Jika Anda mengikuti berita matematika bulan ini, Anda tahu bahwa ahli teori bilangan berusia 35 tahun James Maynard memenangkan Medali Fields — penghargaan tertinggi untuk seorang ahli matematika. Maynard menyukai pertanyaan matematika yang “cukup sederhana untuk dijelaskan kepada siswa sekolah menengah tetapi cukup sulit untuk membuat bingung para matematikawan selama berabad-abad,” Quanta melaporkan, dan salah satu pertanyaan sederhananya adalah ini: Saat Anda bergerak di sepanjang garis bilangan, haruskah selalu ada bilangan prima yang berdekatan?
Anda mungkin telah memperhatikan bahwa matematikawan terobsesi dengan bilangan prima. Apa yang menarik mereka? Mungkin fakta bahwa bilangan prima mewujudkan beberapa struktur dan misteri matematika yang paling mendasar. Bilangan prima memetakan alam semesta perkalian dengan memungkinkan kita untuk mengklasifikasikan dan mengkategorikan setiap bilangan dengan faktorisasi unik. Tetapi meskipun manusia telah bermain dengan bilangan prima sejak awal perkalian, kita masih tidak yakin di mana bilangan prima akan muncul, seberapa menyebarnya, atau seberapa dekat mereka. Sejauh yang kita ketahui, bilangan prima tidak mengikuti pola sederhana.
Ketertarikan kita pada objek-objek fundamental ini telah menyebabkan penemuan, atau penemuan, dari ratusan jenis bilangan prima yang berbeda: bilangan prima Mersenne (bilangan prima bentuk 2n 1), bilangan prima seimbang (prima yang merupakan rata-rata dari dua bilangan prima yang bertetangga), dan bilangan prima Sophie Germain (sebuah bilangan prima p sedemikian rupa sehingga 2p + 1 juga prima), untuk beberapa nama.
Ketertarikan pada bilangan prima khusus ini tumbuh dari bermain-main dengan angka dan menemukan sesuatu yang baru. Itu juga berlaku untuk "bilangan prima yang halus secara digital," tambahan baru-baru ini ke daftar yang telah menghasilkan beberapa hasil mengejutkan tentang pertanyaan paling mendasar: Seberapa langka atau umum jenis bilangan prima tertentu?
Untuk menghargai pertanyaan ini, mari kita mulai dengan salah satu fakta menarik pertama yang dipelajari oleh para penggemar bilangan: Ada banyak bilangan prima yang tak terhingga. Euclid membuktikan ini 2,000 tahun yang lalu menggunakan salah satu bukti kontradiksi yang paling terkenal dalam semua sejarah matematika. Dia mulai dengan berasumsi bahwa hanya ada banyak bilangan prima dan membayangkan semuanya n dari mereka dalam daftar:
$latexp_1, p_2, p_3, …, p_n$.
Kemudian dia melakukan sesuatu yang cerdas: Dia memikirkan bilangan $latexq=p_1 kali p_2 kali p_3 kali … kali p_n+1$.
Perhatikan bahwa q tidak bisa ada di daftar bilangan prima, karena lebih besar dari semua yang ada di daftar. Jadi, jika ada daftar bilangan prima yang terbatas, angka ini q tidak bisa prima. Tapi jika q bukan bilangan prima, ia harus habis dibagi oleh sesuatu selain dirinya sendiri dan 1. Ini, pada gilirannya, berarti bahwa q harus habis dibagi oleh beberapa bilangan prima dalam daftar, tetapi karena caranya q dibangun, membagi q oleh apa pun di daftar meninggalkan sisa 1. Jadi rupanya q tidak prima atau habis dibagi oleh bilangan prima apa pun, yang merupakan kontradiksi yang dihasilkan dari asumsi bahwa hanya ada banyak bilangan prima. Oleh karena itu, untuk menghindari kontradiksi ini, harus ada bilangan prima yang tak terhingga banyaknya.
Mengingat jumlahnya tak terhingga, Anda mungkin berpikir bahwa semua jenis bilangan prima mudah ditemukan, tetapi salah satu hal berikutnya yang dipelajari oleh detektif bilangan prima adalah bagaimana penyebaran bilangan prima itu. Hasil sederhana tentang spasi di antara bilangan prima berurutan, yang disebut celah prima, mengatakan sesuatu yang cukup mengejutkan.
Di antara 10 bilangan prima pertama — 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, dan 29 — Anda dapat melihat celah yang terdiri dari satu atau lebih bilangan komposit (bilangan yang bukan bilangan prima, seperti 4, 12 atau 27). Anda dapat mengukur kesenjangan ini dengan menghitung bilangan komposit di antara: Misalnya, ada celah ukuran 0 antara 2 dan 3, celah ukuran 1 antara 3 dan 5 dan 5 dan 7, celah ukuran 3 antara 7 dan 11, dan seterusnya. Kesenjangan prima terbesar dalam daftar ini terdiri dari lima bilangan komposit — 24, 25, 26, 27 dan 28 — antara 23 dan 29.
Sekarang untuk hasil yang luar biasa: Kesenjangan prima bisa panjang secara sewenang-wenang. Ini berarti ada bilangan prima berurutan sejauh yang dapat Anda bayangkan. Mungkin sama menakjubkannya dengan betapa mudahnya membuktikan fakta ini.
Kita sudah memiliki celah prima dengan panjang 5 di atas. Mungkinkah ada yang panjangnya 6? Alih-alih mencari daftar bilangan prima dengan harapan menemukannya, kita akan membuatnya sendiri. Untuk melakukannya kita akan menggunakan fungsi faktorial yang digunakan dalam rumus penghitungan dasar: Menurut definisi, $lateksn!=n kali(n-1) kali (n-2) kali … kali 3 kali 2 kali 1$, jadi misalnya $ latex3!=3 kali 2 kali 1 = 6$ dan $latex5!=5 kali 4 kali 3 kali 2 kali 1=120$.
Sekarang mari kita bangun celah utama kita. Perhatikan barisan bilangan berurutan berikut ini:
$lateks 7!+2$, $lateks7!+3$, $lateks 7!+4$, $lateks7!+5$, $lateks 7!+6$, $lateks 7!+7$.
Karena $latex7!=7 kali 6 kali 5 kali 4 kali 3 kali2 kali 1$, bilangan pertama dalam barisan kita, $latex7!+2$, habis dibagi 2, yang dapat Anda lihat setelah sedikit memfaktorkan:
$latex7!+2=7 kali 6 kali 5 kali 4 kali 3 kali2 kali 1+2$
$lateks= 2(7 kali 6 kali 5 kali 4 kali 3 kali 1+1)$.
Demikian juga, bilangan kedua, $lateks7!+3$, habis dibagi 3, karena
$latex7!+3=7 kali 6 kali 5 kali 4 kali 3 kali2 kali 1+3$
$lateks= 3(7 kali 6 kali 5 kali 4 kali2 kali 1+1)$.
Demikian pula, 7! + 4 habis dibagi 4, 7! + 5 kali 5, 7! + 6 kali 6, dan 7! + 7 kali 7, jadi 7! + 2, 7! + 3, 7! + 4, 7! + 5, 7! + 6, 7! + 7 urutan enam bilangan komposit berurutan. Kami memiliki celah utama setidaknya 6.
Strategi ini mudah digeneralisasi. Urutannya
$lateks!+2$, $lateks!+3$, $lateks!+4$, $lateks…$, $lateks!+n$.
adalah urutan bilangan komposit $lateksn-1$ berurutan, yang berarti bahwa, untuk sembarang n, ada celah prima dengan panjang setidaknya $latexn-1$. Ini menunjukkan bahwa ada celah prima yang panjangnya sewenang-wenang, dan di sepanjang daftar bilangan asli ada tempat di mana bilangan prima terdekat berjarak 100, atau 1,000, atau bahkan 1,000,000,000 angka.
Ketegangan klasik dapat dilihat dalam hasil ini. Ada banyak bilangan prima yang tak terhingga, namun bilangan prima berurutan juga dapat berjauhan tak terhingga. Terlebih lagi, ada banyak bilangan prima berurutan yang tak terhingga yang berdekatan. Sekitar 10 tahun yang lalu, terobosan karya Yitang Zhang memulai perlombaan untuk menutup celah dan membuktikan dugaan bilangan prima kembar, yang menyatakan bahwa ada banyak pasangan bilangan prima yang berbeda hanya 2. Dugaan bilangan prima kembar adalah salah satu yang paling pertanyaan terbuka yang terkenal dalam matematika, dan James Maynard telah memberikan kontribusi signifikannya sendiri untuk membuktikan hasil yang sulit dipahami ini.
Ketegangan ini juga hadir dalam hasil terbaru tentang apa yang disebut bilangan prima yang halus secara digital. Untuk memahami apa angka-angka ini dan di mana mereka mungkin atau mungkin tidak, luangkan waktu sejenak untuk merenungkan pertanyaan aneh berikut: Apakah ada bilangan prima dua digit yang selalu menjadi komposit dengan perubahan angka satu?
Untuk merasakan kelezatan digital, mari bermain-main dengan angka 23. Kita tahu ini adalah bilangan prima, tetapi apa yang terjadi jika Anda mengubah angka satuannya? Nah, 20, 22, 24, 26 dan 28 semuanya genap, dan dengan demikian komposit; 21 habis dibagi 3, 25 habis dibagi 5, dan 27 habis dibagi 9. Sejauh ini, bagus. Tetapi jika Anda mengubah angka satu menjadi 9, Anda mendapatkan 29, yang masih merupakan bilangan prima. Jadi 23 bukanlah tipe prima yang kita cari.
Bagaimana dengan 37? Seperti yang kita lihat di atas, kita tidak perlu repot-repot mengecek bilangan genap atau angka yang berakhiran 5, jadi kita cek saja 31, 33 dan 39. Karena 31 juga prima, 37 juga tidak berfungsi.
Apakah nomor seperti itu bahkan ada? Jawabannya adalah ya, tetapi kita harus mencari sampai 97 untuk menemukannya: 97 adalah bilangan prima, tetapi 91 (dapat dibagi 7), 93 (dibagi 3) dan 99 (juga habis dibagi 3) semuanya komposit , bersama dengan bilangan genap dan 95.
Bilangan prima adalah "halus" jika, ketika Anda mengubah salah satu digitnya menjadi apa pun, ia kehilangan "keutamaan" (atau keutamaan, untuk menggunakan istilah teknis). Sejauh ini kita melihat bahwa 97 halus dalam satu digit — karena mengubah digit itu selalu menghasilkan bilangan komposit — tetapi apakah 97 memenuhi kriteria penuh menjadi halus secara digital? Jawabannya tidak, karena jika Anda mengubah angka puluhan menjadi 1, Anda mendapatkan 17, sebuah bilangan prima. (Perhatikan bahwa 37, 47 dan 67 juga merupakan bilangan prima.)
Faktanya, tidak ada bilangan prima dua digit yang rumit secara digital. Tabel berikut dari semua bilangan dua digit, dengan bilangan prima dua digit yang diarsir, menunjukkan alasannya.
Semua angka pada setiap baris tertentu memiliki angka puluhan yang sama, dan semua angka dalam kolom tertentu memiliki angka satuan yang sama. Fakta bahwa 97 adalah satu-satunya bilangan yang diarsir pada barisnya mencerminkan fakta bahwa bilangan tersebut halus dalam angka satuan, tetapi bukan satu-satunya bilangan prima dalam kolomnya, yang berarti bilangan tersebut tidak halus dalam angka puluhan.
Sebuah bilangan prima dua digit yang halus secara digital harus menjadi satu-satunya bilangan prima dalam baris dan kolomnya. Seperti yang ditunjukkan tabel, tidak ada bilangan prima dua digit seperti itu. Bagaimana dengan bilangan prima tiga digit yang halus secara digital? Berikut adalah tabel serupa yang menunjukkan tata letak bilangan prima tiga digit antara 100 dan 199, dengan angka komposit dihilangkan.
Di sini kita melihat bahwa 113 berada di barisnya sendiri, yang berarti angka itu halus dalam angka satuan. Tetapi 113 tidak berada di kolomnya sendiri, jadi beberapa perubahan pada digit puluhan (seperti 0 untuk 103 atau 6 untuk 163) menghasilkan bilangan prima. Karena tidak ada angka yang muncul di baris dan kolomnya sendiri, kita dengan cepat melihat tidak ada angka tiga digit yang dijamin komposit jika Anda mengubah angka satu atau puluhannya. Ini berarti tidak ada bilangan prima tiga digit yang halus secara digital. Perhatikan bahwa kami bahkan tidak memeriksa angka ratusan. Agar benar-benar peka secara digital, angka tiga digit harus menghindari bilangan prima dalam tiga arah dalam tabel tiga dimensi.
Apakah bilangan prima yang halus secara digital bahkan ada? Saat Anda melangkah lebih jauh pada garis bilangan, bilangan prima cenderung menjadi lebih jarang, yang membuat mereka cenderung tidak berpapasan di baris dan kolom tabel dimensi tinggi ini. Tetapi angka yang lebih besar memiliki lebih banyak digit, dan setiap digit tambahan mengurangi kemungkinan bilangan prima menjadi halus secara digital.
Jika Anda terus melakukannya, Anda akan menemukan bahwa bilangan prima yang halus secara digital memang ada. Yang terkecil adalah 294,001. Saat Anda mengubah salah satu digitnya, angka yang Anda dapatkan — 794,001, katakanlah, atau 284,001 — akan digabungkan. Dan masih ada lagi: Beberapa berikutnya adalah 505,447; 584,141; 604,171; 971,767; dan 1,062,599. Faktanya, mereka tidak berhenti. Ahli matematika terkenal Paul Erdős membuktikan bahwa ada banyak bilangan prima yang rumit secara digital. Dan itu baru yang pertama dari banyak hasil mengejutkan tentang angka-angka yang aneh ini.
Sebagai contoh, Erdős tidak hanya membuktikan bahwa ada banyak bilangan prima halus digital yang tak terhingga: Dia membuktikan bahwa ada banyak bilangan prima halus digital di basis mana pun. Jadi, jika Anda memilih untuk mewakili angka Anda dalam biner, terner, atau heksadesimal, Anda masih dijamin menemukan banyak bilangan prima yang rumit secara digital.
Dan bilangan prima yang halus secara digital tidak hanya tak terbatas: Mereka terdiri dari persentase bukan nol dari semua bilangan prima. Ini berarti bahwa jika Anda melihat rasio jumlah bilangan prima yang halus secara digital dengan jumlah bilangan prima secara keseluruhan, pecahan ini adalah beberapa bilangan yang lebih besar dari nol. Dalam istilah teknis, "proporsi positif" dari semua bilangan prima secara digital halus, seperti yang dibuktikan oleh peraih medali Fields Terence Tao pada tahun 2010. bilangan prima itu sendiri tidak membentuk proporsi positif dari semua angka, karena Anda akan menemukan semakin sedikit bilangan prima semakin jauh Anda pergi di sepanjang garis bilangan. Namun di antara bilangan prima itu, Anda akan terus menemukan bilangan prima yang rumit secara digital cukup sering untuk menjaga rasio bilangan prima halus dengan total bilangan prima di atas nol.
Mungkin penemuan yang paling mengejutkan adalah hasil tahun 2020 tentang variasi baru dari angka-angka aneh ini. Dengan melonggarkan konsep tentang apa itu digit, matematikawan membayangkan kembali representasi angka: Alih-alih memikirkan 97 dengan sendirinya, mereka malah menganggapnya memiliki nol di depan:
… 0000000097.
Setiap nol di depan dapat dianggap sebagai angka, dan pertanyaan tentang kelezatan digital dapat diperluas ke representasi baru ini. Mungkinkah ada "bilangan prima yang sangat halus secara digital" — bilangan prima yang selalu menjadi komposit jika Anda mengubah salah satu digit, termasuk salah satu dari nol di depan? Berkat karya matematikawan Michael Filaseta dan Jeremiah Southwick, kita tahu bahwa jawabannya, secara mengejutkan, adalah ya. Tidak hanya bilangan prima yang rumit secara digital ada, tetapi ada banyak dari mereka.
Bilangan prima membentuk rangkaian teka-teki matematika yang tak terbatas untuk dimainkan oleh para profesional dan penggemar. Kami mungkin tidak akan pernah mengungkap semua misteri mereka, tetapi Anda dapat mengandalkan ahli matematika untuk terus menemukan, dan menemukan, jenis bilangan prima baru untuk dijelajahi.
Latihan
1. Berapa selisih prima terbesar di antara bilangan prima dari 2 hingga 101?
2. Untuk membuktikan bahwa ada banyak bilangan prima, Euclid mengasumsikan ada banyak bilangan prima berhingga $latexp_1, p_2, p_3, …, p_n$, dan kemudian menunjukkan bahwa $latexq=p_1 dikali p_2 dikali p_3 kali … dikali p_n+1$ bukan 't habis dibagi oleh setiap prima pada daftar. Bukankah ini berarti q harus prima?
3. Hasil yang terkenal dalam teori bilangan adalah selalu ada bilangan prima di antara k dan 2k (inklusif). Ini sulit untuk dibuktikan, tetapi mudah untuk membuktikan bahwa selalu ada bilangan prima di antara k dan $latexq=p_1 kali p_2 kali p_3 kali … kali p_n+1$ (inklusif), di mana $latexp_1, p_2, p_3, …, p_n$ adalah semua bilangan prima yang kurang dari atau sama dengan k. Buktikan itu.
4. Dapatkah Anda menemukan bilangan prima terkecil yang halus secara digital dalam angka satu dan puluhan? Artinya, mengubah angka satu atau puluhan akan selalu menghasilkan bilangan komposit. (Anda mungkin ingin menulis program komputer untuk melakukan ini!)
Masalah Tantangan: Dapatkah Anda menemukan bilangan prima terkecil yang halus secara digital ketika direpresentasikan dalam biner? Ingat bahwa dalam biner, atau basis 2, satu-satunya digit adalah 0 dan 1, dan setiap nilai tempat mewakili pangkat 2. Misalnya, 8 direpresentasikan sebagai $lateks1000_2$, karena $lateks 8=1 dikalikan 2^3 + 0 kali 2^2 + 0 kali 2^1 + 0 kali 2^0$, dan 7 di basis 2 adalah $latex111_2$, karena $latex7=1 kali2^2 + 1 kali 2^1 + 1 kali 2^0$.
Klik untuk Jawaban 1:
Klik untuk Jawaban 2:
Tidak. Perhatikan enam bilangan prima pertama: 2, 3, 5, 7, 11, dan 13. Dalam hal ini bilangan q akan menjadi $lateks 2 kali 3 kali 5 kali 7 kali 11 kali13 + 1 = 30,031$ . Ini tidak habis dibagi 2, 3, 5, 7, 11 atau 13, tetapi ini bukan bilangan prima: ini difaktorkan sebagai $lateks 30,031 = 59 dikalikan $509. Perhatikan bahwa ia memiliki faktor prima, tetapi semuanya lebih besar dari enam bilangan prima pertama.
Klik untuk Jawaban 3:
Jika baik k or q adalah prima kita sudah selesai. Jika q bukan prima itu komposit, yang berarti itu habis dibagi oleh beberapa bilangan prima, tapi kita sudah tahu bahwa itu tidak habis dibagi oleh yang pertama n bilangan prima Jadi itu harus habis dibagi dengan bilangan prima yang lebih besar dari yang pertama n bilangan prima, dan karena ini semua bilangan prima kurang dari k, bilangan prima ini harus lebih besar dari k. Tapi bilangan prima ini membagi q, jadi harus lebih kecil dari q, jadi harus ada bilangan prima antara k dan q.
Klik untuk Jawaban 4:
Prima pertama yang memenuhi sifat ini adalah 2,459, karena 2,451, 2,453 dan 2,457 semuanya komposit (memenuhi kriteria angka yang halus) dan 2,409, 2,419, 2,429, 2,439, 2,449, 2,469, 2,479, 2,489 dan 2,499 semuanya komposit (memuaskan kriteria puluhan digit halus). Namun 2,459 tidak halus secara digital, karena 2,659 adalah bilangan prima, sehingga gagal setelah Anda mulai mempertimbangkan angka ratusan. (Terima kasih kepada ahli matematika John D. Cook karena telah menerbitkan karyanya kode Python pencarian utama yang halus secara digital.)
Klik untuk Jawaban untuk Menantang Masalah:
$latex127=1111111_2$ sangat sensitif secara digital, karena $lateks 126=1111110_2$, $latex125=1111101_2$, $latex123=1111011_2$, $latex119=1110111_2$, $latex111=1101111_2$, $latex95=1011111_2$, dan $latex63 =0111111_2$ semuanya gabungan.
