziami do symulacji niskowymiarowej fizyki kwantowej, algorytmy sieci tensorowych są bardzo kosztowne obliczeniowo w wyższych wymiarach przestrzennych. Wprowadzamy $textit{sieci mierników kwantowych}$: inny rodzaj ansatz sieci tensorowej, dla którego koszt obliczeń symulacji nie wzrasta wyraźnie dla większych wymiarów przestrzennych. Inspirujemy się obrazem cechowania dynamiki kwantowej, który składa się z lokalnej funkcji falowej dla każdego obszaru przestrzeni, z sąsiadującymi obszarami powiązanymi połączeniami unitarnymi. Sieć mierników kwantowych (QGN) ma podobną strukturę, z tym wyjątkiem, że wymiary przestrzeni Hilberta lokalnych funkcji falowych i połączeń są obcięte. Opisujemy, w jaki sposób można uzyskać QGN z ogólnej funkcji falowej lub stanu produktu macierzy (MPS). Wszystkie funkcje korelacji punktowej 2k$ dowolnej funkcji falowej dla wielu operatorów $M$ mogą być zakodowane dokładnie przez QGN z wymiarem wiązania $O(M^k)$. Dla porównania, dla zaledwie $ k = 1 $, wykładniczo większy wymiar wiązania wynoszący 2 $ ^ {M/6} $ jest ogólnie wymagany dla MPS kubitów. Udostępniamy prosty algorytm QGN do przybliżonych symulacji dynamiki kwantowej w dowolnym wymiarze przestrzennym. Przybliżona dynamika może zapewnić dokładne zachowanie energii dla niezależnych od czasu hamiltonianów, a także można dokładnie zachować symetrie przestrzenne. Dokonujemy testu porównawczego algorytmu, symulując wygaszanie kwantowe hamiltonianów fermionowych w maksymalnie trzech wymiarach przestrzennych.

Wyróżniony obraz: Na obrazie miernika różne obszary przestrzeni (owale na rysunku) są powiązane z ich własnymi przestrzeniami Hilberta i funkcjami falowymi, które są powiązane ewoluującymi w czasie transformacjami unitarnymi. Każda z tych przestrzeni Hilberta ma zwykły wymiar $2^n$ dla układu $n$ kubitów. Sieci mierników kwantowych wykorzystują te wiele przestrzeni Hilberta, skutecznie obcinając każdą przestrzeń Hilberta na mniejszą podprzestrzeń stanów, która jest najbardziej odpowiednia dla lokalnej fizyki powiązanej łaty, przy użyciu liniowej mapy obcięcia.

[Osadzone treści]

Popularne podsumowanie

Symulacja wielocząstkowych lub wielokubitowych układów kwantowych jest wymagająca obliczeniowo ze względu na wykładniczy wzrost wymiaru przestrzeni Hilberta wraz z liczbą cząstek lub kubitów. Klasa ansatz funkcji falowych, znana jako „sieci tensorowe”, może skutecznie parametryzować te ogromne przestrzenie Hilberta za pomocą skurczu siatki tensorów. Chociaż wykazały one zauważalny sukces w jednym wymiarze przestrzennym (poprzez np. algorytm „DMRG”), algorytmy sieci tensorowych są mniej wydajne i bardziej skomplikowane w dwóch lub większej liczbie wymiarów przestrzennych.

Nasza praca inicjuje badanie nowatorskiej funkcji falowej zwanej „siecią mierników kwantowych”. Pokazujemy, że sieci mierników kwantowych są powiązane z sieciami tensorowymi w jednym wymiarze przestrzennym, ale są algorytmicznie prostsze i potencjalnie bardziej wydajne w dwóch lub większej liczbie wymiarów przestrzennych. Sieci cechowania kwantowego wykorzystują nowy obraz mechaniki kwantowej, zwany „obrazem cechowania”, który został pokrótce opisany na powyższym obrazie. Zapewniamy prosty algorytm do przybliżonej symulacji ewolucji funkcji falowej w czasie przy użyciu sieci mierników kwantowych. Porównujemy algorytm na systemie fermionów w maksymalnie trzech wymiarach przestrzennych. Symulacja układu trójwymiarowego przy użyciu sieci tensorowych byłaby niezwykle trudna. Konieczne są jednak dalsze badania, aby lepiej zrozumieć teorię sieci mierników kwantowych i opracować więcej algorytmów, takich jak algorytm optymalizacji stanu podstawowego.

► Dane BibTeX

► Referencje

[1] Kevina Slagle’a. „Obraz miernika dynamiki kwantowej” (2022). arXiv:2210.09314.
arXiv: 2210.09314

[2] Roman Orús. „Sieci tensorowe dla złożonych układów kwantowych”. Nature Recenzje Fizyka 1, 538–550 (2019). arXiv:1812.04011.
https:/​/​doi.org/​10.1038/​s42254-019-0086-7
arXiv: 1812.04011

[3] Roman Orús. „Praktyczne wprowadzenie do sieci tensorowych: stany produktów macierzy i przewidywane stany par splątanych”. Annals of Physics 349, 117–158 (2014). arXiv:1306.2164.
https: / / doi.org/ 10.1016 / j.aop.2014.06.013
arXiv: 1306.2164

[4] Garnet Kin-Lic Chan, Anna Keselman, Naoki Nakatani, Zhendong Li i Steven R. White. „Operatory produktu macierzowego, stany produktu macierzowego i algorytmy grupy renormalizacji macierzy gęstości ab initio” (2016). arXiv:1605.02611.
arXiv: 1605.02611

[5] Ignacio Cirac, David Perez-Garcia, Norbert Schuch i Frank Verstraete. „Stany produktów macierzy i przewidywane stany splątanych par: pojęcia, symetrie i twierdzenia” (2020). arXiv:2011.12127.
https: / / doi.org/ 10.1103 / RevModPhys.93.045003
arXiv: 2011.12127

[6] Shi-Ju Ran, Emanuele Tirrito, Cheng Peng, Xi Chen, Luca Tagliacozzo, Gang Su i Maciej Lewenstein. „Skurcze sieci tensorowej” (2020). arXiv:1708.09213.
https:/​/​doi.org/​10.1007/​978-3-030-34489-4
arXiv: 1708.09213

[7] Jacob C. Bridgeman i Christopher T. Chubb. „Machanie rękami i taniec interpretacyjny: kurs wprowadzający do sieci tensorowych”. Journal of Physics A Mathematical General 50, 223001 (2017). arXiv:1603.03039.
https:/​/​doi.org/​10.1088/​1751-8121/​aa6dc3
arXiv: 1603.03039

[8] Michaela P. Zaletela i Franka Pollmanna. „Izometryczne stany sieci tensorowej w dwóch wymiarach”. Fiz. Wielebny Lett. 124, 037201 (2020). arXiv:1902.05100.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.124.037201
arXiv: 1902.05100

[9] Katharine Hyatt i EM Stoudenmire. „Podejście DMRG do optymalizacji dwuwymiarowych sieci tensorowych” (2019). arXiv:1908.08833.
arXiv: 1908.08833

[10] Reza Haghshenas, Matthew J. O'Rourke i Garnet Kin-Lic Chan. „Konwersja rzutowanych stanów par splątanych do postaci kanonicznej”. Fiz. Rev. B 100, 054404 (2019). arXiv:1903.03843.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevB.100.054404
arXiv: 1903.03843

[11] Maurits SJ Tepaske i David J. Luitz. „Trójwymiarowe izometryczne sieci tensorowe”. Badania przeglądu fizycznego 3, 023236 (2021). arXiv:2005.13592.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevResearch.3.023236
arXiv: 2005.13592

[12] G. Vidala. „Klasa kwantowych stanów wielu ciał, które można skutecznie symulować”. Fiz. Wielebny Lett. 101, 110501 (2008). arXiv:quant-ph/​0610099.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.101.110501
arXiv: quant-ph / 0610099

[13] G. Evenbly i G. Vidal. „Klasa wysoce splątanych stanów wielu ciał, które można skutecznie symulować”. Fiz. Wielebny Lett. 112, 240502 (2014). arXiv:1210.1895.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.112.240502
arXiv: 1210.1895

[14] G. Evenbly i G. Vidal. „Algorytmy renormalizacji splątania”. Fiz. Rev. B 79, 144108 (2009). arXiv:0707.1454.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevB.79.144108
arXiv: 0707.1454

[15] Arturo Acuaviva, Visu Makam, Harold Nieuwboer, David Pérez-García, Friedrich Sittner, Michael Walter i Freek Witteveen. „Minimalna postać kanoniczna sieci tensorowej” (2022). arXiv:2209.14358.
arXiv: 2209.14358

[16] Giovanni Ferrari, Giuseppe Magnifico i Simone Montangero. „Adaptacyjne sieci tensorowe ważone drzewiaste dla nieuporządkowanych kwantowych układów wielu ciał”. Fiz. Rev. B 105, 214201 (2022). arXiv:2111.12398.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevB.105.214201
arXiv: 2111.12398

[17] Dynamikę czasu hamiltonianu wolnego fermionu $hat{H} = suma_{ij} h_{ij} hat{c}_i^dagger hat{c}_j$ można dokładnie symulować, obliczając ewoluowane w czasie funkcje falowe wypełnione pojedynczym fermionem $|{phi_alpha(t)rangle} = e^{-iht} |{phi_alpha(0)rangle}$. Funkcja falowa $|{Psi}rangle = prod_alpha^text{filled} big(sum_i langle{i|phi_alpha}rangle hat{c}_i^daggerbig) |{0}rangle$ nigdy nie jest jawnie obliczana. $prod_alpha^text{filled}$ oznacza iloczyn wypełnionych funkcji falowych pojedynczego fermionu, a $|{0}rangle$ to stan pusty bez fermionów. Następnie $lange{hat{n}_i(t)}rangle = sum_alpha^text{filled} |lange{i|phi_alpha(t)rangle}|^2$, gdzie $|{i}rangle$ jest pojedynczym fermionem funkcja falowa dla fermionu w miejscu $i$.

[18] Roman Orús. „Postępy w teorii sieci tensorowych: symetrie, fermiony, splątanie i holografia”. Europejski Dziennik Fizyczny B 87, 280 (2014). arXiv:1407.6552.
https: // doi.org/ 10.1140 / epjb / e2014-50502-9
arXiv: 1407.6552

[19] Philippe Corboz i Guifré Vidal. „Ansatz renormalizacji splątania fermionowego wieloskalowego”. Fiz. Rev. B 80, 165129 (2009). arXiv:0907.3184.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevB.80.165129
arXiv: 0907.3184

[20] Andrew M. Childs, Yuan Su, Minh C. Tran, Nathan Wiebe i Shuchen Zhu. „Teoria błędu kłusaka ze skalowaniem komutatora”. Fiz. Rev. X 11, 011020 (2021). arXiv:1912.08854.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevX.11.011020
arXiv: 1912.08854

[21] Brama Vanhecke, Laurensa Vanderstraetena i Franka Verstraete. „Symetryczne ekspansje klastrów za pomocą sieci tensorowych” (2019). arXiv:1912.10512.
https://​/​doi.org/​10.1103/​PhysRevA.103.L020402
arXiv: 1912.10512

[22] Yi-Kai Liu. „Spójność lokalnych macierzy gęstości jest qma-kompletna”. W: Josep Díaz, Klaus Jansen, José DP Rolim i Uri Zwick, redaktorzy, Approximation, Randomization, and Combinatorial Optimization. Algorytmy i techniki. Strony 438–449. Berlin, Heidelberg (2006). Springer Berlin Heidelberg. arXiv:quant-ph/​0604166.
arXiv: quant-ph / 0604166

[23] Aleksander A. Klyachko. „Kwantowy problem marginalny i N-reprezentowalność”. W serii konferencji Journal of Physics. Tom 36 serii konferencji Journal of Physics, strony 72–86. (2006). arXiv:quant-ph/​0511102.
https:/​/​doi.org/​10.1088/​1742-6596/​36/​1/​014
arXiv: quant-ph / 0511102

[24] Jianxin Chen, Zhengfeng Ji, Nengkun Yu i Bei Zeng. „Wykrywanie spójności nakładających się marginesów kwantowych poprzez separację”. Fiz. Rev. A 93, 032105 (2016). arXiv:1509.06591.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.93.032105
arXiv: 1509.06591

[25] Davida A. Mazziottiego. „Struktura fermionowych macierzy gęstości: pełne warunki reprezentowalności $n$”. Fiz. Wielebny Lett. 108, 263002 (2012). arXiv:1112.5866.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.108.263002
arXiv: 1112.5866

[26] Xiao-Gang Wen. „Kolokwium: Zoo kwantowo-topologicznych faz materii”. Recenzje Modern Physics 89, 041004 (2017). arXiv:1610.03911.
https: / / doi.org/ 10.1103 / RevModPhys.89.041004
arXiv: 1610.03911

[27] Zheng-Cheng Gu, Michael Levin, Brian Swingle i Xiao-Gang Wen. „Reprezentacje iloczynu tensorowego dla stanów skondensowanych typu string-net”. Fiz. Rev. B 79, 085118 (2009). arXiv:0809.2821.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevB.79.085118
arXiv: 0809.2821

[28] Oliver Buerschaper, Miguel Aguado i Guifré Vidal. „Jawna reprezentacja sieci tensorowej dla stanów podstawowych modeli strunowo-sieciowych”. Fiz. Rev. B 79, 085119 (2009). arXiv:0809.2393.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevB.79.085119
arXiv: 0809.2393

[29] Dominic J. Williamson, Nick Bultinck i Frank Verstraete. „Porządek topologiczny wzbogacony o symetrię w sieciach tensorowych: defekty, miernikowanie i kondensacja dowolnych” (2017). arXiv:1711.07982.
arXiv: 1711.07982

[30] Tomohiro Soejima, Karthik Siva, Nick Bultinck, Shubhayu Chatterjee, Frank Pollmann i Michael P. Zaletel. „Izometryczna reprezentacja sieci tensorowej cieczy typu string-net”. Fiz. Rev. B 101, 085117 (2020). arXiv:1908.07545.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevB.101.085117
arXiv: 1908.07545

[31] Guifre Vidal. „Efektywna symulacja jednowymiarowych kwantowych układów wielu ciał”. Fiz. Wielebny Lett. 93, 040502 (2004). arXiv:quant-ph/​0310089.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.93.040502
arXiv: quant-ph / 0310089

[32] Sebastian Paeckel, Thomas Köhler, Andreas Swoboda, Salvatore R. Manmana, Ulrich Schollwöck i Claudius Hubig. „Metody ewolucji czasowej stanów macierzowo-produktowych”. Roczniki fizyki 411, 167998 (2019). arXiv:1901.05824.
https: / / doi.org/ 10.1016 / j.aop.2019.167998
arXiv: 1901.05824

[33] Steven R. White i Adrian E. Feiguin. „Ewolucja w czasie rzeczywistym z wykorzystaniem grupy renormalizacji macierzy gęstości”. Fiz. Wielebny Lett. 93, 076401 (2004). arXiv:cond-mat/​0403310.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.93.076401
arXiv: cond-mat / 0403310

[34] Jutho Haegeman, Christian Lubich, Ivan Oseledets, Bart Vandereycken i Frank Verstraete. „Ujednolicenie ewolucji czasu i optymalizacji ze stanami produktów macierzowych”. Fiz. Rev. B 94, 165116 (2016). arXiv:1408.5056.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevB.94.165116
arXiv: 1408.5056

[35] Eyal Leviatan, Frank Pollmann, Jens H. Bardarson, David A. Huse i Ehud Altman. „Kwantowa dynamika termalizacji ze stanami macierzy-produktów” (2017). arXiv:1702.08894.
arXiv: 1702.08894

[36] Christian B. Mendl. „Ewolucja czasowa operatorów produktów macierzowych z zachowaniem energii” (2018). arXiv:1812.11876.
arXiv: 1812.11876

[37] Piotr Czarnik, Jacek Dziarmaga i Philippe Corboz. „Ewolucja w czasie nieskończonego rzutowanego stanu pary splątanej: wydajny algorytm”. Fiz. Rev. B 99, 035115 (2019). arXiv:1811.05497.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevB.99.035115
arXiv: 1811.05497

[38] Daniela Bauernfeinda i Markusa Aichhorna. „Zasada wariacyjna zależna od czasu dla drzewiastych sieci tensorowych”. SciPost Fizyka 8, 024 (2020). arXiv:1908.03090.
https: / / doi.org/ 10.21468 / SciPostPhys.8.2.024
arXiv: 1908.03090

[39] Christopher David White, Michael Zaletel, Roger SK Mong i Gil Refael. „Dynamika kwantowa układów termalizujących”. Fiz. Rev. B 97, 035127 (2018). arXiv:1707.01506.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevB.97.035127
arXiv: 1707.01506

[40] Tibor Rakovszky, CW von Keyserlingk i Frank Pollmann. „Metoda ewolucji operatora wspomaganego rozpraszaniem w celu wychwytywania transportu hydrodynamicznego”. Fiz. Rev. B 105, 075131 (2022). arXiv:2004.05177.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevB.105.075131
arXiv: 2004.05177

[41] Mingru Yang i Steven R. White. „Zależna od czasu zasada wariacyjna z pomocniczą podprzestrzenią Kryłowa”. Fiz. Rev. B 102, 094315 (2020). arXiv:2005.06104.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevB.102.094315
arXiv: 2005.06104

[42] Benedikt Kloss, David Reichman i Jewgienij Bar Lew. „Badanie dynamiki w dwuwymiarowych sieciach kwantowych z wykorzystaniem stanów sieci tensorowej drzewa”. SciPost Fizyka 9, 070 (2020). arXiv:2003.08944.
https: / / doi.org/ 10.21468 / SciPostPhys.9.5.070
arXiv: 2003.08944

[43] Álvaro M. Alhambra i J. Ignacio Cirac. „Lokalnie dokładne sieci tensorowe dla stanów termicznych i ewolucji czasu”. PRX Quantum 2, 040331 (2021). arXiv:2106.00710.
https: // doi.org/ 10.1103 / PRXQuantum.2.040331
arXiv: 2106.00710

[44] Sheng-Hsuan Lin, Michael Zaletel i Frank Pollmann. „Efektywna symulacja dynamiki w dwuwymiarowych kwantowych układach spinowych za pomocą izometrycznych sieci tensorowych” (2021). arXiv:2112.08394.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevB.106.245102
arXiv: 2112.08394

[45] Markusa Schmitta i Markusa Heyla. „Kwantowa dynamika wielu ciał w dwóch wymiarach za pomocą sztucznych sieci neuronowych”. Fiz. Wielebny Lett. 125, 100503 (2020). arXiv:1912.08828.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.125.100503
arXiv: 1912.08828

[46] Irene López Gutiérrez i Christian B. Mendl. „Ewolucja w czasie rzeczywistym ze stanami kwantowymi sieci neuronowej”. Kwant 6, 627 (2022). arXiv:1912.08831.
https:/​/​doi.org/​10.22331/​q-2022-01-20-627
arXiv: 1912.08831

[47] Sheng-Hsuan Lin i Frank Pollmann. „Skalowanie stanów kwantowych sieci neuronowej dla ewolucji czasu”. Stan fizyki Solidi B Basic Research 259, 2100172 (2022). arXiv:2104.10696.
https://​/​doi.org/​10.1002/​pssb.202100172
arXiv: 2104.10696

[48] Dariia Yehorova i Joshua S. Kretchmer. „Wielofragmentowe rozszerzenie w czasie rzeczywistym teorii osadzania rzutowanej macierzy gęstości: Nierównowagowa dynamika elektronów w systemach rozszerzonych” (2022). arXiv:2209.06368.
https: / / doi.org/ 10.1063 / 5.0146973
arXiv: 2209.06368

[49] G. Münstera i M. Walzla. „Teoria miernika kratowego – krótki elementarz” (2000). arXiv:hep-lat/​0012005.
arXiv:hep-lat/0012005

[50] Johna B. Koguta. „Wprowadzenie do teorii cechowania sieci i systemów spinowych”. Wielebny Mod. fizyka 51, 659-713 (1979).
https: / / doi.org/ 10.1103 / RevModPhys.51.659

[51] Kevina Slagle’a i Johna Preskilla. „Emergent Quantum Mechanika na granicy lokalnego klasycznego modelu kratowego” (2022). arXiv:2207.09465.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.108.012217
arXiv: 2207.09465

[52] Scotta Aaronsona. „Wzory wieloliniowe i sceptycyzm obliczeń kwantowych”. W materiałach z trzydziestego szóstego dorocznego sympozjum ACM na temat teorii informatyki. Strony 118–127. STOC '04Nowy Jork, NY, USA (2004). Stowarzyszenie Maszyn Obliczeniowych. arXiv:quant-ph/​0311039.
https: / / doi.org/ 10.1145 / 1007352.1007378
arXiv: quant-ph / 0311039

[53] Gerarda 't Hoofta. „Deterministyczna mechanika kwantowa: równania matematyczne” (2020). arXiv:2005.06374.
arXiv: 2005.06374

[54] Stephena L. Adlera. „Teoria kwantowa jako zjawisko wyłaniające się: podstawy i fenomenologia”. Journal of Physics: Conference Series 361, 012002 (2012).
https:/​/​doi.org/​10.1088/​1742-6596/​361/​1/​012002

[55] Witalij Wańczurin. „Mechanika entropiczna: w stronę stochastycznego opisu mechaniki kwantowej”. Podstawy fizyki 50, 40–53 (2019). arXiv:1901.07369.
https:/​/​doi.org/​10.1007/​s10701-019-00315-6
arXiv: 1901.07369

[56] Edwarda Nelsona. „Przegląd mechaniki stochastycznej”. Journal of Physics: Conference Series 361, 012011 (2012).
https:/​/​doi.org/​10.1088/​1742-6596/​361/​1/​012011

[57] Michael JW Hall, Dirk-André Deckert i Howard M. Wiseman. „Zjawiska kwantowe modelowane przez interakcje między wieloma klasycznymi światami”. Przegląd fizyczny X 4, 041013 (2014). arXiv:1402.6144.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevX.4.041013
arXiv: 1402.6144

[58] Guifre Vidal. „Efektywna klasyczna symulacja lekko splątanych obliczeń kwantowych”. Fiz. Wielebny Lett. 91, 147902 (2003). arXiv:quant-ph/​0301063.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.91.147902
arXiv: quant-ph / 0301063

[59] G. Vidala. „Klasyczna symulacja nieskończonych rozmiarów systemów krat kwantowych w jednym wymiarze przestrzennym”. Fiz. Wielebny Lett. 98, 070201 (2007). arXiv:cond-mat/​0605597.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.98.070201
arXiv: cond-mat / 0605597

[60] Stephan Ramon Garcia, Matthew Okubo Patterson i William T. Ross. „Macierze częściowo izometryczne: krótkie i wybiórcze badanie” (2019). arXiv:1903.11648.
arXiv: 1903.11648

[61] CJ Hamera. „Skalowanie o skończonych rozmiarach w poprzecznym modelu Isinga na siatce kwadratowej”. Journal of Physics A Mathematical General 33, 6683–6698 (2000). arXiv:cond-mat/​0007063.
https:/​/​doi.org/​10.1088/​0305-4470/​33/​38/​303
arXiv: cond-mat / 0007063

Cytowany przez

[1] Sayak Guha Roy i Kevin Slagle, „Interpolating Between the Gauge and Schrödinger Pictures of Quantum Dynamics”, arXiv: 2307.02369, (2023).

[2] Kevin Slagle, „Obraz miernika dynamiki kwantowej”, arXiv: 2210.09314, (2022).

Powyższe cytaty pochodzą z Reklamy SAO / NASA (ostatnia aktualizacja pomyślnie 2023-09-14 17:27:13). Lista może być niekompletna, ponieważ nie wszyscy wydawcy podają odpowiednie i pełne dane cytowania.

Nie można pobrać Przywołane przez Crossref dane podczas ostatniej próby 2023-09-14 17:27:12: Nie można pobrać cytowanych danych dla 10.22331 / q-2023-09-14-1113 z Crossref. Jest to normalne, jeśli DOI zostało niedawno zarejestrowane.

Niniejszy artykuł opublikowano w Quantum pod Creative Commons Uznanie autorstwa 4.0 Międzynarodowe (CC BY 4.0) licencja. Prawa autorskie należą do pierwotnych właścicieli praw autorskich, takich jak autorzy lub ich instytucje.

Znak czasu:

Więcej z Dziennik kwantowy