Pengantar
Kita cenderung menganggap matematika sebagai sesuatu yang logis, namun pengajaran matematika, nilai-nilainya, kegunaannya, dan cara kerjanya penuh dengan nuansa. Jadi apa itu matematika yang “baik”? Pada tahun 2007, ahli matematika Terence tao menulis esai untuk Buletin Persatuan Matematika Amerika yang berusaha menjawab pertanyaan ini. Saat ini, sebagai penerima Fields Medal, Breakthrough Prize in Mathematics, dan MacArthur Fellowship, Tao adalah salah satu matematikawan paling terhormat dan produktif yang masih hidup. Dalam episode ini, dia bergabung dengan pembawa acara dan sesama ahli matematika Steven Strogatz untuk meninjau kembali bakat matematika yang baik.
Dengarkan Podcast Apple, Spotify, Google Podcast, Mesin penjahit, TuneIn atau aplikasi podcasting favorit Anda, atau Anda bisa streaming dari Quanta.
Salinan
STEVEN STROGATZ: Pada bulan Oktober 2007, ketika iPhone generasi pertama masih menjadi komoditas panas dan pasar saham berada pada titik tertinggi sepanjang masa sebelum Resesi Hebat, Terence Tao, seorang profesor matematika di UCLA, bertekad untuk menjawab pertanyaan Pertanyaan yang sudah lama diperdebatkan di kalangan matematikawan: Apa sebenarnya matematika yang baik itu?
Apakah ini tentang ketelitian? Keanggunan? Utilitas dunia nyata? Terry menulis esai yang sangat bijaksana dan murah hati, bahkan saya katakan dengan hati terbuka, tentang semua cara agar matematika bisa menjadi baik. Namun sekarang, lebih dari 15 tahun kemudian, apakah kita perlu memikirkan kembali apa itu matematika yang baik?
Saya Steve Strogatz, dan ini adalah podcast dari “The Joy of Why”. Majalah Quanta di mana saya dan rekan pembawa acara saya, Janna Levin, bergiliran menjelajahi beberapa pertanyaan terbesar yang belum terjawab dalam matematika dan sains saat ini.
(Drama tema)
Di sini hari ini untuk meninjau kembali pertanyaan abadi tentang apa yang membuat matematika baik adalah Terry Tao sendiri. Profesor Tao telah menulis lebih dari 300 makalah penelitian tentang bidang matematika yang sangat luas termasuk analisis harmonik, persamaan diferensial parsial, kombinatorik, teori bilangan, ilmu data, matriks acak, dan banyak lagi. Dia disebut sebagai "Mozart Matematika". Dan sebagai pemenang Fields Medal, Breakthrough Prize in Mathematics, MacArthur Fellowship, dan banyak penghargaan lainnya, julukan tersebut tentunya sangat pantas diterima.
Terry, selamat datang di “Kegembiraan Mengapa”.
TERENCE TAO: Senang berada di sini.
STROGATZ: Saya sangat bersemangat untuk dapat berbicara dengan Anda tentang pertanyaan tentang apa yang membuat beberapa jenis penelitian matematika bagus. Saya ingat dengan jelas membalik-baliknya Buletin Persatuan Matematika Amerika kembali pada tahun 2007 dan menemukan esai Anda tentang masalah ini bahwa kamu berpose untuk kami. Itu adalah sesuatu yang dipikirkan semua ahli matematika. Namun bagi orang-orang di luar sana yang mungkin belum begitu familiar, dapatkah Anda memberi tahu kami, bagaimana Anda bisa menjawab pertanyaan ini? Bagaimana Anda mendefinisikan matematika yang baik pada saat itu?
TAO: Benar, ya. Itu sebenarnya sebuah ajakan. Jadi editor Buletin pada saat itu telah meminta saya untuk menyumbangkan artikel. Saya rasa saya memiliki gagasan yang sangat naif tentang apa itu matematika saat masih menjadi siswa. Aku punya gagasan bahwa ada semacam dewan orang-orang berjanggut abu-abu yang akan membagikan masalah-masalah untuk diselesaikan orang-orang. Dan hal ini cukup mengejutkan saya sebagai mahasiswa pascasarjana, karena menyadari bahwa sebenarnya tidak ada otoritas pusat yang bisa menangani masalah, dan orang-orang melakukan penelitian mandiri.
Saya terus berbicara dan mendengarkan bagaimana ahli matematika lain berbicara tentang apa yang mereka anggap menarik dan apa yang membuat mereka tertarik dengan matematika, dan fakta bahwa setiap ahli matematika memiliki cara pendekatan matematika yang berbeda. Misalnya, ada yang mengejar penerapan, ada yang berdasarkan keindahan estetis, ada pula yang sekadar memecahkan masalah. Mereka ingin memecahkan suatu masalah dan mereka akan fokus pada tugas yang paling sulit dan paling menantang. Beberapa akan fokus pada teknik; beberapa akan mencoba membuat segala sesuatunya seanggun mungkin.
Namun apa yang mengejutkan saya ketika mendengarkan begitu banyak ahli matematika yang berbeda ini berbicara tentang apa yang mereka anggap berharga dalam matematika adalah bahwa, meskipun kita semua memiliki cita-cita yang berbeda mengenai seperti apa seharusnya matematika yang baik, mereka semua cenderung berpikir demikian. berkumpul pada hal yang sama.
Jika sebuah karya matematika benar-benar bagus, orang yang mengejar keindahan pada akhirnya akan menemukannya. Orang-orang yang mengejar, yang menghargai, Anda tahu, kekuatan teknis atau aplikasi pada akhirnya akan mendapatkannya.
Eugene Wigner memiliki esai yang sangat terkenal tentang efektivitas matematika yang tidak masuk akal dalam ilmu fisika hampir seabad yang lalu, di mana dia baru saja mengamati bahwa ada bidang-bidang matematika - misalnya, geometri Riemannian, studi tentang ruang melengkung - yang pada awalnya hanya merupakan latihan teoritis murni bagi para ahli matematika, lho, mencoba membuktikannya. postulat paralel dan sebagainya, ternyata merupakan postulat yang persis seperti yang dibutuhkan Einstein, Poincaré, dan Hilbert untuk mendeskripsikan matematika relativitas umum. Dan itu hanya sebuah fenomena yang terjadi.
Jadi bukan hanya matematika, apa yang dianggap menarik secara intelektual oleh para ahli matematika, pada akhirnya menjadi penting secara fisik. Namun bahkan dalam matematika, mata pelajaran yang dianggap elegan oleh para ahli matematika juga memberikan wawasan yang mendalam.
Apa yang saya rasakan adalah, Anda tahu, ada beberapa matematika platonis yang bagus di luar sana, dan semua sistem nilai kita yang berbeda hanyalah cara yang berbeda untuk mengakses hal-hal baik yang obyektif tersebut.
STROGATZ: Itu sangat menarik. Sebagai tipe orang yang cenderung berpikiran platonis, saya tergoda untuk setuju. Meskipun saya sedikit terkejut mendengar Anda mengatakan itu, karena saya mengira ke mana Anda akan pergi pada awalnya sepertinya, ada begitu banyak sudut pandang yang berbeda tentang hal ini. Namun merupakan fakta yang menarik, semacam fakta empiris, bahwa kita memang sepakat mengenai apa yang baik atau tidak baik, meskipun, seperti yang Anda katakan, kita menilainya dari berbagai nilai yang berbeda.
TAO: Benar. Konvergensi mungkin memerlukan waktu. Anda tahu, pasti ada bidang, misalnya, yang terlihat jauh lebih baik jika diukur dengan satu metrik dibandingkan metrik lainnya. Kayaknya mungkin aplikasinya banyak, tapi penyajiannya jelek banget lho.
(Strogatz tertawa)
Atau hal-hal yang sangat elegan namun belum banyak diterapkan di dunia nyata. Tapi saya merasa pada akhirnya hal itu akan menyatu.
STROGATZ: Baiklah, izinkan saya bertanya kepada Anda tentang titik kontak dengan dunia nyata. Ini adalah ketegangan yang menarik dalam matematika. Dan, tahukah Anda, sebagai anak kecil, katakanlah, ketika kita pertama kali belajar tentang geometri, Anda mungkin berpikir bahwa segitiga itu nyata, atau lingkaran atau garis lurus itu nyata, dan mereka dapat memberi tahu Anda tentang bentuk persegi panjang yang Anda lihat. di gedung-gedung di seluruh dunia, atau surveyor perlu menggunakan geometri. Lagi pula, kata itu berasal dari pengukuran bumi, kan, “geometri”. Jadi, ada suatu masa ketika geometri bersifat empiris.
Tapi yang ingin saya tanyakan ada hubungannya dengan komentar itu John von Neumann dibuat. Jadi von Neumann, bagi siapa pun yang belum mengenalnya, adalah seorang matematikawan hebat. Dan dia membuat komentar ini dalam esai ini, “Ahli Matematika,” tentang hubungan antara matematika dan dunia empiris, dunia nyata, di mana ia mengatakan secara kasar bahwa ide-ide matematika berasal dari empiris, tetapi pada titik tertentu, setelah Anda mendapatkan ide-ide matematika, subjek mulai mengambil kehidupannya sendiri. memiliki. Dan itu lebih seperti sebuah karya seni kreatif. Kriteria estetika menjadi penting. Namun menurutnya hal itu menimbulkan bahaya. Ketika suatu subjek mulai menjauh dari sumber empirisnya, terutama pada generasi kedua atau ketiga, ia mengatakan bahwa ada kemungkinan subjek tersebut mengalami terlalu banyak perkawinan sedarah abstrak dan berada dalam bahaya degenerasi.
Ada pemikiran tentang itu? Maksud saya, apakah matematika harus tetap berhubungan dengan sumber empirisnya?
Tao: Ya, menurut saya itu memang harus dibumikan. Ketika saya mengatakan bahwa, secara empiris, semua cara yang berbeda dalam mengerjakan matematika memang menyatu, itu hanya karena — hal ini hanya terjadi jika subjeknya sehat. Jadi, tahukah Anda, kabar baiknya adalah hal itu biasanya terjadi.
Namun, misalnya, ahli matematika lebih menghargai bukti yang pendek dibandingkan bukti yang panjang, jika semua hal dianggap sama. Tapi kita bisa membayangkan orang-orang bertindak berlebihan dan, misalnya, salah satu subbidang matematika terobsesi untuk membuat pembuktian sesingkat mungkin dan memiliki bukti dua baris teorema mendalam yang sangat buram ini. Dan mereka menjadikannya seperti kontes ini, dan kemudian menjadi permainan yang sulit dipahami dan kemudian Anda kehilangan semua intuisi. Anda mungkin kehilangan pemahaman yang lebih dalam karena Anda terlalu terobsesi untuk membuat semua bukti Anda sesingkat mungkin. Sekarang, hal ini tidak benar-benar terjadi dalam praktiknya. Tapi ini semacam contoh teoretis, dan menurut saya von Neumann juga menyampaikan hal serupa.
Dan pada tahun enam puluhan dan tujuh puluhan, ada era matematika di mana abstraksi membuat kemajuan besar dalam menyederhanakan dan menyatukan banyak matematika yang sebelumnya sangat empiris. Khususnya dalam aljabar, orang-orang menyadari, lho, bilangan dan polinomial serta banyak objek lain yang sebelumnya diperlakukan secara terpisah, Anda semua dapat menganggapnya sebagai anggota kelas aljabar yang sama, dalam hal ini sebuah gelanggang.
Dan banyak kemajuan dalam matematika dicapai dengan menemukan abstraksi yang tepat, apakah itu ruang topologi atau ruang vektor, apa pun, dan membuktikan teorema secara umum. Dan inilah yang terkadang kita sebut sebagai era Bourbaki dalam matematika. Dan itu sedikit membelok terlalu jauh dari landasan.
Kami tentu saja mengalami, seperti, seluruh episode Matematika Baru di Amerika, di mana para pendidik mencoba melakukannya mengajar matematika dengan gaya Bourbaki dan akhirnya menyadari bahwa itu bukanlah pedagogi yang tepat pada tingkat itu.
Namun kini pendulumnya sudah sedikit berayun ke belakang. Kami memiliki semacam - subjeknya sudah cukup matang dan setiap bidang matematika, geometri, topologi, apa pun, kami memiliki formalisasi yang memuaskan dan kami tahu apa abstraksi yang tepat. Dan kini bidang ini kembali berfokus pada interkoneksi dan aplikasi. Ini menghubungkan lebih banyak ke dunia nyata sekarang.
Maksud saya, bukan hanya ilmu fisika, yang merupakan hubungan tradisional, tapi, tahukah Anda, ilmu komputer, ilmu kehidupan, ilmu sosial, Anda tahu. Dengan munculnya data besar, hampir semua disiplin ilmu manusia kini dapat dimatematika sampai batas tertentu.
STROGATZ: Saya sangat tertarik dengan kata yang baru saja Anda gunakan beberapa menit yang lalu tentang “interkoneksi”, karena sepertinya itulah poin sentral yang perlu kita diskusikan. Itu adalah sesuatu yang Anda sebutkan dalam esai Anda yang, bersama dengan ini, apa yang Anda sebut kriteria “lokal” tentang keanggunan, atau penerapan di dunia nyata, atau apa pun, Anda menyebutkan aspek “global” dari matematika yang baik: bahwa matematika yang baik terhubung dengan yang lain. matematika yang bagus.
Itu hampir merupakan kunci yang membuatnya bagus, yaitu terintegrasi dengan bagian lain. Namun hal ini menarik karena kedengarannya hampir seperti penalaran melingkar: matematika yang baik adalah matematika yang menghubungkan dengan matematika bagus lainnya. Namun ini adalah ide yang sangat kuat, dan saya hanya ingin tahu apakah Anda dapat mengembangkannya lebih jauh lagi.
TAO: Ya, jadi, maksud saya, apa itu matematika - salah satu fungsi matematika adalah membuat hubungan-hubungan yang sangat mendasar dan mendasar, namun tidak terlihat jelas jika Anda hanya melihatnya dari tingkat permukaan. Contoh paling awal dari hal ini adalah penemuan koordinat Cartesian Descartes yang membuat hubungan mendasar antara geometri — studi tentang titik dan garis serta objek spasial — dan angka, aljabar.
Jadi, misalnya, lingkaran dapat Anda anggap sebagai objek geometris, namun Anda juga dapat menganggapnya sebagai persamaan: x2 + y2 = 1 adalah persamaan lingkaran. Pada saat itu, ini adalah hubungan yang sangat revolusioner. Tahukah Anda, orang Yunani kuno memandang teori bilangan dan geometri sebagai subjek yang hampir tidak berhubungan sama sekali.
Namun pada Descartes, ada hubungan mendasar ini. Dan sekarang hal itu sudah terinternalisasi; Anda tahu, cara kami mengajar matematika. Tidak mengherankan lagi jika Anda mempunyai soal geometri, Anda menyerangnya dengan angka. Atau jika Anda mempunyai masalah dengan angka, Anda dapat mengatasinya dengan geometri.
Hal ini disebabkan karena geometri dan bilangan merupakan aspek dari konsep matematika yang sama. Kita mempunyai keseluruhan bidang yang disebut geometri aljabar, yang bukan merupakan aljabar atau geometri, namun merupakan subjek terpadu yang mempelajari objek-objek yang dapat Anda anggap sebagai bentuk geometris, seperti garis, lingkaran, dan sebagainya, atau sebagai persamaan.
Namun sebenarnya, ini adalah perpaduan holistik dari keduanya yang kita pelajari. Dan ketika subjek semakin mendalam, kami menyadari bahwa hal tersebut lebih mendasar daripada aljabar atau geometri secara terpisah, dalam beberapa hal. Jadi, hubungan ini membantu kita menemukan matematika sebenarnya yang pada awalnya, entah bagaimana, studi empiris kita hanya memberi kita sudut pandang pada subjek tersebut.
Ada perumpamaan terkenal tentang gajah, saya lupa di mana, kalau Anda punya… Ada empat orang buta, dan mereka menemukan seekor gajah. Dan salah satu dari mereka meraba kaki gajah dan berpikir, “Oh, ini kasar sekali. Itu pasti seperti pohon atau semacamnya.”
Dan salah satu dari mereka meraba belalainya, dan tak lama kemudian mereka melihat ada satu objek gajah yang menjelaskan semua hipotesis mereka. Ya, jadi pada awalnya kita semua buta, lho. Kami hanya mengamati bayangan di gua Plato dan baru kemudian menyadari —
STROGATZ: Wow, Anda sangat filosofis di sini. Ini adalah sesuatu. Saya tidak dapat menolaknya sekarang: Jika Anda mulai berbicara tentang gajah dan orang buta, ini menunjukkan bahwa Anda berpikir matematika ada di luar sana - bahwa matematika itu seperti gajah dan kita adalah orang buta… Atau, Anda tahu, kami mencoba melihat sesuatu yang ada secara independen dari manusia. Apakah itu benar-benar yang Anda yakini?
TAO: Ketika Anda mengerjakan matematika dengan baik, misalnya, itu tidak hanya sekedar memaksakan simbol. Anda merasa ada objek nyata yang ingin Anda pahami, dan semua persamaan yang kami miliki hanyalah perkiraan, atau bayangan.
Anda bisa memperdebatkan poin filosofis tentang apa sebenarnya realitas dan sebagainya. Maksud saya, ini adalah hal-hal yang benar-benar dapat Anda sentuh, dan semakin nyata secara matematis, terkadang semakin tidak terlihat secara fisik. Seperti yang Anda katakan, geometri pada awalnya, Anda tahu, adalah hal yang sangat nyata tentang objek dalam ruang fisik yang Anda bisa - Anda tahu, Anda sebenarnya bisa membuat lingkaran, persegi, dan seterusnya.
Namun dalam geometri modern, Anda tahu, kita bekerja dalam dimensi yang lebih tinggi. Kita dapat berbicara tentang geometri diskrit, segala jenis topologi yang aneh. Dan maksud saya, subjek tersebut tetap layak disebut geometri, meski Bumi sudah tidak diukur lagi. Etimologi Yunani kuno sudah ketinggalan jaman, tapi pasti ada sesuatu di sana. Apakah - seberapa nyata Anda ingin menyebutnya. Tapi saya kira intinya adalah bahwa untuk tujuan mengerjakan matematika, ada baiknya untuk percaya bahwa itu nyata.
STROGATZ: Ya, menarik bukan? Memang benar. Sepertinya itu adalah sesuatu yang mendalam dalam sejarah matematika. Saya terkejut dengan esai Archimedes yang ditulis kepada temannya, atau setidaknya rekannya, Eratosthenes.
Kita bicara sekarang, misalnya, 250 SM. Dan dia menyatakan, dia menemukan cara untuk mencari luas yang kita sebut segmen parabola. Dia mengambil sebuah parabola, memotongnya dengan segmen garis yang membentuk sudut miring terhadap sumbu parabola, dan dia menentukan luasnya. Dia mendapatkan hasil yang sangat indah. Namun dia mengatakan sesuatu kepada Eratosthenes seperti, “Hasil ini sudah melekat pada angka-angka selama ini.” Anda tahu, sepertinya, mereka ada di sana. Mereka ada di sana. Mereka hanya menunggu dia menemukannya.
Bukannya dia yang menciptakannya. Ini tidak seperti puisi. Maksudku, sebenarnya ini menarik, bukan? Banyak sekali seniman hebat - Michelangelo berbicara tentang melepaskan patung itu dari batu, Anda tahu, seolah-olah patung itu memang ada di sana sejak awal. Dan sepertinya Anda dan banyak ahli matematika hebat lainnya memilikinya - seperti yang Anda katakan, sangat berguna untuk memercayai gagasan ini, bahwa gagasan ini menunggu kita, menunggu pikiran yang tepat untuk menemukannya.
TAO: Benar. Menurut saya salah satu perwujudannya adalah ide-ide yang seringkali sangat rumit untuk dijelaskan ketika pertama kali ditemukan, menjadi disederhanakan. Maksud saya, sering kali alasan mengapa sesuatu terlihat sangat dalam atau sulit di awal adalah karena Anda tidak memiliki notasi yang tepat.
Misalnya, sekarang kita memiliki notasi desimal untuk memanipulasi angka, dan ini sangat mudah. Namun di masa lalu, kita memiliki angka Romawi dan bahkan ada sistem bilangan yang lebih primitif yang sangat, sangat sulit untuk dikerjakan jika Anda ingin mengerjakan matematika.
milik Euclid Elemen, Anda tahu — beberapa argumen dalam teks kuno ini. Misalnya, ada satu teorema dalam teorema Euclid Elemen Saya pikir disebut Jembatan Orang Bodoh atau semacamnya. Seperti pernyataan yang menurut saya pernyataan itu seperti segitiga sama kaki, kedua sudut alasnya sama besar. Ibaratnya, ini seperti pembuktian dua baris dalam teks geometri modern lho, dengan aksioma yang benar. Tapi Euclid punya cara yang mengerikan dalam melakukannya. Dan di sinilah banyak siswa geometri di era klasik menyerah sepenuhnya pada matematika.
STROGATZ: BENAR. (tertawa)
TAO: Tapi, tahukah Anda, sekarang kami punya cara yang lebih baik untuk melakukan hal itu. Seringkali komplikasi yang kita lihat dalam matematika merupakan artefak dari keterbatasan kita sendiri. Dan seiring bertambahnya usia, segalanya menjadi lebih sederhana. Dan itu terasa lebih nyata karenanya. Kami tidak melihat artefaknya. Kami melihat esensinya.
STROGATZ: Baiklah, kembali ke esai Anda: Ketika Anda menulisnya, pada saat itu - maksud saya, ini masih merupakan awal karir Anda, bukan permulaan, tapi tetap saja. Mengapa saat itu Anda merasa penting untuk mencoba mendefinisikan apa itu matematika yang baik?
TAO: Saya pikir… Jadi pada saat itu, saya sudah mulai menasihati mahasiswa pascasarjana, dan saya memperhatikan bahwa, Anda tahu, ada beberapa kesalahpahaman tentang, apa yang baik dan apa yang tidak. Dan saya juga berbicara dengan ahli matematika di berbagai bidang, dan bidang matematika yang dinilai oleh seseorang tampaknya berbeda dari bidang lainnya. Namun, entah bagaimana kami semua mempelajari subjek yang sama.
Dan terkadang seseorang mengatakan sesuatu yang membuat saya salah paham, seperti, “Matematika ini tidak ada penerapannya, oleh karena itu tidak ada nilainya.” Atau “Bukti ini terlalu rumit; oleh karena itu ia tidak ada nilainya,” atau semacamnya. Atau sebaliknya, Anda tahu, “Bukti ini terlalu sederhana; oleh karena itu tidak ada gunanya…” Anda tahu. Seperti, ada beberapa, seperti, semacam keangkuhan dan sebagainya, yang terkadang saya temui.
Dan menurut pengalaman saya, matematika terbaik datang ketika saya memahami sudut pandang yang berbeda, cara berpikir yang berbeda tentang matematika dari seseorang di bidang berbeda dan menerapkannya pada masalah yang saya pedulikan. Jadi pengalaman saya tentang cara menggunakan matematika dengan benar, cara menggunakannya, sangat berbeda dari ini - semacam “satu-satunya cara yang benar dalam mengerjakan matematika.”
Saya merasa poin ini harus disampaikan. Bahwa sebenarnya cara mengerjakan matematika itu jamak, tetapi matematika itu tetap satu kesatuan.
STROGATZ: Itu sangat mengungkap, karena saya bertanya-tanya, Anda tahu, seperti, dalam pendahuluan saya, saya menyebutkan berbagai cabang matematika yang telah Anda jelajahi, dan saya bahkan tidak menyertakan beberapa. Seperti, saya ingat beberapa tahun yang lalu, pekerjaan Anda tentang misteri dinamika fluida, tentang apakah persamaan tertentu yang menurut kami berfungsi dengan baik dalam memperkirakan pergerakan air dan udara. Saya tidak ingin menjelaskan terlalu banyak detailnya, tetapi hanya untuk mengatakan, ini dia, orang mengira Anda mengerjakan teori bilangan atau analisis harmonik, dan tiba-tiba Anda sedang mengerjakan soal dinamika fluida. Maksudku, aku sadar itu persamaan diferensial parsial. Namun tetap saja, luasnya minat Anda tampaknya berkaitan dengan luasnya penerimaan wawasan yang berbeda, ide-ide berharga yang berbeda dari berbagai cara melakukan matematika dengan baik.
TAO: Saya lupa siapa yang bilang, tapi ada dua tipe matematikawan. Ada landak dan rubah. Rubah adalah seseorang yang tahu sedikit tentang segala hal. Landak adalah makhluk yang mengetahui satu hal dengan sangat baik. Dan tidak ada yang lebih baik dari yang lain. Mereka saling melengkapi. Maksud saya, dalam matematika, Anda memerlukan orang-orang yang sangat ahli dalam satu subbidang, dan mereka mengetahui suatu subjek secara mendalam. Dan Anda membutuhkan orang-orang yang bisa melihat hubungan antara satu bidang dan bidang lainnya. Jadi saya mengidentifikasi diri saya sebagai rubah, tetapi saya bekerja dengan banyak landak. Karya yang paling saya banggakan seringkali merupakan kolaborasi seperti itu.
STROGATZ: Oh ya. Apakah mereka menyadari bahwa mereka adalah landak?
TAO: Baiklah, perannya berubah seiring waktu. Seperti, ada kolaborasi lain di mana saya sebagai landak dan orang lain sebagai rubah. Ini tidak permanen - Anda tahu, ini tidak ada dalam DNA Anda.
STROGATZ: Ah, poin bagus. Kita bisa mengadopsi — kita bisa memakai kedua jubah tersebut.
Nah, bagaimana dengan tanggapan terhadap esai tersebut pada saat itu? Apakah orang-orang membalas Anda?
TAO: Saya mendapat respon yang cukup positif secara umum. Maksudku, itu Buletin AMS menurut saya, ini bukan publikasi yang beredar secara luas. Dan juga, saya tidak mengatakan sesuatu yang terlalu kontroversial. Selain itu, media sosial semacam ini sudah ada sebelum itu, jadi, menurut saya mungkin ada beberapa blog matematika yang menggunakan media sosial ini, namun belum ada Twitter. Tidak ada yang bisa membuatnya menjadi viral.
Ya, menurut saya juga, secara umum, ahli matematika tidak menghabiskan banyak waktu dan modal intelektualnya untuk berspekulasi. Maksudku, ada ahli matematika lain yang dipanggil Minyong Kim yang memiliki metafora yang sangat bagus bahwa, bagi ahli matematika, kredibilitas itu seperti mata uang, seperti uang. Jika Anda membuktikan teorema dan menunjukkan bahwa Anda mengetahui subjeknya, entah bagaimana Anda mengumpulkan mata uang kredibilitas ini di bank. Dan begitu Anda memiliki cukup uang, Anda bisa berspekulasi sedikit dengan bersikap sedikit filosofis dan mengatakan apa yang mungkin benar daripada apa yang sebenarnya bisa Anda buktikan.
Namun kami cenderung konservatif, dan kami tidak ingin ada cerukan di rekening bank kami. Anda tahu, Anda tidak ingin sebagian besar tulisan Anda bersifat spekulatif dan hanya satu persen yang benar-benar membuktikan sesuatu.
STROGATZ: Cukup adil. Jadi, oke. Jadi, bertahun-tahun telah berlalu sejak itu. Apa yang kita bicarakan? Ini lebih dari 15 tahun.
TAO: Oh ya, waktu berlalu.
STROGATZ: Apakah pendapatmu berubah? Apakah ada yang perlu kami revisi?
TAO: Ya, budaya matematika sedang berubah sedikit. Saya sudah mempunyai pandangan yang luas tentang matematika, dan sekarang saya mempunyai pandangan yang lebih luas lagi.
Jadi, salah satu contoh yang sangat konkrit adalah: Pembuktian dengan bantuan komputer masih kontroversial pada tahun 2007. Ada dugaan terkenal yang disebut dugaan Kepler, yang berkaitan dengan cara paling efisien untuk mengemas bola satuan dalam ruang tiga dimensi. Dan ada pengepakan standar, menurut saya itu disebut pengepakan pusat kubik atau semacamnya, yang menurut Kepler adalah yang terbaik.
Hal ini akhirnya terselesaikan, namun buktinya sangat dibantu komputer. Itu cukup rumit, dan [Thomas] Halesakhirnya benar-benar menciptakan seluruh bahasa komputer untuk memverifikasi bukti khusus ini secara formal, tetapi tidak diterima sebagai bukti nyata selama bertahun-tahun. Namun hal ini menggambarkan betapa kontroversialnya konsep pembuktian bahwa Anda memerlukan bantuan komputer untuk memverifikasinya.
Bertahun-tahun setelahnya, ada banyak sekali contoh bukti lain di mana manusia dapat mereduksi masalah rumit menjadi sesuatu yang masih memerlukan komputer untuk memverifikasinya. Dan kemudian komputer melanjutkan dan memverifikasinya. Kami telah mengembangkan praktik tentang cara melakukan hal ini secara bertanggung jawab. Anda tahu, cara mempublikasikan kode dan data serta cara memeriksa hal-hal baru yang bersifat open-source dan sebagainya. Dan sekarang, pembuktian dengan bantuan komputer diterima secara luas.
Sekarang, menurut saya, pergeseran budaya berikutnya akan terjadi apakah bukti yang dihasilkan AI akan diterima. Saat ini, alat AI belum berada pada tingkat yang dapat menghasilkan bukti untuk benar-benar memajukan permasalahan matematika. Mungkin pekerjaan rumah tingkat sarjana, mereka bisa mengatasinya, tapi meneliti matematika, mereka belum mencapai level itu. Namun pada titik tertentu, kita akan mulai melihat makalah yang didukung AI akan diterbitkan dan akan terjadi perdebatan.
Budaya kita telah berubah dalam beberapa hal… Pada tahun 2007, hanya sebagian kecil ahli matematika yang menyediakan pracetaknya sebelum diterbitkan. Penulis akan dengan hati-hati menjaga pracetaknya sampai mereka mendapat pemberitahuan penerimaan dari jurnal. Dan kemudian mereka mungkin berbagi.
Tapi sekarang semua orang menaruh surat-suratnya server publik seperti arXiv. Semakin banyak keterbukaan untuk memasang video dan postingan blog, tentang dari mana ide sebuah makalah berasal. Karena masyarakat menyadari bahwa hal inilah yang menjadikan pekerjaan lebih berpengaruh dan berdampak. Jika Anda mencoba untuk tidak mempublikasikan karya Anda dan bersikap sangat merahasiakannya, hal itu tidak akan menimbulkan kehebohan.
Matematika telah menjadi jauh lebih kolaboratif. Anda tahu, 50 tahun yang lalu, menurut saya sebagian besar makalah matematika ditulis oleh penulis tunggal. Sekarang, yang pasti mayoritasnya adalah dua, tiga, atau empat penulis. Dan kami baru saja mulai melihat proyek-proyek besar seperti yang kami lakukan di bidang sains, seperti puluhan, ratusan orang berkolaborasi. Hal ini masih sulit dilakukan oleh ahli matematika, namun saya pikir kita akan mencapainya.
Pada saat yang sama, kita menjadi lebih interdisipliner. Kami lebih banyak bekerja dengan ilmu-ilmu lain. Kami bekerja antar bidang matematika. Dan berkat internet, kita dapat berkolaborasi dengan orang-orang di seluruh dunia. Jadi, cara kita mengerjakan matematika pasti berubah.
Saya berharap kedepannya kita bisa lebih memanfaatkan komunitas matematika amatir. Ada bidang lain seperti astronomi, di mana para astronom memanfaatkan komunitas astronomi amatir, seperti, Anda tahu, banyak komet, misalnya, ditemukan oleh para amatir.
Namun ahli matematika… Ada beberapa bidang matematika yang terisolasi seperti, pengurutan, pengurutan dua dimensi, dan mungkin menemukan catatan dalam bilangan prima. Ada beberapa bidang matematika terpilih di mana para amatir dapat berkontribusi, dan mereka disambut baik. Tapi ada banyak hambatan. Di sebagian besar bidang matematika, Anda memerlukan begitu banyak pelatihan dan kebijaksanaan yang terinternalisasi atau konvensional sehingga kita tidak dapat mengumpulkan banyak hal. Namun hal ini mungkin berubah di masa depan. Mungkin salah satu dampak AI adalah memungkinkan matematikawan amatir memberikan kontribusi yang berarti terhadap matematika.
STROGATZ: Itu sangat menarik.
[Istirahat untuk penyisipan iklan]
STROGATZ: Jadi para amatir mungkin, dengan bantuan AI, mengajukan pertanyaan baru yang bagus atau membantu eksplorasi yang baik atas pertanyaan yang sudah ada, hal semacam itu?
TAO: Ada banyak modalitas yang berbeda — ya. Jadi, misalnya, sekarang ada proyek untuk memformalkan bukti teorema besar yang disebut asisten bukti formal, yang seperti bahasa komputer yang dapat memverifikasi 100% benar atau tidaknya suatu teorema dan — terbukti atau tidak. Hal ini sebenarnya memungkinkan kolaborasi skala besar dalam matematika.
Jadi di masa lalu, jika Anda berkolaborasi dengan 10 orang lain untuk membuktikan sebuah teorema, dan masing-masing orang berkontribusi satu langkah, setiap orang harus memverifikasi matematika orang lain. Karena hal tentang matematika adalah jika ada kesalahan dalam satu langkah, semuanya bisa berantakan.
Jadi Anda memerlukan kepercayaan, dan karenanya - oleh karena itu hal ini mencegah, hal ini benar-benar menghambat kolaborasi skala besar dalam matematika. Tapi sekarang ada contoh-contoh sukses dari teorema-teorema yang sangat besar yang diformalkan di mana terdapat komunitas yang sangat besar, mereka tidak saling mengenal satu sama lain, tidak semua percaya satu sama lain, namun mereka berkomunikasi melalui pengunggahan ke beberapa repositori Github atau sesuatu, seperti, bukti individual dari langkah-langkah individual dalam argumen. Dan perangkat lunak bukti formal memverifikasi segalanya, sehingga Anda tidak perlu khawatir tentang kepercayaan. Jadi kami mengaktifkan mode kolaborasi baru, yang belum pernah kami lihat sebelumnya.
STROGATZ: Sangat menarik mendengar visimu, Terry. Ini adalah pemikiran yang menarik. Anda tidak akan mendengar ungkapan “ahli matematika warga negara”. Anda pernah mendengar tentang sains warga negara, tapi mengapa tidak matematika warga negara?
Tapi saya hanya ingin tahu, apakah ada tren yang Anda khawatirkan, misalnya, dengan pembuktian dengan bantuan komputer atau pembuktian yang dihasilkan AI? Akankah kita mengetahui bahwa hasil tertentu benar, namun kita tidak memahami alasannya?
TAO: Jadi itu adalah masalah. Maksud saya, ini sudah menjadi masalah bahkan sebelum munculnya AI. Jadi, ada banyak bidang yang makalah suatu subjek semakin panjang, ratusan halaman. Dan saya berharap AI justru dapat membantu menyederhanakan dan menjelaskan serta membuktikan.
Jadi sudah ada perangkat lunak eksperimental di mana, misalnya, jika Anda mengambil bukti yang telah diformalkan, Anda sebenarnya dapat mengubahnya menjadi dokumen interaktif yang dapat dibaca manusia, di mana Anda memiliki buktinya dan Anda melihat langkah-langkah tingkat tinggi dan jika ada kalimatnya. Anda tidak mengerti, Anda dapat mengklik dua kali padanya, dan itu akan berkembang menjadi langkah-langkah yang lebih kecil. Saya pikir Anda juga akan segera mendapatkan chatbot AI di sebelah Anda saat Anda memeriksa pembuktiannya, dan mereka dapat menjawab pertanyaan serta menjelaskan setiap langkah seolah-olah mereka adalah penulisnya. Saya pikir kita sudah sangat dekat dengan hal itu.
Ada kekhawatiran. Kita harus mengubah cara kita mendidik siswa, terutama sekarang karena banyak cara tradisional kita dalam memberikan pekerjaan rumah dan sebagainya, kita hampir sampai pada titik di mana alat AI ini dapat langsung menjawab banyak pertanyaan ujian standar kita. Oleh karena itu, kita perlu mengajari siswa keterampilan baru, seperti cara memverifikasi apakah keluaran yang dihasilkan AI benar atau tidak, dan cara mendapatkan opini kedua.
Dan kita mungkin melihat munculnya sisi yang lebih eksperimental dalam matematika, lho. Jadi, matematika hampir seluruhnya bersifat teoretis, sedangkan sebagian besar sains mempunyai komponen teoretis dan eksperimental. Kami mungkin pada akhirnya mendapatkan hasil yang pada awalnya hanya dibuktikan oleh komputer dan, seperti yang Anda katakan, kami tidak memahaminya. Namun setelah kami memiliki data yang disediakan oleh AI, bukti yang dihasilkan komputer, kami mungkin dapat menjalankan eksperimen.
Ada sedikit matematika eksperimental sekarang. Orang-orang memang mempelajari, misalnya, kumpulan data besar tentang berbagai hal, misalnya kurva elips. Namun hal ini bisa menjadi jauh lebih besar di masa depan.
STROGATZ: Wah, Anda memiliki pandangan yang sangat optimis, menurut saya itu terdengar seperti itu. Ini tidak seperti Zaman Keemasan di masa lalu. Jika saya tidak salah dengar, Anda berpikir ada banyak hal menarik di masa depan.
TAO: Ya, banyak alat teknologi baru yang sangat memberdayakan. Maksud saya, AI secara umum memiliki banyak kelebihan dan kekurangan yang kompleks. Dan di luar ilmu pengetahuan, ada banyak kemungkinan gangguan terhadap perekonomian, hak kekayaan intelektual dan sebagainya. Namun dalam matematika, menurut saya rasio baik dan buruk lebih baik dibandingkan di banyak bidang lainnya.
Dan tahukah Anda, internet benar-benar telah mengubah cara kita mengerjakan matematika. Saya berkolaborasi dengan banyak orang di berbagai bidang. Saya tidak bisa melakukan ini tanpa internet. Fakta bahwa saya bisa membuka Wikipedia atau apa pun dan mulai mempelajari suatu subjek, dan saya bisa mengirim email ke seseorang, dan kita bisa berkolaborasi secara online. Jika saya harus melakukan hal-hal kuno di mana saya hanya dapat berbicara dengan orang-orang di departemen saya dan menggunakan surat fisik untuk hal lainnya, saya tidak dapat melakukan perhitungan seperti yang saya lakukan sekarang.
STROGATZ: Wah, baiklah. Saya hanya perlu menggarisbawahi apa yang baru saja Anda katakan, karena saya tidak pernah berpikir dalam sejuta tahun saya akan mendengar ini: Terry Tao membaca Wikipedia untuk belajar matematika?
TAO: Sebagai titik awal. Maksud saya, ini tidak selalu Wikipedia, tetapi hanya untuk mendapatkan kata kunci, dan kemudian saya akan melakukan pencarian yang lebih terspesialisasi, misalnya, MatematikaSciNet atau database lainnya. Tapi ya.
STROGATZ: Ini bukan kritik. Maksudku, aku melakukan hal yang sama. Wikipedia sebenarnya, jika ada kritik terhadap matematika di Wikipedia, mungkin terkadang itu agak terlalu maju bagi pembaca yang dimaksudkan, menurut saya. Tidak selalu. Maksudku, itu tergantung. Ini sangat bervariasi dari artikel ke artikel. Tapi itu lucu. Saya senang mendengarnya.
TAO: Maksud saya, alat-alat ini, Anda harus bisa memeriksa hasilnya. Anda tahu, jadi, maksud saya, alasan mengapa saya bisa menggunakan Wikipedia untuk mengerjakan matematika adalah karena saya sudah cukup mengetahui matematika sehingga saya bisa mencium apakah ada bagian Wikipedia tentang matematika yang mencurigakan atau tidak. Anda tahu, mungkin ada beberapa sumber dan salah satunya akan menjadi sumber yang lebih baik daripada yang lain. Dan saya kenal penulisnya, dan saya punya gagasan tentang referensi mana yang lebih baik bagi saya. Jika saya menggunakan Wikipedia untuk mempelajari suatu subjek yang saya tidak punya pengalaman di dalamnya, maka saya pikir itu akan menjadi variabel acak.
STROGATZ: Baiklah, jadi kita sudah membahas cukup banyak tentang apa yang membuat matematika bagus, kemungkinan masa depan untuk jenis matematika baru yang bagus. Namun mungkin kita harus menjawab pertanyaan: Mengapa hal ini penting? Mengapa penting agar matematika menjadi baik?
TAO: Jadi, pertama-tama, maksud saya, mengapa kita memiliki ahli matematika? Mengapa masyarakat menghargai ahli matematika dan memberi kita sumber daya untuk melakukan apa yang kita lakukan? Anda tahu, itu karena kami memberikan sejumlah nilai. Kita bisa menerapkannya di dunia nyata. Ada minat intelektual, dan beberapa teori yang kami kembangkan pada akhirnya memberikan wawasan tentang fenomena lain.
Dan tidak semua matematika mempunyai nilai yang sama. Maksud saya, Anda dapat menghitung lebih banyak digit pi, tetapi pada titik tertentu, Anda tidak mempelajari apa pun. Subjek apa pun memerlukan semacam penilaian nilai karena Anda harus mengalokasikan sumber daya. Ada begitu banyak matematika di luar sana. Kemajuan apa yang ingin Anda soroti dan publikasikan serta beri tahu orang lain, dan kemajuan mana yang sebaiknya disimpan diam-diam di jurnal di suatu tempat?
Sekalipun Anda menganggap suatu subjek benar-benar objektif dan, Anda tahu, hanya ada yang benar atau salah, kita tetap harus membuat pilihan. Anda tahu, hanya karena waktu adalah sumber daya yang terbatas. Perhatian adalah sumber daya yang terbatas. Uang adalah sumber daya yang terbatas. Jadi, ini selalu merupakan pertanyaan penting.
STROGATZ: Nah, menarik sekali yang Anda sebutkan tentang publikasi, karena itu adalah sesuatu yang menurut saya merupakan ciri khas dari karya Anda, bahwa Anda juga telah berupaya keras agar matematika dapat diakses publik melalui blog Anda, melalui berbagai artikel Anda. sudah menulis. Saya ingat mendiskusikan salah satu yang Anda tulis Ilmuwan Amerika tentang universalitas dan gagasan itu. Mengapa penting untuk membuat matematika dapat diakses dan dimengerti oleh publik? Maksudku, apa yang sedang kamu coba lakukan?
TAO: Itu terjadi secara organik. Pada awal karir saya, World Wide Web masih sangat baru, dan ahli matematika mulai memiliki halaman web dengan berbagai konten, namun direktori pusatnya belum banyak. Sebelum adanya Google dan sebagainya, sebenarnya sulit untuk menemukan sumber daya individual.
Jadi, saya mulai membuat direktori kecil di halaman web saya. Dan saya juga akan membuat halaman web untuk makalah saya sendiri, dan saya akan memberikan beberapa komentar. Awalnya lebih untuk keuntungan saya sendiri, hanya sebagai alat organisasi, hanya untuk membantu saya menemukan sesuatu. Sebagai produk sampingan, ini tersedia untuk umum, tetapi saya adalah konsumen utama, atau setidaknya begitulah menurut saya, halaman web saya sendiri.
Namun saya ingat dengan sangat jelas, suatu saat ketika saya menulis makalah dan menaruhnya di halaman web saya, dan saya memiliki subhalaman kecil yang berjudul “Apa yang Baru?” Dan saya hanya berkata, “Ini makalahnya. Ada pertanyaan di dalamnya yang masih belum bisa saya jawab, dan saya tidak tahu bagaimana menyelesaikannya.” Dan saya baru saja membuat komentar ini. Dan sekitar dua hari kemudian, saya mendapat email yang mengatakan, “Oh, saya baru saja memeriksa beranda Anda. Saya tahu jawabannya. Ada makalah yang akan memecahkan masalah Anda.”
Dan hal ini menyadarkan saya, pertama-tama, bahwa orang-orang sebenarnya mengunjungi halaman web saya, yang sebenarnya tidak saya ketahui. Namun interaksi dengan komunitas tersebut benar-benar dapat membantu saya menjawab pertanyaan saya secara langsung.
Itulah hukum yang disebut Hukum Metcalfe dalam jaringan itu, Anda tahu, jika Anda punya n orang-orang, dan mereka semua berbicara satu sama lain, ada tentang n2 koneksi di antara mereka. Jadi, semakin besar audiens dan semakin besar forum tempat setiap orang dapat berbicara satu sama lain, semakin besar potensi koneksi yang dapat Anda jalin dan semakin banyak hal baik yang dapat terjadi.
Maksud saya, dalam karier saya, banyak penemuan yang saya buat, atau koneksi yang saya buat disebabkan oleh koneksi yang tidak terduga. Seluruh pengalaman karier saya adalah semakin banyak koneksi berarti semakin baik hal-hal yang terjadi.
STROGATZ: Saya pikir contoh bagus dari apa yang Anda maksud, tapi saya ingin mendengar Anda membicarakannya, adalah hubungan yang Anda buat dengan orang-orang di bidang ilmu data yang tertarik dengan pertanyaan yang berkaitan dengan pencitraan resonansi medis , MRI. Bisakah Anda ceritakan sedikit tentang kisah itu?
TAO: Jadi, ini sekitar tahun 2006, 2005, menurutku. Jadi, ada program interdisipliner di kampus UCLA ini, menurut saya, tentang analisis geometri multiskala, atau semacamnya, di mana mereka mengumpulkan ahli matematika murni yang tertarik pada geometri tipe multiskala, dan kemudian, Anda tahu, orang-orang yang memiliki masalah tipe data yang sangat konkret.
Dan saya baru saja mulai mengerjakan beberapa masalah dalam teori matriks acak, jadi saya dikenal sebagai seseorang yang bisa memanipulasi matriks. Dan saya bertemu seseorang yang sudah saya kenal, Emmanuel Candès, karena saat itu dia bekerja di sebelah Caltech. Dan dia dan kolaborator lainnya, Justin Romberg, mereka telah menemukan fenomena yang tidak biasa ini.
Jadi mereka melihat gambar MRI, tapi hasilnya sangat lambat. Untuk mengumpulkan gambar tubuh manusia dengan resolusi yang cukup tinggi, atau cukup untuk menangkap tumor, atau fitur medis penting apa pun yang ingin Anda temukan, sering kali diperlukan waktu beberapa menit karena mereka harus memindai semua sudut berbeda ini dan kemudian mensintesis datanya. . Dan ini sebenarnya menjadi masalah karena anak kecil, misalnya, hanya duduk diam selama tiga menit di mesin MRI saja sudah cukup bermasalah.
Jadi mereka bereksperimen dengan cara yang berbeda, menggunakan beberapa aljabar linier. Mereka berharap mendapatkan peningkatan kinerja 10%, 20% lebih baik. Anda tahu, gambar yang sedikit lebih tajam dengan sedikit mengubah algoritma standar.
Jadi algoritma standarnya disebut pendekatan kuadrat terkecil, dan mereka melakukan hal lain, yang disebut minimalisasi variasi total. Namun ketika mereka menjalankan perangkat lunak komputer, mereka mendapatkan rekonstruksi gambar pengujian yang hampir sempurna. Peningkatan besar-besaran. Dan mereka tidak dapat menjelaskan hal ini.
Tapi Emmanuel hadir di program ini, dan kami mengobrol sambil minum teh atau semacamnya. Dan dia baru saja menyebutkan hal ini dan, sebenarnya, pikiran pertama saya adalah Anda pasti membuat kesalahan dalam perhitungan Anda, bahwa apa yang Anda katakan sebenarnya tidak mungkin. Dan saya ingat saat pulang ke rumah malam itu dan mencoba menuliskan bukti nyata bahwa apa yang mereka lihat tidak mungkin terjadi. Dan kemudian di tengah jalan, saya menyadari bahwa saya telah membuat asumsi yang tidak benar. Dan kemudian saya menyadari bahwa sebenarnya itu bisa berhasil. Dan kemudian saya menemukan apa yang mungkin menjadi penjelasannya. Lalu kami bekerja sama, dan kami benar-benar menemukan penjelasan yang bagus dan kami menerbitkannya.
Dan begitu kami melakukannya, orang-orang menyadari bahwa ada banyak situasi lain di mana Anda harus melakukan pengukuran yang biasanya memerlukan banyak sekali data, dan dalam beberapa kasus Anda dapat mengambil jumlah data yang jauh lebih kecil dan tetap mendapatkan hasil yang sangat tinggi. pengukuran resolusi.
Jadi sekarang, mesin MRI modern, misalnya — pemindaian yang biasanya memakan waktu tiga menit, kini bisa memakan waktu 30 detik karena perangkat lunak ini, algoritme ini sudah tertanam, dikodekan ke dalam mesin sekarang.
STROGATZ: Itu cerita yang indah, itu cerita yang hebat. Maksud saya, berbicara tentang matematika penting yang mengubah kehidupan, secara harfiah, dalam konteks pencitraan medis. Saya menyukai kebetulan dan keterbukaan pikiran Anda, Anda tahu, mendengar gagasan ini dan kemudian berpikir, “ini tidak mungkin, saya bisa membuktikannya.” Dan kemudian menyadari, sebenarnya tidak. Sungguh luar biasa melihat matematika memberikan dampak yang begitu besar.
Baiklah, menurutku sebaiknya aku melepaskanmu, Terry. Sungguh menyenangkan mendiskusikan esensi matematika yang baik dengan Anda. Terima kasih banyak telah bergabung dengan kami hari ini.
TAO: Ya, tidak, itu menyenangkan.
[Istirahat untuk penyisipan iklan]
STROGATZ: “The Joy of Why” adalah podcast dari Majalah Quanta, sebuah publikasi independen editorial yang didukung oleh Simons Foundation. Keputusan pendanaan oleh Simons Foundation tidak memengaruhi pemilihan topik, tamu, atau keputusan editorial lainnya di podcast ini atau di Majalah Quanta.
“The Joy of Why” diproduksi oleh Produksi PRX. Tim produksinya adalah Caitlin Faulds, Livia Brock, Genevieve Sponsler dan Merritt Jacob. Produser eksekutif PRX Productions adalah Jocelyn Gonzales. Gereja Morgan dan Edwin Ochoa memberikan bantuan tambahan. Dari Majalah Quanta, John Rennie dan Thomas Lin memberikan panduan editorial, dengan dukungan dari Matt Carlstrom, Samuel Velasco, Nona Griffin, Arleen Santana dan Madison Goldberg.
Musik tema kami berasal dari APM Music. Julian Lin datang dengan nama podcast. Seni episode dibuat oleh Peter Greenwood dan logo kami dibuat oleh Jaki King dan Kristina Armitage. Terima kasih khusus kepada Columbia Journalism School dan Burt Odom-Reed di Cornell Broadcast Studios.
Saya tuan rumah Anda, Steve Strogatz. Jika Anda memiliki pertanyaan atau komentar untuk kami, silakan kirim email kepada kami di . Terima kasih untuk mendengarkan.
- Konten Bertenaga SEO & Distribusi PR. Dapatkan Amplifikasi Hari Ini.
- PlatoData.Jaringan Vertikal Generatif Ai. Berdayakan Diri Anda. Akses Di Sini.
- PlatoAiStream. Intelijen Web3. Pengetahuan Diperkuat. Akses Di Sini.
- PlatoESG. Karbon, teknologi bersih, energi, Lingkungan Hidup, Tenaga surya, Penanganan limbah. Akses Di Sini.
- PlatoHealth. Kecerdasan Uji Coba Biotek dan Klinis. Akses Di Sini.
- Sumber: https://www.quantamagazine.org/what-makes-for-good-mathematics-20240201/
- :memiliki
- :adalah
- :bukan
- :Di mana
- ][P
- $NAIK
- 1
- 10
- 15 tahun
- 15%
- 2005
- 2006
- 250
- 30
- 300
- 50
- 50 Tahun
- a
- Sanggup
- Tentang Kami
- tentang itu
- ABSTRAK
- abstraksi
- AC
- penerimaan
- diterima
- menerima
- dapat diakses
- mengakses
- Akun
- di seluruh
- sebenarnya
- sebenarnya
- Ad
- Tambahan
- alamat
- mengambil
- memajukan
- maju
- uang muka
- kedatangan
- menasihati
- Setelah
- lagi
- usia
- silam
- setuju
- di depan
- AI
- AI chatbot
- UDARA
- Ais
- algoritma
- hidup
- Semua
- mengalokasikan
- mengizinkan
- hampir
- sepanjang
- sudah
- juga
- Meskipun
- selalu
- amatir
- Amerika
- antara
- jumlah
- an
- analisis
- Kuno
- dan
- Lain
- menjawab
- Apa pun
- lagi
- siapapun
- apa saja
- selain
- aplikasi
- Apple
- aplikasi
- Menerapkan
- mendekat
- sesuai
- ADALAH
- DAERAH
- daerah
- argumen
- argumen
- sekitar
- Seni
- artikel
- artikel
- Seniman
- AS
- meminta
- penampilan
- aspek
- Bantuan
- anggapan
- astronomi
- At
- menyerang
- perhatian
- para penonton
- penulis
- Authored
- kewenangan
- penulis
- tersedia
- penghargaan
- Sumbu
- b
- kembali
- Buruk
- Bank
- akun bank
- hambatan
- mendasarkan
- dasar
- BE
- indah
- Kecantikan
- karena
- menjadi
- menjadi
- menjadi
- menjadi
- sebelum
- mulai
- Awal
- makhluk
- makhluk
- Percaya
- manfaat
- TERBAIK
- Lebih baik
- antara
- Besar
- Big data
- lebih besar
- Terbesar
- Bit
- buta
- Blog
- Posting blog
- blog
- tubuh
- kedua
- cabang
- luasnya
- Istirahat
- terobosan
- JEMBATAN
- Membawa
- luas
- menyiarkan
- lebih luas
- bangsat
- membangun
- tapi
- by
- perhitungan
- panggilan
- bernama
- datang
- Kampus
- CAN
- modal
- Lowongan Kerja
- kasus
- kasus
- gulat
- penyebab
- gua
- pusat
- otoritas pusat
- Abad
- tertentu
- Pasti
- menantang
- kesempatan
- perubahan
- berubah
- mengubah
- ChatBot
- mengobrol
- memeriksa
- memeriksa
- pilihan
- gereja
- Lingkaran
- lingkaran
- bundar
- warganegara
- kelas
- Penyelesaian
- Tuan Rumah Bersama
- kode
- Berkolaborasi
- kolaborasi
- Kolaborasi
- rekan
- mengumpulkan
- Columbia
- bagaimana
- datang
- Komet
- kedatangan
- komentar
- Komentar
- komentar
- komoditi
- menyampaikan
- masyarakat
- Melengkapi
- sama sekali
- kompleks
- rumit
- komplikasi
- komponen
- menghitung
- komputer
- Komputer Ilmu
- Perangkat Lunak Komputer
- dihasilkan komputer
- komputer
- konsep
- Kekhawatiran
- beton
- dugaan
- Menghubungkan
- koneksi
- Koneksi
- menghubungkan
- konservatif
- konsumen
- kontak
- Konten
- kontes
- konteks
- menyumbang
- berkontribusi
- kontroversial
- Mudah
- konvensional
- bertemu
- Konvergensi
- sebaliknya
- mengubah
- cornel
- Sudut
- benar
- bisa
- Dewan
- Tentu saja
- dibuat
- Kreatif
- makhluk
- Kredibilitas
- kriteria
- kritik
- orang banyak
- kultural
- budaya
- Currency
- pemotongan
- BAHAYA
- data
- ilmu data
- set data
- Basis Data
- Hari
- perdebatan
- keputusan
- mendalam
- lebih dalam
- menetapkan
- pastinya
- mendemonstrasikan
- Departemen
- tergantung
- menggambarkan
- layak
- rincian
- ditentukan
- mengembangkan
- dikembangkan
- MELAKUKAN
- berbeda
- sulit
- digit
- ukuran
- langsung
- direktori
- disiplin
- menemukan
- ditemukan
- membahas
- mendiskusikan
- Gangguan
- khusus
- jelas
- dna
- do
- dokumen
- tidak
- Tidak
- melakukan
- domain
- Dont
- Oleh
- turun
- kerugian
- dinamika
- setiap
- Awal
- bumi
- ekonomi
- editor
- Tajuk rencana
- mendidik
- pendidik
- Edwin
- efektivitas
- efisien
- usaha
- einstein
- antara
- gajah
- Eliptik
- lain
- milik orang lain
- memberdayakan
- memungkinkan
- memungkinkan
- pertemuan
- akhir
- cukup
- Seluruh
- sepenuhnya
- episode
- sama
- sama
- persamaan
- Era
- kesalahan
- terutama
- KARANGAN
- esensi
- Bahkan
- akhirnya
- Setiap
- semua orang
- semua orang
- segala sesuatu
- persis
- ujian
- contoh
- contoh
- gembira
- menarik
- eksekutif
- produser eksekutif
- Latihan
- ada
- ada
- Lihat lebih lanjut
- pengalaman
- eksperimental
- bereksperimen
- eksperimen
- ahli
- Menjelaskan
- menjelaskan
- penjelasan
- Dieksplorasi
- Menjelajahi
- tingkat
- sangat
- fakta
- adil
- hampir
- Jatuh
- palsu
- akrab
- terkenal
- fantastis
- jauh
- sangat menarik
- Favorit
- Fitur
- merasa
- terasa
- sesama
- kesalahan
- beberapa
- bidang
- Fields
- pikir
- angka-angka
- Akhirnya
- Menemukan
- temuan
- Pertama
- cairan
- Dinamika fluida
- Fokus
- berfokus
- Untuk
- resmi
- Secara formal
- sebagainya
- forum
- ditemukan
- Prinsip Dasar
- empat
- rubah
- pecahan
- teman
- dari
- mendasar
- pendanaan
- lucu
- masa depan
- permainan
- memberikan
- Umum
- menghasilkan
- generasi
- murah hati
- geometri
- mendapatkan
- mendapat
- mendapatkan
- GitHub
- Memberikan
- Go
- Pergi
- akan
- Keemasan
- baik
- pekerjaan yang baik
- mendapat
- lulus
- besar
- Yunani
- Greenwood
- Grifon
- membumi
- Penjaga
- kira
- tamu
- bimbingan
- memiliki
- di tengah jalan
- tangan
- terjadi
- terjadi
- Kejadian
- Terjadi
- Sulit
- Memiliki
- memiliki
- he
- sehat
- mendengar
- pendengaran
- landak
- membantu
- membantu
- membantu
- di sini
- High
- tingkat tinggi
- resolusi tinggi
- lebih tinggi
- Menyoroti
- dia
- diri
- -nya
- sejarah
- holistik
- Beranda
- homepage
- pekerjaan rumah
- terhormat
- berharap
- berharap
- berharap
- tuan rumah
- PANAS
- Seterpercayaapakah Olymp Trade? Kesimpulan
- How To
- HTTPS
- besar
- Sangat
- manusia
- bisa dibaca manusia
- Ratusan
- i
- ide
- cita-cita
- ide-ide
- mengenali
- if
- gambar
- gambar
- membayangkan
- Pencitraan
- Dampak
- berdampak
- penting
- mustahil
- perbaikan
- in
- Cenderung
- memasukkan
- Termasuk
- independen
- sendiri-sendiri
- mempengaruhi
- Berpengaruh
- inheren
- mulanya
- wawasan
- wawasan
- segera
- terpadu
- cendekiawan
- kekayaan intelektual
- dimaksudkan
- interaksi
- interaktif
- bunga
- tertarik
- menarik
- Internet
- ke
- Pengantar
- intuisi
- Penemuan
- iPhone
- terpencil
- IT
- NYA
- Pekerjaan
- John
- bergabung
- bergabung dengan kami
- Bergabung
- majalah
- jurnalisme
- kegembiraan
- hanya
- terus
- kunci
- kata kunci
- anak
- Jenis
- jenis
- King
- Tahu
- dikenal
- tahu
- Tanah
- bahasa
- Bahasa
- besar
- besar-besaran
- lebih besar
- kemudian
- Hukum
- BELAJAR
- pengetahuan
- paling sedikit
- kurang
- membiarkan
- Tingkat
- Hidup
- Biologi
- 'like'
- keterbatasan
- Terbatas
- lin
- baris
- linear
- baris
- Listening
- sedikit
- hidup
- logis
- logo
- Panjang
- lagi
- melihat
- terlihat seperti
- mencari
- TERLIHAT
- kehilangan
- Lot
- banyak
- cinta
- mesin
- Mesin
- terbuat
- majalah
- Mayoritas
- membuat
- MEMBUAT
- Membuat
- mengelola
- banyak
- Pasar
- besar-besaran
- matematika
- matematis
- secara matematis
- matematika
- Matriks
- matt
- hal
- dewasa
- Mungkin..
- mungkin
- me
- berarti
- diukur
- pengukuran
- Media
- medis
- pencitraan medis
- Anggota
- Pria
- menyebut
- tersebut
- bertemu
- metrik
- mungkin
- juta
- pikiran
- minimalisasi
- menit
- menit
- kesalahpahaman
- kesalahan
- modalitas
- modern
- mode
- uang
- lebih
- morgan
- paling
- gerakan
- MRI
- banyak
- musik
- harus
- my
- diri
- Misteri
- naif
- nama
- Perlu
- dibutuhkan
- kebutuhan
- juga tidak
- tak pernah
- New
- berita
- berikutnya
- bagus
- malam
- tidak
- maupun
- biasanya
- tidak ada
- pemberitahuan
- sekarang
- Nuansa
- jumlah
- nomor
- obyek
- tujuan
- objek
- diamati
- Jelas
- OCHOA
- Oktober
- of
- sering
- oh
- Oke
- on
- sekali
- ONE
- yang
- secara online
- hanya
- buram
- open source
- Keterbukaan
- Pendapat
- Optimis
- or
- secara organik
- organisatoris
- Lainnya
- Lainnya
- kami
- di luar
- usang
- keluaran
- di luar
- lebih
- sendiri
- pak
- penuh sesak
- halaman
- kertas
- dokumen
- Paralel
- sebagian
- tertentu
- khususnya
- bagian
- Lulus
- lalu
- Konsultan Ahli
- persen
- sempurna
- prestasi
- permanen
- orang
- Petrus
- gejala
- fisik
- Ilmu Pengetahuan Fisika
- Secara fisik
- Fisika
- terpilih
- bagian
- plato
- Kecerdasan Data Plato
- Plato
- Data Plato
- silahkan
- kesenangan
- podcast
- Podcasting
- Puisi
- Titik
- Sudut pandang
- poin
- berpose
- positif
- mungkin
- Posts
- potensi
- kekuasaan
- kuat
- praktek
- praktek
- tepat
- presentasi
- cukup
- mencegah
- sebelumnya
- primer
- Perdana
- primitif
- hadiah
- Masalah
- masalah
- Diproduksi
- produsen
- Produksi
- produksi
- Profesor
- program
- Kemajuan
- memprojeksikan
- produktif
- bukti
- bukti
- tepat
- milik
- Hak Properti
- terlindung
- bangga
- Rasakan itu
- terbukti
- memberikan
- disediakan
- menyediakan
- membuktikan
- publik
- Publikasi
- di depan umum
- menerbitkan
- diterbitkan
- Penerbitan
- murni
- murni
- tujuan
- mengejar
- Mendorong
- menempatkan
- Menempatkan
- Majalah kuantitas
- pertanyaan
- Pertanyaan
- tenang
- agak
- acak
- agak
- perbandingan
- pembaca
- nyata
- dunia nyata
- Kenyataan
- menyadari
- menyadari
- mewujudkan
- benar-benar
- alasan
- resesi
- arsip
- menurunkan
- referensi
- disebut
- terkait
- hubungan
- relativitas
- melepaskan
- ingat
- Dihapus
- gudang
- wajib
- membutuhkan
- penelitian
- diselesaikan
- resonansi
- sumber
- Sumber
- tanggapan
- bertanggung jawab
- mengakibatkan
- Hasil
- mengungkapkan
- merevisi
- revolusioner
- benar
- hak
- Cincin
- Naik
- peran
- kira-kira
- Run
- Tersebut
- sama
- mengatakan
- mengatakan
- mengatakan
- pemindaian
- Sekolah
- Ilmu
- ILMU PENGETAHUAN
- Pencarian
- Kedua
- detik
- melihat
- melihat
- terlihat
- tampak
- tampaknya
- terlihat
- ruas
- memilih
- seleksi
- mandiri
- putusan pengadilan
- terpisah
- server
- set
- beberapa
- bentuk
- Share
- bergeser
- Pendek
- harus
- sisi
- mirip
- Sederhana
- lebih sederhana
- disederhanakan
- menyederhanakan
- menyederhanakan
- sejak
- tunggal
- duduk
- Duduk
- situasi
- keterampilan
- lambat
- lebih kecil
- Bau
- So
- Sosial
- media sosial
- Masyarakat
- Perangkat lunak
- permohonan
- MEMECAHKAN
- Memecahkan
- beberapa
- entah bagaimana
- Seseorang
- sesuatu
- kadang-kadang
- agak
- di suatu tempat
- Segera
- dicari
- suara
- sumber
- sumber
- Space
- spasial
- khusus
- khusus
- spekulasi
- spekulatif
- menghabiskan
- Spotify
- kotak
- kotak
- standar
- Stanford
- awal
- mulai
- Mulai
- dimulai
- Pernyataan
- Negara
- tinggal
- Langkah
- Tangga
- Steve
- Masih
- saham
- pasar saham
- BATU
- Cerita
- lurus
- langkah
- mahasiswa
- Siswa
- studi
- studio
- Belajar
- Belajar
- subyek
- sukses
- seperti itu
- Menyarankan
- mendukung
- Didukung
- Permukaan
- tercengang
- mengherankan
- mencurigakan
- mempersatukan
- sistem
- Mengambil
- Dibutuhkan
- pengambilan
- Berbicara
- pembicaraan
- Pembicaraan
- nyata
- tugas
- teh
- Pengajaran
- tim
- Teknis
- teknik
- teknologi
- mengatakan
- Cenderung
- memiliki
- uji
- dari
- Terima kasih
- bahwa
- Grafik
- Daerah
- Masa depan
- Dunia
- mereka
- Mereka
- tema
- kemudian
- teoretis
- teori
- Sana.
- karena itu
- Ini
- mereka
- hal
- hal
- berpikir
- Pikir
- Ketiga
- Generasi ketiga
- ini
- meskipun?
- pikir
- tiga
- tiga dimensi
- Melalui
- waktu
- untuk
- hari ini
- bersama
- terlalu
- alat
- alat
- Topik
- Total
- menyentuh
- tradisional
- Pelatihan
- berubah
- diperlakukan
- pohon
- Tren
- mencoba
- benar
- Kepercayaan
- mencoba
- mencoba
- tumor
- Putar
- ternyata
- tweaking
- dua
- mengetik
- jenis
- ucla
- menggarisbawahi
- memahami
- dimengerti
- pemahaman
- dipahami
- Tiba-tiba
- terpadu
- serikat
- satuan
- Serikat
- sampai
- luar biasa
- Mengunggah
- atas
- UPS
- us
- menggunakan
- bekas
- berguna
- menggunakan
- biasanya
- kegunaan
- Penggunaan
- Berharga
- nilai
- dihargai
- Nilai - Nilai
- variabel
- berbagai
- Membelok
- memeriksa
- sangat
- VET
- Video
- View
- dilihat
- virus
- penglihatan
- dari
- Menunggu
- ingin
- ingin
- adalah
- menonton
- air
- Cara..
- cara
- we
- memakai
- jaringan
- webp
- selamat datang
- menyambut
- BAIK
- adalah
- Apa
- Apa itu
- apa pun
- ketika
- sedangkan
- apakah
- yang
- sementara
- SIAPA
- seluruh
- mengapa
- lebar
- sangat
- tersebar luas
- menggunakan
- Wikipedia
- akan
- pemenang
- kebijaksanaan
- dengan
- dalam
- tanpa
- tanya
- Word
- WordPress
- Kerja
- bekerja
- kerja
- kerja
- dunia
- World Wide Web
- cemas
- kuatir
- akan
- Wow
- menulis
- penulisan
- tertulis
- Salah
- menulis
- tahun
- iya nih
- namun
- kamu
- Anda
- zephyrnet.dll