A Mandelbrot-készlet dekódolása, a Math híres fraktálja | Quanta Magazin

Az 1980-as évek közepén a Walkman kazettás lejátszókhoz és a nyakkendős ingekhez hasonlóan a Mandelbrot készlet bogaras sziluettje mindenhol ott volt.

Diákok vakolták be a kollégiumi szobák falaira szerte a világon. A matematikusok több száz levelet kaptak, buzgón kérték a készlet kinyomtatását. (Válaszként egyesek katalógusokat készítettek árlistákkal kiegészítve; mások a legszembetűnőbb jellemzőit könyvekké gyűjtötték össze.) A műszakilag jártasabb rajongók lapozhatnak az 1985. augusztusi számhoz. Scientific American. Borítóján a Mandelbrot-készlet tüzes indákban bontakozott ki, szegélye lángolt; benne gondos programozási utasítások voltak, amelyek részletezték, hogyan generálhatják az olvasók maguknak az ikonikus képet.

Addigra ezek az indák is messze túlmutattak a matematikán, a mindennapi élet látszólag nem kapcsolódó zugaiba. A következő néhány évben a Mandelbrot-készlet ihlette David Hockney legújabb festményeit és számos zenész legújabb kompozícióit – fúgaszerű darabokat Bach stílusában. Megjelenik John Updike fikciójának lapjain, és eligazítja, hogyan elemezte Hugh Kenner irodalomkritikus Ezra Pound költészetét. Pszichedelikus hallucinációk témája lesz, és egy népszerű dokumentumfilm, amelyet a sci-fi nagyja, Arthur C. Clarke mesél el.

A Mandelbrot készlet egy különleges forma, fraktál körvonallal. Használjon számítógépet a szett szaggatott határának nagyításához, és csikóhal-völgyekkel és elefántok, spirálgalaxisok és neuronszerű szálak felvonulásával találkozhat. Nem számít, milyen mélyre kutatsz, mindig az eredeti készlet közeli másolatait fogod látni – az önhasonlóság végtelen, szédítő zuhatagát.

Ez az önhasonlóság volt James Gleick bestseller könyvének központi eleme Káosz, amely megerősítette a Mandelbrot készlet helyét a populáris kultúrában. „Az eszmék univerzuma volt benne” – írta Gleick. „Modern művészetfilozófia, a kísérletezés új szerepének igazolása a matematikában, egy módja annak, hogy összetett rendszereket vigyünk a nagyközönség elé.”

A Mandelbrot-készlet szimbólummá vált. Egy új matematikai nyelv szükségességét jelentette, amely egy jobb módszer a minket körülvevő világ fraktál természetének leírására. Azt illusztrálta, hogy milyen mélyreható bonyodalmak születhetnek a legegyszerűbb szabályokból – akárcsak maga az élet. („Ez tehát a remény igazi üzenete” John Hubbard, az egyik első matematikus, aki tanulmányozta a halmazt, egy 1989-es videóban azt mondta: „lehetséges, hogy a biológia valóban ugyanúgy érthető, mint ezek a képek.”) A Mandelbrot-készletben a rend és a káosz harmóniában élt; a determinizmust és a szabad akaratot össze lehetne egyeztetni. Az egyik matematikus felidézte, hogy tinédzserként átbotlott a díszletben, és az igazság és a hazugság közötti bonyolult határ metaforájaként tekintett rá.

A Mandelbrot-készlet mindenhol ott volt, egészen addig, amíg nem.

Egy évtizeden belül úgy tűnt, eltűnt. A matematikusok más tárgyakra tértek át, a közönség pedig más szimbólumokra. Mára, mindössze 40 évvel felfedezése után, a fraktál klisé, határmenti giccssé vált.

De néhány matematikus nem volt hajlandó elengedni. Életüket annak szentelték, hogy feltárják a Mandelbrot díszlet titkait. Most azt hiszik, hogy végre a küszöbén állnak, hogy valóban megértsék.

Történetük a felfedezésről, a kísérletezésről szól – és arról, hogy a technológia hogyan alakítja a gondolkodásmódunkat és a világgal kapcsolatos kérdéseket.

A fejvadászok

2023 októberében 20 matematikus a világ minden tájáról gyűlt össze egy zömök téglaépületben, amely egy dán katonai kutatóbázison volt. Az 1800-as évek végén, az erdő közepén épült bázis Dánia legnépesebb szigetének északnyugati partján, egy fjordon húzódott meg. Egy régi torpedó őrizte a bejáratot. Fekete-fehér fotók, amelyek egyenruhás haditengerészeti tiszteket, egy kikötőben sorakozó csónakokat és folyamatban lévő tengeralattjáró-teszteket ábrázoltak, díszítették a falakat. Három napon át, miközben a heves szél habzó fehérsapkává korbácsolta az ablakon kívüli vizet, a csoport több beszélgetésen is részt vett, a legtöbbet két matematikus a New York-i Stony Brook Egyetemről: Misha Lyubich és a Dima Dudko.

A műhely közönsége a Mandelbrot-készlet legmerészebb felfedezői közül került ki. Közel az elejéhez ült Mitsuhiro Shishikura a Kiotói Egyetem munkatársa, aki az 1990-es években bebizonyította, hogy a halmaz határvonala olyan bonyolult, amennyire csak lehet. Volt néhány ülőhely Hiroyuki Inou, aki Shishikura mellett fontos technikákat dolgozott ki a Mandelbrot halmaz egy különösen nagy horderejű régiójának tanulmányozására. Az utolsó sorban volt Wolf Jung, a Mandel megalkotója, a matematikusok által használt szoftver a Mandelbrot halmaz interaktív vizsgálatához. Szintén jelen voltak Arnaud Chéritat a toulouse-i egyetemen, Carsten Petersen a Roskilde Egyetem munkatársa (aki szervezte a műhelyt), és többen, akik jelentős mértékben hozzájárultak a matematikusok Mandelbrot halmazának megértéséhez.

És a táblánál ott állt Lyubich, a világ legkiválóbb szakértője a témában, és Dudko, az egyik legközelebbi munkatársa. A matematikusokkal együtt Jeremy Kahn és a Alex Kapiamba, azon dolgoznak, hogy bebizonyítsanak egy régóta fennálló sejtést a Mandelbrot halmaz geometriai szerkezetéről. Ez az MLC-nek nevezett sejtés jelenti a végső akadályt a több évtizedes kutatásban a fraktál jellemzésére, kusza vadonának megszelídítésére.

Hatékony eszközkészlet felépítésével és élesítésével a matematikusok „a Mandelbrot-készletben található szinte minden elemének” geometriájának irányítása alá kerültek. Caroline Davis az Indiana Egyetemen – néhány fennmaradó esetet kivéve. „Misha és Dima, Jeremy és Alex olyanok, mint a fejvadászok, és megpróbálják felkutatni az utolsókat.”

Lyubich és Dudko Dániában voltak, hogy tájékoztassák más matematikusokat az MLC bizonyítása terén elért közelmúltbeli fejleményekről és az általuk kifejlesztett technikákról. Az elmúlt 20 évben a kutatók itt gyűltek össze olyan workshopokra, amelyek célja a komplex elemzés eredményeinek és módszereinek kibontása, a Mandelbrot-halmaz létrehozásához használt számfajták és függvények matematikai tanulmányozása.

Szokatlan beállítás volt: a matematikusok minden ételt együtt ettek, és a sör mellett beszélgettek és nevettek a kis órákig. Amikor végül úgy döntöttek, hogy aludni mennek, emeletes ágyakra vagy kiságyakra vonultak a létesítmény második emeletén közösen használt kis szobákba. (Érkezésünkkor azt mondták nekünk, hogy fogjunk lepedőt és párnahuzatot egy kupacból, és vigyük fel az emeletre, hogy megvegyük az ágyunkat.) Néhány évben a konferencialátogatók bátran úsznak a fagyos vízben; gyakrabban bolyonganak az erdőben. De többnyire nincs mit tenni a matematikán kívül.

Jellemzően az egyik résztvevő azt mondta nekem, hogy a workshop sok fiatalabb matematikust vonz. De ezúttal nem ez volt a helyzet – talán azért, mert a félév közepe volt, vagy, úgy gondolta, a téma nehéz volta miatt. Bevallotta, hogy abban a pillanatban egy kicsit megfélemlítette a lehetőség, hogy a mezőny számos nagyja előtt tarthat előadást.

De tekintettel arra, hogy a legtöbb matematikus a komplex elemzés tágabb területén már nem közvetlenül a Mandelbrot-halmazon dolgozik, miért szentelnénk egy egész műhelyt az MLC-nek?

A Mandelbrot-készlet több mint egy fraktál, és nem csak metaforikus értelemben. A dinamikus rendszerek egyfajta mesterkatalógusaként szolgál – mindazoknak a módoknak, amelyeken egy pont egy egyszerű szabály szerint mozoghat a térben. A mesterkatalógus megértéséhez sok különböző matematikai tájat kell bejárni. A Mandelbrot halmaz nem csak a dinamikával, hanem a számelmélettel, a topológiával, az algebrai geometriával, a csoportelmélettel és még a fizikával is szorosan összefügg. "Gyönyörű módon kölcsönhatásba lép a matematika többi részével" - mondta Sabyasachi Mukherjee az indiai Tatai Fundamentális Kutatási Intézet munkatársa.

Ahhoz, hogy előrehaladást érjenek el az MLC területén, a matematikusoknak kifinomult technikákat kellett kidolgozniuk – amit Chéritat „erőteljes filozófiának” nevez. Ezek az eszközök nagy figyelmet kaptak. Ma a dinamikus rendszerek tágabb értelemben vett tanulmányozásának központi pillérét képezik. Kiderült, hogy kulcsfontosságúak egy sor más probléma megoldásában – olyan problémák megoldásában, amelyeknek semmi közük a Mandelbrot-készlethez. És az MLC-t réskérdésből a terület egyik legmélyebb és legfontosabb nyílt sejtésévé alakították át.

Lyubich, a matematikus vitathatatlanul a leginkább felelős azért, hogy ezt a „filozófiát” jelenlegi formájába formálja, magasan, egyenesen áll, és halkan beszél. Amikor a műhelyben más matematikusok keresik fel, hogy megvitassák a fogalmat vagy kérdéseket tegyenek fel, behunyja a szemét, és sűrű szemöldökét összeráncolt szemöldökkel figyelmesen hallgatja. Óvatosan, orosz akcentussal válaszol.

De gyorsan kitör hangos, meleg nevetésbe és fanyar viccekbe is. Nagylelkű az idejével és a tanácsaival. „Valóban jónéhány matematikus generációt nevelt fel” – mondta Mukherjee, Lyubich egyik korábbi posztdoktorija és gyakori munkatársa. Mint meséli, bárki, akit érdekel a komplex dinamika tanulmányozása, eltölt egy kis időt a Stony Brook-ban, és Lyubichtól tanul. „Misának megvan ez a víziója arról, hogyan kell egy bizonyos projektet megvalósítanunk, vagy mit nézzünk ezután” – mondta Mukherjee. „Egy nagyszerű kép jár a fejében. És ezt szívesen megosztja az emberekkel.”

Lyubich most először érzi úgy, hogy képes a maga teljességében látni ezt a nagyszerű képet.

A díjharcosok

A Mandelbrot-szett nyereménnyel kezdődött.

1915-ben, a függvénytanulmányok közelmúltbeli fejlődésétől motiválva, a Francia Tudományos Akadémia versenyt hirdetett: Három év múlva 3,000 frank fődíjat ajánl fel az iterációs folyamaton végzett munkáért – éppen az a folyamat, amely később generálja a Mandelbrot halmazt.

Az iteráció egy szabály ismételt alkalmazása. Csatlakoztasson egy számot egy függvényhez, majd használja a kimenetet következő bemenetként. Folytassa ezt, és figyelje meg, mi történik idővel. Ahogy folytatja a függvény iterációját, a kapott számok gyorsan emelkedhetnek a végtelen felé. Vagy konkrétan egy szám felé húzzák őket, mint egy mágnes felé mozgó vasreszelék. Vagy ugyanazon két szám, vagy három vagy ezer között ugrálnak egy stabil pályán, ahonnan soha nem tudnak elmenekülni. Vagy ugrálj egyik számról a másikra rím és ok nélkül, egy kaotikus, kiszámíthatatlan utat követve.

A Francia Akadémiának és tágabb értelemben a matematikusoknak volt egy másik oka is arra, hogy érdeklődjön az iteráció iránt. A folyamat fontos szerepet játszott a dinamikus rendszerek tanulmányozásában – olyan rendszerekben, mint a bolygók forgása a Nap körül vagy egy turbulens folyam áramlása, olyan rendszerek, amelyek idővel bizonyos meghatározott szabályok szerint változnak.

A díj két matematikust inspirált egy teljesen új tudományterület kidolgozására.

Először Pierre Fatou volt, aki egy másik életében tengerész volt (családi hagyomány), ha nem rossz egészségi állapota lenne. Ehelyett matematikai és csillagászi pályafutást folytatott, és 1915-re már több jelentős elemzési eredményt is elért. Aztán ott volt Gaston Julia, a franciák által megszállt Algériában született, ígéretes fiatal matematikus, akinek tanulmányait megszakította az első világháború és a francia hadseregbe sorozása. 22 évesen, miután röviddel szolgálata megkezdése után súlyos sérülést szenvedett – élete végéig bőrszíjat viselt az arcán, miután az orvosok nem tudták helyrehozni a sérülést –, visszatért a matematikához, és egy részét elvégezte. azt a munkát, amelyet kórházi ágyról nyújtana be az Akadémia-díjra.

A díj Fatou-t és Juliát is arra ösztönözte, hogy tanulmányozzák, mi történik függvények iterálásakor. Függetlenül dolgoztak, de végül nagyon hasonló felfedezéseket tettek. Eredményeikben annyi átfedés volt, hogy még most sem mindig világos, hogyan kell besorolni a kreditet. (Julia nyitottabb volt, ezért több figyelmet kapott. Végül ő nyerte a díjat, Fatou nem is jelentkezett.) E munkájuk miatt ma már ketten a komplex dinamika terület alapítóinak számítanak.

„Komplex”, mert Fatou és Julia komplex számok iterált függvényeit – olyan számokat, amelyek egy ismert valós számot kombinálnak egy úgynevezett képzeletbeli számmal (a szám többszöröse i, a matematikusok a −1 négyzetgyökének jelölésére használt szimbólumot. Míg a valós számok pontokként is elhelyezhetők egy egyenesen, a komplex számok síkon lévő pontokként jelennek meg, így:

Fatou és Julia úgy találta, hogy még egyszerű összetett függvények iterálása is (nem paradoxon a matematika birodalmában!) gazdag és bonyolult viselkedéshez vezethet, a kiindulási ponttól függően. Elkezdték dokumentálni ezeket a viselkedéseket, és geometriailag ábrázolni őket.

De aztán munkájuk fél évszázadra a homályba merült. „Az emberek azt sem tudták, mit keressenek. Korlátozottak voltak abban, hogy milyen kérdéseket tegyenek fel” – mondta Artur Avila, a Zürichi Egyetem professzora.

Ez megváltozott, amikor az 1970-es években a számítógépes grafika nagykorúvá vált.

Benoît Mandelbrot matematikus ekkor már akadémiai dilettáns hírnevet szerzett magának. Sok különböző területtel foglalkozott, a közgazdaságtól a csillagászatig, miközben az IBM New York Citytől északra található kutatóközpontjában dolgozott. Amikor 1974-ben kinevezték az IBM munkatársának, még nagyobb szabadsága volt független projektek megvalósításában. Úgy döntött, hogy a központ jelentős számítási teljesítményét a komplex dinamika hibernálásból való kiemelésére használja.

Eleinte Mandelbrot a számítógépeket használta olyan alakzatok generálására, amelyeket Fatou és Julia tanulmányozott. A képek információt kódoltak arról, hogy egy kiindulási pont az iteráció során mikor menekül a végtelenbe, és mikor kerül valamilyen más minta csapdájába. Fatou és Julia 60 évvel korábbi rajzai körök és háromszögek halmazainak néztek ki – de a Mandelbrot által készített számítógéppel készített képek sárkányoknak és lepkéknek, nyulaknak és katedrálisoknak és karfiolfejeknek, sőt néha szétválasztott porfelhőknek tűntek. Mandelbrot addigra már megalkotta a „fraktál” szót a különböző léptékekben hasonlónak tűnő alakzatokra; a szó egy újfajta geometria fogalmát idézte fel – valami töredezett, töredezett vagy törött.

A számítógép képernyőjén megjelenő képek – ma Julia-készletekként ismertek – a fraktálok legszebb és legbonyolultabb példái közé tartoztak, amelyeket Mandelbrot valaha látott.

Fatou és Julia munkája ezen halmazok geometriájára és dinamikájára (és a hozzájuk tartozó függvényekre) külön-külön összpontosított. A számítógépek azonban lehetőséget adtak Mandelbrotnak, hogy egyszerre gondoljon egy egész funkciócsaládra. Mindegyiket be tudta kódolni a nevéhez fűződő képbe, bár továbbra is vita tárgya, hogy valóban ő volt-e az első, aki felfedezte.

A Mandelbrot halmaz a legegyszerűbb egyenletekkel foglalkozik, amelyek ismétlődéskor még mindig érdekesek. Ezek az űrlap másodfokú függvényei f(z) = z² + c. Értékének rögzítése c — bármilyen komplex szám lehet. Ha megismétli az egyenletet azzal kezdve z = 0, és megállapítsa, hogy a generált számok kicsik maradnak (vagy korlátosak, ahogy a matematikusok mondják), akkor c a Mandelbrot készletben van. Ha viszont ismételgetsz, és rájössz, hogy végül a számok a végtelen felé kezdenek növekedni, akkor c nincs benne a Mandelbrot készletben.

Könnyű megmutatni ezeket az értékeket c nullához közel vannak a készletben. És hasonlóan egyszerű megmutatni a nagy értékeket c nem azok. De a komplex számok megfelelnek a nevüknek: a halmaz határa csodálatosan bonyolult. A változásnak nincs nyilvánvaló oka c parányi mennyiségek miatt folyamatosan átlépi a határt, de ahogy ráközelít, végtelen mennyiségű részlet jelenik meg.

Sőt, a Mandelbrot készlet úgy működik, mint a Julia készletek térképe, amint az az alábbi interaktív ábrán is látható. Válasszon egy értéket c a Mandelbrot-készletben. A megfelelő Julia készlet csatlakoztatva lesz. De ha elhagyja a Mandelbrot készletet, akkor a megfelelő Julia készlet leválasztott por lesz.