Kontinuerlig majorisering i kvantefaserom

Kontinuerlig majorisering i kvantefaserom

Tidsstempel: 24. mai 2023 7:39
Kilde node: 2674950

Zacharie Van Herstraeten1,2, Michael G. Jabbour1,3,4, og Nicolas J. Cerf1

1Senter for kvanteinformasjon og kommunikasjon, École polytechnique de Bruxelles, CP 165/59, Université libre de Bruxelles, 1050 Brussel, Belgia
2Wyant College of Optical Sciences, University of Arizona, 1630 E. University Blvd., Tucson, AZ 85721, USA
3DAMTP, Center for Mathematical Sciences, University of Cambridge, Cambridge CB3 0WA, Storbritannia
4Fysisk institutt, Danmarks Tekniske Universitet, 2800 Kongens Lyngby, Danmark

Finn dette papiret interessant eller vil diskutere? Scite eller legg igjen en kommentar på SciRate.

Abstrakt

Vi utforsker rollen til majoriseringsteori i kvantefaserom. Til dette formål begrenser vi oss til kvantetilstander med positive Wigner-funksjoner og viser at den kontinuerlige versjonen av majoriseringsteori gir en elegant og veldig naturlig tilnærming til å utforske de informasjonsteoretiske egenskapene til Wigner-funksjoner i faserom. Etter å ha identifisert alle Gaussiske rene tilstander som ekvivalente i den nøyaktige betydningen av kontinuerlig majorisering, som kan forstås i lys av Hudsons teorem, antar vi en grunnleggende majoriseringsrelasjon: enhver positiv Wigner-funksjon er majorisert av Wigner-funksjonen til en Gaussisk ren tilstand (spesielt , den bosoniske vakuumtilstanden eller grunntilstanden til den harmoniske oscillatoren). Som en konsekvens er enhver Schur-konkav funksjon av Wigner-funksjonen lavere avgrenset av verdien den tar for vakuumtilstanden. Dette innebærer i sin tur at Wigner-entropien er lavere avgrenset av verdien for vakuumtilstanden, mens det motsatte ikke er sant. Vårt hovedresultat er da å bevise denne grunnleggende majoriseringsrelasjonen for en relevant delmengde av Wigner-positive kvantetilstander som er blandinger av de tre laveste egentilstandene til den harmoniske oscillatoren. Utover det støttes formodningen også av numeriske bevis. Vi avslutter med å diskutere noen implikasjoner av denne formodningen i sammenheng med entropiske usikkerhetsrelasjoner i faserom.

Populært sammendrag

Usikkerhetsprinsippet er et av de mest fascinerende fenomenene i kvantefysikken. Selv om det kan virke naturlig at par med målbare størrelser, som posisjonen og momentumet til en partikkel, kan forutsies nøyaktig samtidig, forbyr kvantefysikk dette for ikke-pendlende observerbare. Heisenberg og Kennard gjorde dette presist ved å bruke variansen til en hvilken som helst målbar mengde for å fange opp usikkerheten. År senere ble Heisenbergs usikkerhetsprinsipp omformulert ved å vende seg til entropi som et riktig middel for å kvantifisere usikkerhet. Her introduserer vi enda et sterkere informasjonsteoretisk paradigme for å forstå usikkerheten til kvantevariabler i faserom, nemlig majoriseringsteorien.

Denne matematiske teorien har blitt utviklet for mer enn et århundre siden og har blitt brukt i en rekke vitenskapsfelt, alt fra statistikk til fysikk. Bemerkelsesverdig nok har det blitt brukt på kvantefysikk bare relativt nylig, hvor det ble vist å være en kraftig tilnærming for å utforske kvanteforviklinger. Som sådan har det aldri blitt utnyttet for å karakterisere de kontinuerlige tetthetene som beskriver kvantevariabler i faserom, det vil si Wigner-funksjoner. Vi viser at kontinuerlig majorisering er et passende verktøy for dette. Hovedinnholdet i papiret vårt gjelder utsagnet om at Wigner-funksjonen til vakuumtilstanden til en bosonisk modus (dvs. grunntilstanden til den harmoniske oscillatoren) kontinuerlig majoriserer enhver annen Wigner-funksjon, noe som gjør den mindre usikker i betydningen majorisering .

Mens vi eksponerer og diskuterer resultatene våre i sammenheng med kvanteoptikk, overføres de til ethvert kanonisk par og bør derfor ha implikasjoner i ulike områder av fysikk.

► BibTeX-data

► Referanser

[1] GH Hardy, JE Littlewood og G. Pólya, ``Inequalities,''. Cambridge University Press, 1934.
https: / / doi.org/ 10.2307 / 3605504

[2] AW Marshall, I. Olkin, og BC Arnold, ``Inequalities: Theory of Majorization and its Applications,'', vol. 143. Springer, andre utgave, 2011.
https:/​/​doi.org/​10.1007/​978-0-387-68276-1

[3] T. Ando, ​​``Majorisering, dobbelt stokastiske matriser og sammenligning av egenverdier,'' Lineær Algebra Appl. 118, 163-248 (1989).
https:/​/​doi.org/​10.1016/​0024-3795(89)90580-6

[4] K. Mosler, ``Majorization in economic disparity measurements,'' Linear Algebra and its Applications 199, 91–114 (1994).
https:/​/​doi.org/​10.1016/​0024-3795(94)90343-3

[5] T. van Erven og P. Harremoës, ``Rényi divergence and majorization,'' i 2010 IEEE International Symposium on Information Theory, s. 1335–1339, IEEE. 2010.
https: / / doi.org/ 10.1109 / ISIT.2010.5513784

[6] MA Alhejji og G. Smith, ``A Tight Uniform Continuity Bound for Equivocation,'' i 2020 IEEE International Symposium on Information Theory (ISIT), s. 2270–2274. 2020.
https: / / doi.org/ 10.1109 / ISIT44484.2020.9174350

[7] MG Jabbour og N. Datta, ``A Tight Uniform Continuity Bound for Arimoto-Rényi Conditional Entropy and its Extension to Classical-Quantum States,'' IEEE Transactions on Information Theory 68, 2169–2181 (2022).
https: / / doi.org/ 10.1109 / TIT.2022.3142812

[8] A. Horn, "Double Stokastical Matrices and the Diagonal of a Rotation Matrix", American Journal of Mathematics 76, 620–630 (1954).
https: / / doi.org/ 10.2307 / 2372705

[9] MA Nielsen, ``Conditions for a Class of Entanglement Transformations,'' Physical Review Letters 83, 436 (1999).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.83.436

[10] MA Nielsen og G. Vidal, ``Majorization and the interconversion of bipartite states,'' Quantum Information and Computation 1, 76–93 (2001).
https: / / doi.org/ 10.26421 / QIC1.1-5

[11] MA Nielsen og J. Kempe, "Separable States Are More Disordered Globally than Locally," Physical Review Letters 86, 5184–5187 (2001).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.86.5184

[12] T. Hiroshima, ``Majorization Criterion for Distillerability of a Bipartite Quantum State,'' Physical Review Letters 91, 057902 (2003).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.91.057902

[13] Z. Puchała, Ł. Rudnicki og K. Życzkowski, ``Majorization entropic uncertainty relations,'' Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical 46, 272002 (2013).
https:/​/​doi.org/​10.1088/​1751-8113/​46/​27/​272002

[14] L. Rudnicki, Z. Puchała og K. Życzkowski, "Strong majorization entropic uncertainty relations", Physical Review A 89, 052115 (2014).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.89.052115

[15] L. Rudnicki, ``Majoriseringstilnærming til entropiske usikkerhetsrelasjoner for grovkornede observerbare objekter,'' Physical Review A 91, 032123 (2015).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.91.032123

[16] F. Brandão, M. Horodecki, N. Ng, J. Oppenheim og S. Wehner, ``The second laws of quantum thermodynamics,'' Proceedings of the National Academy of Sciences 112, 3275–3279 (2015).
https: / / doi.org/ 10.1073 / pnas.1411728112

[17] R. García-Patrón, C. Navarrete-Benlloch, S. Lloyd, JH Shapiro og NJ Cerf, ``Majorization Theory Approach to the Gaussian Channel Minimum Entropy Conjecture,'' Physical Review Letters 108, 110505 (2012).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.108.110505

[18] CN Gagatsos, O. Oreshkov og NJ Cerf, ``Majoriseringsrelasjoner og entanglement generation in a beam splitter,'' Physical Review A 87, 042307 (2013).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.87.042307

[19] G. De Palma, D. Trevisan og V. Giovannetti, "Passive stater optimaliserer utgangen av bosoniske gaussiske kvantekanaler", IEEE Transactions on Information Theory 62, 2895–2906 (2016).
https: / / doi.org/ 10.1109 / TIT.2016.2547426

[20] MG Jabbour, R. García-Patrón og NJ Cerf, ``Majorization preservation of Gaussian bosonic channels,'' New Journal of Physics 18, 073047 (2016).
https:/​/​doi.org/​10.1088/​1367-2630/​18/​7/​073047

[21] MG Jabbour og NJ Cerf, "Fock majorization in bosonic quantum channels with a passive environment," Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical 52, 105302 (2019).
https:/​/​doi.org/​10.1088/​1751-8121/​aaf0d2

[22] U. Leonhardt, ``Vesentlig kvanteoptikk: fra kvantemålinger til sorte hull,''. Cambridge University Press, 2010.
https: / / doi.org/ 10.1017 / CBO9780511806117

[23] A. Hertz, MG Jabbour og NJ Cerf, `` Entropy-power uncertainty relations: towards a tight inequality for all Gaussian pure states,'' Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical 50, 385301 (2017).
https: / / doi.org/ 10.1088 / 1751-8121 / aa852f

[24] A. Hertz og NJ Cerf, "Continuous-variable entropic uncertainty relations", Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical 52, 173001 (2019).
https:/​/​doi.org/​10.1088/​1751-8121/​ab03f3

[25] C. Weedbrook, S. Pirandola, R. García-Patrón, NJ Cerf, TC Ralph, JH Shapiro og S. Lloyd, ``Gaussian quantum information,'' Review of Modern Physics 84, 621–669 (2012).
https: / / doi.org/ 10.1103 / RevModPhys.84.621

[26] Z. Van Herstraeten og NJ Cerf, ``Quantum Wigner entropy,'' Physical Review A 104, 042211 (2021).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.104.042211

[27] FJ Narcowich, ``Distribusjoner av $hbar$-positive type and applications,'' Journal of mathematical physics 30, 2565–2573 (1989).
https: / / doi.org/ 10.1063 / 1.528537

[28] T. Bröcker og R. Werner, ``Blandede tilstander med positive Wigner-funksjoner,'' Journal of mathematical physics 36, 62–75 (1995).
https: / / doi.org/ 10.1063 / 1.531326

[29] R. L. Hudson, ``Når er Wigner kvasi-sannsynlighetstettheten ikke-negativ?'' Reports on Mathematical Physics 6, 249–252 (1974).
https:/​/​doi.org/​10.1016/​0034-4877(74)90007-X

[30] F. Soto og P. Claverie, ``Når er Wigner-funksjonen til flerdimensjonale systemer ikke-negativ?'' Journal of Mathematical Physics 24, 97–100 (1983).
https: / / doi.org/ 10.1063 / 1.525607

[31] FJ Narcowich og R. O'Connell, "Nødvendige og tilstrekkelige betingelser for at en fase-rom-funksjon skal være en Wigner-fordeling," Physical Review A 34, 1 (1986).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.34.1

[32] A. Mandilara, E. Karpov og NJ Cerf, "Utvider Hudsons teorem til blandede kvantetilstander", Physical Review A 79, 062302 (2009).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.79.062302

[33] A. Mandilara, E. Karpov og N. Cerf, "Gaussianitetsgrenser for kvanteblandede tilstander med en positiv Wigner-funksjon," i Journal of Physics: Conference Series, vol. 254, s. 012011, IOP Publishing. 2010.
https:/​/​doi.org/​10.1088/​1742-6596/​254/​1/​012011

[34] L. Wang og M. Madiman, "Beyond the Entropy Power Inequality, via Rearrangements", IEEE Transactions on Information Theory 60, 5116–5137 (2014).
https: / / doi.org/ 10.1109 / TIT.2014.2338852

[35] GH Hardy, JE Littlewood og G. Pólya, "Noen enkle ulikheter tilfredsstilt av konvekse funksjoner," Messenger of Mathematics 58, 145–152 (1929).

[36] H. Joe, ``An order of dependence for distribution of k-tuples, with applications to lotto games,'' Canadian Journal of Statistics 15, 227–238 (1987).
https: / / doi.org/ 10.2307 / 3314913

[37] I. Schur, ``Uber eine Klasse von Mittelbildungen mit Anwendungen die Determinanten,'' Sitzungsberichte der Berliner Mathematischen Gesellschaft 22, 416–427 (1923).

[38] AW Roberts og DE Varberg, ``Konvekse funksjoner,''. Academic Press New York, 1973.
https:/​/​doi.org/​10.1016/​B978-0-444-89597-4.50013-5

[39] A. Rényi, ``Om mål for entropi og informasjon,'' i Proceedings of the Fourth Berkeley Symposium on Mathematical Statistics and Probability, bind 1: Contributions to the Theory of Statistics, vol. 4, s. 547–562, University of California Press. 1961.

[40] Y. He, AB Hamza og H. Krim, "Et generalisert divergensmål for robust bilderegistrering", IEEE Transactions on Signal Processing 51, 1211–1220 (2003).
https://​/​doi.org/​10.1109/​TSP.2003.810305

[41] JV Ryff, ``Orbits of $L^1$-functions under double stochastic transformations,''Transactions of the American Mathematical Society 117, 92–100 (1965).
https: / / doi.org/ 10.2307 / 1994198

[42] F. Bahrami, SM Manjegani og S. Moein, ``Semi-double Stokastical Operators and Majorization of Integrable Functions,'' Bulletin of the Malaysian Mathematical Sciences Society 44, 693–703 (2021).
https:/​/​doi.org/​10.1007/​s40840-020-00971-2

[43] SM Manjegani og S. Moein, ``Majorization and semidoubly stochastic operators on $ L^{1}(X)$,'' Journal of Inequalities and Applications 2023, 1–20 (2023).
https: / / doi.org/ 10.1186 / s13660-023-02935-z

[44] I. Białynicki-Birula og J. Mycielski, ``Usikkerhetsrelasjoner for informasjonsentropi i bølgemekanikk,'' Communications in Mathematical Physics 44, 129–132 (1975).
https: / / doi.org/ 10.1007 / BF01608825

[45] A. Wehrl, ``General properties of entropy,'' Reviews of Modern Physics 50, 221 (1978).
https: / / doi.org/ 10.1103 / RevModPhys.50.221

[46] EH Lieb, ``Proof of an entropy conjecture of Wehrl,'' i Inequalities, s. 359–365. Springer, 2002.
https:/​/​doi.org/​10.1007/​978-3-642-55925-9_30

[47] EH Lieb og JP Solovej, "Bevis på en entropiformodning for Blochs koherente spinntilstander og dens generaliseringer," Acta Mathematica 212, 379 (2014).
https:/​/​doi.org/​10.1007/​s11511-014-0113-6

[48] JR Johansson, PD Nation, og F. Nori, "QuTiP: An open source Python framework for the dynamics of open quantum systems", Computer Physics Communications 183, 1760–1772 (2012).
https: / / doi.org/ 10.1016 / j.cpc.2012.02.021

[49] K. Życzkowski, P. Horodecki, A. Sanpera og M. Lewenstein, "Volum av settet av separerbare tilstander," Physical Review A 58, 883 (1998).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.58.883

Sitert av

[1] Nuno Costa Dias og João Nuno Prata, "På en nylig formodning av Z. Van Herstraeten og NJ Cerf for kvante Wigner-entropien", arxiv: 2303.10531, (2023).

[2] Zacharie Van Herstraeten og Nicolas J. Cerf, "Quantum Wigner entropy", Fysisk gjennomgang A 104 4, 042211 (2021).

[3] Martin Gärttner, Tobias Haas og Johannes Noll, "Å oppdage kontinuerlig variabel sammenfiltring i faserom med $Q$-fordelingen", arxiv: 2211.17165, (2022).

Sitatene ovenfor er fra SAO / NASA ADS (sist oppdatert vellykket 2023-05-24 23:55:18). Listen kan være ufullstendig fordi ikke alle utgivere gir passende og fullstendige sitasjonsdata.

On Crossrefs sitert av tjenesten ingen data om sitering av verk ble funnet (siste forsøk 2023-05-24 23:55:17).

Denne artikkelen er utgitt i Quantum under Creative Commons Attribution 4.0 International (CC BY 4.0) tillatelse. Opphavsrett forblir hos de opprinnelige rettighetshaverne som forfatterne eller institusjonene deres.

Tidstempel:

Mer fra Kvantejournal