무한히 많은 소수가 어떻게 무한히 떨어져 있을 수 있습니까?

이번 달에 수학 뉴스를 보고 있다면 35세의 숫자 이론가인 James Maynard가 우승했다는 것을 알 것입니다. 필즈 메달 - 수학자에게 주어지는 최고의 영예. Maynard는 "고등학생에게 설명할 수 있을 만큼 간단하지만 수세기 동안 수학자들을 당황하게 할 만큼 어려운" 수학 질문을 좋아합니다. 콴타 신고, 그리고 그 간단한 질문 중 하나는 다음과 같습니다. 숫자 선을 따라 이동할 때 서로 가까운 소수가 항상 있어야 합니까?

수학자들이 소수에 집착한다는 것을 눈치채셨을 것입니다. 무엇이 그들을 끌어들이나요? 아마도 소수가 수학의 가장 기본적인 구조와 신비를 구현한다는 사실일 것입니다. 소수는 고유한 인수분해로 모든 숫자를 분류하고 분류할 수 있도록 하여 곱셈의 세계를 매핑합니다. 그러나 인간이 곱셈의 여명기부터 소수를 가지고 놀았지만, 우리는 여전히 소수가 어디에서 나타날지, 얼마나 퍼져 있는지, 또는 얼마나 가까이 있어야 하는지 정확히 확신하지 못합니다. 우리가 아는 한, 소수는 단순한 패턴을 따르지 않습니다.

이러한 기본적인 대상에 대한 우리의 관심은 수백 가지 다른 유형의 소수의 발명 또는 발견으로 이어졌습니다. 메르센 소수(2형식의 소수ⁿ − 1), 균형 소수(두 인접 소수의 평균인 소수) 및 소피 제르맹 소수(소수 p 그렇게 2p + 1도 소수임), 몇 가지 예를 들면 다음과 같습니다.

이 특별한 소수에 대한 관심은 숫자를 가지고 놀고 새로운 것을 발견하는 데서 생겨났습니다. 최근에 목록에 추가된 "디지털로 섬세한 소수"의 경우도 마찬가지입니다. 이 목록은 가장 기본적인 질문에 대한 몇 가지 놀라운 결과를 가져왔습니다. 특정 종류의 소수가 얼마나 희귀하거나 흔할 수 있습니까?

이 질문을 이해하기 위해, 숫자 열성팬이 야심찬 첫 번째 흥미로운 사실 ​​중 하나부터 시작하겠습니다. 소수는 무한히 많습니다. 유클리드는 2,000년 전에 모든 수학 역사에서 가장 유명한 모순 증명 중 하나를 사용하여 이를 증명했습니다. 그는 소수가 유한하게 많다고 가정하고 모든 소수를 상상했습니다. n 목록에서 그 중:

$latexp_1, p_2, p_3, ..., p_n$.

그런 다음 그는 영리한 일을 했습니다. 그는 $latexq=p_1 곱하기 p_2 곱하기 p_3 곱하기 … 곱하기 p_n+1$에 대해 생각했습니다.

그것을주의해라 q 목록에 있는 모든 것보다 크기 때문에 소수 목록에 있을 수 없습니다. 따라서 유한한 소수 목록이 존재하는 경우 이 숫자는 q 프라임이 될 수 없습니다. 하지만 만약 q 소수가 아니므로 자기 자신과 1이 아닌 다른 것으로 나눌 수 있어야 합니다. 이것은 차례로 다음을 의미합니다. q 반드시 목록의 일부 소수로 나눌 수 있지만 방법 때문에 q 구성, 분할 q 목록에 있는 모든 항목에 의해 나머지는 1로 남습니다. 따라서 분명히 q 는 소수가 아니며 소수로 나눌 수도 없습니다. 이는 소수가 유한하게 많다는 가정에서 비롯되는 모순입니다. 따라서 이 모순을 피하기 위해서는 실제로 무한히 많은 소수가 있어야 합니다.

그것들이 무한히 많다는 것을 감안할 때, 당신은 모든 종류의 소수를 찾기가 쉽다고 생각할지 모르지만, 소수 탐정이 다음에 배우는 것 중 하나는 소수가 얼마나 퍼질 수 있는지입니다. 소수 간격이라고 하는 연속적인 소수 사이의 공백에 대한 간단한 결과는 매우 놀라운 사실을 알려줍니다.

처음 10개의 소수(2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 및 29) 중에서 하나 이상의 합성수(4, 12와 같이 소수가 아닌 숫자)로 구성된 간격을 볼 수 있습니다. 또는 27). 사이의 합성 숫자를 계산하여 이러한 간격을 측정할 수 있습니다. 예를 들어, 0와 2 사이에 크기 3의 간격이 있고, 1과 3와 5와 5 사이에 크기 7의 간격, 3 사이에 크기 7의 간격이 있습니다. 11 등. 이 목록에서 가장 큰 소수 갭은 24과 25 사이의 26개의 합성 숫자(27, 28, 23, 29, XNUMX)로 구성됩니다.

이제 놀라운 결과를 얻을 수 있습니다. 프라임 간격은 임의로 길 수 있습니다. 이것은 당신이 상상할 수 있는 한 멀리 떨어져 있는 연속적인 소수가 존재한다는 것을 의미합니다. 아마도 이 사실을 증명하는 것이 얼마나 쉬운지 믿을 수 없을 것입니다.

위의 길이가 5인 주요 간격이 이미 있습니다. 길이 6 중 하나가있을 수 있습니까? 소수를 찾기 위해 소수의 목록을 검색하는 대신, 우리가 직접 만들 것입니다. 이를 위해 기본 계산 공식에 사용되는 계승 함수를 사용할 것입니다. 정의에 따르면 $latexn!=n times(n-1) times (n-2) times ... times 3 곱하기 2 곱하기 1$, 예를 들어 $ latex3!=3회 2회 1 = 6$ 및 $latex5!=5회 4회 3회 2회 1=120$입니다.

이제 우리의 주요 간격을 만들어 봅시다. 다음 연속 숫자 시퀀스를 고려하십시오.

$라텍스 7!+2$, $라텍스7!+3$, $라텍스 7!+4$, $라텍스7!+5$, $라텍스 7!+6$, $라텍스 7!+7$.

$latex7!=7 곱하기 6 곱하기 5 곱하기 4 곱하기 3 곱하기 2 곱하기 1$이므로 시퀀스의 첫 번째 숫자인 $latex7!+2$는 2로 나눌 수 있습니다. 이는 약간의 인수분해 후에 볼 수 있습니다.

$latex7!+2=7번 6번 5번 4번 3번 2번 1+2$
$라텍스= 2(7번 6번 5번 4번 3번 1+1)$.

마찬가지로 두 번째 숫자인 $latex7!+3$는 3으로 나눌 수 있습니다.

$latex7!+3=7번 6번 5번 4번 3번 2번 1+3$
$라텍스= 3(7회 6회 5회 4회 2회 1+1)$.

마찬가지로 7! + 4는 4, 7로 나누어집니다! + 5 x 5, 7! + 6x6, 그리고 7! + 7 x 7, 즉 7이 됩니다! + 2, 7! + 3, 7! + 4, 7! + 5, 7! + 6, 7! + 7 6개의 연속적인 합성 숫자의 시퀀스. 최소 XNUMX의 프라임 갭이 있습니다.

이 전략은 일반화하기 쉽습니다. 시퀀스

$latexn!+2$, $latexn!+3$, $latexn!+4$, $latex...$, $latexn!+n$.

$latexn-1$ 연속 합성 숫자의 시퀀스입니다. 즉, n, 길이가 $latexn-1$ 이상인 주요 간격이 있습니다. 이것은 임의의 긴 소수 간격이 있음을 보여줍니다. 따라서 자연수 목록을 따라 가장 가까운 소수가 100, 1,000 또는 1,000,000,000만큼 떨어져 있는 위치가 있습니다.

이 결과에서 고전적인 긴장을 볼 수 있습니다. 소수는 무한히 많지만 연속된 소수는 무한히 멀리 떨어져 있을 수도 있습니다. 게다가 서로 가까이 있는 연속적인 소수가 무한히 많습니다. 약 10년 전 Yitang Zhang의 획기적인 작업은 차이를 좁히고 2만 다른 소수 쌍이 무한히 많다는 쌍둥이 소수 추측을 증명하기 위한 경쟁을 시작했습니다. 수학의 유명한 공개 질문이며 James Maynard는 이 애매한 결과를 증명하는 데 상당한 기여를 했습니다.

이러한 긴장은 소위 디지털로 섬세한 소수에 대한 최근 결과에서도 나타납니다. 이 숫자가 무엇이며 어디에 있는지 또는 없는지 이해하려면 잠시 시간을 내어 다음과 같은 이상한 질문에 대해 생각해 보십시오. XNUMX자리가 변경되면 항상 합성이 되는 두 자리 소수가 있습니까?

디지털의 진미를 느끼기 위해 숫자 23을 가지고 놀아봅시다. 소수라는 것을 알고 있지만 20의 숫자를 변경하면 어떻게 될까요? 22, 24, 26, 28, 21은 모두 짝수이므로 합성입니다. 3은 25으로 나눌 수 있고, 5는 27로 나눌 수 있고, 9은 9로 나눌 수 있습니다. 지금까지는 좋습니다. 그러나 일의 자리를 29로 바꾸면 여전히 소수인 23가 됩니다. 따라서 XNUMX은 우리가 찾고 있는 소수가 아닙니다.

37은 어떻습니까? 위에서 보았듯이 짝수나 5로 끝나는 숫자는 확인할 필요가 없으므로 31, 33, 39만 확인합니다. 31도 소수이므로 37도 작동하지 않습니다.

그런 숫자가 존재합니까? 답은 예입니다. 하지만 찾으려면 97까지 가야 합니다. 97은 소수이지만 91(7로 나눌 수 있음), 93(3으로 나눌 수 있음) 및 99(3으로 나눌 수도 있음)는 모두 합성수입니다. , 짝수 및 95와 함께.

소수는 숫자 중 하나를 다른 숫자로 변경할 때 "우수성"(또는 전문 용어를 사용하면 소수성)을 잃는 경우 "섬세한" 것입니다. 지금까지 우리는 97이 97의 숫자에서 섬세하다는 것을 알았습니다. 그 숫자를 변경하면 항상 합성 숫자가 생성되기 때문입니다. 하지만 1이 디지털 섬세함의 전체 기준을 충족합니까? 대답은 아니오입니다. 십의 자리를 17로 바꾸면 37인 소수가 되기 때문입니다. (47, 67, XNUMX도 모두 소수입니다.)

사실, 디지털로 섬세한 두 자리 소수는 없습니다. 두 자리 소수가 음영 처리된 모든 두 자리 숫자에 대한 다음 표는 그 이유를 보여줍니다.

주어진 행의 모든 ​​숫자는 동일한 97자리를 가지며 주어진 열의 모든 숫자는 동일한 XNUMX자리를 갖습니다. XNUMX이 행에서 유일하게 음영 처리된 숫자라는 사실은 XNUMX자리 숫자가 섬세하지만 열의 유일한 소수가 아니라는 사실을 반영합니다. 즉, XNUMX자리 숫자가 섬세하지 않다는 것을 의미합니다.

디지털 방식으로 섬세한 두 자리 소수는 행과 열에서 유일한 소수여야 합니다. 표에서 알 수 있듯이 이러한 두 자리 소수는 존재하지 않습니다. 디지털로 섬세한 세 자리 소수는 어떻습니까? 다음은 합성 숫자가 생략된 100에서 199 사이의 세 자리 소수의 레이아웃을 보여주는 유사한 표입니다.

여기에서 113이 자체 행에 있다는 것을 알 수 있습니다. 그러나 113은 자체 열에 있지 않으므로 0자리의 일부 변경(예: 103의 경우 6 또는 163의 경우 XNUMX)은 소수를 생성합니다. 자체 행과 열 모두에 숫자가 표시되지 않기 때문에 XNUMX자리 또는 XNUMX자리를 변경하면 합성이 보장되는 XNUMX자리 숫자가 없다는 것을 빠르게 알 수 있습니다. 이것은 세 자리 디지털로 섬세한 소수가 있을 수 없음을 의미합니다. 백 자리 숫자도 확인하지 않았다는 점에 주목하세요. 진정으로 디지털적으로 섬세하려면 XNUMX차원 테이블에서 세 자리 숫자가 세 방향의 소수를 피해야 합니다.

디지털로 섬세한 소수가 존재합니까? 숫자 라인에서 더 멀리 갈수록 소수는 더 희박해지는 경향이 있어 이러한 고차원 테이블의 행과 열에서 경로를 교차할 가능성이 줄어듭니다. 그러나 숫자가 클수록 숫자가 더 많고 숫자가 추가될 때마다 소수가 디지털 방식으로 섬세할 가능성이 줄어듭니다.

계속하면 디지털 방식으로 섬세한 소수가 존재한다는 것을 알게 될 것입니다. 가장 작은 것은 294,001입니다. 숫자 중 하나를 변경하면 얻은 숫자(예: 794,001 또는 284,001)는 합성이 됩니다. 그리고 더 많은 것이 있습니다. 다음 몇 가지는 505,447입니다. 584,141; 604,171; 971,767; 및 1,062,599. 사실, 그들은 멈추지 않습니다. 유명한 수학자 Paul Erdős는 디지털로 섬세한 소수가 무한히 많다는 것을 증명했습니다. 그리고 그것은 이 흥미로운 숫자에 대한 많은 놀라운 결과 중 첫 번째에 불과했습니다.

예를 들어, 에르되시는 디지털로 섬세한 소수가 무한히 많다는 것을 증명했을 뿐만 아니라, 어떤 밑에서도 디지털로 섬세한 소수가 무한히 많다는 것을 증명했습니다. 따라서 숫자를 XNUMX진수, XNUMX진수 또는 XNUMX진수로 나타내기로 선택하더라도 여전히 디지털로 섬세한 소수를 무한히 많이 찾을 수 있습니다.

그리고 디지털 방식으로 섬세한 소수는 무한하지 않습니다. 모든 소수의 2010이 아닌 백분율을 구성합니다. 이것은 전체 소수의 수에 대한 디지털적으로 섬세한 소수의 수의 비율을 보면 이 분수가 XNUMX보다 큰 숫자임을 의미합니다. XNUMX년 Fields 메달리스트 Terence Tao가 증명했듯이 모든 소수의 "양의 비율"은 디지털적으로 섬세합니다. 소수 자체는 모든 숫자의 양의 비율을 구성하지 않습니다. 더 멀리 당신은 숫자 라인을 따라 이동합니다. 그러나 이러한 소수 중에서 전체 소수에 대한 섬세한 소수의 비율을 XNUMX보다 높게 유지하기에 충분한 디지털 방식으로 섬세한 소수를 계속 찾을 수 있습니다.

아마도 가장 충격적인 발견은 2020년부터의 결과 이 이상한 숫자의 새로운 변형에 대해. 숫자가 무엇인지에 대한 개념을 완화하여 수학자들은 숫자 표현을 다시 상상했습니다.

...0000000097.

각 선행 XNUMX은 숫자로 생각할 수 있으며 디지털 섬세함의 문제는 이러한 새로운 표현으로 확장될 수 있습니다. 선행 XNUMX을 포함하여 숫자를 변경하면 항상 합성되는 소수인 "광범위하게 디지털적으로 민감한 소수"가 존재할 수 있습니까? 수학자 마이클 필라세타(Michael Filaseta)와 제레미아 사우스윅(Jeremiah Southwick)의 연구 덕분에 우리는 놀랍게도 그 대답이 '예'라는 것을 알고 있습니다. 디지털 방식으로 섬세한 소수가 광범위하게 존재할 뿐만 아니라 무한히 많습니다.

소수는 전문가와 애호가가 가지고 놀 수 있는 무한한 수학적 퍼즐을 형성합니다. 우리는 그들의 모든 미스터리를 풀지 못할 수도 있지만, 탐구할 새로운 종류의 소수를 지속적으로 발견하고 발명하는 수학자에 의지할 수 있습니다.

운동

1. 2부터 101까지의 소수 중 가장 큰 차이는?

2. 소수가 무한히 많다는 것을 증명하기 위해 유클리드는 소수 $latexp_1, p_2, p_3, …, p_n$가 유한하게 많다고 가정하고 $latexq=p_1 곱하기 p_2 곱하기 p_3 곱하기 … 목록의 어떤 소수로도 나눌 수 없습니다. 이런 뜻 아닌가요 q 프라임이어야 합니까?

3. 정수론의 유명한 결과는 사이에 항상 소수가 있다는 것입니다. k 및 2k (포함한). 이것은 증명하기 어렵지만 사이에 항상 소수가 있다는 것을 증명하는 것은 쉽습니다. k 및 $latexq=p_1 곱하기 p_2 곱하기 p_3 곱하기 … 곱하기 p_n+1$(포함), 여기서 $latexp_1, p_2, p_3, …, p_n$은 모두 다음보다 작거나 같은 소수입니다. k. 그것을 증명하십시오.

4. XNUMX과 XNUMX자리에서 디지털로 섬세한 가장 작은 소수를 찾을 수 있습니까? 즉, XNUMX 또는 XNUMX자리를 변경하면 항상 합성 숫자가 생성됩니다. (이 작업을 수행하기 위해 컴퓨터 프로그램을 작성하고 싶을 수도 있습니다!)

도전 문제: 이진법으로 표현될 때 디지털적으로 민감한 가장 작은 소수를 찾을 수 있습니까? 2진법 또는 0진법에서 유일한 숫자는 1과 2이고 각 자리 값은 8의 거듭제곱을 나타냅니다. 예를 들어 1000은 $latex 2=8 곱하기 1^2 + 3이므로 $latex0_2$로 표시됩니다. 곱하기 2^0 + 2 곱하기 1^0 + 2 곱하기 0^7$이고 밑수 2의 111은 $latex2_7$입니다. $latex1=2 곱하기2^1 + 2 곱하기 1^1 + 2 곱하기 0^XNUMX$이기 때문입니다.

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