Néhány perccel egy 2018-as előadás után a Michigani Egyetemen, Ian Tobasco felkapott egy nagy darab papírt, és egy látszólag rendezetlen káoszgolyóvá gyűrte. Feltartotta, hogy a közönség lássa, megszorította, majd újra kiterítette.
„Redők vad tömege bukkan elő, és ez a rejtvény” – mondta. „Mi választja ki ezt a mintát egy másik, rendezettebb mintából?”
Ezután felemelt egy második nagy papírdarabot – ezt a Miura-ori néven ismert paralelogrammák híres origami mintájává hajtogatta – és laposra nyomta. Azt mondta, hogy az egyes papírlapokon alkalmazott erő nagyjából azonos volt, de az eredmények nem is lehettek volna eltérőbbek. A Miura-ori szépen geometriai régiókra volt osztva; a gyűrött labda szaggatott vonalak rendetlensége volt.
– Az az érzésed, hogy ez – mondta, és a gyűrött lepedőn lévő gyűrődések szétszórt elrendezésére mutatott –, ennek csak egy véletlenszerű rendezetlen változata. A takaros, rendezett Miura-orit mutatta. – De még nem tudtuk, hogy ez igaz-e vagy sem.
Ennek a kapcsolatnak a létrehozásához nem kevesebbre lenne szükség, mint a rugalmas minták egyetemes matematikai szabályainak megállapítására. A Tobasco évek óta dolgozik ezen, olyan egyenleteket tanulmányozva, amelyek vékony rugalmas anyagokat írnak le – olyan dolgokat, amelyek úgy reagálnak a deformációra, hogy megpróbálják visszanyerni eredeti formájukat. Lökjön meg egy léggömböt elég erősen, és csillagsugárzó ráncok képződnek; távolítsa el az ujját, és újra kisimulnak. Nyomja össze egy összegyűrt papírgolyót, és kitágul, amikor elengedi (bár nem gyűrődik össze teljesen). Mérnökök és fizikusok tanulmányozták, hogyan jelennek meg ezek a minták bizonyos körülmények között, de egy matematikus számára ezek a gyakorlati eredmények egy alapvetőbb kérdést sugallnak: Meg lehet-e érteni általában, mi választja ki az egyik mintát a másik helyett?
2021 januárjában a Tobasco megjelent egy papír amely igenlő választ adott erre a kérdésre – legalábbis egy sima, ívelt, elasztikus lap esetén (ez a helyzet egyértelmű utat kínál a kérdés feltárásához). Egyenletei megjósolják, hogy a látszólag véletlenszerű ráncok milyen „rendezett” tartományokat tartalmaznak, amelyeknek ismétlődő, azonosítható mintázata van. A múlt hónapban megjelent tanulmány társszerzője pedig egy új, szigorú matematikán alapuló fizikai elméletet mutat be, amely reális forgatókönyvek mintázatait képes előre jelezni.
Nevezetesen, Tobasco munkája azt sugallja, hogy a ráncosodás sokféle formájával egy geometriai probléma megoldásának tekinthető. „Ez egy gyönyörű matematikai elemzés” – mondta Stefan Mueller a Bonni Egyetem Hausdorff Matematikai Központjának tagja.
Elegánsan vázolja fel először a matematikai szabályokat – és egy új megértést – e gyakori jelenség mögött. „A matematikának itt nem az volt a szerepe, hogy bebizonyítson egy olyan sejtést, amelyet a fizikusok már megfogalmaztak” – mondta Robert Kohn, a New York-i Egyetem Courant Institute matematikusa és Tobasco végzős iskolai tanácsadója, „de inkább azért, hogy olyan elméletet adjon, ahol korábban nem volt szisztematikus megértés”.
Nyújtózkodni
A ráncok és a rugalmas minták elméletének kidolgozásának célja régi. 1894-ben egy recenzióban in Természet, George Greenhill matematikus rámutatott a különbségre a teoretikusok („Mit gondoljunk?”) és az általuk kitalálható hasznos alkalmazások („Mit tegyünk?”) között.
A 19. és 20. században a tudósok nagyrészt előrehaladást értek el ez utóbbival kapcsolatban, és olyan problémákat vizsgáltak, amelyek a deformálódó tárgyak ráncaival kapcsolatosak. A korai példák közé tartozik a tengerjáró hajók sima, ívelt fémlemezeinek kovácsolásának problémája, valamint a hegyek kialakulását a földkéreg felmelegedésével való összekapcsolás.
A közelmúltban a matematikusok és fizikusok kiterjesztették az elmélet és a megfigyelés összekapcsolására irányuló erőfeszítéseiket a ráncos helyzetek, geometriák és anyagok széles skálájával. "Ez körülbelül az elmúlt 10 évben így megy, amikor először kísérleteket végzünk, majd megpróbáljuk megtalálni a megértéshez szükséges elméletet" - mondta a matematikus. Dominic Vella az Oxfordi Egyetemen. „Csak mostanában kezdtünk megfelelő megértésre jutni.”
Voltak izgalmas mérföldkövek. 2015-ben Pedro Reis, a Massachusetts Institute of Technology gépészmérnöke leírt fizikai törvényeket a leeresztett szilíciumgolyókon kialakuló geometriai mintákhoz. Munkája ezeket a ráncokat a rugalmas anyag belső és külső rétegének vastagságához kapcsolta. Reis azt is megjegyezte, hogy a ráncok ahelyett, hogy hibának tekintenék, lehetőséget kínálhatnak új mechanikai viselkedések kialakítására. Aztán 2017-ben Vella vezette az elemzést egy vékony rugalmas film nyomás alatti ráncosodási instabilitását, jellemzi, hogyan változott a ráncok száma a kezdeti lökések mélysége és egyéb konkrét részletek szerint.
De ezek a fejlesztések még mindig csak a probléma egy részét oldották meg. A ráncok kialakulásának általánosabb matematikai megértéséhez más megközelítésre volt szükség. A Tobasco lenne az, aki előre viszi.
A Curiosity nyomán
Fiatalabb korában Tobasco úgy gondolta, hogy repüléstechnikával fog foglalkozni. 2011-ben diplomázott a Michigani Egyetemen alapképzésben, de ekkorra már belegondolt a matematikai érvelés és a fizikai rendszerek elmélyülésébe. Matematikából doktorált, de Joey Paulsent, a jelenleg a Syracuse Egyetemen dolgozó fizikust hibáztatja, amiért a ráncok sajátos útjára állította.
Paulsen pályafutása során korábban, amikor szokatlan anyagok tulajdonságait tanulmányozta, megtanult ultravékony polimer filmeket készíteni és elemezni a spin coating nevű technikával. Először egy speciális folyékony anyagot készített, amely nyomokban oldott polimert tartalmazott; majd egy forgó tányérra tette az anyagot. A folyadék nagy része elpárolog, míg a polimer egyenletes vastagságúra terjedt, mielőtt megszilárdulna. Miután saját laboratóriuma volt Syracuse-ban, Paulsen megtanulta, hogyan kell a forgó bevonatot adaptálni íves fóliák létrehozására – például ultravékony teknőspáncélokra.
Egy nap az íves filmek egy részét állóvíz tetejére helyezte, és lefényképezte, hogyan telepednek meg a felszínen. „Ezt pusztán a kíváncsiság vezérelte” – mondta. A képek 2017-ben felkeltették Tobasco figyelmét egy Paulsennel folytatott kötetlen találkozón.
"Megmutatták, hogy meg lehet találni ezeket a véletlenszerű, rendezetlen ráncmintákat – ha kétszer elvégezte a kísérletet, két különböző mintát kapott" - mondta Tobasco, aki jelenleg a chicagói Illinoisi Egyetem adjunktusa. „Azt akartam látni, hogy ki tudok-e találni valamilyen származtatott módszert [az ilyen minták előrejelzésére] a rugalmasságból, amely magában foglalja a héj alakját. És hogy a modell ne változzon kagylóról héjra.”
A ráncosodási minták olyan konfigurációk, amelyek a lehető legkevesebb energiát használják fel. Ez azt jelenti, hogy a vékony filmréteg egy sima felületre kerülve addig formálódik, amíg meg nem találja a ráncok rendezetlenségét vagy sem, aminek fenntartásához a legkevesebb energia szükséges. "Rendszerezheti a mintákat a tárolt energia mennyisége alapján, amikor [a minta] megnyilvánul" - mondta Tobasco.
E vezérelv alapján elkülönítette a film néhány jellemzőjét, amelyekről bebizonyosodott, hogy azok választották ki a mintáját, beleértve az alakjának Gauss-görbületének nevezett mértékét. A pozitív Gauss-görbületű felület elhajlik magától, mint egy golyó külseje. A negatívan ívelt felületek ezzel szemben nyereg alakúak, mint egy Pringles chip: Ha egy irányba megy, akkor felfelé halad, de ha más irányba megy, akkor lefelé megy.
Tobasco azt találta, hogy a pozitív Gauss-görbületű területek a rendezett és rendezetlen tartományok egyfajta elrendezését, a negatív görbületű területek pedig másfajta elrendezést eredményeznek. – A részletes geometria nem olyan fontos – mondta Vella. – Valójában csak a Gauss-görbület előjelétől függ.
Azt gyanították, hogy a Gauss-görbület fontos a ráncosodáshoz, de Vella szerint meglepő, hogy a tartományok olyan erősen függnek a jeltől. Mi több, Tobasco elmélete a rugalmas anyagok széles skálájára is vonatkozik, nem csak Paulsen formáira. "Ez egy szép geometriai konstrukció, amely megmutatja, hol jelennek meg a ráncok" - mondta Vella. "De annak megértése, hogy ez honnan származik, nagyon mély és meglepő."
Paulsen egyetértett. "Amit Ian elmélete nagyon szépen tesz, az az, hogy egyszerre megadja a teljes mintát."
Valós ráncok
2018 elején Tobasco elmélete többnyire dőlt el – de bár papíron működött, nem lehetett biztos abban, hogy a való világban is pontos lesz. Tobasco felvette a kapcsolatot Paulsennel, és megkérdezte, hogy érdekli-e az együttműködés. „Valami azonnal működött” – mondta Paulsen. „Ian néhány jóslata alapján, amelyeket kísérleti képekre raktak, azonnal láthattuk, hogy sorba kerültek.”
Az Ipari és Alkalmazott Matematikai Társaság abban az évben az anyagtudomány matematikai vonatkozásaival foglalkozó konferenciáján Tobascót bemutatták Eleni Katifori, a Pennsylvaniai Egyetem fizikusa, aki a zárt héjak ráncosodásának problémáját kutatta, és adatbázist épített az eredményekről. Serény pillanata volt. „Láthattuk azokat a tartományokat [a szimulációkban], amelyeket Ian munkája elmagyarázott” – mondta. Eszméletlen volt a meccs. Már az első megbeszéléseik során egyértelmű volt, hogy Tobasco elmélete, Paulsen kísérleti képei és Katifori szimulációi ugyanazokat a jelenségeket írják le. "Még a korai szakaszban, amikor még nem volt semmi konkrétunk, láthattuk az összefüggést."
Ez a korai izgalom gyorsan szkepticizmust szült. Szinte túl szépnek tűnt, hogy igaz legyen. „Ő matematikus, és mindezeket a dolgokat dimenziómentessé teszi” – mondta Paulsen, utalva arra, hogy Tobasco görbületről alkotott elképzelései messze túlmutathatnak a kétdimenziós lapos anyagokon. „Valóban ugyanazt a rendszert nézzük? Egyetért, de bele kellett volna egyeznie?”
A következő két évben a három kutató kidolgozta a részleteket, megmutatva, hogy Tobasco elmélete valóban megjósolta – pontosan – a ráncok elrendeződését, amelyet Paulsen kísérletei során, Katifori pedig számítógépes modelljeiben talált. Augusztus 25-én publikáltak egy tanulmányt Természetfizika mutató hogy a három megközelítés a ráncok ugyanazon, egyenes geometriai elrendezésén fut össze. Nevezetesen azt találták, hogy a minták egyenlő szárú háromszögek rendezett családjaiba esnek, amelyek elhatárolják a rend és a rendezetlenség tartományait. Ezenkívül az eredmények nem korlátozódnak a lehetetlenül vékony anyagok matematikai absztrakcióira, hanem a vastagság több nagyságrendjére is vonatkoznak.
Munkájuk lehetőséget kínál az elmélet és alkalmazásai bővítésére is. Katifori elmondta, hogy fizikusként érdekli az előrejelzések hasznosítása új anyagok tervezésében. "Meg akarom érteni, hogyan lehet olyan felületeket tervezni, amelyek valóban önszervezik a ráncos mintákat olyasvalamivé, amit akarsz."
Egy másik nyitott kérdés, hogy az elmélet általánosságban mennyire alkalmazható különböző típusú ívelt felületekre. "Nagyon azokra a helyzetekre összpontosít, ahol a [Gauss-görbület] pozitív vagy negatív, de sok olyan helyzet van, ahol néhány régió pozitív és néhány negatív" - mondta Vella.
Paulsen egyetértett abban, hogy ez egy izgalmas lehetőség, és Tobasco elmondta, hogy aktívan dolgozik ezen a területen, és más formájú héjakat is fontolgat – például a lyukakkal ellátottakat.
Paulsen azonban azt mondta, hogy az elmélet, még a jelenlegi állapotában is, gyönyörű és meglepő. "Ha megadok egy héjat és egy határalakot, és ezt az egyszerű szabályrendszert, amit Ian elmélete megjósolt, akkor foghatsz egy iránytűt és vonalzót, és lényegében megrajzolhatod a ráncokat" - mondta. „Nem kellett volna így történnie. Teljesen szörnyű lehetett.”
