Nieuw bewijs toont aan dat 'uitbreidende' grafieken synchroniseren | Quanta-tijdschrift

Zes jaar geleden probeerden Afonso Bandeira en Shuyang Ling een betere manier te bedenken om clusters in enorme datasets te onderscheiden toen ze in een surrealistische wereld terechtkwamen. Ling realiseerde zich dat de vergelijkingen die ze hadden bedacht, onverwachts perfect pasten bij een wiskundig model van spontane synchronisatie. Spontane synchronisatie is een fenomeen waarbij oscillatoren, die de vorm kunnen aannemen van slingers, veren, menselijke hartcellen of vuurvliegjes, uiteindelijk in één beweging bewegen zonder enig centraal coördinatiemechanisme.

Bandeira, een wiskundige aan de Zwitserse Federale Instituut voor Technologie Zürichen Ling, a datawetenschapper aan de New York University, dook in synchronisatieonderzoek en behaalde een reeks opmerkelijke resultaten over de sterkte en structuur die verbindingen tussen oscillatoren moeten hebben om de oscillatoren te dwingen te synchroniseren. Dat werk mondde uit in een paper uit oktober waarin Bandeira dat (samen met vijf co-auteurs) bewees synchronisatie is onvermijdelijk in speciale soorten netwerken, expandergrafieken genoemd, die schaars zijn maar ook goed verbonden.

Expandergrafieken blijken een hele reeks toepassingen te hebben, niet alleen in de wiskunde, maar ook in de informatica en natuurkunde. Ze kunnen worden gebruikt om foutcorrectiecodes te maken en om erachter te komen wanneer simulaties op basis van willekeurige getallen convergeren naar de realiteit die ze proberen te simuleren. Neuronen kunnen worden gemodelleerd in een grafiek waarvan sommige onderzoekers denken dat ze een expander vormen, vanwege de beperkte ruimte voor verbindingen in de hersenen. De grafieken zijn ook nuttig voor meetkundigen die het proberen te begrijpen hoe ingewikkelde oppervlakken te doorkruisen, onder andere problemen.

Het nieuwe resultaat “geeft echt een enorm inzicht in wat voor soort grafiekstructuren de synchronisatie gaan garanderen”, aldus de onderzoekers Lee DeVille, een wiskundige aan de Universiteit van Illinois die niet bij het werk betrokken was.

Bitterzoete synchronie         

“Synchronisatie is echt een van de fundamentele natuurverschijnselen”, zegt hij victor souza, een wiskundige aan de Universiteit van Cambridge die met Bandeira aan het papier werkte. Denk aan pacemakercellen in uw hart, die hun pulsaties synchroniseren door middel van elektrische signalen. In laboratoriumexperimenten “kun je honderden of duizenden van deze embryonale pacemakercellen tegelijk laten pulseren”, aldus de onderzoekers Steven Strogatz, een wiskundige aan de Cornell University en een andere co-auteur. “Het is een beetje griezelig omdat het niet een heel hart is; het zit gewoon op celniveau.”

In 1975 introduceerde de Japanse natuurkundige Yoshiki Kuramoto een wiskundig model dat dit soort systemen beschrijft. Zijn model draait op een netwerk dat een graaf wordt genoemd, waarbij knooppunten met elkaar zijn verbonden door lijnen die randen worden genoemd. Knooppunten worden buren genoemd als ze met elkaar verbonden zijn door een rand. Aan elke rand kan een nummer worden toegewezen dat het gewicht wordt genoemd en dat de sterkte codeert van de verbinding tussen de knooppunten die het verbindt.

In het synchronisatiemodel van Kuramoto bevat elk knooppunt een oscillator, die wordt weergegeven door een punt dat rond een cirkel draait. Dat punt laat bijvoorbeeld zien waar een hartcel zich in zijn pulsatiecyclus bevindt. Elke oscillator cirkelt met zijn eigen voorkeurssnelheid. Maar oscillatoren willen ook matchen met buren, die mogelijk op een andere frequentie of op een ander punt in hun cyclus cirkelen. (Het gewicht van de rand die twee oscillatoren verbindt, meet de sterkte van de koppeling daartussen.) Afwijken van deze voorkeuren draagt ​​bij aan de energie die een oscillator verbruikt. Het systeem probeert alle concurrerende verlangens in evenwicht te brengen door de totale energie ervan te minimaliseren. Kuramoto's bijdrage was om deze wiskundige beperkingen voldoende te vereenvoudigen zodat wiskundigen vooruitgang konden boeken bij het bestuderen van het systeem. Onder de meeste omstandigheden zijn zulke grote stelsels van gekoppelde differentiaalvergelijkingen vrijwel onmogelijk op te lossen.

Ondanks zijn eenvoud is het Kuramoto-model nuttig gebleken voor het modelleren van synchronisatie in netwerken, van hersenen tot elektriciteitsnetwerken, zei Ginestra Bianconi, een toegepast wiskundige aan de Queen Mary University in Londen. "In de hersenen is het niet bijzonder nauwkeurig, maar er wordt aangenomen dat het zeer effectief is," zei ze.

"Er is hier een heel mooie dans tussen wiskunde en natuurkunde, omdat een model dat een fenomeen vastlegt maar heel moeilijk te analyseren is, niet erg nuttig is", zei Souza.

In zijn artikel uit 1975 ging Kuramoto ervan uit dat elk knooppunt verbonden was met elk ander knooppunt in wat een volledige grafiek wordt genoemd. Van daaruit liet hij zien dat hij voor een oneindig aantal oscillatoren, als de koppeling tussen hen sterk genoeg was, hun langetermijngedrag kon achterhalen. Door nog eens aan te nemen dat alle oscillatoren dezelfde frequentie hadden (waardoor ze een homogeen model zouden worden genoemd), vond hij een oplossing waarbij alle oscillatoren uiteindelijk tegelijkertijd zouden roteren, waarbij ze allemaal hetzelfde punt op hun cirkel zouden ronden op precies dezelfde afstand. dezelfde tijd. Hoewel de meeste grafieken uit de echte wereld verre van compleet zijn, bracht het succes van Kuramoto wiskundigen ertoe zich af te vragen wat er zou gebeuren als ze zijn eisen zouden versoepelen.

Melodie en stilte

Begin jaren negentig, samen met zijn leerling Glanzende WatanabeStrogatz toonde aan dat de oplossing van Kuramoto niet alleen mogelijk was, maar vrijwel onvermijdelijk, zelfs voor een eindig aantal oscillatoren. In 2011, Richard Taylor van de Australian Defense Science and Technology Organization heeft de eis van Kuramoto dat de grafiek compleet zou zijn, ondermijnd. Hij bewezen dat homogene grafieken waarbij elk knooppunt verbonden is met ten minste 94% van de anderen zeker globaal zullen synchroniseren. Het resultaat van Taylor had het voordeel dat het van toepassing was op grafieken met willekeurige connectiviteitsstructuren, zolang elk knooppunt een groot aantal buren had.

In 2018, Bandeira, Ling en Ruitu Xu, een afgestudeerde student aan de Yale Universiteit, verlaagde Taylor's eis dat elk knooppunt verbonden is met 94% van de andere tot 79.3%. In 2020 behaalde een concurrerende groep 78.89%; in 2021, Strogatz, Alex Townsend en Martin Kassabov gevestigd het huidige record toen ze lieten zien dat 75% genoeg is.

Ondertussen vielen onderzoekers het probleem ook vanuit de tegenovergestelde richting aan, in een poging grafieken te vinden die sterk met elkaar verbonden waren maar niet globaal gesynchroniseerd waren. In een reeks artikelen vanaf 2006 naar 2022ontdekten ze grafiek na grafiek die mondiale synchronisatie kon vermijden, ook al was elk knooppunt verbonden met meer dan 68% van de andere. Veel van deze grafieken lijken op een cirkel van mensen die elkaars hand vasthouden, waarbij elke persoon contact zoekt met 10 of zelfs 100 buren in de buurt. Deze grafieken, ringgrafieken genoemd, kunnen in een toestand terechtkomen waarin elke oscillator enigszins verschoven is ten opzichte van de volgende.

Het is duidelijk dat de grafiekstructuur een grote invloed heeft op de synchronisatie. Dus Ling, Xu en Bandeira werden nieuwsgierig naar de synchronisatie-eigenschappen van willekeurig gegenereerde grafieken. Om hun werk nauwkeuriger te maken, gebruikten ze twee veelgebruikte methoden om willekeurig een grafiek op te bouwen.

De eerste is vernoemd naar Paul Erdős en Alfréd Rényi, twee vooraanstaande grafentheoretici die baanbrekend werk aan het model hebben verricht. Om een ​​grafiek te bouwen met behulp van het Erdős-Rényi-model, begin je met een aantal niet-verbonden knooppunten. Vervolgens koppel je ze voor elk paar knooppunten willekeurig met enige waarschijnlijkheid aan elkaar p. Indien p is 1%, je koppelt de randen 1% van de tijd; als dit 50% is, zal elk knooppunt gemiddeld verbinding maken met de helft van de andere.

If p iets groter is dan een drempel die afhangt van het aantal knooppunten in de grafiek, zal de grafiek met overweldigende waarschijnlijkheid één onderling verbonden web vormen (in tegenstelling tot clusters die niet met elkaar verbonden zijn). Naarmate de grootte van de grafiek groter wordt, wordt deze drempel klein, zodat grafieken die groot genoeg zijn, zelfs als p klein is, waardoor het totale aantal randen ook klein is, zullen Erdős-Rényi-grafieken met elkaar verbonden worden.

Het tweede type grafiek dat ze overwogen, heet a d-regelmatige grafiek. In dergelijke grafieken heeft elk knooppunt hetzelfde aantal randen, d. (Dus in een 3-reguliere grafiek is elk knooppunt verbonden met 3 andere knooppunten, in een 7-reguliere grafiek is elk knooppunt verbonden met 7 andere, enzovoort.)

Grafieken die goed verbonden zijn ondanks dat ze schaars zijn (met slechts een klein aantal randen) staan ​​bekend als expandergrafieken. Deze zijn belangrijk op veel gebieden van de wiskunde, natuurkunde en informatica, maar als je een expandergrafiek wilt construeren met een bepaalde reeks eigenschappen, zul je merken dat dit een “verrassend niet-triviaal probleem” is. volgens de prominente wiskundige Terry Tao. Erdős-Rényi-grafieken delen, hoewel niet altijd expanders, veel van hun belangrijke kenmerken. En ikHet blijkt echter dat als je a construeert d-reguliere grafiek en verbind de randen willekeurig, je hebt een expandergrafiek.

De eindjes aan elkaar knopen

In 2018 vermoedden Ling, Xu en Bandeira dat de connectiviteitsdrempel ook de opkomst van mondiale synchronisatie zou kunnen meten: als je een Erdős-Rényi-grafiek genereert met p net iets groter dan de drempel, zou de grafiek globaal moeten synchroniseren. Ze boekten gedeeltelijke vooruitgang met dit vermoeden, en Strogatz, Kassabov en Townsend verbeterden later hun resultaat. Maar er bleef een aanzienlijke ruimte bestaan ​​tussen hun aantal en de connectiviteitsdrempel.

In maart 2022 bezocht Townsend Bandeira in Zürich. Ze realiseerden zich dat ze een kans hadden om de connectiviteitsdrempel te bereiken en kwamen binnen Pedro Abdalla, een afgestudeerde student van Bandeira, die op zijn beurt zijn vriend Victor Souza inschakelde. Abdalla en Souza begonnen details uit te werken, maar ze liepen al snel tegen obstakels aan.

Het leek erop dat willekeur onvermijdelijke problemen met zich meebracht. Tenzij p aanzienlijk groter was dan de connectiviteitsdrempel, waren er waarschijnlijk wilde schommelingen in het aantal randen dat elk knooppunt had. Eén kan aan 100 randen worden bevestigd; een ander kan aan niets gehecht zijn. “Zoals elk goed probleem vecht het terug”, zei Souza. Abdalla en Souza realiseerden zich dat het niet zou werken om het probleem vanuit het perspectief van willekeurige grafieken te benaderen. In plaats daarvan zouden ze gebruik maken van het feit dat de meeste Erdős-Rényi-grafieken expanders zijn. “Na deze onschuldig ogende verandering begonnen veel puzzelstukjes op hun plaats te vallen,” zei Souza. “Uiteindelijk hebben we een resultaat dat veel sterker is dan we hadden verwacht.” Grafieken worden geleverd met een getal dat de uitbreiding wordt genoemd en dat meet hoe moeilijk het is om ze in tweeën te knippen, genormaliseerd naar de grootte van de grafiek. Hoe groter dat getal, hoe moeilijker het is om het in tweeën te splitsen door knooppunten te verwijderen.

In de daaropvolgende maanden vulde het team de rest van het argument in en plaatste hun paper in oktober online. Hun bewijs laat zien dat als er voldoende tijd is en de grafiek voldoende uitdijt, het homogene Kuramoto-model altijd globaal zal synchroniseren.

Langs de enige weg

Een van de grootste resterende mysteries in de wiskundige studie van synchronisatie vereist slechts een kleine aanpassing aan het model in het nieuwe artikel: wat gebeurt er als sommige paren oscillatoren elkaar synchroon trekken, maar andere elkaar eruit duwen? In die situatie “zijn bijna al onze gereedschappen onmiddellijk verdwenen”, zei Souza. Als onderzoekers vooruitgang kunnen boeken met deze versie van het probleem, zouden de technieken Bandeira waarschijnlijk helpen de dataclusteringsproblemen aan te pakken die hij wilde oplossen voordat hij zich tot synchronisatie wendde.

Daarnaast zijn er naast expanders ook grafiekenklassen, patronen die complexer zijn dan globale synchronisatie, en synchronisatiemodellen die er niet van uitgaan dat elk knooppunt en elke rand hetzelfde is. In 2018 Sabre Jafarpour en Francesco Bullo van de Universiteit van Californië, Santa Barbara stelde een proef voor voor globale synchronisatie die werkt als de rotators geen identiek gewicht en voorkeursfrequenties hebben. Bianconi's team en anderen hebben gewerkt met netwerken waarvan de verbindingen drie, vier of meer knooppunten omvatten, in plaats van alleen maar paren.

Bandeira en Abdalla proberen al verder te gaan dan de Erdős-Rényi en d-reguliere modellen in andere, meer realistische willekeurige grafiekmodellen. Afgelopen augustus hebben ze een krant gedeeld, co-auteur met Clara Invernizzi, over synchronisatie in willekeurige geometrische grafieken. In willekeurige geometrische grafieken, die in 1961 werden bedacht, zijn knooppunten willekeurig verspreid in de ruimte, misschien op een oppervlak zoals een bol of een vlak. Randen worden tussen paren knooppunten geplaatst als ze zich binnen een bepaalde afstand van elkaar bevinden. Hun uitvinder, Edgar Gilbert, hoopte communicatienetwerken te modelleren waarin berichten slechts een korte afstand kunnen afleggen, of de verspreiding van infectieuze ziekteverwekkers die nauw contact vereisen voor overdracht. Willekeurige geometrische modellen zouden ook de verbanden tussen vuurvliegjes in een zwerm beter kunnen vastleggen, die synchroniseren door naar hun buren te kijken, zei Bandeira.

Natuurlijk is het een uitdaging om de wiskundige resultaten te verbinden met de echte wereld. “Ik denk dat het een beetje een leugen zou zijn om te beweren dat dit wordt veroorzaakt door toepassingen”, zegt Strogatz, die ook opmerkte dat het homogene Kuramoto-model nooit de inherente variatie in biologische systemen kan vastleggen. Souza voegde hieraan toe: “Er zijn veel fundamentele vragen waarvan we nog steeds niet weten hoe we ze moeten beantwoorden. Het lijkt meer op het verkennen van de jungle.”

Noot van de redactie: Steven Strogatz presenteert de podcast 'Joy of Why' Quanta en is voormalig lid van de wetenschappelijke adviesraad van het tijdschrift. Hij werd voor dit artikel geïnterviewd, maar droeg verder niet bij aan de productie ervan.