Wprowadzenie
Mamy tendencję do myślenia o matematyce jako czysto logicznej, ale nauczanie matematyki, jej wartości, użyteczność i zasady działania są pełne niuansów. Czym zatem jest „dobra” matematyka? W 2007 roku matematyk Terence tao napisał esej pt Biuletyn Amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego która starała się odpowiedzieć na to pytanie. Dziś, jako zdobywca Medalu Fieldsa, przełomowej nagrody w matematyce i stypendium MacArthur Fellowship, Tao jest jednym z najbardziej uhonorowanych i płodnych matematyków na świecie. W tym odcinku dołącza do naszego gospodarza i innego matematyka Stevena Strogatza ponownie przyjrzeć się zadaniom dobrej matematyki.
Nasłuchiwać Podcasty Apple, Spotify, Podcasty Google, Stitcher, Dostroić lub swoją ulubioną aplikację do podcastów, lub możesz przesyłaj strumieniowo z Quanta.
Transkrypcja
STEVEN STROGATZ: W październiku 2007 roku, dawno temu, kiedy iPhone pierwszej generacji był jeszcze popularnym towarem, a giełda przed wielką recesją osiągała najwyższy poziom w historii, Terence Tao, profesor matematyki na Uniwersytecie Kalifornijskim w Los Angeles, był zdeterminowany odpowiedzieć na pytanie: pytanie, które od dawna było przedmiotem debaty wśród matematyków: czym właściwie jest dobra matematyka?
Czy chodzi o rygorystyczność? Elegancja? Użyteczność w świecie rzeczywistym? Terry napisał bardzo przemyślany i hojny, powiedziałbym nawet, że z otwartym sercem, esej o wszystkich sposobach, w jakie matematyka może być dobra. Ale czy teraz, ponad 15 lat później, musimy na nowo przemyśleć, czym jest dobra matematyka?
Nazywam się Steve Strogatz, a to jest podcast „The Joy of Why” z serwisu Magazyn Quanta gdzie moja współgospodarzka, Janna Levin, i ja na zmianę badamy niektóre z największych pytań bez odpowiedzi we współczesnej matematyce i naukach ścisłych.
(Temat jest odtwarzany)
Aby powrócić dziś do odwiecznego pytania o to, co czyni matematykę dobrą, występuje sam Terry Tao. Profesor Tao jest autorem ponad 300 artykułów naukowych na temat zadziwiająco szerokiego zakresu matematyki, w tym analizy harmonicznej, równań różniczkowych cząstkowych, kombinatoryki, teorii liczb, nauki o danych, macierzy losowych i wielu innych. Nazywa się go „Mozartem matematyki”. Jako zdobywca medalu Fieldsa, przełomowej nagrody w matematyce, stypendium MacArthur Fellowship i wielu innych nagród, przydomek ten z pewnością jest w pełni zasłużony.
Terry, witaj w „Radości dlaczego”.
TERENCE TAO: Miło mi tu być.
STROGATZ: Jestem bardzo podekscytowany możliwością porozmawiania z Tobą na temat tego, co sprawia, że niektóre rodzaje badań matematycznych są dobre. Pamiętam dość wyraźnie przeglądanie Biuletyn Amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego w 2007 roku i spotkałem się z tym swój esej na ten temat które dla nas pozowałeś. Jest to coś, o czym myślą wszyscy matematycy. Ale dla osób, które mogą nie być zbyt zaznajomione, czy możesz nam powiedzieć, jak trafiłeś na to pytanie? Jak wtedy definiowałeś dobrą matematykę?
TAO: Jasne, tak. Właściwie to była prośba. Zatem redaktor Biuletyn poprosił mnie wówczas o napisanie artykułu. Myślę, że jako student miałem bardzo naiwne pojęcie o tym, czym jest matematyka. W pewnym sensie wpadłem na pomysł, że istnieje coś w rodzaju rady siwobrodych, która rozdaje ludziom problemy do pracy. Dla mnie, jako studenta, było to swego rodzaju szokiem, gdy uświadomiłem sobie, że tak naprawdę nie ma centralnego organu, który mógłby rozdawać problemy, a ludzie sami prowadzili badania.
Ciągle chodziłem na wykłady i słuchałem, jak inni matematycy opowiadali o tym, co ich fascynuje i co ich fascynuje w matematyce, a także o tym, że każdy matematyk ma inne podejście do matematyki. Niektórzy dążyliby do zastosowań, inni do estetycznego piękna, a jeszcze inni po prostu do rozwiązywania problemów. Chcieli rozwiązać problem i skupili się na najtrudniejszych, najbardziej wymagających zadaniach. Niektórzy skupialiby się na technice; niektórzy staraliby się, aby wszystko było tak eleganckie, jak to możliwe.
Ale to, co mnie uderzyło, gdy słuchałem tak wielu różnych matematyków mówiących o tym, co uważają za wartościowe w matematyce, to fakt, że chociaż wszyscy mieliśmy różne wyobrażenia na temat tego, jak powinna wyglądać dobra matematyka, wszyscy oni w pewnym sensie mają tendencję do zbiegają się z tym samym.
Jeśli kawałek matematyki jest naprawdę dobry, ludzie poszukujący piękna w końcu na niego trafią. Ludzie, którzy gonią i cenią, no wiesz, moc techniczną lub zastosowania, w końcu na to wylądują.
Eugeniusz Wigner miał bardzo znany esej na temat nieuzasadniona skuteczność matematyki prawie sto lat temu na naukach fizycznych, gdzie właśnie zauważył, że istnieją obszary matematyki – na przykład geometria riemannowska, badanie przestrzeni zakrzywionej – które początkowo były tylko czysto teoretycznym ćwiczeniem dla matematyków, no wiesz, próbujących udowodnić postulat równoległy i tak dalej, okazując się dokładnie tym, czego potrzebowali Einstein, Poincaré i Hilbert do opisu matematyki ogólnej teorii względności. I to jest po prostu zjawisko, które ma miejsce.
Zatem nie chodzi tylko o to, że matematyka to, co matematycy uważają za interesujące intelektualnie, okazuje się ważne fizycznie. Ale nawet w matematyce przedmioty, które matematycy uważają za eleganckie, również zapewniają głęboki wgląd.
Mam wrażenie, że, wiesz, istnieje platoniczna dobra matematyka, a wszystkie nasze różne systemy wartości to po prostu różne sposoby dostępu do tych obiektywnych, dobrych rzeczy.
STROGATZ: To bardzo interesujące. Jako osoba skłonna do myślenia platonicznego, kusi mnie, aby się z tym zgodzić. Chociaż jestem trochę zaskoczony, słysząc to, co mówisz, ponieważ pomyślałbym, że początkowo wydawałoby się, że tam, dokąd zmierzasz, jest wiele różnych punktów widzenia na ten temat. Jest jednak interesującym faktem, w pewnym sensie faktem empirycznym, że rzeczywiście zgadzamy się co do tego, co jest dobre, a co złe, mimo że, jak mówisz, dochodzimy do tego na podstawie tak wielu różnych wartości.
TAO: Prawidłowy. Konwergencja może zająć trochę czasu. Wiesz, na przykład na pewno istnieją pola, w których wyglądają o wiele lepiej mierzone jedną metryką niż inne. Może i mają wiele zastosowań, ale ich prezentacja jest wyjątkowo obrzydliwa, wiesz.
(Strogatz się śmieje)
Albo rzeczy, które są bardzo eleganckie, ale nie mają jeszcze wielu dobrych zastosowań w realnym świecie. Ale czuję, że w końcu to się zrówna.
STROGATZ: Cóż, pozwól, że zapytam cię o ten punkt styku ze światem rzeczywistym. To interesujące napięcie w matematyce. I, powiedzmy, jako małe dzieci, kiedy po raz pierwszy uczymy się o geometrii, możesz pomyśleć w tym momencie, że trójkąty są prawdziwe, koła lub linie proste są prawdziwe i że mogą ci powiedzieć o prostokątnych kształtach, które widzisz w budynkach na całym świecie lub że geodeci muszą korzystać z geometrii. W końcu słowo to pochodzi od pomiaru Ziemi, prawda, „geometria”. I tak był czas, gdy geometria była empiryczna.
Ale to, o co chciałem cię zapytać, ma związek z tym komentarzem John von Neumann zrobiony. Zatem von Neumann, dla nieznajomego, sam był wielkim matematykiem. I w tym eseju poczynił następujący komentarz: „Matematyk”, o związku między matematyką a światem empirycznym, światem rzeczywistym, gdzie stwierdza z grubsza, że idee matematyczne wywodzą się z empirii, ale w pewnym momencie, gdy zdobędzie się idee matematyczne, przedmiot zaczyna żyć własnym życiem. własny. A wtedy to bardziej przypomina twórcze dzieło sztuki. Kryteria estetyczne stają się ważne. Ale twierdzi, że to stwarza zagrożenie. Mówi, że kiedy podmiot zaczyna zbytnio oddalać się od swojego empirycznego źródła, szczególnie w drugim lub trzecim pokoleniu, istnieje ryzyko, że podmiot może cierpieć z powodu zbytniego abstrakcyjnego chowu wsobnego i grozi mu degeneracja.
Jakieś przemyślenia na ten temat? To znaczy, czy matematyka musi pozostawać w kontakcie ze swoim empirycznym źródłem?
TAO: Tak, myślę, że to musi być uziemione. Kiedy mówię, że z empirycznego punktu widzenia wszystkie te różne sposoby uprawiania matematyki rzeczywiście są zbieżne, dzieje się tak tylko dlatego, że podmiot jest zdrowy. Dobra wiadomość jest taka, że zazwyczaj tak jest.
Ale na przykład matematycy cenią krótkie dowody ponad długie, przy założeniu, że wszystkie inne czynniki pozostają takie same. Można jednak sobie wyobrazić ludzi, którzy poszliby za burtę i tak jakby jedna z dziedzin matematyki miała obsesję na punkcie tworzenia jak najkrótszych dowodów i posiadania niezwykle nieprzejrzystych, dwuwierszowych dowodów głębokich twierdzeń. Robią z tego coś w rodzaju konkursu, a potem staje się to zawiłą grą, w której traci się całą intuicję. Być może tracisz głębsze zrozumienie, ponieważ masz obsesję na punkcie możliwie najkrótszego przedstawiania wszystkich dowodów. W praktyce to się nie zdarza. Ale to jest rodzaj teoretycznego przykładu i myślę, że von Neumann wypowiadał się podobnie.
W latach sześćdziesiątych i siedemdziesiątych była era matematyki, w której abstrakcja poczyniła ogromne postępy w upraszczaniu i ujednolicaniu dużej części matematyki, która wcześniej była bardzo empiryczna. Zwłaszcza w algebrze ludzie zdawali sobie sprawę, że liczby i wielomiany oraz wiele innych obiektów, które wcześniej traktowano oddzielnie, można było o nich wszyscy myśleć jako o elementach tej samej klasy algebraicznej, w tym przypadku o pierścieniu.
Duży postęp w matematyce nastąpił dzięki znalezieniu właściwej abstrakcji, wiesz, niezależnie od tego, czy była to przestrzeń topologiczna, czy przestrzeń wektorowa, i udowodnieniu twierdzeń w dużej ogólności. I to jest czasami to, co nazywamy erą Bourbaki w matematyce. I rzeczywiście oddalił się trochę za daleko od uziemienia.
Oczywiście mieliśmy w Stanach cały odcinek Nowej Matematyki, podczas którego pedagodzy próbowali to zrobić uczyć matematyki w stylu Bourbaki i w końcu zdał sobie sprawę, że to nie jest właściwa pedagogika na tym poziomie.
Ale teraz wahadło cofnęło się nieco. Mamy w pewnym sensie — przedmiot dość się rozwinął i w każdej dziedzinie matematyki, geometrii, topologii, czy czegokolwiek innego, mamy pewnego rodzaju zadowalające formalizacje i w pewnym sensie wiemy, jakie są właściwe abstrakcje. Teraz dziedzina ta ponownie koncentruje się na połączeniach wzajemnych i zastosowaniach. Teraz łączy się znacznie lepiej ze światem rzeczywistym.
Mam na myśli nie tylko fizykę, co jest tradycyjnym połączeniem, ale, no wiesz, informatykę, nauki o życiu, nauki społeczne, wiesz. Wraz z pojawieniem się dużych zbiorów danych prawie każdą dziedzinę ludzką można obecnie w pewnym stopniu ztematyzować.
STROGATZ: Bardzo interesuje mnie słowo, którego użyłeś przed chwilą na temat „wzajemnych połączeń”, ponieważ wydaje się, że jest to dla nas centralny punkt do dyskusji. W swoim eseju wspominasz o tym, że wraz z tym, co nazywasz „lokalnymi” kryteriami dotyczącymi elegancji, zastosowań w świecie rzeczywistym czy czymkolwiek innym, wspominasz o „globalnym” aspekcie dobrej matematyki: że dobra matematyka łączy się z innymi dobra matematyka.
To prawie klucz do tego, co czyni go dobrym, czyli fakt, że jest zintegrowany z innymi częściami. Ale to interesujące, ponieważ brzmi prawie jak rozumowanie okrężne: dobra matematyka to matematyka, która łączy się z inną dobrą matematyką. Ale to naprawdę wspaniały pomysł i zastanawiam się, czy mógłbyś go rozwinąć trochę bardziej.
TAO: Tak, więc mam na myśli, o co chodzi w matematyce — jedną z rzeczy, które robi matematyka, jest to, że tworzy powiązania, które są bardzo podstawowe i fundamentalne, ale nie są oczywiste, jeśli spojrzysz na to z poziomu powierzchni. Bardzo wczesnym tego przykładem jest wynalezienie przez Kartezjusza współrzędnych kartezjańskich, które stworzyło fundamentalne powiązanie między geometrią — badaniem punktów i linii oraz obiektów przestrzennych — a liczbami i algebrą.
Na przykład okrąg można traktować jako obiekt geometryczny, ale można też o nim myśleć jako o równaniu: x2 + y2 = 1 jest równaniem okręgu. Było to wówczas połączenie bardzo rewolucyjne. Jak wiadomo, starożytni Grecy postrzegali teorię liczb i geometrię jako prawie całkowicie rozłączne zagadnienia.
Ale w przypadku Kartezjusza istniało to zasadnicze powiązanie. A teraz jest to zinternalizowane; wiesz, sposób w jaki uczymy matematyki. Nie jest już zaskoczeniem, że jeśli masz problem geometryczny, atakujesz go liczbami. Lub jeśli masz problem z liczbami, możesz zaatakować go geometrią.
Dzieje się tak poniekąd dlatego, że zarówno geometria, jak i liczby są aspektami tej samej koncepcji matematycznej. Mamy całą dziedzinę zwaną geometrią algebraiczną, która nie jest ani algebrą, ani geometrią, ale jest to jednolity przedmiot badający obiekty, które można traktować jako kształty geometryczne, takie jak linie i okręgi itd., lub jako równania.
Ale tak naprawdę badamy holistyczne połączenie tych dwóch. W miarę pogłębiania się tematu zdaliśmy sobie sprawę, że jest to w pewnym sensie bardziej fundamentalne niż algebra czy geometria oddzielnie. Zatem te powiązania pomagają nam odkryć prawdziwą matematykę, która początkowo w jakiś sposób daje nam jedynie wycinek tematu.
Jest taka słynna przypowieść o słoniu, nie pamiętam gdzie, że jeśli… Jest czterech niewidomych mężczyzn i odkrywają słonia. Jeden z nich dotyka nogi słonia i myśli: „Och, to jest bardzo szorstkie. To musi być jak drzewo czy coś.
Jeden z nich dotyka trąby i dopiero dużo później zauważa, że istnieje pojedynczy obiekt-słoń, który wyjaśnia wszystkie ich oddzielne hipotezy. Tak, więc początkowo wszyscy jesteśmy ślepi, wiesz. Po prostu obserwujemy cienie w jaskini Platona i dopiero później zdajemy sobie sprawę…
STROGATZ: Wow, jesteś bardzo filozoficzny. To jest coś. Nie mogę się teraz powstrzymać: jeśli zaczniesz mówić o słoniu i niewidomych, sugeruje to, że uważasz, że matematyka istnieje – że jest czymś w rodzaju słonia i że jesteśmy ślepymi… Albo wiesz, staramy się zobaczyć coś, co istnieje niezależnie od ludzi. Czy naprawdę w to wierzysz?
TAO: Kiedy zajmujesz się dobrą matematyką, nie chodzi tylko o przesuwanie symboli. Naprawdę masz wrażenie, że istnieje jakiś rzeczywisty obiekt, który próbujesz zrozumieć, a wszystkie nasze równania, które mamy, są po prostu pewnego rodzaju przybliżeniami tego lub cieniami.
Można debatować nad filozoficznym punktem widzenia na temat tego, co właściwie jest rzeczywistością i tak dalej. To znaczy, są to rzeczy, których naprawdę można dotknąć, a im bardziej realne stają się matematyczne rzeczy, tym czasem wydają się mniej fizyczne. Jak powiedziałeś, geometria początkowo, wiesz, była bardzo namacalną rzeczą dotyczącą obiektów w przestrzeni fizycznej, którą można było – wiesz, właściwie można zbudować okrąg, kwadrat i tak dalej.
Ale we współczesnej geometrii, jak wiadomo, pracujemy w wyższych wymiarach. Możemy mówić o dyskretnych geometriach, wszelkiego rodzaju zwariowanych topologiach. I mam na myśli, że przedmiot nadal zasługuje na miano geometrii, mimo że nie mierzy się już Ziemi. Etymologia starożytnej Grecji jest bardzo przestarzała, ale tak jest, ale na pewno coś w tym jest. Czy – jak realnie chcesz to nazwać. Ale myślę, że chodzi o to, że w celu faktycznego uprawiania matematyki pomaga wiara, że jest ona prawdziwa.
STROGATZ: Tak, czy to nie interesujące? To robi. Wydaje się, że jest to coś, co sięga bardzo głęboko w historię matematyki. Uderzył mnie esej Archimedesa piszący do swojego przyjaciela, a przynajmniej kolegi, Eratostenesa.
Mówimy teraz o roku 250 p.n.e. I on zauważa, że odkrył sposób na znalezienie pola tego, co nazywamy odcinkiem paraboli. Bierze parabolę, przecina ją odcinkiem tworzącym się pod kątem do osi paraboli i oblicza jej pole. Otrzymuje bardzo piękny wynik. Ale mówi coś do Eratostenesa: „Te wyniki były przez cały czas nieodłącznie związane z liczbami”. Wiesz, oni tam są. Są tam. Po prostu czekają, aż go znajdzie.
To nie jest tak, że on je stworzył. To nie jest jak poezja. To znaczy, właściwie to interesujące, prawda? Wielu wspaniałych artystów — Michał Anioł mówił o uwolnieniu posągu z kamienia, no wiesz, tak jakby od początku tam był. I wygląda na to, że ty i wielu innych wielkich matematyków tak robicie – jak mówisz, bardzo warto wierzyć w tę ideę, że ona tam na nas czeka, czeka, aż właściwe umysły ją odkryją.
TAO: Prawidłowy. Cóż, myślę, że jednym z przejawów tego jest to, że pomysły, które często są bardzo skomplikowane do wyjaśnienia, kiedy są odkrywane po raz pierwszy, zostają uproszczone. To znaczy, wiesz, często powodem, dla którego coś na początku wygląda na bardzo głębokie lub trudne, jest brak właściwej notacji.
Na przykład mamy teraz zapis dziesiętny do manipulowania liczbami i jest to bardzo wygodne. Ale w przeszłości mieliśmy, no wiesz, cyfry rzymskie, a potem istniały jeszcze bardziej prymitywne systemy liczbowe, z którymi naprawdę, naprawdę trudno było pracować, jeśli ktoś chciał zajmować się matematyką.
Euklidesa Elementyno wiesz – niektóre argumenty zawarte w tych starożytnych tekstach. Na przykład jest jedno twierdzenie Euklidesa Elementy Chyba nazywa się Most Głupców czy jakoś tak. To tak, jak stwierdzenie, które moim zdaniem jest podobne do trójkąta równoramiennego, w którym dwa kąty przy podstawie są równe. To jest jak dwuwierszowy dowód we współczesnych tekstach geometrycznych, wiesz, z właściwymi aksjomatami. Ale Euklides robił to w ten okropny sposób. I to właśnie tam wielu studentów geometrii w epoce klasycznej po prostu całkowicie zrezygnowało z matematyki.
STROGATZ: PRAWDA. (śmieje się)
TAO: Ale wiesz, teraz mamy na to znacznie lepszy sposób. Często komplikacje, które widzimy w matematyce, są artefaktami naszych własnych ograniczeń. I tak, kiedy dorastamy, wszystko staje się prostsze. I dzięki temu wydaje się bardziej realny. Nie widzimy artefaktów. Widzimy istotę.
STROGATZ: Cóż, wracając do Twojego eseju: kiedy go pisałeś, to znaczy, było to dość wcześnie w Twojej karierze, nie na samym początku, ale jednak. Dlaczego wtedy uważałeś, że ważne jest, aby spróbować zdefiniować, czym jest dobra matematyka?
TAO: Myślę… W tym momencie zacząłem już doradzać doktorantom i zauważyłem, że, wiesz, istniały pewne błędne przekonania na temat tego, co jest dobre, a co nie. Rozmawiałem też z matematykami z różnych dziedzin i to, co ceniona jest w matematyce w danej dziedzinie, wydawało się inne niż w innych. A jednak jakimś cudem wszyscy studiowaliśmy ten sam przedmiot.
Czasem ktoś powiedział coś, co mnie zmyliło, no wiesz, na przykład: „Ta matematyka nie ma zastosowania, dlatego nie ma wartości”. Lub „Ten dowód jest po prostu zbyt skomplikowany; dlatego nie ma żadnej wartości” czy coś. Albo odwrotnie, wiecie: „Ten dowód jest zbyt prosty; dlatego nie warto…” Wiesz. Czasami spotykałem się z pewnym rodzajem snobizmu i tak dalej.
Z mojego doświadczenia wynika, że najlepsza matematyka pojawiła się, gdy zrozumiałam inny punkt widzenia, inny sposób myślenia o matematyce od osoby z innej dziedziny i zastosowałam ją do problemu, na którym mi zależało. Dlatego moje doświadczenia dotyczące prawidłowego używania matematyki, jak się nią posługiwać, bardzo różniły się od tych – stanowiły „jedyny prawdziwy sposób uprawiania matematyki”.
Poczułem, że trzeba w jakiś sposób poruszyć tę kwestię. Że naprawdę istnieje wiele sposobów uprawiania matematyki, podczas gdy matematyka jest wciąż zjednoczona.
STROGATZ: To bardzo odkrywcze, ponieważ zastanawiałem się, no wiesz, we wstępie wspomniałem o wielu różnych gałęziach matematyki, z którymi się zapoznałeś, a niektórych nawet nie uwzględniłem. Na przykład, pamiętam zaledwie kilka lat temu twoją pracę dotyczącą tej tajemnicy dynamiki płynów i tego, czy pewne równania, które naszym zdaniem dobrze radzą sobie z przybliżaniem ruchów wody i powietrza. Nie chcę wdawać się zbytnio w szczegóły, ale chcę tylko powiedzieć, że oto jesteś, ludzie myślą o tym, jak zajmujesz się teorią liczb lub analizą harmoniczną, a nagle pracujesz nad zagadnieniami z zakresu dynamiki płynów. To znaczy, zdaję sobie sprawę, że to cząstkowe równania różniczkowe. Mimo to zakres Twoich zainteresowań wydaje się być powiązany z zakresem akceptacji różnych spostrzeżeń, różnych cennych pomysłów wynikających ze wszystkich różnych sposobów wykonywania dobrej matematyki.
TAO: Nie pamiętam, kto to powiedział, ale są dwa typy matematyków. Są jeże i lisy. Lis to ktoś, kto wie wszystko po trochu. Jeż to stworzenie, które wie jedno bardzo, bardzo dobrze. I żaden nie jest lepszy od drugiego. Uzupełniają się nawzajem. To znaczy, w matematyce potrzeba ludzi, którzy są naprawdę głębokimi ekspertami w jednej dziedzinie i znają dany temat od podszewki. Potrzebujesz też ludzi, którzy potrafią dostrzec powiązania pomiędzy jedną dziedziną a drugą. Zdecydowanie identyfikuję się z lisem, ale pracuję z wieloma jeżami. Praca, z której jestem najbardziej dumny, to często taka współpraca.
STROGATZ: O tak. Czy zdają sobie sprawę, że są jeżami?
TAO: No cóż, role zmieniają się z czasem. Na przykład są inne kolaboracje, w których ja jestem jeżem, a ktoś inny jest lisem. Nie są one trwałe – wiesz, nie ma ich w twoim DNA.
STROGATZ: Ach, słuszna uwaga. Możemy adoptować – możemy nosić oba płaszcze.
A co z tym, czy była wówczas odpowiedź na esej? Czy ludzie coś ci odpowiedzieli?
TAO: Ogólnie spotkałem się z dość pozytywną reakcją. Mam na myśli, Biuletyn AMS nie jest publikacją masowo i szeroko rozpowszechnianą, jak sądzę. Poza tym nie powiedziałem nic zbyt kontrowersyjnego. Poza tym tego rodzaju media społecznościowe były starsze, więc myślę, że może było kilka blogów matematycznych, które to podchwyciły, ale nie było Twittera. Nie było nic, co spowodowałoby, że stało się to wirusowe.
Tak, też uważam, że ogólnie matematycy nie poświęcają dużo czasu i kapitału intelektualnego na spekulacje. Mam na myśli, że dzwoni inny matematyk Minhyong Kim który miał tę bardzo ładną metaforę, że dla matematyków wiarygodność jest jak waluta i pieniądze. Jeżeli udowodnisz twierdzenia i wykażesz, że znasz się na temacie, to w jakiś sposób gromadzisz w banku tę walutę wiarygodności. A kiedy już będziesz mieć wystarczającą ilość waluty, możesz sobie pozwolić na odrobinę spekulacji, kierując się filozofią i mówiąc to, co może być prawdą, a nie to, co możesz faktycznie udowodnić.
Ale jesteśmy konserwatywni i nie chcemy debetu na naszym koncie bankowym. Wiesz, nie chcesz, żeby większość twoich tekstów miała charakter spekulacyjny i żeby tylko jeden procent faktycznie coś udowodnił.
STROGATZ: Słusznie. Więc dobrze. Od tego czasu minęło więc wiele lat. O czym gadamy? To ponad 15 lat.
TAO: O tak, czas leci.
STROGATZ: Czy Twoja opinia uległa zmianie? Czy jest coś, co musimy zweryfikować?
TAO: Cóż, kultura matematyki dość się zmienia. Miałem już szerokie spojrzenie na matematykę, a teraz mam jeszcze szersze.
Oto jeden bardzo konkretny przykład: Dowody wspomagane komputerowo były w dalszym ciągu kontrowersyjne w 2007 roku. Istniało słynne przypuszczenie zwane hipotezą Keplera, które dotyczyło najskuteczniejszego sposobu upakowania kul jednostkowych w przestrzeni trójwymiarowej. Istnieje też standardowe uszczelnienie, myślę, że nazywa się je sześciennym uszczelnieniem centralnym czy jakoś tak, które według Keplera jest najlepsze z możliwych.
Ostatecznie udało się to rozwiązać, ale dowód był bardzo wspomagany komputerowo. To było dość skomplikowane i [Thomas] Halesaostatecznie faktycznie stworzono cały język komputerowy, aby formalnie zweryfikować ten konkretny dowód, ale przez wiele lat nie został on zaakceptowany jako prawdziwy dowód. Ale to pokazało, jak kontrowersyjna była koncepcja dowodu, którego weryfikacja wymagała pomocy komputera.
Od tamtej pory pojawiło się wiele, wiele innych przykładów dowodów, które pozwalają człowiekowi zredukować skomplikowany problem do czegoś, czego weryfikacja wymaga jeszcze komputera. A potem komputer idzie dalej i to sprawdza. W pewnym sensie opracowaliśmy praktyki dotyczące tego, jak robić to w sposób odpowiedzialny. Wiesz, jak publikować kod i dane, jak sprawdzać, nowe rzeczy związane z oprogramowaniem open source i tak dalej. Obecnie panuje powszechna akceptacja dowodów wspomaganych komputerowo.
Myślę, że teraz nastąpi kolejna zmiana kulturowa czy dowody wygenerowane przez sztuczną inteligencję będą akceptowane. W tej chwili narzędzia AI nie są na takim poziomie, na którym mogłyby generować dowody, które naprawdę pomogłyby w rozwiązaniu problemów matematycznych. Może z zadaniami domowymi na poziomie licencjackim sobie poradzą, ale badania matematyczne to jeszcze nie ten poziom. Jednak w pewnym momencie zaczniemy ukazywać się artykuły wspomagane sztuczną inteligencją i odbędzie się debata.
W pewnym sensie zmieniła się nasza kultura… W 2007 roku tylko niewielka część matematyków udostępniła swoje przedruki przed publikacją. Autorzy zazdrośnie strzegli swoich przeddruków do czasu otrzymania powiadomienia z czasopisma o ich przyjęciu. A potem mogliby się podzielić.
Ale teraz wszyscy odkładają swoje papiery serwery publiczne, takie jak arXiv. Istnieje znacznie większa otwartość na umieszczanie filmów i wpisów na blogu, mówiących o tym, skąd biorą się pomysły na artykuł. Ponieważ ludzie zdają sobie sprawę, że to właśnie sprawia, że praca ma większy wpływ i wpływ. Jeśli starasz się nie publikować swojej pracy i zachować ją w tajemnicy, nie robi to wrażenia.
Matematyka stała się o wiele bardziej współpracujący. Wiesz, 50 lat temu powiedziałbym, że większość prac z matematyki była autorstwa jednego autora. Zdecydowanie większość to dwóch, trzech lub czterech autorów. I dopiero zaczynamy widzieć naprawdę duże projekty, takie jak w nauce, wiesz, współpracuje ze sobą dziesiątki, setki osób. Matematycy nadal mają z tym trudności, ale myślę, że nam się to uda.
Jednocześnie stajemy się coraz bardziej interdyscyplinarni. Dużo częściej współpracujemy z innymi naukami. Pracujemy pomiędzy dziedzinami matematyki. A dzięki internetowi możemy współpracować z ludźmi na całym świecie. Zatem sposób, w jaki zajmujemy się matematyką, zdecydowanie się zmienia.
Mam nadzieję, że w przyszłości będziemy mogli w większym stopniu korzystać ze społeczności amatorów matematyki. Istnieją inne dziedziny, takie jak astronomia, w których astronomowie świetnie korzystają ze społeczności amatorskiej astronomii, na przykład wiele komet znajduje amatorów.
Ale matematycy… Jest kilka izolowanych obszarów matematyki, takich jak kafelkowanie, kafelkowanie dwuwymiarowe i być może znajdowanie rekordów w liczbach pierwszych. Istnieje kilka bardzo wybranych dziedzin matematyki, w których amatorzy wnoszą swój wkład i są mile widziani. Ale jest wiele barier. W większości dziedzin matematyki potrzeba tak dużo szkolenia i zinternalizowanej lub konwencjonalnej wiedzy, że nie możemy pozyskiwać informacji z tłumu. Ale to może się zmienić w przyszłości. Być może jednym z efektów sztucznej inteligencji byłoby umożliwienie matematykom-amatorom wniesienia znaczącego wkładu w matematykę.
STROGATZ: To bardzo interesujące.
[Przerwa na wstawienie reklamy]
STROGATZ: Zatem amatorzy mogliby, przy pomocy sztucznej inteligencji, albo zadawać nowe, dobre pytania, albo pomagać w dobrym badaniu istniejących pytań, tego typu rzeczy?
TAO: Istnieje wiele różnych sposobów — tak. Na przykład istnieją obecnie projekty mające na celu sformalizowanie dowodów dużych twierdzeń w zakresie tzw formalni asystenci ds. dowodów, które są jak języki komputerowe, które mogą w 100% zweryfikować, czy twierdzenie jest prawdziwe, czy nie oraz – czy zostało udowodnione, czy nie. To faktycznie umożliwia współpracę na dużą skalę w matematyce.
Tak więc w przeszłości, jeśli współpracowałeś z 10 innymi osobami, aby udowodnić twierdzenie, a każda z nich wniosła swój wkład, każdy musiał zweryfikować obliczenia pozostałych osób. Bo w matematyce jest tak, że jeśli w jednym kroku pojawi się błąd, cała rzecz może się rozpaść.
Potrzebujesz więc zaufania i dlatego to uniemożliwia, to naprawdę utrudnia współpracę w matematyce na naprawdę dużą skalę. Ale teraz są, były udane przykłady sformalizowania naprawdę dużych twierdzeń tam, gdzie istnieje ogromna społeczność, nie wszyscy się znają, nie wszyscy sobie ufają, ale komunikują się poprzez przesłanie do jakiegoś repozytorium Github lub coś w rodzaju indywidualnych dowodów poszczególnych kroków argumentacji. Oprogramowanie do sprawdzania formalnego weryfikuje wszystko, więc nie musisz się martwić o zaufanie. Umożliwiamy zatem nowe sposoby współpracy, których tak naprawdę nie widzieliśmy w przeszłości.
STROGATZ: Naprawdę ciekawie jest usłyszeć twoją wizję, Terry. To fascynująca myśl. Nie słyszysz wyrażenia „matematyk obywatel”. Słyszeliście o nauce obywatelskiej, ale dlaczego nie o matematyce obywatelskiej?
Zastanawiam się jednak, czy są jakieś trendy, które Cię niepokoją, na przykład w przypadku dowodów wspomaganych komputerowo lub dowodów generowanych przez sztuczną inteligencję? Czy będziemy wiedzieć, że pewne wyniki są prawdziwe, ale nie zrozumiemy dlaczego?
TAO: Więc to jest problem. To znaczy, że był to problem już przed pojawieniem się sztucznej inteligencji. Istnieje zatem wiele dziedzin, w których artykuły na dany temat są coraz dłuższe i liczą setki stron. Mam też nadzieję, że sztuczna inteligencja może w rzeczywistości pomóc w uproszczeniu i wyjaśnić, a także udowodnić.
Istnieje już oprogramowanie eksperymentalne, w którym, na przykład, jeśli weźmiesz sformalizowany dowód, możesz go faktycznie przekonwertować na interaktywny dokument czytelny dla człowieka, gdzie masz dowód i widzisz kroki wysokiego poziomu i jeśli jest tam zdanie nie rozumiesz, możesz kliknąć dwukrotnie, a rozwinie się on w mniejszych krokach. Myślę, że wkrótce chatbot AI będzie mógł siedzieć obok ciebie podczas sprawdzania, a on będzie mógł zadawać pytania i wyjaśniać każdy krok tak, jakby był autorem. Myślę, że jesteśmy już bardzo blisko tego.
Istnieją obawy. Musimy zmienić sposób, w jaki kształcimy naszych uczniów, zwłaszcza teraz, gdy wiele naszych tradycyjnych sposobów zadawania zadań domowych itd. znajduje się prawie w punkcie, w którym te narzędzia sztucznej inteligencji mogą po prostu natychmiast odpowiedzieć na wiele naszych standardowych pytań egzaminacyjnych. Dlatego musimy nauczyć naszych uczniów nowych umiejętności, na przykład sprawdzania, czy dane wyjściowe wygenerowane przez sztuczną inteligencję są prawidłowe, czy nie oraz jak uzyskać drugą opinię.
I możemy być świadkami pojawienia się bardziej eksperymentalnej strony matematyki, wiesz. Zatem matematyka jest prawie całkowicie teoretyczna, podczas gdy większość nauk ma zarówno element teoretyczny, jak i eksperymentalny. Być może w końcu otrzymamy wyniki, które najpierw zostaną sprawdzone jedynie przez komputery, ale, jak mówisz, nie rozumiemy. Ale kiedy będziemy już dysponować danymi dostarczonymi przez sztuczną inteligencję i wygenerowanymi komputerowo dowodami, być może będziemy mogli przeprowadzić eksperymenty.
Teraz mamy trochę matematyki eksperymentalnej. Ludzie rzeczywiście badają duże zbiory danych różnych rzeczy, powiedzmy, krzywe eliptyczne. Ale w przyszłości może stać się znacznie większy.
STROGATZ: Ojej, masz bardzo optymistyczne podejście, tak mi się wydaje. To nie tak, że Złoty Wiek należy już do przeszłości. Jeśli dobrze cię słyszę, myślisz, że przed tobą wiele ekscytujących rzeczy.
TAO: Tak, wiele nowych narzędzi technologicznych daje ogromne możliwości. Mam na myśli, że sztuczna inteligencja ma ogólnie wiele złożonych zalet i wad. Poza nauką istnieje wiele możliwych zakłóceń w gospodarce, prawach własności intelektualnej i tak dalej. Uważam jednak, że w matematyce stosunek dobra do zła jest lepszy niż w wielu innych dziedzinach.
I jak wiecie, Internet naprawdę zmienił sposób, w jaki zajmujemy się matematyką. Współpracuję z wieloma osobami z różnych dziedzin. Bez internetu nie mógłbym tego zrobić. Fakt, że mogę wejść na Wikipedię lub cokolwiek innego i zacząć uczyć się jakiegoś przedmiotu, mogę wysłać do kogoś e-mail i możemy współpracować online. Gdybym musiał robić wszystko w starym stylu, w którym mógłbym rozmawiać tylko z ludźmi w moim dziale i używać poczty fizycznej do wszystkiego innego, nie byłbym w stanie wykonywać obliczeń matematycznych, które robię teraz.
STROGATZ: Wow, w porządku. Muszę tylko podkreślić to, co właśnie powiedziałeś, bo nigdy nie myślałem, że za milion lat usłyszę coś takiego: Terry Tao czyta Wikipedię, żeby uczyć się matematyki?
TAO: Jako punkt wyjścia. To znaczy, nie zawsze jest to Wikipedia, ale tylko po to, żeby znaleźć słowa kluczowe, a potem przeprowadzę bardziej specjalistyczne wyszukiwanie, powiedzmy, MathSciNet lub inna baza danych. Ale tak.
STROGATZ: To nie jest krytyka. To znaczy, robię to samo. Wikipedia tak naprawdę, jeśli jest jakakolwiek krytyka matematyki w Wikipedii, może wynikać z tego, że czasami jest ona trochę zbyt zaawansowana dla czytelników, dla których jest przeznaczona, tak myślę. Nie zawsze. To zależy. Różni się znacznie w zależności od artykułu. Ale to jest po prostu śmieszne. Uwielbiam to słyszeć.
TAO: Mam na myśli, że te narzędzia wymagają sprawdzenia wyników. Wiesz, mam na myśli, że powodem, dla którego mogę używać Wikipedii do uprawiania matematyki, jest to, że znam już wystarczająco dużo matematyki, aby wyczuć, czy fragment Wikipedii na temat matematyki jest podejrzany, czy nie. Wiesz, może uzyskać pewne źródła i jedno z nich będzie lepszym źródłem niż drugie. Znam autorów i wiem, które odniesienie będzie dla mnie lepsze. Gdybym korzystał z Wikipedii, aby dowiedzieć się o temacie, w którym nie mam doświadczenia, to myślę, że byłaby to raczej zmienna losowa.
STROGATZ: Cóż, rozmawialiśmy już sporo o tym, co składa się na dobrą matematykę i o możliwej przyszłości nowych rodzajów dobrej matematyki. Ale może powinniśmy odpowiedzieć sobie na pytanie: dlaczego to w ogóle ma znaczenie? Dlaczego matematyka jest ważna?
TAO: No cóż, przede wszystkim mam na myśli, po co w ogóle mamy matematyków? Dlaczego społeczeństwo ceni matematyków i zapewnia nam zasoby, abyśmy mogli robić to, co robimy? Wiesz, to dlatego, że zapewniamy jakąś wartość. Możemy mieć zastosowania w realnym świecie. Istnieje zainteresowanie intelektualne, a niektóre z teorii, które opracowujemy, ostatecznie dostarczają wglądu w inne zjawiska.
I nie każda matematyka ma taką samą wartość. To znaczy, możesz obliczać coraz więcej cyfr pi, ale w pewnym momencie niczego się nie nauczysz. Każdy temat wymaga pewnego rodzaju oceny wartościującej, ponieważ trzeba przydzielić zasoby. Jest mnóstwo matematyki. Jakie postępy chcesz podkreślić, nagłośnić i poinformować o tym innych ludzi, a które być może powinny po prostu posiedzieć gdzieś cicho w dzienniku?
Nawet jeśli myślisz o temacie jako o całkowicie obiektywnym i wiesz, jest tylko prawda lub fałsz, wciąż musimy dokonywać wyborów. Wiesz, tylko dlatego, że czas jest ograniczonym zasobem. Uwaga jest ograniczonym zasobem. Pieniądze są zasobem ograniczonym. Są to więc zawsze ważne pytania.
STROGATZ: Cóż, ciekawe, że wspominasz o publikowaniu, ponieważ jest to coś, co moim zdaniem jest charakterystyczną cechą Twojej pracy, że włożyłeś także wiele wysiłku w to, aby matematyka była publicznie dostępna za pośrednictwem Twojego bloga, różnych artykułów, które zamieszczasz napisałem. Pamiętam dyskusję o jednym, o którym napisałeś Amerykański naukowiec o uniwersalności i tej idei. Dlaczego ważne jest, aby matematyka była publicznie dostępna i zrozumiała? To znaczy, co próbujesz zrobić?
TAO: To stało się jakoś organicznie. Na początku mojej kariery sieć WWW była wciąż bardzo nowa i matematycy zaczęli tworzyć strony internetowe z różną zawartością, ale nie było zbyt wielu centralnych katalogów. Przed pojawieniem się Google i tak dalej, znalezienie poszczególnych zasobów było naprawdę trudne.
Zacząłem więc coś w rodzaju tworzenia małe katalogi na mojej stronie internetowej. Tworzyłem także strony internetowe dla moich własnych artykułów i zamieszczałem tam pewne komentarze. Początkowo było to raczej dla mnie, jako narzędzie organizacyjne, które miało mi pomóc w znalezieniu rzeczy. Jako produkt uboczny był on dostępny publicznie, ale ja byłem głównym konsumentem, a przynajmniej tak myślałem, moich własnych stron internetowych.
Ale pamiętam bardzo wyraźnie, kiedyś napisałem pracę i umieściłem ją na swojej stronie internetowej i miałem małą podstronę o nazwie „Co nowego?” A ja po prostu powiedziałem: „Oto gazeta. Jest w tym pytanie, na które wciąż nie potrafię odpowiedzieć i nie wiem, jak je rozwiązać. I właśnie napisałam taki komentarz. A jakieś dwa dni później dostałem e-mail o treści: „Och, właśnie sprawdzałem twoją stronę główną. Znam odpowiedź na to pytanie. Jest artykuł, który rozwiąże twój problem.
I przede wszystkim uświadomiło mi to, że ludzie faktycznie odwiedzają moją stronę, o czym tak naprawdę nie miałem pojęcia. Ale ta interakcja ze społecznością naprawdę mogłaby… cóż, mogłaby mi pomóc bezpośrednio rozwiązać moje pytania.
Jest takie prawo, które się nazywa Prawo Metcalfe’a w sieciach to, wiesz, jeśli tak n ludzie i wszyscy ze sobą rozmawiają, jest tego około n2 powiązania między nimi. Zatem im większa publiczność i im większe forum, na którym każdy może ze sobą porozmawiać, tym więcej potencjalnych kontaktów możesz nawiązać i tym więcej dobrych rzeczy może się wydarzyć.
Mam na myśli, że w mojej karierze wiele odkryć, których dokonałem, lub kontaktów, które nawiązałem, wynika z nieoczekiwanego połączenia. Całe moje doświadczenie zawodowe było takie, że im więcej kontaktów, tym po prostu dzieją się lepsze rzeczy.
STROGATZ: Myślę, że pięknym przykładem tego, o czym właśnie mówisz, ale chciałbym usłyszeć, jak o tym mówisz, są kontakty, które nawiązałeś z osobami zajmującymi się analizą danych, które są zainteresowane pytaniami związanymi z obrazowaniem rezonansu medycznego , MRI. Czy mógłbyś opowiedzieć nam trochę o tej historii?
TAO: Więc to było około 2006, 2005, tak myślę. Tak więc na kampusie UCLA prowadzono interdyscyplinarny program dotyczący, jak sądzę, wieloskalowej analizy geometrycznej lub czegoś w tym rodzaju, podczas którego skupiali matematyków zainteresowanych rodzajem geometrii wieloskalowej jako takiej, a następnie: wiesz, ludzie, którzy mieli bardzo konkretne problemy z typem danych.
Właśnie zacząłem pracować nad pewnymi problemami z teorii macierzy losowych, więc byłem znany jako ktoś, kto potrafi manipulować macierzami. I spotkałem kogoś, kogo już znałem, Emmanuel Candes, bo wtedy pracował tuż obok w Caltech. On i inny współpracownik, Justina Rombergaodkryli to niezwykłe zjawisko.
Patrzyli więc na obrazy MRI, ale są bardzo powolne. Zebranie wystarczająco wysokiej rozdzielczości obrazu ludzkiego ciała lub wystarczającego, aby być może wykryć guza lub jakąkolwiek inną istotną z medycznego punktu widzenia cechę, którą chcesz znaleźć, często zajmuje kilka minut, ponieważ muszą zeskanować wszystkie te różne kąty, a następnie zsyntetyzować dane . I to był właściwie problem, ponieważ na przykład dla małych dzieci samo siedzenie nieruchomo przez trzy minuty w aparacie MRI było dość problematyczne.
Eksperymentowali więc w inny sposób, używając algebry liniowej. Mieli nadzieję uzyskać 10%, 20% lepszą poprawę wydajności. Wiesz, nieco ostrzejszy obraz, poprawiając trochę standardowy algorytm.
Zatem standardowy algorytm nazwano przybliżeniem najmniejszych kwadratów, a zajmowali się czymś innym, zwanym minimalizacją całkowitej zmienności. Ale kiedy uruchomili oprogramowanie komputerowe, uzyskali niemal idealną rekonstrukcję obrazu testowego. Ogromna, ogromna poprawa. I nie potrafili tego wyjaśnić.
Ale Emmanuel był na tym programie i rozmawialiśmy przy herbacie czy coś. Właśnie o tym wspomniał i właściwie w pierwszej chwili pomyślałem, że musiałeś popełnić błąd w swoich obliczeniach, że to, co mówisz, nie jest w rzeczywistości możliwe. Pamiętam, jak tamtego wieczoru wróciłem do domu i próbowałem spisać prawdziwy dowód na to, że to, co widzieli, nie mogło wydarzyć się naprawdę. A potem, w połowie, zdałem sobie sprawę, że przyjąłem założenie, które nie było prawdą. I wtedy zdałem sobie sprawę, że to naprawdę może zadziałać. I wtedy wpadłem na pomysł, jakie może być wyjaśnienie. A potem pracowaliśmy razem i znaleźliśmy dobre wyjaśnienie i je opublikowaliśmy.
Kiedy to zrobiliśmy, ludzie zdali sobie sprawę, że było wiele innych sytuacji, w których trzeba było dokonać pomiaru, który zwykle wymagał dużej ilości danych, a w niektórych przypadkach można wziąć znacznie mniejszą ilość danych i mimo to uzyskać naprawdę wysoką- pomiar rozdzielczości.
Na przykład w nowoczesnych maszynach do rezonansu magnetycznego — skanowanie, które kiedyś zajmowało trzy minuty, teraz może zająć 30 sekund, ponieważ to oprogramowanie i ten algorytm są teraz na stałe zakodowane w maszynach.
STROGATZ: To piękna historia, to wspaniała historia. Mam na myśli ważną matematykę, która dosłownie zmienia życie w kontekście obrazowania medycznego. Podoba mi się ten niecodzienny przypadek i twoja otwartość umysłu, kiedy słyszysz ten pomysł, a potem myślisz: „to niemożliwe, mogę to udowodnić”. A potem zdałem sobie sprawę, że właściwie nie. Wspaniale jest widzieć, jak matematyka wywiera taki wpływ.
No cóż, myślę, że lepiej będzie, jeśli pozwolę ci odejść, Terry. Dyskusja z Tobą o istocie dobrej matematyki była prawdziwą przyjemnością. Dziękuję bardzo, że do nas dzisiaj dołączyłeś.
TAO: Tak, nie, to była przyjemność.
[Przerwa na wstawienie reklamy]
STROGATZ: „The Joy of Why” to podcast z Magazyn Quanta, niezależną redakcyjnie publikację wspieraną przez Fundację Simonsa. Decyzje o finansowaniu Fundacji Simonsa nie mają wpływu na dobór tematów, gości ani inne decyzje redakcyjne w tym podcaście ani w Magazyn Quanta.
Producentem „The Joy of Why” jest: Produkcja PRX. Zespół produkcyjny to Caitlin Faulds, Livia Brock, Genevieve Sponsler i Merritt Jacob. Producentem wykonawczym PRX Productions jest Jocelyn Gonzales. Dodatkową pomoc zapewnili Morgan Church i Edwin Ochoa. Z Magazyn Quanta, John Rennie i Thomas Lin zapewnili wskazówki redakcyjne przy wsparciu Matta Carlstroma, Samuela Velasco, Nony Griffin, Arleen Santany i Madison Goldberg.
Nasza muzyka przewodnia pochodzi z APM Music. Nazwę podcastu wymyślił Julian Lin. Autorem grafiki odcinka jest Peter Greenwood, a logo autorstwa Jaki King i Kristina Armitage. Specjalne podziękowania należą się Columbia Journalism School i Burtowi Odom-Reedowi z Cornell Broadcast Studios.
Jestem twoim gospodarzem, Steve Strogatz. Jeśli masz do nas jakieś pytania lub uwagi, napisz do nas na adres . Dziękuję za słuchanie.
- Dystrybucja treści i PR oparta na SEO. Uzyskaj wzmocnienie już dziś.
- PlatoData.Network Pionowe generatywne AI. Wzmocnij się. Dostęp tutaj.
- PlatoAiStream. Inteligencja Web3. Wiedza wzmocniona. Dostęp tutaj.
- PlatonESG. Węgiel Czysta technologia, Energia, Środowisko, Słoneczny, Gospodarowanie odpadami. Dostęp tutaj.
- Platon Zdrowie. Inteligencja w zakresie biotechnologii i badań klinicznych. Dostęp tutaj.
- Źródło: https://www.quantamagazine.org/what-makes-for-good-mathematics-20240201/
- :ma
- :Jest
- :nie
- :Gdzie
- ][P
- $W GÓRĘ
- 1
- 10
- 15 roku
- 15%
- 2005
- 2006
- 250
- 30
- 300
- 50
- 50 Lata
- a
- Zdolny
- O nas
- o tym
- ABSTRACT
- abstrakcja
- AC
- akceptacja
- zaakceptowany
- akceptując
- dostępny
- Dostęp
- Konto
- w poprzek
- rzeczywisty
- faktycznie
- Ad
- Dodatkowy
- adres
- przyjąć
- awansować
- zaawansowany
- zaliczki
- nadejście
- doradzać
- Po
- ponownie
- wiek
- temu
- zgodzić się
- przed
- AI
- Chatbot AI
- AIR
- AIS
- algorytm
- żywy
- Wszystkie kategorie
- przeznaczyć
- dopuszczać
- prawie
- wzdłuż
- już
- również
- Chociaż
- zawsze
- amator
- amerykański
- wśród
- ilość
- an
- analiza
- Starożytny
- i
- Inne
- odpowiedź
- każdy
- więcej
- ktoś
- wszystko
- osobno
- Aplikacja
- Apple
- aplikacje
- Stosowanie
- zbliżający się
- właściwy
- SĄ
- POWIERZCHNIA
- obszary
- argument
- argumenty
- na około
- Sztuka
- artykuł
- towary
- Artyści
- AS
- zapytać
- aspekt
- aspekty
- Wsparcie
- założenie
- astronomia
- At
- atakować
- Uwaga
- publiczność
- autor
- autor
- władza
- Autorzy
- dostępny
- nagrody
- Oś
- b
- z powrotem
- Łazienka
- Bank
- konto bankowe
- bariery
- baza
- podstawowy
- BE
- piękny
- Uroda
- bo
- stają się
- staje się
- staje
- być
- zanim
- rozpocząć
- Początek
- jest
- istoty
- uwierzyć
- korzyści
- BEST
- Ulepsz Swój
- pomiędzy
- Duży
- Big Data
- większe
- Najwyższa
- Bit
- ślepy
- Blog
- Najnowsze wpisy
- blogi
- ciało
- obie
- gałęzie
- szerokość
- przerwa
- przełom
- BRIDGE
- Bringing
- szeroki
- nadawanie
- szerszy
- borsuk
- budować
- ale
- by
- obliczenie
- wezwanie
- nazywa
- oprawa ołowiana witrażu
- Kampus
- CAN
- kapitał
- Kariera
- walizka
- Etui
- zapasy
- Przyczyny
- jaskinia
- centralny
- Główny autorytet
- Wiek
- pewien
- na pewno
- wyzwanie
- szansa
- zmiana
- zmieniony
- wymiana pieniędzy
- chatbot
- na czacie
- ZOBACZ
- kontrola
- wybory
- kościół
- Okrągłe
- koła
- okrągły
- obywatel
- klasa
- Zamknij
- Współprowadzący
- kod
- współpracować
- współpraca
- współpraca
- kolega
- zbierać
- Columbia
- jak
- byliśmy spójni, od początku
- Komety
- przyjście
- komentarz
- Komentarz
- komentarze
- towar
- komunikować
- społeczność
- Komplement
- całkowicie
- kompleks
- skomplikowane
- powikłania
- składnik
- obliczać
- komputer
- Computer Science
- Oprogramowanie komputerowe
- wygenerowane komputerowo
- komputery
- pojęcie
- Obawy
- beton
- przypuszczenie
- Podłączanie
- połączenie
- połączenia
- łączy
- konserwatywny
- konsument
- skontaktuj się
- zawartość
- konkurs
- kontekst
- przyczynić się
- przyczynia się
- kontrowersyjny
- Wygodny
- Konwencjonalny
- zbieżny
- Konwergencja
- odwrotnie
- konwertować
- Cornell
- Corner
- skorygowania
- mógłby
- Rada
- kurs
- stworzony
- Twórczy
- stworzenie
- Wiarygodność
- Kryteria
- krytyka
- tłum
- kulturalny
- kultura
- Waluta
- obniżki
- ZAGROŻENIE
- dane
- nauka danych
- zestawy danych
- Baza danych
- Dni
- debata
- Decyzje
- głęboko
- głębiej
- określić
- Zdecydowanie
- wykazać
- Departament
- zależy
- opisać
- zasługuje
- detale
- ustalona
- rozwijać
- rozwinięty
- ZROBIŁ
- różne
- trudny
- cyfry
- Wymiary
- bezpośrednio
- katalogi
- dyscyplina
- odkryj
- odkryty
- dyskutować
- Omawiając
- Zakłócenie
- charakterystyczny
- wyraźnie
- DNA
- do
- dokument
- robi
- Nie
- robi
- domena
- nie
- Drzwi
- na dół
- wady
- dynamika
- każdy
- Wcześnie
- Ziemia
- gospodarka
- redaktor
- Zespół redakcyjny
- kształcić
- wychowawcy
- Edwin
- skuteczność
- wydajny
- wysiłek
- Einstein
- bądź
- słoń
- Eliptyczny
- więcej
- Inaczej
- uprawniającej
- Umożliwia
- umożliwiając
- spotkanie
- zakończenia
- dość
- Cały
- całkowicie
- epizod
- równy
- Równa się
- równania
- Era
- błąd
- szczególnie
- PRACA PISEMNA
- istota
- Parzyste
- ostatecznie
- Każdy
- wszyscy
- wszyscy
- wszystko
- dokładnie
- egzamin
- przykład
- przykłady
- podniecony
- ekscytujący
- wykonawczy
- producent wykonawczy
- Ćwiczenie
- Przede wszystkim system został opracowany
- istnieje
- Rozszerzać
- doświadczenie
- eksperymentalny
- eksperymentować
- eksperymenty
- eksperci
- Wyjaśniać
- wyjaśniając
- wyjaśnienie
- zbadane
- Exploring
- stopień
- niezwykle
- fakt
- sprawiedliwy
- dość
- Spadać
- fałszywy
- znajomy
- sławny
- fantastyczny
- daleko
- fascynujący
- Moja lista
- Cecha
- czuć
- czuje
- facet
- błąd
- kilka
- pole
- Łąka
- wzorzysty
- Postacie
- W końcu
- Znajdź
- znalezieniu
- i terminów, a
- płyn
- Dynamika płynów
- Skupiać
- skupienie
- W razie zamówieenia projektu
- formalny
- Formalnie
- naprzód
- Forum
- znaleziono
- Fundacja
- cztery
- lis
- frakcja
- przyjaciel
- od
- fundamentalny
- Finansowanie
- zabawny
- przyszłość
- gra
- dał
- Ogólne
- Generować
- generacja
- hojny
- geometria
- otrzymać
- dostaje
- miejsce
- GitHub
- Dać
- Go
- Goes
- będzie
- Złoty
- dobry
- dobra praca
- got
- absolwent
- wspaniały
- grecki
- Greenwood
- Griffin
- uziemiony
- osłona
- zgadnąć
- gości
- poradnictwo
- miał
- wpół
- ręka
- zdarzyć
- się
- Wydarzenie
- dzieje
- Ciężko
- Have
- mający
- he
- zdrowy
- słyszeć
- przesłuchanie
- jeż
- pomoc
- pomoc
- pomaga
- tutaj
- Wysoki
- na wysokim szczeblu
- wysoka rozdzielczość
- wyższy
- Atrakcja
- go
- samego siebie
- jego
- historia
- holistyczne
- Strona główna
- strona główna
- Praca domowa
- zaszczycony
- nadzieję
- pełen nadziei
- nadzieję
- gospodarz
- HOT
- W jaki sposób
- How To
- HTTPS
- olbrzymi
- Ogromnie
- człowiek
- czytelne dla człowieka
- Setki
- i
- pomysł
- ideały
- pomysły
- zidentyfikować
- if
- obraz
- zdjęcia
- obraz
- Obrazowanie
- Rezultat
- wpływowy
- ważny
- niemożliwy
- poprawa
- in
- Skłonny
- zawierać
- Włącznie z
- niezależny
- indywidualny
- wpływ
- Wpływowy
- nieodłączny
- początkowo
- wgląd
- spostrzeżenia
- natychmiast
- zintegrowany
- intelektualny
- własność intelektualna
- zamierzony
- wzajemne oddziaływanie
- interaktywne
- odsetki
- zainteresowany
- ciekawy
- Internet
- najnowszych
- Wprowadzenie
- intuicja
- Wynalazek
- iPhone
- odosobniony
- IT
- JEGO
- Praca
- John
- łączący
- Dołącz do nas
- Łączy
- dziennik
- dziennikarstwo
- radość
- właśnie
- trzymane
- Klawisz
- słowa kluczowe
- dzieci
- Uprzejmy
- rodzaje
- król
- Wiedzieć
- znany
- wie
- Kraj
- język
- Języki
- duży
- na dużą skalę
- większe
- później
- Prawo
- UCZYĆ SIĘ
- nauka
- najmniej
- mniej
- niech
- poziom
- życie
- Life Sciences
- lubić
- Ograniczenia
- Ograniczony
- lin
- Linia
- liniowy
- linie
- Słuchanie
- mało
- Zyje
- logiczny
- logo
- długo
- dłużej
- Popatrz
- wygląda jak
- poszukuje
- WYGLĄD
- stracić
- Partia
- dużo
- miłość
- maszyna
- maszyny
- zrobiony
- magazyn
- Większość
- robić
- WYKONUJE
- Dokonywanie
- zarządzanie
- wiele
- rynek
- masywny
- matematyka
- matematyczny
- matematycznie
- matematyka
- Matrix
- matowy
- Materia
- dojrzały
- Może..
- może
- me
- oznaczać
- mierzona
- pomiary
- Media
- medyczny
- obrazowanie medyczne
- Użytkownicy
- Mężczyzna
- wspominać
- wzmiankowany
- spełnione
- metryczny
- może
- milion
- umysły
- minimalizacja
- chwila
- minuty
- Błędne wyobrażenia
- błąd
- modalności
- Nowoczesne technologie
- Tryby
- pieniądze
- jeszcze
- Morgan
- większość
- projekty
- MRI
- dużo
- Muzyka
- musi
- my
- sam
- Tajemnica
- naiwny
- Nazwa
- Potrzebować
- potrzebne
- wymagania
- Ani
- nigdy
- Nowości
- aktualności
- Następny
- miło
- noc
- Nie
- ani
- normalnie
- nic
- powiadomienie
- już dziś
- niuans
- numer
- z naszej
- przedmiot
- cel
- obiekty
- zauważony
- oczywista
- OCHOA
- październik
- of
- często
- oh
- W porządku
- on
- pewnego razu
- ONE
- te
- Online
- tylko
- nieprzezroczysty
- open source
- Otwartość
- Opinia
- Optymistyczny
- or
- organicznie
- organizacyjny
- Inne
- Pozostałe
- ludzkiej,
- na zewnątrz
- przestarzały
- wydajność
- zewnętrzne
- koniec
- własny
- Pakować
- zatłoczony
- stron
- Papier
- Papiery
- Parallel
- częściowo
- szczególny
- szczególnie
- strony
- minęło
- Przeszłość
- Ludzie
- procent
- doskonały
- jest gwarancją najlepszej jakości, które mogą dostarczyć Ci Twoje monitory,
- stały
- osoba
- Piotr
- zjawisko
- fizyczny
- Nauk fizycznych
- Fizycznie
- Fizyka
- doborowy
- kawałek
- plato
- Analiza danych Platona
- Platona
- PlatoDane
- Proszę
- przyjemność
- Podcast
- Podcasting
- Poezja
- punkt
- Punkt widzenia
- zwrotnica
- stwarzane
- pozytywny
- możliwy
- Wiadomości
- potencjał
- power
- mocny
- praktyka
- praktyki
- precyzyjnie
- presentation
- bardzo
- zapobiega
- poprzednio
- pierwotny
- premia
- prymitywny
- nagroda
- Problem
- problemy
- Wytworzony
- producent
- Produkcja
- produkcje
- Profesor
- Program
- Postęp
- projektowanie
- płodny
- dowód
- dowody
- prawidłowo
- własność
- Prawa własności
- chroniony
- dumny
- Udowodnij
- Sprawdzony
- zapewniać
- pod warunkiem,
- że
- udowodnienie
- publiczny
- Publikacja
- publicznie
- publikować
- opublikowany
- Wydawniczy
- czysty
- czysto
- cel
- kontynuować
- Popychanie
- położyć
- Stawia
- Magazyn ilościowy
- pytanie
- pytania
- spokojnie
- całkiem
- przypadkowy
- raczej
- stosunek
- czytelnicy
- real
- Prawdziwy świat
- Rzeczywistość
- zrealizować
- realizowany
- zrealizowanie
- naprawdę
- powód
- recesja
- dokumentacja
- zmniejszyć
- odniesienie
- , o którym mowa
- związane z
- związek
- względność
- uwalniając
- pamiętać
- Usunięto
- składnica
- wymagany
- Wymaga
- Badania naukowe
- zdecydowany
- rezonans
- Zasób
- Zasoby
- odpowiedź
- odpowiedzialnie
- dalsze
- Efekt
- odkrywczy
- zrewidować
- rewolucyjny
- prawo
- prawa
- Pierścień
- Rosnąć
- role
- w przybliżeniu
- run
- Powiedział
- taki sam
- powiedzieć
- powiedzenie
- mówią
- skanować
- Szkoła
- nauka
- NAUKI
- Szukaj
- druga
- sekund
- widzieć
- widzenie
- wydać się
- wydawało się
- wydaje
- widziany
- segment
- wybierać
- wybór
- samokierowanie
- wyrok
- oddzielny
- serwery
- Zestawy
- kilka
- kształty
- Share
- przesunięcie
- Short
- powinien
- bok
- podobny
- Prosty
- prostsze
- uproszczony
- upraszczać
- upraszczanie
- ponieważ
- pojedynczy
- siedzieć
- Siedzący
- sytuacje
- umiejętności
- powolny
- mniejszy
- Zapach
- So
- Obserwuj Nas
- Media społecznościowe
- Społeczeństwo
- Tworzenie
- napraszanie się
- ROZWIĄZANIA
- Rozwiązywanie
- kilka
- jakoś
- Ktoś
- coś
- czasami
- nieco
- gdzieś
- Wkrótce
- poszukiwany
- Dźwięki
- Źródło
- Źródła
- Typ przestrzeni
- Przestrzenne
- specjalny
- wyspecjalizowanym
- spekulacja
- spekulacyjny
- wydać
- Spotify
- Kwadratowa
- kwadraty
- standard
- Stanford
- początek
- rozpoczęty
- Startowy
- rozpocznie
- Zestawienie sprzedaży
- Zjednoczone
- pobyt
- Ewolucja krok po kroku
- Cel
- Steve
- Nadal
- stany magazynowe
- Giełda Papierów Wartościowych
- STONE
- Historia
- proste
- kroczy
- student
- Studenci
- badania naukowe
- studia
- Badanie
- Studiowanie
- przedmiot
- udany
- taki
- Wskazuje
- wsparcie
- Utrzymany
- Powierzchnia
- zdziwiony
- zaskakujący
- podejrzliwy
- syntetyzują
- systemy
- Brać
- trwa
- biorąc
- Mówić
- rozmawiać
- Rozmowy
- namacalny
- zadania
- herbata
- Nauczanie
- zespół
- Techniczny
- technika
- techniczny
- powiedzieć
- Tendencję
- kilkadziesiąt
- test
- niż
- dzięki
- że
- Połączenia
- Strefa
- Przyszłość
- świat
- ich
- Im
- motyw
- następnie
- teoretyczny
- teoria
- Tam.
- w związku z tym
- Te
- one
- rzecz
- rzeczy
- myśleć
- Myślący
- Trzeci
- Trzecia generacja
- to
- chociaż?
- myśl
- trzy
- trójwymiarowy
- Przez
- czas
- do
- już dziś
- razem
- także
- narzędzie
- narzędzia
- tematy
- Kwota produktów:
- Kontakt
- tradycyjny
- Trening
- przekształcony
- leczony
- drzewo
- Trendy
- wypróbowany
- prawdziwy
- Zaufaj
- próbować
- stara
- guz
- Obrócenie
- włącza
- szczypanie
- i twitterze
- drugiej
- rodzaj
- typy
- ucla
- podkreślać
- zrozumieć
- zrozumiały
- zrozumienie
- zrozumiany
- Nieoczekiwany
- Ujednolicony
- unia
- jednostka
- Zjednoczony
- aż do
- niezwykły
- Uploading
- na
- UPS
- us
- posługiwać się
- używany
- użyteczny
- za pomocą
- zazwyczaj
- użyteczność
- wykorzystać
- Cenny
- wartość
- wyceniane
- Wartości
- zmienna
- różnorodny
- Skręcać
- zweryfikować
- początku.
- WETERYNARZ
- Filmy
- Zobacz i wysłuchaj
- oglądany "
- wirusowy
- wizja
- z
- Czekanie
- chcieć
- poszukiwany
- była
- oglądania
- Woda
- Droga..
- sposoby
- we
- mieć na sobie
- sieć
- webp
- powitanie
- mile widziana
- DOBRZE
- były
- Co
- Co to jest
- cokolwiek
- jeśli chodzi o komunikację i motywację
- natomiast
- czy
- który
- Podczas
- KIM
- cały
- dlaczego
- szeroki
- szeroko
- rozpowszechniony
- władać
- Wikipedia
- będzie
- zwycięzca
- mądrość
- w
- w ciągu
- bez
- pełen zdumienia
- słowo
- WordPress
- Praca
- pracował
- pracujący
- prace
- świat
- World Wide Web
- zmartwiony
- martwić się
- by
- World Of Warcraft
- napisać
- pisanie
- napisany
- Źle
- napisał
- lat
- tak
- jeszcze
- ty
- Twój
- zefirnet