De verrassend eenvoudige wiskunde achter raadselachtige matchups | Quanta-tijdschrift

Het is de kampioenswedstrijd van de Imaginary Math League, waar de Atlanta Algebras het opnemen tegen de Carolina Cross Products. De twee teams hebben dit seizoen niet tegen elkaar gespeeld, maar eerder dit jaar versloeg Atlanta de Brooklyn Bisectors met een score van 10 tegen 5, en Brooklyn versloeg Carolina met een score van 7 tegen 3. Geeft dat ons enig inzicht in wie zal de titel pakken?

Welnu, hier is één gedachtegang. Als Atlanta Brooklyn verslaat, dan is Atlanta beter dan Brooklyn, en als Brooklyn Carolina verslaat, dan is Brooklyn beter dan Carolina. Dus als Atlanta beter is dan Brooklyn en Brooklyn beter dan Carolina, dan zou Atlanta beter moeten zijn dan Carolina en het kampioenschap moeten winnen.

Als je competitieve games of sporten speelt, weet je dat het voorspellen van de uitkomst van een wedstrijd nog nooit zo eenvoudig is. Maar vanuit puur wiskundig oogpunt heeft dit argument enige aantrekkingskracht. Het maakt gebruik van een belangrijk idee in de wiskunde dat bekend staat als transitiviteit, een bekende eigenschap waarmee we reeksen vergelijkingen tussen relaties kunnen construeren. Transitiviteit is een van die wiskundige eigenschappen die zo fundamenteel zijn dat je het misschien niet eens merkt.

Gelijkheid van getallen is bijvoorbeeld transitief. Dit betekent dat als we dat weten a = b en b = c, we kunnen dat concluderen a = c. De ‘groter dan’-relatie is ook transitief: voor reële getallen, als a > b en b > cdan a > c. Wanneer relaties transitief zijn, kunnen we ze vergelijken en combineren, waardoor een ordening van objecten ontstaat. Als Anna groter is dan Benji en Benji groter is dan Carl, dan kunnen we de drie ordenen op basis van hun lengte: A, B, C. Transitiviteit ligt ook ten grondslag aan ons naïeve argument dat als A is beter dan B en B is beter dan Cdan A is beter dan C.

Transitiviteit is aanwezig in gelijkheid, congruentie, gelijkenis en zelfs parallellisme. Het maakt deel uit van alle basiswiskunde die we doen, wat het vooral wiskundig interessant maakt als het er niet is. Wanneer analisten teams rangschikken, economen de voorkeuren van consumenten bestuderen, of burgers stemmen op hun voorkeurskandidaten, kan een gebrek aan transitiviteit tot verrassende uitkomsten leiden. Om dit soort systemen beter te begrijpen, bestuderen wiskundigen al meer dan vijftig jaar ‘intransitieve dobbelstenen’. recente paper van het online wiskundige samenwerkingsverband dat bekend staat als het Polymath-project heeft dat inzicht bevorderd. Laten we, om een ​​idee te krijgen van hoe intransitiviteit eruit ziet en voelt, een eigen competitie vormen en een beetje spelen.

In onze nieuwe wiskundecompetitie strijden spelers door aangepaste munten om te draaien en de resultaten te vergelijken. Laten we zeggen speler A heeft een munt met het getal 10 aan de ene kant en het getal 6 aan de andere kant, en speler BDe munt van de munt heeft de nummers 8 en 3. We gaan ervan uit dat de munten eerlijk zijn (wat betekent dat elke kant even waarschijnlijk verschijnt als de munten worden omgedraaid) en we zullen de cijfers op de munten als volgt weergeven.

In een spel draaien spelers hun munten om, en degene die op de munt het hoogste getal heeft, is de winnaar. Wie zal wanneer winnen A speelt B?

Natuurlijk hangt het ervan af. Soms A zal soms winnen B zal winnen. Maar het is niet moeilijk om dat te zien A heeft de voorkeur om tegen te winnen B. Er zijn vier manieren waarop het spel zich zou kunnen ontvouwen, en A wint in drie daarvan.

Dus in het spel van A tegen B, A heeft een kans van 75% om te winnen.

Nu C komt langs en uitdagingen B naar een spel. C's munt heeft een 5 aan de ene kant en een 4 aan de andere kant. Opnieuw zijn er vier mogelijkheden.

Here B en C winnen elk twee van de vier matchups, dus winnen ze elk 50% van de games. B en C zijn gelijk op elkaar afgestemd.

Wat zou je verwachten dat er wanneer zou gebeuren? A en C toneelstuk? Goed, A klopt meestal B en B is gelijk op elkaar afgestemd C, dus het lijkt redelijk om dat te verwachten A zal waarschijnlijk de voorkeur krijgen C.

Maar A is meer dan een favoriet. A domineert C, 100% van de tijd winnend.

Dit lijkt misschien verrassend, maar wiskundig gezien is het niet moeilijk te begrijpen waarom dit gebeurt. CDe cijfers liggen er tussenin B's, dus C wint elk moment B draait hun lagere getal om. Maar C's nummers staan ​​beide hieronder A's, dus C zal dat duel nooit winnen. Dit voorbeeld schendt het idee van transitiviteit niet, maar laat wel zien dat de zaken wellicht ingewikkelder zijn dan alleen maar A > B > C. Een kleine verandering in ons spel laat zien hoe veel ingewikkelder het kan zijn.

Onze concurrenten worden snel moe van het spel met tweezijdige munten, omdat het gemakkelijk wiskundig volledig te begrijpen is (zie de oefeningen aan het einde van de kolom voor meer details), dus besluit de competitie om te upgraden naar driezijdige munten. (Een van de voordelen van het spelen in een denkbeeldige wiskundecompetitie is dat alles mogelijk is.)

Hier zijn A en B's munten:

Wie heeft de voorkeur in een spel tussen A en B? Welnu, er zijn drie uitkomsten voor A's muntworp en drie voor B, wat leidt tot negen mogelijke spelresultaten die we gemakkelijk in kaart kunnen brengen.

Ervan uitgaande dat alle uitkomsten even waarschijnlijk zijn, A beats B in vijf van de negen uitkomsten. Dit betekent A zou $latex frac{5}{9} ongeveer $ 55% van de tijd moeten winnen, dus A wordt bevoordeeld B.

Ik voel me een beetje somber over hun vooruitzichten, B uitdagingen C naar een spel. C's nummers vindt u hieronder. Vind je leuk B's kansen?

Nogmaals, er zijn negen mogelijke uitkomsten in een spel van B tegen C, dus we kunnen ze gewoon opsommen.

Dat kunnen we zien B ziet er behoorlijk goed uit tegen C. In vijf van de negen mogelijke uitkomsten B wint. Dus B wordt bevoordeeld C.

arm C moet nu spelen A. Met A begunstigd tegen B en B begunstigd tegen C, wat het toeval doet C moeten winnen? Een behoorlijk goede, zo blijkt.

In vijf van de negen mogelijke uitkomsten hier, C beats A. Dit betekent dat C wordt bevoordeeld A, Hoewel Awordt bevoordeeld B en B wordt bevoordeeld C.

Dit is een voorbeeld van een intransitief systeem. In meer technische termen is de relatie ‘bevoordeeld worden’ in ons spel niet transitief: A wordt bevoordeeld B en B wordt bevoordeeld C, Maar A is niet noodzakelijkerwijs voorstander van C.

We zien het niet vaak in wiskunde, maar dit soort gedrag zou sportfans niet verbazen. Als de Giants de Eagles verslaan en de Eagles de Cowboys verslaan, kunnen de Cowboys nog steeds heel goed de Giants verslaan. Er zijn veel factoren die bijdragen aan de uitkomst van een individueel spel. Teams kunnen beter worden door te oefenen of stagneren als ze niet innoveren. Spelers kunnen van team wisselen. Details zoals de locatie van de game (thuis of uit) of hoe recent teams hebben gespeeld, kunnen van invloed zijn op wie er wint en wie verliest.

Maar dit eenvoudige voorbeeld laat zien dat er ook puur wiskundige redenen schuilgaan achter dit soort intransitiviteit. En deze puur wiskundige overweging heeft iets gemeen met de beperkingen van de concurrentie in de echte wereld: matchups.

Hier zijn de cijfers voor A, B en C.

Als we ze naast elkaar bekijken, is het gemakkelijker te begrijpen waarom er in deze situatie intransitiviteit optreedt. Hoewel B heeft de voorkeur om tegen te winnen C, C's twee middelhoge cijfers – de 7 en de 6 – geven hen een voordeel ten opzichte van A dat B heeft niet. Zelfs A wordt bevoordeeld B en B wordt bevoordeeld C, C komt overeen met A beter dan B doet. Dit is vergelijkbaar met de manier waarop een underdog-sportteam het goed kan opnemen tegen een superieure tegenstander, omdat hun speelstijl moeilijk te hanteren is voor dat team, of omdat een speler of coach hen een voorsprong geeft ten opzichte van die specifieke tegenstander.

Het feit dat sport intransitief is, maakt deel uit van wat sport leuk en boeiend maakt. Immers, als A beats B en B beats C, C gaat niet zomaar verloren als gevolg van transitiviteit wanneer ze ermee worden geconfronteerd A. In de competitie kan er van alles gebeuren. Zoals veel commentatoren na een verstoring hebben gezegd: “Daarom spelen ze het spel.”

En daarom spelen we met wiskunde. Om te ontdekken wat leuk, meeslepend en verrassend is. Alles kan gebeuren.

Oefeningen

1. Stel dat twee spelers het spel met twee zijden spelen en dat de vier cijfers van de twee munten allemaal verschillend zijn. Er zijn in wezen slechts zes mogelijke scenario's voor wie wint en hoe vaak. Wat zijn ze?

2. Zoek in het hierboven beschreven driezijdige spelscenario een andere driezijdige munt C zodat B is nog steeds voorstander C en C is nog steeds voorstander A.

3. Bewijs dat het in een tweezijdig muntspel onmogelijk is om drie spelers te hebben A, B, C zoals dat A wordt bevoordeeld B, B wordt bevoordeeld C en C wordt bevoordeeld A.

correctie: 26 januari 2024
Twee eerder gepubliceerde cijfers toonden verkeerd gelabelde matchups tussen spelers A versus C en B versus C. De cijfers zijn gecorrigeerd.