University of Michigan에서 2018년에 있었던 강연에서 몇 분, 이안 토바스코 큰 종이 한 장을 집어서 겉보기에 무질서한 혼돈의 공으로 구겨 넣었습니다. 그는 청중이 볼 수 있도록 그것을 들고 적당한 크기로 쥐었다가 다시 퍼뜨렸다.
“나는 엄청나게 많은 주름이 생겨났고 그것이 퍼즐입니다.”라고 그는 말했습니다. "이 패턴을 더 정돈된 다른 패턴에서 선택하는 것은 무엇입니까?"
그런 다음 그는 Miura-ori로 알려진 평행 사변형의 유명한 종이 접기 패턴으로 미리 접힌 두 번째 큰 종이를 들고 평평하게 누릅니다. 그는 각 종이에 사용한 힘은 거의 같았지만 결과는 이보다 더 다를 수 없었다고 말했습니다. Miura-ori는 기하학적 영역으로 깔끔하게 분할되었습니다. 구겨진 공은 들쭉날쭉한 선의 엉망이었습니다.
그는 구겨진 시트에 흩어져 있는 주름의 배열을 가리키며 "이것이 단지 이것의 무작위 무질서한 버전이라는 느낌을 받습니다."라고 말했습니다. 단정하고 정돈된 미우라오리를 가리켰다. "그러나 우리는 그것이 사실인지 아닌지에 대해 손가락을 대지 않았습니다."
그 연결을 만드는 것은 탄성 패턴의 보편적인 수학적 규칙을 설정하는 것 외에는 아무것도 필요하지 않습니다. Tobasco는 원래 모양으로 되돌리려고 하여 변형에 반응하는 얇은 탄성 재료를 설명하는 방정식을 연구하면서 수년 동안 이에 대해 연구해 왔습니다. 풍선을 충분히 세게 찌르면 방사형 주름의 스타버스트 패턴이 형성됩니다. 손가락을 떼면 다시 부드러워집니다. 구겨진 종이 공을 짜서 놓으면 팽창합니다(완전히 구겨지지는 않음). 엔지니어와 물리학자들은 이러한 패턴이 특정 상황에서 어떻게 나타나는지 연구했지만 수학자에게 이러한 실제 결과는 보다 근본적인 질문을 제시합니다. 일반적으로 다른 패턴보다 하나의 패턴을 선택하는 것이 무엇인지 이해하는 것이 가능합니까?
2021년 XNUMX월에 Tobasco는 종이 그것은 긍정적으로 그 질문에 대답했습니다 — 적어도 평평하게 눌러진 매끄럽고 구부러진 탄성 시트의 경우(질문을 탐구하는 명확한 방법을 제공하는 상황). 그의 방정식은 겉보기에 무작위적인 주름이 반복적이고 식별 가능한 패턴을 갖는 "정렬한" 영역을 포함하는 방법을 예측합니다. 그리고 그는 지난 달에 발표된 논문을 공동 집필했습니다. 이 논문은 실제 시나리오에서 패턴을 예측할 수 있는 엄격한 수학에 기반을 둔 새로운 물리 이론을 보여줍니다.
특히 Tobasco의 연구는 주름이 여러 가지 형태로 기하학적 문제에 대한 해결책으로 보일 수 있음을 시사합니다. "수학적 분석의 아름다운 조각입니다."라고 말했습니다. 스테판 뮐러 독일 본 대학의 하우스도르프 수학과 교수.
처음으로 이 일반적인 현상 뒤에 있는 수학적 규칙과 새로운 이해를 우아하게 설명합니다. "여기서 수학의 역할은 물리학자들이 이미 만든 추측을 증명하는 것이 아닙니다." 로버트 콘, New York University's Courant Institute의 수학자이자 Tobasco의 대학원 고문은 "그러나 이전에 체계적인 이해가 없었던 이론을 제공하기 위한 것"입니다.
쭈욱 잡아 늘리다
주름과 탄력 패턴의 이론을 개발하는 목표는 오래된 것입니다. 1894년에 한 리뷰에서 자연, 수학자 조지 그린힐(George Greenhill)은 이론가들(“우리는 무엇을 생각해야 합니까?”)과 그들이 알아낼 수 있는 유용한 응용(“우리는 무엇을 해야 합니까?”) 사이의 차이점을 지적했습니다.
19세기와 20세기에 과학자들은 변형되는 특정 물체의 주름과 관련된 문제를 연구하면서 후자를 크게 발전시켰습니다. 초기의 예에는 항해선을 위한 매끄럽고 구부러진 금속판을 단조하는 문제와 산의 형성을 지구의 지각 가열과 연결하려는 시도가 포함됩니다.
최근에는 수학자와 물리학자들이 이론과 관찰을 다양한 주름 상황, 기하학 및 재료에 연결하려는 노력을 확대했습니다. "이것은 우리가 먼저 실험을 한 다음 그것을 이해하기 위한 이론을 찾으려고 노력하는 지난 10년 동안 계속되었습니다."라고 수학자는 말했습니다. 도미닉 벨라 옥스포드 대학의. "최근에야 제대로 이해하기 시작했습니다."
흥미로운 이정표가 있습니다. 2015년 매사추세츠 공과대학의 기계공학자인 Pedro Reis는 설명된 물리 법칙 수축된 실리콘 볼에 형성되는 기하학적 패턴의 경우. 그의 작업은 이러한 주름을 탄성 소재의 내부 및 외부 층의 두께와 연결했습니다. Reis는 또한 주름이 결함으로 간주되는 대신 새로운 기계적 동작을 설계할 수 있는 기회를 제공할 수 있다고 언급했습니다. 그런 다음 2017년에 Vella 분석을 주도 압력을 받는 얇은 탄성 필름의 주름 불안정성, 초기 찌름 깊이 및 기타 특정 세부 사항에 따라 주름 수가 어떻게 변하는지를 나타냅니다.
그러나 이러한 개발은 여전히 문제의 일부만 해결했습니다. 주름이 어떻게 형성되는지에 대한 보다 일반적인 수학적 이해를 위해서는 다른 접근 방식이 필요했습니다. Tobasco는 그것을 앞으로 나아가게 할 것입니다.
호기심을 따라
젊었을 때 Tobasco는 항공우주 공학을 전공할 것이라고 생각했습니다. 그는 2011년 University of Michigan에서 해당 분야의 학사 학위를 받았지만 그 당시에는 이미 수학적 추론과 물리적 시스템에 대해 깊이 생각하는 데 빠져 있었습니다. 그는 수학 박사 학위를 취득했지만 현재 시라큐스 대학의 물리학자인 조이 폴슨을 주름의 특정 경로로 설정했다고 비난합니다.
Paulsen은 경력 초기에 특이한 재료의 특성을 연구할 때 스핀 코팅이라는 기술을 사용하여 초박형 폴리머 필름을 제작하고 분석하는 방법을 배웠습니다. 먼저 그는 소량의 용해된 폴리머를 포함하는 특수 액체 물질을 만들었습니다. 그런 다음 그는 재료를 회전판에 놓을 것입니다. 대부분의 액체는 증발하는 반면 폴리머는 응고되기 전에 균일한 두께로 퍼집니다. Syracuse에 자신의 연구실을 갖게 된 Paulsen은 스핀 코팅을 적용하여 초박형 거북이 껍질과 같은 곡선 필름을 만드는 방법을 배웠습니다.
어느 날 그는 이 곡면 필름 중 일부를 고요한 물 위에 놓고 표면에 어떻게 정착하는지 사진을 찍었습니다. 그는 “순전히 호기심에 의한 것이었다. 사진은 2017년 Paulsen과의 비공식 회의에서 Tobasco의 시선을 사로잡았습니다.
현재 시카고 일리노이 대학의 조교수인 Tobasco는 "그들은 무작위로 불규칙한 주름 패턴을 얻을 수 있음을 보여주었습니다. 실험을 두 번 했을 때 두 가지 다른 패턴을 얻었습니다."라고 말했습니다. “나는 껍질의 모양을 통합하는 탄성에서 파생 가능한 [그 패턴을 예측하는] 방법을 생각해낼 수 있는지 알고 싶었습니다. 그리고 그 모델은 쉘에서 쉘로 변경되지 않을 것입니다.”
주름 패턴은 가능한 에너지가 가장 적은 구성입니다. 즉, 박막이 평평한 표면에 정착함에 따라, 유지하는 데 최소한의 에너지가 필요한 주름의 배열을 찾을 때까지 변형됩니다. "[패턴]이 나타날 때 저장된 에너지의 양으로 패턴을 구성할 수 있습니다."라고 Tobasco는 말했습니다.
그 지침 원칙에 따라 그는 가우스 곡률이라고 하는 모양의 측정을 포함하여 패턴을 선택하는 것으로 판명된 필름의 몇 가지 특성을 분리했습니다. 양의 가우스 곡률을 가진 표면은 공의 바깥쪽처럼 자체적으로 구부러집니다. 반대로 음의 곡면은 프링글스 칩과 같은 안장 모양입니다. 한 방향으로 가면 위로 이동하지만 다른 방향으로 가면 아래로 이동합니다.
Tobasco는 양의 가우스 곡률 영역이 한 종류의 질서 있고 무질서한 영역 배열을 생성하고 음의 곡률 영역이 다른 종류를 생성한다는 것을 발견했습니다. "세부적인 기하학은 그렇게 중요하지 않습니다."라고 Vella가 말했습니다. "그것은 정말로 가우스 곡률의 부호에 달려 있습니다."
그들은 가우스 곡률이 주름에 중요하다고 생각했지만 Vella는 영역이 기호에 너무 많이 의존한다는 것은 놀라운 일이라고 말했습니다. 게다가 Tobasco의 이론은 Paulsen의 형태뿐만 아니라 광범위한 탄성 재료에도 적용됩니다. Vella는 “주름이 나타날 위치를 보여주는 멋진 기하학적 구조입니다. "하지만 그것이 어디서 왔는지 이해하는 것은 정말 깊고 놀라운 일입니다."
Paulsen은 동의했습니다. "Ian의 이론이 매우 아름답게 하는 것은 전체 패턴을 한 번에 제공하는 것입니다."
실제 주름
2018년 초, Tobasco는 그의 이론이 대부분 확정되었지만, 비록 그것이 서류상으로는 효과가 있었지만 실제 세계에서는 그것이 정확할 것이라고 확신할 수 없었습니다. Tobasco는 Paulsen에게 연락하여 협업에 관심이 있는지 물었습니다. Paulsen은 "뭔가가 바로 효과가 있었습니다. "실험 사진 위에 Ian의 예측 중 일부를 추가하여 우리는 그들이 줄을 서는 것을 즉시 볼 수 있었습니다."
그 해 재료 과학의 수학적 측면에 관한 산업 및 응용 수학 학회 컨퍼런스에서 Tobasco는 다음과 같이 소개되었습니다. 엘레니 카티포리, 제한된 껍질의 주름 패턴 문제를 탐구하고 결과 데이터베이스를 구축하던 펜실베니아 대학의 물리학자. 우연의 순간이었다. "우리는 Ian의 작업에서 설명한 영역을 [시뮬레이션에서] 볼 수 있었습니다."라고 그녀는 말했습니다. 경기는 이상했다. 그들의 첫 번째 토론 중에도 Tobasco의 이론, Paulsen의 실험 이미지 및 Katifori의 시뮬레이션이 모두 동일한 현상을 설명한다는 것이 분명했습니다. “구체적인 것이 없는 초기 단계에서도 연관성을 볼 수 있었습니다.”
그 초기의 흥분은 곧 회의론을 불러일으켰다. 사실이라고 하기에는 너무 좋은 것 같았다. Paulsen은 곡률에 대한 Tobasco의 아이디어가 XNUMX차원 평면 재료를 훨씬 넘어 확장될 수 있는 방법을 언급하면서 "그는 수학자이며 이 모든 것을 무차원으로 만듭니다. “정말 같은 시스템을 보고 있는 걸까요? 동의하지만 동의해야 합니까?”
다음 25년 동안 XNUMX명의 연구원은 세부 사항을 분석하여 Paulsen이 실험에서 본 주름과 Katifori가 그녀의 컴퓨터 모델에서 발견한 주름의 배열을 Tobasco의 이론이 실제로 예측했음을 보여주었습니다. XNUMX월 XNUMX일, 그들은 에 논문을 발표했습니다. 자연 물리 보여주는 세 가지 접근 방식이 모두 주름의 동일하고 직선적인 기하학적 배열로 수렴하는 방법. 특히 그들은 패턴이 질서와 무질서의 영역을 구분하는 깔끔한 이등변 삼각형 패밀리에 속한다는 것을 발견했습니다. 또한 결과는 불가능할 정도로 얇은 재료의 수학적 추상화에 국한되지 않고 두께의 여러 자릿수를 다룹니다.
그들의 작업은 또한 이론과 그 응용을 확장할 기회를 제시합니다. Katifori는 물리학자로서 예측을 활용하여 새로운 재료를 설계하는 데 관심이 있다고 말했습니다. "저는 주름 패턴을 원하는 대로 실제로 자체 구성하도록 표면을 디자인할 수 있는 방법을 이해하고 싶습니다."
또 다른 열린 질문은 이론이 다른 종류의 곡면에 어떻게 일반적으로 적용될 수 있는지입니다. Vella는 "[Gaussian curvature]가 양수 또는 음수인 상황에 매우 중점을 두고 있지만 일부 영역에는 긍정적이고 일부는 부정적인 상황이 많이 있습니다."라고 말했습니다.
Paulsen은 이것이 흥미로운 가능성이라고 동의했으며 Tobasco는 이 분야에서 적극적으로 작업하고 있으며 구멍이 있는 것과 같은 다른 형태의 껍질을 고려하고 있다고 말했습니다.
그러나 Paulsen은 그 이론이 현재 그대로도 아름답고 놀랍다고 말했습니다. "내가 당신에게 쉘과 경계 모양, 그리고 Ian의 이론이 예측한 이 간단한 규칙 세트를 준다면, 당신은 나침반과 자를 가지고 기본적으로 주름을 그릴 수 있습니다"라고 그는 말했습니다. “그런 일이 일어날 필요는 없었을 것입니다. 완전히 끔찍했을 수도 있습니다.”
