Hvis du har fulgt med på matematikknyhetene denne måneden, vet du at den 35 år gamle tallteoretikeren James Maynard vant en Feltmedalje — den høyeste utmerkelsen for en matematiker. Maynard liker matematikkspørsmål som "er enkle nok til å forklare for en videregående skoleelev, men vanskelige nok til å stumpe matematikere i århundrer," Quanta rapportert, og et av de enkle spørsmålene er dette: Når du beveger deg ut langs talllinjen, må det alltid være primtall som er tett sammen?
Du har kanskje lagt merke til at matematikere er besatt av primtall. Hva trekker dem inn? Kanskje er det det faktum at primtall legemliggjør noen av matematikkens mest grunnleggende strukturer og mysterier. Primtallene kartlegger multiplikasjonsuniverset ved å la oss klassifisere og kategorisere hvert tall med en unik faktorisering. Men selv om mennesker har lekt med primtal siden begynnelsen av multiplikasjonen, er vi fortsatt ikke helt sikre på hvor primtall vil dukke opp, hvor spredt de er, eller hvor nærme de må være. Så vidt vi vet følger primtall ikke noe enkelt mønster.
Vår fascinasjon for disse grunnleggende gjenstandene har ført til oppfinnelsen, eller oppdagelsen, av hundrevis av forskjellige typer primtall: Mersenne primtall (primtall av form 2n − 1), balanserte primtall (primtall som er gjennomsnittet av to nabotall), og Sophie Germain primtall (en primtall). p slik at 2p + 1 er også primtall), for å nevne noen.
Interessen for disse spesielle primtallene vokste ut av å leke med tall og oppdage noe nytt. Det er også sant for "digitalt delikate primtall", et nylig tillegg til listen som har ført til noen overraskende resultater om de mest grunnleggende spørsmålene: Hvor sjeldne eller vanlige kan visse typer primtall være?
For å sette pris på dette spørsmålet, la oss starte med en av de første spennende fakta en aspirerende tallentusiast lærer: Det er uendelig mange primtall. Euklid beviste dette for 2,000 år siden ved å bruke et av de mest kjente bevisene ved selvmotsigelse i hele matematikkhistorien. Han startet med å anta at det bare er endelig mange primtall og forestilte seg alle n av dem i en liste:
$latexp_1, p_2, p_3, …, p_n$.
Så gjorde han noe smart: Han tenkte på tallet $latexq=p_1 ganger p_2 ganger p_3 ganger ... ganger p_n+1$.
Legg merke til det q kan ikke være på listen over primtall, fordi den er større enn alt på listen. Så hvis det finnes en begrenset liste over primtall, dette tallet q kan ikke være førsteklasses. Men hvis q er ikke et primtall, det må være delelig med noe annet enn seg selv og 1. Dette betyr igjen at q må være delelig med noen primtall på listen, men på grunn av måten q er konstruert, deler q av noe på listen etterlater en rest på 1. Så tilsynelatende q er verken primtall eller delelig med noen primtall, noe som er en selvmotsigelse som er et resultat av å anta at det bare er endelig mange primtall. Derfor, for å unngå denne motsetningen, må det faktisk være uendelig mange primtall.
Gitt at det er uendelig mange av dem, kan du kanskje tro at primtall av alle slag er enkle å finne, men en av de neste tingene en primtallsdetektiv lærer er hvor spredt primtall kan være. Et enkelt resultat om mellomrommene mellom påfølgende primtall, kalt primgap, sier noe ganske overraskende.
Blant de første 10 primtallene – 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 og 29 – kan du se mellomrom som består av ett eller flere sammensatte tall (tall som ikke er primtall, som 4, 12 eller 27). Du kan måle disse gapene ved å telle de sammensatte tallene i mellom: For eksempel er det et gap på størrelse 0 mellom 2 og 3, et gap på størrelse 1 mellom både 3 og 5 og 5 og 7, et gap på størrelse 3 mellom 7 og 11, og så videre. Det største primtallsgapet på denne listen består av de fem sammensatte tallene - 24, 25, 26, 27 og 28 - mellom 23 og 29.
Nå til det utrolige resultatet: Prime gap kan være vilkårlig lange. Dette betyr at det finnes påfølgende primtall så langt fra hverandre som du kan forestille deg. Kanskje like utrolig er hvor lett dette faktum er å bevise.
Vi har allerede et prime gap på lengde 5 ovenfor. Kan det være en med lengde 6? I stedet for å søke i primtallslister i håp om å finne en, bygger vi den selv. For å gjøre det bruker vi faktorialfunksjonen som brukes i grunnleggende telleformler: Per definisjon, $latexn!=n ganger(n-1) ganger (n-2) ganger … ganger 3 ganger 2 ganger 1$, så for eksempel $ latex3!=3 ganger 2 ganger 1 = 6$ og $latex5!=5 ganger 4 ganger 3 ganger 2 ganger 1=120$.
La oss nå bygge vårt største gap. Tenk på følgende rekkefølge av påfølgende tall:
$latex 7!+2$, $latex7!+3$, $latex 7!+4$, $latex7!+5$, $latex 7!+6$, $latex 7!+7$.
Siden $latex7!=7 ganger 6 ganger 5 ganger 4 ganger 3 ganger2 ganger 1$, er det første tallet i sekvensen vår, $latex7!+2$, delelig med 2, som du kan se etter litt factoring:
$latex7!+2=7 ganger 6 ganger 5 ganger 4 ganger 3 ganger 2 ganger 1+2$
$latex= 2(7 ganger 6 ganger 5 ganger 4 ganger 3 ganger 1+1)$.
På samme måte er det andre tallet, $latex7!+3$, delelig med 3, siden
$latex7!+3=7 ganger 6 ganger 5 ganger 4 ganger 3 ganger 2 ganger 1+3$
$latex= 3(7 ganger 6 ganger 5 ganger 4 ganger2 ganger 1+1)$.
Tilsvarende 7! + 4 er delelig med 4, 7! + 5 ganger 5, 7! + 6 ganger 6 og 7! + 7 ganger 7, som gjør 7! + 2, 7! + 3, 7! + 4, 7! + 5, 7! + 6, 7! + 7 en sekvens av seks påfølgende sammensatte tall. Vi har en prime gap på minst 6.
Denne strategien er lett å generalisere. Sekvensen
$latexn!+2$, $latexn!+3$, $latexn!+4$, $latex…$, $latexn!+n$.
er en sekvens av $latexn-1$ påfølgende sammensatte tall, noe som betyr at for enhver n, er det et primtall med en lengde på minst $latexn-1$. Dette viser at det er vilkårlig lange primtallsgap, og så utover listen over naturlige tall er det steder hvor de nærmeste primtallene er 100, eller 1,000, eller til og med 1,000,000,000 tall fra hverandre.
En klassisk spenning kan sees i disse resultatene. Det er uendelig mange primtall, men påfølgende primtall kan også være uendelig langt fra hverandre. Dessuten er det uendelig mange påfølgende primtal som er tett sammen. For omtrent 10 år siden satte det banebrytende arbeidet til Yitang Zhang i gang et kappløp for å lukke gapet og bevise tvillingprimtall-formodningen, som hevder at det er uendelig mange primtallspar som avviker med bare 2. Tvillingprimtal-formodningen er en av de mest kjente åpne spørsmål i matematikk, og James Maynard har gitt sine egne betydelige bidrag for å bevise dette unnvikende resultatet.
Denne spenningen er også tilstede i nyere resultater om såkalte digitalt delikate primtall. For å få en følelse av hva disse tallene er og hvor de kan være eller ikke, ta deg tid til å tenke på følgende merkelige spørsmål: Finnes det et tosifret primtall som alltid blir sammensatt med en endring i ensifferet?
For å få en følelse av digital delikatesse, la oss leke med tallet 23. Vi vet at det er et primtall, men hva skjer hvis du endrer ensifferet? Vel, 20, 22, 24, 26 og 28 er alle jevne, og dermed sammensatte; 21 er delelig med 3, 25 er delelig med 5, og 27 er delelig med 9. Så langt har det gått bra. Men hvis du endrer en-sifferet til en 9, får du 29, som fortsatt er et primtall. Så 23 er ikke den typen primtall vi ser etter.
Hva med 37? Som vi så ovenfor, trenger vi ikke bry oss med å sjekke partall eller tall som slutter på 5, så vi sjekker bare 31, 33 og 39. Siden 31 også er primtall, fungerer heller ikke 37.
Finnes det i det hele tatt et slikt tall? Svaret er ja, men vi må gå helt opp til 97 for å finne det: 97 er et primtall, men 91 (delelig med 7), 93 (delelig med 3) og 99 (også delelig med 3) er alle sammensatte , sammen med partall og 95.
Et primtall er "sart" hvis, når du endrer et av sifrene til noe annet, det mister sin "primitet" (eller primalitet, for å bruke det tekniske uttrykket). Så langt ser vi at 97 er delikat i en-sifferet - siden endring av det sifferet alltid produserer et sammensatt tall - men tilfredsstiller 97 alle kriteriene for å være digitalt delikat? Svaret er nei, for hvis du endrer titallet til 1 får du 17, et primtall. (Merk at 37, 47 og 67 også er primtall.)
Faktisk er det ingen tosifret digitalt delikat primtall. Følgende tabell over alle de tosifrede tallene, med tosifrede primtall skyggelagt, viser hvorfor.
Alle tallene i en gitt rad har det samme tiersifferet, og alle tallene i en gitt kolonne har det samme enersifferet. Det faktum at 97 er det eneste skraverte tallet i raden reflekterer det faktum at det er delikat i en-sifferet, men det er ikke det eneste primtall i kolonnen, noe som betyr at det ikke er delikat i tiersifferet.
En digitalt delikat tosifret primtall må være den eneste primtall i sin rad og kolonne. Som tabellen viser, eksisterer ingen slik tosifret primtall. Hva med en digitalt delikat tresifret primtall? Her er en lignende tabell som viser utformingen av de tresifrede primtallene mellom 100 og 199, med sammensatte tall utelatt.
Her ser vi at 113 er i sin egen rad, noe som betyr at den er delikat i enesifferet. Men 113 er ikke i sin egen kolonne, så noen endringer i titallet (som til 0 for 103 eller til 6 for 163) gir primtall. Siden det ikke vises noe tall i både sin egen rad og egen kolonne, ser vi raskt at det ikke er et tresifret tall som garantert er sammensatt hvis du endrer ens-sifferet eller tiersifferet. Dette betyr at det ikke kan være noen tresifret digitalt delikat primtall. Legg merke til at vi ikke engang sjekket hundretallet. For å være virkelig digitalt delikat, må et tresifret tall unngå primtall i tre retninger i en tredimensjonal tabell.
Finnes det i det hele tatt digitalt delikate primtal? Når du går lenger ut på talllinjen, har primtallene en tendens til å bli sparsommere, noe som gjør det mindre sannsynlig at de krysser stier i radene og kolonnene i disse høydimensjonale tabellene. Men større tall har flere sifre, og hvert ekstra siffer reduserer sannsynligheten for at et primtall er digitalt ømfintlig.
Hvis du fortsetter, vil du oppdage at digitalt delikate primtal eksisterer. Den minste er 294,001. Når du endrer et av sifrene i det, vil tallet du får - 794,001 284,001, si eller 505,447 584,141 - være sammensatt. Og det er flere: De neste er 604,171 971,767; 1,062,599; XNUMX; XNUMX; og XNUMX. Faktisk stopper de ikke. Den kjente matematikeren Paul Erdős beviste at det finnes uendelig mange digitalt delikate primtall. Og det var bare det første av mange overraskende resultater om disse merkelige tallene.
For eksempel beviste Erdős ikke bare at det er uendelig mange digitalt delikate primtall: Han beviste at det er uendelig mange digitalt delikate primtall i enhver base. Så hvis du velger å representere tallene dine i binære, ternære eller heksadesimale, er du fortsatt garantert å finne uendelig mange digitalt delikate primtall.
Og digitalt delikate primtall er ikke bare uendelige: De utgjør en prosentandel som ikke er null av alle primtall. Dette betyr at hvis du ser på forholdet mellom antall digitalt delikate primtall og antall primtall totalt sett, er denne brøken et eller annet tall større enn null. I tekniske termer er en "positiv andel" av alle primtall digitalt delikat, slik Fields-medaljevinneren Terence Tao beviste i 2010. Primtallene i seg selv utgjør ikke en positiv andel av alle tall, siden du vil finne færre og færre primtall. jo lenger ut kommer du langs talllinjen. Men blant disse primtallene vil du fortsette å finne digitalt delikate primtall ofte nok til å holde forholdet mellom delikate primtall og totale primtall over null.
Kanskje den mest sjokkerende oppdagelsen var en resultat fra 2020 om en ny variant av disse merkelige tallene. Ved å lempe på konseptet om hva et siffer er, reimagined matematikere representasjonen av et tall: I stedet for å tenke på 97 av seg selv, tenkte de i stedet på at det hadde innledende nuller:
…0000000097.
Hvert innledende null kan betraktes som et siffer, og spørsmålet om digital delikatesse kan utvides til disse nye representasjonene. Kan det eksistere "vidt digitalt delikate primtall" - primtall som alltid blir sammensatte hvis du endrer noen av sifrene, inkludert noen av de innledende nullene? Takket være arbeidet til matematikerne Michael Filaseta og Jeremiah Southwick vet vi at svaret, overraskende nok, er ja. Ikke bare eksisterer mye digitalt delikate primtal, men det er uendelig mange av dem.
Primtall danner en uendelig rekke matematiske gåter for profesjonelle og entusiaster å leke med. Vi kan aldri avdekke alle mysteriene deres, men du kan stole på at matematikere kontinuerlig oppdager og finner opp nye typer primtall å utforske.
Øvelser
1. Hva er det største primtallsgapet blant primtallene fra 2 til 101?
2. For å bevise at det er uendelig mange primtall, antar Euklid at det er endelig mange primtall $latexp_1, p_2, p_3, …, p_n$, og viser deretter at $latexq=p_1 ganger p_2 ganger p_3 ganger … ganger p_n+1$ isn ikke delelig med noen primtall på listen. Betyr ikke dette det q må være førsteklasses?
3. Et kjent resultat innen tallteori er at det alltid er et primtall mellom k og 2k (inklusive). Dette er vanskelig å bevise, men det er lett å bevise at det alltid er en primtall mellom k og $latexq=p_1 ganger p_2 ganger p_3 ganger … ganger p_n+1$ (inklusive), der $latexp_1, p_2, p_3, …, p_n$ er alle primtall mindre enn eller lik k. Bevis det.
4. Kan du finne det minste primtallet som er digitalt sart i en- og tiersifrene? Dette betyr at endring av en- eller tiersiffer alltid vil produsere et sammensatt tall. (Du vil kanskje skrive et dataprogram for å gjøre dette!)
Utfordringsproblem: Kan du finne det minste primtallet som er digitalt delikat når det er representert i binært? Husk at i binær, eller grunntall 2, er de eneste sifrene 0 og 1, og hver plassverdi representerer en potens på 2. For eksempel er 8 representert som $latex1000_2$, siden $latex 8=1 ganger 2^3 + 0 ganger 2^2 + 0 ganger 2^1 + 0 ganger 2^0$, og 7 i base 2 er $latex111_2$, siden $latex7=1 ganger2^2 + 1 ganger 2^1 + 1 ganger 2^0$.
Klikk for svar 1:
Klikk for svar 2:
Nei. Tenk på de seks første primtallene: 2, 3, 5, 7, 11 og 13. I dette tilfellet er tallet q ville være $latex 2 ganger 3 ganger 5 ganger 7 ganger 11 ganger13 + 1 = 30,031$ . Dette er ikke delelig med 2, 3, 5, 7, 11 eller 13, men det er ikke et primtall: det teller som $latex 30,031 59 = 509 ganger XNUMX$. Legg merke til at den har primfaktorer, men de er alle større enn de seks første primtallene.
Klikk for svar 3:
Hvis heller k or q er førsteklasses vi er ferdige. Hvis q er ikke primtall, det er sammensatt, noe som betyr at det er delelig med et primtall, men vi vet allerede at det ikke er delbart med noen av de første n primtall. Den må derfor være delelig med en primtall større enn den første n primtall, og siden disse er alle primtall mindre enn k, må denne primen være større enn k. Men denne primtall skiller seg q, så det må være mindre enn q, så det må være en primtall mellom k og q.
Klikk for svar 4:
Det første primtallet som tilfredsstiller denne egenskapen er 2,459, siden 2,451, 2,453 og 2,457 alle er sammensatte (oppfyller kriteriet for delikate siffer) og 2,409, 2,419, 2,429, 2,439, 2,449, 2,469 og 2,479, er sammensatt. det delikate titallet). Likevel er ikke 2,489 digitalt delikat, fordi 2,499 er primtall, så det mislykkes når du begynner å vurdere hundretallet. (Takk til matematikeren John D. Cook for å ha publisert sin digitalt delikat prime-finnende Python-kode.)
Klikk for svar på utfordringsproblem:
$latex127=1111111_2$ er digitalt delikat, siden $latex 126=1111110_2$, $latex125=1111101_2$, $latex123=1111011_2$, $latex119=1110111_2$, $latex111_1101111$, $latex2_95$, $latex1011111_2$, $latex63_0111111$, $latex2_XNUMX$, $latexXNUMX_XNUMX$, $latexXNUMX_XNUMX$, $latexXNUMX$, $latex =XNUMX_XNUMX$ er alle sammensatte.
