क्वांटम वासेरस्टीन दूरी अलग-अलग राज्यों पर अनुकूलन पर आधारित है

क्वांटम वासेरस्टीन दूरी अलग-अलग राज्यों पर अनुकूलन पर आधारित है

समय टिकट: 16 अक्टूबर, 2023 10:35 पूर्वाह्न
स्रोत नोड: 2938953

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सार

हम क्वांटम वासेरस्टीन दूरी को इस तरह परिभाषित करते हैं कि युग्मन का अनुकूलन सामान्य रूप से द्विदलीय क्वांटम राज्यों के बजाय द्विदलीय पृथक्करणीय राज्यों पर किया जाता है, और इसके गुणों की जांच करते हैं। आश्चर्यजनक रूप से, हमने पाया कि स्व-दूरी क्वांटम फिशर जानकारी से संबंधित है। हम एक इष्टतम द्विदलीय वियोज्य स्थिति के अनुरूप एक परिवहन मानचित्र प्रस्तुत करते हैं। हम चर्चा करते हैं कि क्वांटम वासेरस्टीन दूरी क्वांटम उलझाव का पता लगाने वाले मानदंडों से कैसे जुड़ी है। हम विचरण-जैसी मात्राओं को परिभाषित करते हैं जिन्हें क्वांटम राज्यों पर न्यूनतमकरण को अधिकतमकरण द्वारा प्रतिस्थापित करके क्वांटम वासेरस्टीन दूरी से प्राप्त किया जा सकता है। हम अपने परिणामों को सामान्यीकृत क्वांटम फिशर सूचना मात्राओं के परिवार तक विस्तारित करते हैं।

विशेष छवि: $N=1 के लिए शुद्ध अवस्था $varrho$ और मिश्रित अवस्था $sigma$ के बीच क्वांटम वासेरस्टीन दूरी का ज्यामितीय प्रतिनिधित्व। $ क्वांटम वासेरस्टीन दूरी $A'$ के बीच सामान्य यूक्लिडियन दूरी $1/sqrt2$ के बराबर होती है। और $B'.$

लोकप्रिय सारांश

रोजमर्रा की जिंदगी में दो शहरों की दूरी हमें बताती है कि हमें एक से दूसरे शहर तक कितने किलोमीटर की दूरी तय करनी है। अपनी यात्रा के दौरान ईंधन की खपत को मापकर यह बताना भी संभव है कि हम एक शहर से दूसरे शहर तक कितनी आसानी से पहुंच सकते हैं। उत्तरार्द्ध इस अर्थ में अधिक जानकारीपूर्ण है कि यह सड़क की स्थलाकृति से संबंधित यात्रा की लागत को दर्शाता है, यानी, यह अंतर्निहित मीट्रिक के प्रति संवेदनशील है। इसके बाद, आइए कल्पना करें कि हमें रेत के ढेर को एक स्थान से दूसरे स्थान पर ले जाना है और नए ढेर का आकार अलग हो सकता है। इस मामले में, फिर से, हम परिवहन की लागत से रेत को ले जाने के प्रयास को चिह्नित कर सकते हैं।

गणित, भौतिकी और इंजीनियरिंग में दूरियाँ केंद्रीय भूमिका निभाती हैं। संभाव्यता और सांख्यिकी में एक मूलभूत समस्या दो संभाव्यता वितरणों के बीच की दूरी के उपयोगी मापों के साथ आना है। दुर्भाग्य से, संभाव्यता वितरणों के बीच की दूरी की कई धारणाएँ, मान लीजिए कि p(x) और q(x), अधिकतम हैं यदि वे एक-दूसरे के साथ ओवरलैप नहीं होते हैं, अर्थात, एक हमेशा शून्य होता है जब दूसरा गैर-शून्य होता है। यह कई अनुप्रयोगों के लिए अव्यावहारिक है. उदाहरण के लिए, रेत सादृश्य पर लौटते हुए, रेत के दो गैर-अतिव्यापी ढेर एक दूसरे से समान रूप से दूर प्रतीत होते हैं, भले ही उनकी दूरी 10 किमी या 100 किमी हो। इष्टतम परिवहन सिद्धांत संभाव्यता वितरण, तथाकथित वासेरस्टीन दूरी के बीच दूरी की एक वैकल्पिक धारणा बनाने का एक तरीका है। यह गैर-अधिकतम हो सकता है, भले ही वितरण एक-दूसरे के साथ ओवरलैप न हों, यह अंतर्निहित मीट्रिक (यानी, परिवहन की लागत) के प्रति संवेदनशील है, और अनिवार्य रूप से, यह उस प्रयास को व्यक्त करता है जो हमें एक को दूसरे में ले जाने के लिए आवश्यक है, मानो वे रेत के पहाड़ हों।

हाल ही में, क्वांटम वासेरस्टीन दूरी को शास्त्रीय वासेरस्टीन दूरी को सामान्यीकृत करते हुए परिभाषित किया गया है। यह द्विदलीय क्वांटम प्रणाली की क्वांटम अवस्थाओं पर लागत फ़ंक्शन को कम करने पर आधारित है। इसमें क्वांटम दुनिया में ऊपर उल्लिखित संपत्ति के अनुरूप संपत्ति है। यह ऑर्थोगोनल अवस्थाओं के लिए गैर-अधिकतम हो सकता है, जो उपयोगी है, उदाहरण के लिए, जब हमें किसी एल्गोरिदम को क्वांटम डेटा सिखाने की आवश्यकता होती है।

जैसा कि हम उम्मीद कर सकते हैं, क्वांटम वासेरस्टीन दूरी में ऐसे गुण भी हैं जो इसके शास्त्रीय समकक्ष से बहुत अलग हैं। उदाहरण के लिए, जब हम किसी क्वांटम अवस्था की स्वयं से दूरी मापते हैं, तो यह शून्येतर हो सकती है। हालांकि यह पहले से ही हैरान करने वाला है, यह भी पाया गया है कि स्व-दूरी विग्नर-यानासे तिरछा जानकारी से संबंधित है, जिसे 1963 में नोबेल पुरस्कार विजेता ईपी विग्नर द्वारा पेश किया गया था, जिनका क्वांटम भौतिकी और एमएम यानासे की नींव में महत्वपूर्ण योगदान है।

हमारे पेपर में, हम इस रहस्यमय खोज को एक और दिशा से देखते हैं। हम ऊपर उल्लिखित न्यूनतमकरण को तथाकथित पृथक्करणीय राज्यों तक सीमित रखते हैं। ये क्वांटम अवस्थाएँ हैं जिनमें उलझाव नहीं होता है। हम पाते हैं कि स्व-दूरी क्वांटम फिशर जानकारी बन जाती है, जो क्वांटम मेट्रोलॉजी और क्वांटम अनुमान सिद्धांत में केंद्रीय मात्रा है, और उदाहरण के लिए प्रसिद्ध क्रैमर-राव बाउंड में दिखाई देती है। ऐसी वासेरस्टीन दूरी के गुणों की जांच करके, हमारा काम क्वांटम वासेरस्टीन दूरी के सिद्धांत को क्वांटम उलझाव के सिद्धांत से जोड़ने का मार्ग प्रशस्त करता है।

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द्वारा उद्धृत

[1] लॉरेंट लाफलेचे, "क्वांटम ऑप्टिमल ट्रांसपोर्ट एंड वीक टोपोलॉजीज़", arXiv: 2306.12944, (2023).

उपरोक्त उद्धरण से हैं SAO / NASA ADS (अंतिम अद्यतन सफलतापूर्वक 2023-10-16 14:47:44)। सूची अधूरी हो सकती है क्योंकि सभी प्रकाशक उपयुक्त और पूर्ण उद्धरण डेटा प्रदान नहीं करते हैं।

नहीं ला सके Crossref डेटा द्वारा उद्धृत आखिरी प्रयास के दौरान 2023-10-16 14:47:42: क्रॉसफ़ीयर से 10.22331 / q-2023-10-16-1143 के लिए उद्धृत डेटा प्राप्त नहीं कर सका। हाल ही में डीओआई पंजीकृत हुआ तो यह सामान्य है।

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