Pencarian untuk Mendekode Himpunan Mandelbrot, Fraktal Matematika yang Terkenal | Majalah Kuanta

Pada pertengahan tahun 1980-an, seperti halnya pemutar kaset Walkman dan kemeja tie-dye, siluet Mandelbrot yang mirip serangga ada di mana-mana.

Siswa menempelkannya ke dinding kamar asrama di seluruh dunia. Para ahli matematika menerima ratusan surat, dengan penuh semangat meminta cetakan himpunan tersebut. (Sebagai tanggapan, beberapa dari mereka membuat katalog, lengkap dengan daftar harga; yang lain mengumpulkan fitur-fiturnya yang paling mencolok ke dalam buku.) Lebih banyak penggemar yang paham teknologi dapat membaca edisi Agustus 1985 dari majalah tersebut. Scientific American. Di sampulnya, rangkaian Mandelbrot terbentang dalam sulur-sulur yang berapi-api, pinggirannya terbakar; di dalamnya terdapat instruksi pemrograman yang cermat, merinci bagaimana pembaca dapat menghasilkan gambar ikonik untuk diri mereka sendiri.

Pada saat itu, sulur-sulur tersebut juga telah memperluas jangkauannya melampaui matematika, ke sudut-sudut kehidupan sehari-hari yang tampaknya tidak berhubungan. Dalam beberapa tahun ke depan, set Mandelbrot akan menginspirasi lukisan terbaru David Hockney dan komposisi terbaru beberapa musisi — karya mirip fugue dalam gaya Bach. Itu akan muncul di halaman fiksi John Updike, dan memandu bagaimana kritikus sastra Hugh Kenner menganalisis puisi Ezra Pound. Ini akan menjadi subjek halusinasi psikedelik, dan film dokumenter populer yang dinarasikan oleh tokoh fiksi ilmiah Arthur C. Clarke.

Himpunan Mandelbrot adalah bentuk khusus, dengan garis fraktal. Gunakan komputer untuk memperbesar batas bergerigi set tersebut, dan Anda akan menemukan lembah kuda laut dan parade gajah, galaksi spiral, dan filamen mirip neuron. Tidak peduli seberapa dalam Anda menjelajah, Anda akan selalu melihat salinan dari set aslinya — aliran kemiripan diri yang tak terbatas dan memusingkan.

Kesamaan diri adalah elemen inti dari buku terlaris James Gleick Kekacauan, yang mengukuhkan tempat set Mandelbrot dalam budaya populer. “Ini berisi banyak sekali ide,” tulis Gleick. “Filsafat seni modern, pembenaran atas peran baru eksperimen dalam matematika, cara membawa sistem yang kompleks ke hadapan masyarakat luas.”

Himpunan Mandelbrot telah menjadi simbol. Ini mewakili kebutuhan akan bahasa matematika baru, cara yang lebih baik untuk menggambarkan sifat fraktal dunia sekitar kita. Hal ini menggambarkan betapa rumitnya aturan yang bisa muncul dari aturan yang paling sederhana — seperti halnya kehidupan itu sendiri. (“Oleh karena itu, ini adalah pesan harapan yang nyata,” John Hubbard, salah satu ahli matematika pertama yang mempelajari himpunan, mengatakan dalam sebuah video tahun 1989, “bahwa mungkin biologi benar-benar dapat dipahami dengan cara yang sama seperti gambar-gambar ini dapat dipahami.”) Dalam himpunan Mandelbrot, keteraturan dan kekacauan hidup dalam harmoni; determinisme dan keinginan bebas dapat didamaikan. Seorang ahli matematika ingat pernah menemukan himpunan tersebut saat remaja dan melihatnya sebagai metafora untuk batas rumit antara kebenaran dan kepalsuan.

Lokasi syuting Mandelbrot ada di mana-mana, hingga akhirnya tidak ada.

Dalam satu dekade, hal itu sepertinya menghilang. Matematikawan beralih ke mata pelajaran lain, dan masyarakat beralih ke simbol lain. Saat ini, hanya 40 tahun setelah penemuannya, fraktal telah menjadi hal yang klise dan tidak masuk akal.

Namun segelintir ahli matematika menolak untuk melepaskannya. Mereka telah mengabdikan hidup mereka untuk mengungkap rahasia set Mandelbrot. Sekarang, mereka pikir mereka akhirnya benar-benar memahaminya.

Kisah mereka adalah kisah eksplorasi, eksperimen — dan tentang bagaimana teknologi membentuk cara kita berpikir, dan pertanyaan yang kita ajukan tentang dunia.

Pemburu Hadiah

Pada bulan Oktober 2023, 20 ahli matematika dari seluruh dunia berkumpul di sebuah bangunan bata jongkok yang dulunya merupakan pangkalan penelitian militer Denmark. Pangkalan tersebut, dibangun pada akhir tahun 1800-an di tengah hutan, terletak di sebuah fjord di pantai barat laut pulau terpadat di Denmark. Sebuah torpedo tua menjaga pintu masuk. Foto-foto hitam-putih yang menggambarkan perwira angkatan laut berseragam, perahu-perahu berjejer di dermaga, dan uji coba kapal selam sedang berlangsung, menghiasi dinding. Selama tiga hari, ketika angin kencang membuat air di luar jendela menjadi berbusa, kelompok tersebut melakukan serangkaian pembicaraan, yang sebagian besar dilakukan oleh dua ahli matematika dari Stony Brook University di New York: Misha Lyubich dan Dima Dudko.

Dalam lokakarya tersebut, hadirin yang merupakan beberapa penjelajah Mandelbrot yang paling pemberani. Dekat bagian depan duduk Mitsuhiro Shishikura dari Universitas Kyoto, yang pada tahun 1990-an membuktikan bahwa batas himpunan itu sangat rumit. Ada beberapa kursi di sana Hiroyuki Inou, yang bersama Shishikura mengembangkan teknik penting untuk mempelajari wilayah terkenal di kumpulan Mandelbrot. Di baris terakhir adalah Serigala Jung, pencipta Mandel, perangkat lunak andalan para ahli matematika untuk menyelidiki himpunan Mandelbrot secara interaktif. Hadir pula Arnaud Chéritat dari Universitas Toulouse, Carsten Petersen dari Universitas Roskilde (yang menyelenggarakan lokakarya), dan beberapa orang lain yang telah memberikan kontribusi besar terhadap pemahaman matematikawan tentang himpunan Mandelbrot.

Dan di papan tulis berdiri Lyubich, pakar topik tersebut yang terkemuka di dunia, dan Dudko, salah satu kolaborator terdekatnya. Bersama dengan para ahli matematika Jeremy Kahn dan Alex Kapiamba, mereka telah berupaya membuktikan dugaan lama tentang struktur geometris himpunan Mandelbrot. Dugaan tersebut, yang dikenal sebagai MLC, adalah hambatan terakhir dalam upaya selama puluhan tahun untuk mengkarakterisasi fraktal, untuk menjinakkan hutan belantara yang kusut.

Dengan membangun dan mempertajam seperangkat alat yang canggih, para ahli matematika telah bergulat dengan kendali atas geometri “hampir semua yang ada di himpunan Mandelbrot,” kata Caroline Davis dari Universitas Indiana — kecuali untuk beberapa kasus yang tersisa. “Misha, Dima, Jeremy, dan Alex seperti pemburu hadiah, mencoba melacak orang-orang terakhir ini.”

Lyubich dan Dudko berada di Denmark untuk memberikan informasi terbaru kepada ahli matematika lainnya tentang kemajuan terkini dalam pembuktian MLC, dan teknik yang mereka kembangkan untuk melakukannya. Selama 20 tahun terakhir, para peneliti berkumpul di sini untuk lokakarya yang didedikasikan untuk mengungkap hasil dan metode di bidang analisis kompleks, studi matematis tentang jenis bilangan dan fungsi yang digunakan untuk menghasilkan himpunan Mandelbrot.

Ini adalah situasi yang tidak biasa: Para ahli matematika makan bersama-sama, mengobrol dan tertawa sambil minum bir hingga larut malam. Ketika mereka akhirnya memutuskan untuk tidur, mereka beristirahat di tempat tidur susun atau dipan di kamar kecil yang mereka tinggali bersama di lantai dua fasilitas tersebut. (Saat kami tiba, kami disuruh mengambil seprai dan sarung bantal dari tumpukan dan membawanya ke atas untuk merapikan tempat tidur kami.) Dalam beberapa tahun, pengunjung konferensi berani berenang di air yang sangat dingin; lebih sering, mereka berkeliaran di hutan. Namun sebagian besar, tidak ada yang bisa dilakukan kecuali matematika.

Biasanya, salah satu peserta mengatakan kepada saya, lokakarya ini menarik banyak matematikawan muda. Tapi kali ini tidak demikian—mungkin karena saat itu tengah semester, atau, dia berspekulasi, karena betapa sulitnya materi pelajaran. Diakuinya, pada saat itu, dia merasa sedikit terintimidasi dengan prospek memberikan ceramah di depan begitu banyak tokoh hebat di bidangnya.

Namun mengingat sebagian besar ahli matematika di bidang analisis kompleks yang lebih luas tidak lagi mengerjakan himpunan Mandelbrot secara langsung, mengapa mendedikasikan seluruh lokakarya untuk MLC?

Himpunan Mandelbrot lebih dari sekedar fraktal, dan bukan hanya dalam arti metaforis. Ini berfungsi sebagai semacam katalog utama sistem dinamis - dari semua cara yang berbeda untuk menggerakkan suatu titik melalui ruang berdasarkan aturan sederhana. Untuk memahami katalog induk ini, seseorang harus melintasi banyak lanskap matematika yang berbeda. Himpunan Mandelbrot sangat terkait tidak hanya dengan dinamika, tetapi juga dengan teori bilangan, topologi, geometri aljabar, teori grup, dan bahkan fisika. “Ini berinteraksi dengan matematika lainnya dengan cara yang indah,” katanya Sabyasachi Mukherjee dari Tata Institute of Fundamental Research di India.

Untuk mencapai kemajuan dalam MLC, ahli matematika harus mengembangkan serangkaian teknik canggih — yang oleh Chéritat disebut sebagai “filosofi yang kuat”. Alat-alat ini telah menarik banyak perhatian. Saat ini, mereka merupakan pilar utama dalam studi sistem dinamis secara lebih luas. Mereka ternyata sangat penting untuk memecahkan sejumlah masalah lain — masalah yang tidak ada hubungannya dengan himpunan Mandelbrot. Dan mereka telah mengubah MLC dari pertanyaan khusus menjadi salah satu dugaan terbuka yang paling dalam dan paling penting di bidang ini.

Lyubich, ahli matematika yang paling bertanggung jawab untuk membentuk “filsafat” ini ke dalam bentuknya yang sekarang, berdiri tegak dan tegak, serta berbicara dengan tenang. Ketika ahli matematika lain di lokakarya tersebut mendekatinya untuk mendiskusikan suatu konsep atau mengajukan pertanyaan, dia menutup matanya dan mendengarkan dengan penuh perhatian, alisnya yang tebal berkerut. Dia menjawab dengan hati-hati, dengan aksen Rusia.

Tapi dia juga cepat tertawa keras dan hangat, dan melontarkan lelucon masam. Dia murah hati dengan waktu dan nasihatnya. Dia “benar-benar telah membina beberapa generasi ahli matematika,” kata Mukherjee, salah satu mantan postdocs Lyubich dan sering menjadi kolaborator. Seperti yang dia ceritakan, siapa pun yang tertarik mempelajari dinamika kompleks akan meluangkan waktu di Stony Brook untuk belajar dari Lyubich. “Misha mempunyai visi tentang bagaimana kita harus menjalankan proyek tertentu, atau apa yang harus dipertimbangkan selanjutnya,” kata Mukherjee. “Dia mempunyai gambaran besar ini dalam pikirannya. Dan dia dengan senang hati membagikannya kepada orang-orang.”

Untuk pertama kalinya, Lyubich merasa bisa melihat gambaran besar itu secara keseluruhan.

Pejuang Hadiah

Set Mandelbrot dimulai dengan hadiah.

Pada tahun 1915, termotivasi oleh kemajuan terbaru dalam studi fungsi, Akademi Ilmu Pengetahuan Perancis mengumumkan sebuah kompetisi: Dalam waktu tiga tahun, mereka akan menawarkan hadiah utama sebesar 3,000 franc untuk pekerjaan pada proses iterasi — proses yang akan menghasilkan kemudian menghasilkan himpunan Mandelbrot.

Iterasi adalah penerapan suatu aturan secara berulang-ulang. Masukkan angka ke dalam suatu fungsi, lalu gunakan hasilnya sebagai masukan Anda berikutnya. Terus lakukan itu, dan amati apa yang terjadi seiring berjalannya waktu. Saat Anda terus mengulangi fungsi Anda, angka yang Anda peroleh mungkin akan meningkat dengan cepat hingga tak terhingga. Atau mereka mungkin ditarik ke arah suatu bilangan tertentu, seperti serbuk besi yang bergerak menuju magnet. Atau berakhir terpental di antara dua angka yang sama, atau tiga, atau seribu, dalam orbit stabil yang tidak akan pernah bisa mereka hindari. Atau melompat dari satu nomor ke nomor lain tanpa alasan atau alasan, mengikuti jalur yang kacau dan tidak dapat diprediksi.

Akademi Perancis, dan ahli matematika secara lebih luas, mempunyai alasan lain untuk tertarik pada iterasi. Proses ini memainkan peran penting dalam studi sistem dinamis - sistem seperti rotasi planet mengelilingi matahari atau aliran aliran turbulen, sistem yang berubah seiring waktu menurut seperangkat aturan tertentu.

Hadiah tersebut menginspirasi dua ahli matematika untuk mengembangkan bidang studi yang benar-benar baru.

Yang pertama adalah Pierre Fatou, yang di kehidupan lain mungkin adalah seorang angkatan laut (tradisi keluarga), jika bukan karena kesehatannya yang buruk. Dia malah mengejar karir di bidang matematika dan astronomi, dan pada tahun 1915 dia telah membuktikan beberapa hasil penting dalam analisis. Lalu ada Gaston Julia, seorang ahli matematika muda menjanjikan yang lahir di Aljazair yang diduduki Prancis, yang studinya terhenti karena Perang Dunia I dan wajib militernya menjadi tentara Prancis. Pada usia 22 tahun, setelah menderita cedera parah tak lama setelah memulai dinasnya — dia akan mengenakan tali kulit di wajahnya selama sisa hidupnya, setelah dokter tidak dapat memperbaiki kerusakan tersebut — dia kembali ke matematika, melakukan beberapa hal. pekerjaan yang akan dia serahkan untuk hadiah Akademi dari ranjang rumah sakit.

Hadiah tersebut memotivasi Fatou dan Julia untuk mempelajari apa yang terjadi saat Anda melakukan iterasi fungsi. Mereka bekerja secara independen, namun akhirnya membuat penemuan yang sangat mirip. Ada begitu banyak tumpang tindih dalam hasil-hasilnya sehingga sampai sekarang, tidak selalu jelas bagaimana cara memberikan kredit. (Julia lebih terbuka, dan karena itu mendapat lebih banyak perhatian. Dia akhirnya memenangkan hadiah; Fatou bahkan tidak melamar.) Karena karya ini, keduanya kini dianggap sebagai pendiri bidang dinamika kompleks.

“Kompleks,” karena Fatou dan Julia mengulangi fungsi bilangan kompleks — bilangan yang menggabungkan bilangan real yang sudah dikenal dengan bilangan imajiner (kelipatan dari i, simbol yang digunakan ahli matematika untuk menunjukkan akar kuadrat dari −1). Meskipun bilangan real dapat direpresentasikan sebagai titik pada suatu garis, bilangan kompleks dapat divisualisasikan sebagai titik pada bidang, seperti:

Fatou dan Julia menemukan bahwa mengulangi fungsi kompleks yang sederhana sekalipun (bukan sebuah paradoks dalam bidang matematika!) dapat menghasilkan perilaku yang kaya dan rumit, bergantung pada titik awal Anda. Mereka mulai mendokumentasikan perilaku-perilaku ini, dan merepresentasikannya secara geometris.

Namun kemudian pekerjaan mereka memudar selama setengah abad. “Orang-orang bahkan tidak tahu apa yang harus dicari. Mereka terbatas pada pertanyaan apa yang harus ditanyakan,” kata Artur Avila, seorang profesor di Universitas Zurich.

Hal ini berubah ketika grafik komputer mulai berkembang pada tahun 1970an.

Pada saat itu, ahli matematika Benoît Mandelbrot telah mendapatkan reputasi sebagai seorang akademisi yang ahli. Dia mencoba-coba berbagai bidang, mulai dari ekonomi hingga astronomi, semuanya saat bekerja di pusat penelitian IBM di utara New York City. Ketika dia ditunjuk sebagai anggota IBM pada tahun 1974, dia memiliki lebih banyak kebebasan untuk menjalankan proyek independen. Dia memutuskan untuk menerapkan kekuatan komputasi yang besar dari pusat tersebut untuk membawa dinamika kompleks keluar dari hibernasi.

Pada awalnya, Mandelbrot menggunakan komputer untuk menghasilkan bentuk-bentuk yang telah dipelajari Fatou dan Julia. Gambar tersebut mengkodekan informasi tentang kapan titik awal, ketika diulang, akan lepas hingga tak terhingga, dan kapan titik tersebut akan terjebak dalam pola lain. Gambar Fatou dan Julia dari 60 tahun sebelumnya tampak seperti kumpulan lingkaran dan segitiga — namun gambar hasil komputer yang dibuat Mandelbrot tampak seperti naga dan kupu-kupu, kelinci dan katedral, serta kepala kembang kol, terkadang bahkan awan debu yang tidak terhubung. Pada saat itu, Mandelbrot telah menciptakan kata “fraktal” untuk bentuk yang tampak serupa pada skala berbeda; kata tersebut membangkitkan gagasan tentang jenis geometri baru — sesuatu yang terfragmentasi, pecahan, atau rusak.

Gambar-gambar yang muncul di layar komputernya – sekarang dikenal sebagai kumpulan Julia – adalah beberapa contoh fraktal paling indah dan rumit yang pernah dilihat Mandelbrot.

Karya Fatou dan Julia berfokus pada geometri dan dinamika masing-masing himpunan ini (dan fungsinya yang terkait) secara individual. Namun komputer memberi Mandelbrot cara untuk memikirkan seluruh rangkaian fungsi sekaligus. Dia dapat mengkodekan semuanya dalam gambar yang kemudian memuat namanya, meskipun masih menjadi perdebatan apakah dia benar-benar orang pertama yang menemukannya.

Himpunan Mandelbrot berkaitan dengan persamaan paling sederhana yang masih menghasilkan sesuatu yang menarik ketika diulang. Ini adalah fungsi kuadrat dari bentuk f(z) = z² + c. Perbaiki nilai c — dapat berupa bilangan kompleks apa pun. Jika Anda mengulangi persamaan yang dimulai dengan z = 0 dan temukan bahwa angka yang Anda hasilkan tetap kecil (atau terbatas, seperti yang dikatakan ahli matematika). c ada di set Mandelbrot. Sebaliknya, jika Anda mengulangi dan menemukan bahwa pada akhirnya jumlah Anda mulai bertambah hingga tak terbatas, maka c tidak ada di set Mandelbrot.

Sangat mudah untuk menunjukkan nilai-nilai itu c mendekati nol ada di set. Dan juga sangat mudah untuk menunjukkan nilai-nilai besar itu c tidak. Namun bilangan kompleks sesuai dengan namanya: Batas himpunan ini sangat rumit. Tidak ada alasan yang jelas untuk berubah c dalam jumlah kecil seharusnya menyebabkan Anda terus melewati batas, namun saat Anda memperbesarnya, detail dalam jumlah tak terbatas akan muncul.

Terlebih lagi, himpunan Mandelbrot bertindak seperti peta himpunan Julia, seperti yang dapat dilihat pada gambar interaktif di bawah. Pilih nilai c di set Mandelbrot. Set Julia yang sesuai akan terhubung. Tetapi jika Anda meninggalkan set Mandelbrot, maka set Julia yang sesuai akan terputus debunya.