Mandelbrot-sarjan dekoodaus, Math's Famed Fractal | Quanta-lehti

1980-luvun puolivälissä, kuten Walkman-kasettisoittimet ja solmiovärjätyt paidat, Mandelbrot-setin räjähdysmäinen siluetti oli kaikkialla.

Opiskelijat rappasivat sen asuntolan seiniin ympäri maailmaa. Matemaatikot saivat satoja kirjeitä, innokkaita pyyntöjä sarjan tulosteista. (Vastauksena jotkut heistä tuottivat luetteloita hinnastoineen; toiset kokosivat sen silmiinpistävimmät ominaisuudet kirjoiksi.) Tekniikkataitoisemmat fanit voivat lukea elokuun 1985 numeroa Scientific American. Sen kannessa Mandelbrot-setti avautui tulisiksi lonkeroiksi, sen reunan liekeissä; sisällä oli huolellisia ohjelmointiohjeita, joissa kerrottiin, kuinka lukijat saattoivat luoda itselleen ikonisen kuvan.

Siihen mennessä nuo langat olivat myös laajentaneet ulottuvuutensa paljon matematiikan ulkopuolelle, näennäisesti toisiinsa liittymättömiin arkielämän kulmiin. Muutaman seuraavan vuoden aikana Mandelbrot-sarja inspiroi David Hockneyn uusimpia maalauksia ja useiden muusikoiden uusimpia sävellyksiä – fuugamaisia ​​Bachin tyylisiä kappaleita. Se ilmestyisi John Updiken kaunokirjallisuuden sivuille ja ohjaisi kuinka kirjallisuuskriitikko Hugh Kenner analysoi Ezra Poundin runoutta. Siitä tulisi psykedeelisten hallusinaatioiden ja scifi-suuren Arthur C. Clarken kertoman suositun dokumentin aihe.

Mandelbrot-sarja on erityinen muoto, jossa on fraktaaliääriviivat. Käytä tietokonetta lähentääksesi sarjan rosoisia rajoja, ja kohtaat merihevosten laaksoja ja norsujen paraatteja, spiraaligalakseja ja hermosolumaisia ​​filamentteja. Riippumatta siitä, kuinka syvälle tutkit, näet aina lähes kopioita alkuperäisestä sarjasta – äärettömän, huiman samankaltaisuuden kaskadin.

Tämä itsensä samankaltaisuus oli keskeinen osa James Gleickin bestseller-kirjaa Kaaos, joka vahvisti Mandelbrot-sarjan paikan populaarikulttuurissa. "Siellä oli ideoiden universumi", Gleick kirjoitti. "Moderni taidefilosofia, perustelu matematiikan kokeilun uudelle roolille, tapa tuoda monimutkaisia ​​järjestelmiä suuren yleisön eteen."

Mandelbrot-sarjasta oli tullut symboli. Se edusti tarvetta uudelle matemaattiselle kielelle, parempaan tapaan kuvata ympäröivän maailman fraktaaliluonnetta. Se osoitti, kuinka syvällistä monimutkaisuutta voi syntyä yksinkertaisimmista säännöistä - aivan kuten elämä itse. ("Se on siis todellinen toivon viesti" John Hubbard, yksi ensimmäisistä matemaatikoista, joka tutki sarjaa, sanoi vuoden 1989 videolla, "että biologia voidaan mahdollisesti todella ymmärtää samalla tavalla kuin nämä kuvat.") Mandelbrotin sarjassa järjestys ja kaaos elivät harmoniassa; determinismi ja vapaa tahto voitaisiin sovittaa yhteen. Eräs matemaatikko muisteli kompastuneensa teini-ikäisenä ja nähneensä sen vertauskuvana totuuden ja valheen väliselle monimutkaiselle rajalle.

Mandelbrot-sarja oli kaikkialla, kunnes se ei ollut.

Vuosikymmenessä se näytti katoavan. Matemaatikot siirtyivät muihin aiheisiin, ja yleisö siirtyi muihin symboleihin. Tänä päivänä, vain 40 vuotta löydön jälkeen, fraktaalista on tullut kliseinen rajakitsch.

Mutta kourallinen matemaatikoita on kieltäytynyt päästämästä sitä irti. He ovat omistaneet elämänsä Mandelbrot-sarjan salaisuuksien paljastamiseen. Nyt he luulevat olevansa vihdoinkin todella ymmärtävänsä sen.

Heidän tarinansa on tutkimusta, kokeilua – ja sitä, kuinka teknologia muokkaa ajatteluamme ja maailmasta esittämiämme kysymyksiä.

Palkkionmetsästäjät

Lokakuussa 2023 20 matemaatikkoa eri puolilta maailmaa kokoontui tiilirakennukseen, joka oli entisessä Tanskan sotilastutkimustukikohdassa. Metsän keskelle 1800-luvun lopulla rakennettu tukikohta sijaitsi vuonolla Tanskan väkirikkaimman saaren luoteisrannikolla. Vanha torpedo vartioi sisäänkäyntiä. Seiniä koristavat mustavalkoiset valokuvat, joissa laivaston upseereja univormuissa, laituriin rivissä olevia veneitä ja käynnissä olevia sukellusvenekokeita. Kolmen päivän ajan, kun ankara tuuli vei vettä ikkunoiden ulkopuolella vaahtoutuneiksi valkolippisiksi, ryhmä kävi läpi sarjan keskusteluja, joista suurimman osan piti kaksi matemaatikkoa Stony Brookin yliopistosta New Yorkista: Misha Lyubich ja Dima Dudko.

Työpajan yleisössä oli joitain Mandelbrot-sarjan pelotteimpia tutkimusmatkailijoita. Lähellä edessä istui Mitsuhiro Shishikura Kioton yliopistosta, joka osoitti 1990-luvulla, että sarjan raja on niin monimutkainen kuin se voi olla. Muutama paikkaa oli yli Hiroyuki Inou, joka Shishikuran rinnalla kehitti tärkeitä tekniikoita Mandelbrot-sarjan erityisen korkean profiilin alueen tutkimiseen. Viimeisellä rivillä oli susi Jung, Mandelin luoja, matemaatikoiden ohjelmisto Mandelbrot-joukon interaktiiviseen tutkimiseen. Myös paikalla oli Arnaud Chéritat Toulousen yliopistosta, Carsten Petersen Roskilden yliopistosta (joka järjesti työpajan) ja useat muut, jotka olivat vaikuttaneet merkittävästi matemaatikoiden ymmärtämiseen Mandelbrotin joukosta.

Ja taulun ääressä seisoi Lyubich, maailman johtava aiheen asiantuntija, ja Dudko, yksi hänen lähimmistä yhteistyökumppaneistaan. Yhdessä matemaatikoiden kanssa Jeremy Kahn ja Alex Kapiamba, he ovat työskennelleet todistaakseen pitkäaikaisen arvelun Mandelbrot-joukon geometrisesta rakenteesta. Tämä MLC:nä tunnettu arvelu on viimeinen este vuosikymmeniä kestäneessä tutkimuksessa luonnehtia fraktaalia, kesyttää sen sotkeutunut erämaa.

Rakentamalla ja teroittamalla tehokkaita työkaluja, matemaatikot ovat painineet "melkein kaiken Mandelbrot-sarjan" geometrian hallinnassa. Caroline Davis Indianan yliopistosta - lukuun ottamatta muutamaa jäljellä olevaa tapausta. "Misha ja Dima ja Jeremy ja Alex ovat kuin palkkionmetsästäjiä, jotka yrittävät jäljittää näitä viimeisiä."

Lyubich ja Dudko olivat Tanskassa kertomassa muille matemaatikoille viimeaikaisesta edistymisestä MLC:n todistamisessa ja tekniikoista, joita he olivat kehittäneet tätä varten. Viimeisten 20 vuoden ajan tutkijat ovat kokoontuneet tänne työpajoihin, jotka on omistettu monimutkaisen analyysin, Mandelbrot-joukon luomiseen käytettyjen lukutyyppien ja funktioiden matemaattisen tutkimuksen, tulosten ja menetelmien purkamiseen.

Se oli epätavallinen järjestely: matemaatikot söivät kaikki ateriansa yhdessä ja juttelivat ja nauroivat oluiden ääressä pikkutunneille asti. Kun he lopulta päättivät mennä nukkumaan, he vetäytyivät kerrossängyille tai vauvansängyille pieniin huoneisiin, jotka he jakavat laitoksen toisessa kerroksessa. (Saapuessamme meitä käskettiin nappaamaan lakanat ja tyynyliinat pinosta ja viemään ne yläkertaan pedattamaan sänkyjämme.) Joinakin vuosina konferenssivieraat uskaltavat uida kylmässä vedessä; useammin he vaeltavat metsässä. Mutta suurimmaksi osaksi ei ole muuta tekemistä kuin matematiikka.

Tyypillisesti yksi osallistujista kertoi minulle, että työpaja houkuttelee paljon nuorempia matemaatikoita. Mutta näin ei ollut tällä kertaa - ehkä siksi, että oli lukukauden puoliväli, tai hän arveli, koska aihe oli vaikea. Hän myönsi, että sillä hetkellä hän tunsi olevansa hieman peloissaan mahdollisuudesta pitää puheen niin monien alan huippujen edessä.

Mutta koska useimmat matemaatikot monimutkaisen analyysin laajemmalla alueella eivät enää työskentele suoraan Mandelbrot-joukon parissa, miksi omistaa koko työpaja MLC:lle?

Mandelbrot-sarja on enemmän kuin fraktaali, eikä vain metaforisessa mielessä. Se toimii eräänlaisena dynaamisten järjestelmien pääluettelona - kaikista eri tavoista, joilla piste voi liikkua avaruudessa yksinkertaisen säännön mukaan. Tämän mestariluettelon ymmärtämiseksi täytyy kulkea monia erilaisia ​​matemaattisia maisemia. Mandelbrot-joukko ei liity syvästi vain dynamiikkaan, vaan myös lukuteoriaan, topologiaan, algebralliseen geometriaan, ryhmäteoriaan ja jopa fysiikkaan. "Se on vuorovaikutuksessa muun matematiikan kanssa kauniilla tavalla", sanoi Sabyasachi Mukherjee Intian Tata Institute of Fundamental Research -instituutista.

Edistyäkseen MLC:ssä matemaatikoiden on täytynyt kehittää hienostunut tekniikka - mitä Chéritat kutsuu "voimakkaaksi filosofiaksi". Nämä työkalut ovat saaneet paljon huomiota. Nykyään ne muodostavat keskeisen pilarin dynaamisten järjestelmien tutkimuksessa laajemmin. Ne ovat osoittautuneet ratkaiseviksi monien muiden ongelmien ratkaisemisessa – ongelmien, joilla ei ole mitään tekemistä Mandelbrot-joukon kanssa. Ja he ovat muuttaneet MLC:n niche-kysymyksestä yhdeksi alan syvimmistä ja tärkeimmistä avoimista oletuksista.

Lyubich, matemaatikko, joka on luultavasti eniten vastuussa tämän "filosofian" muokkaamisesta nykyiseen muotoonsa, seisoo korkeana ja suorana ja puhuu hiljaa. Kun muut työpajan matemaatikot lähestyvät häntä keskustellakseen käsitteestä tai esittääkseen kysymyksen, hän sulkee silmänsä ja kuuntelee tarkkaavaisesti paksut kulmakarvat rypistettyinä. Hän vastaa varovasti, venäläisellä aksentilla.

Mutta hän on myös nopea murtautumaan äänekkääseen, lämpimään nauruun ja tekemään röyhkeitä vitsejä. Hän on antelias aikaansa ja neuvoillaan. Hän on "todella kasvattanut useita matemaatikoiden sukupolvia", sanoi Mukherjee, yksi Lyubichin entisistä postdoceista ja usein työtovereista. Kuten hän kertoo, kaikki monimutkaisen dynamiikan tutkimuksesta kiinnostuneet viettävät jonkin aikaa Stony Brookissa oppien Lyubichilta. "Mishalla on näkemys siitä, kuinka meidän pitäisi edetä tietyssä projektissa tai mitä katsoa seuraavaksi", Mukherjee sanoi. "Hänellä on tämä suuri kuva mielessään. Ja hän on iloinen voidessaan jakaa sen ihmisten kanssa."

Ensimmäistä kertaa Lyubich kokee voivansa nähdä tuon suuren kuvan kokonaisuudessaan.

Palkintotaistelijat

Mandelbrot-sarja alkoi palkinnolla.

Vuonna 1915 Ranskan tiedeakatemia julkaisi funktioiden tutkimuksen viimeaikaisen edistyksen johdosta kilpailun: Kolmen vuoden kuluttua se tarjoaisi 3,000 XNUMX frangin pääpalkinnon iteraatioprosessin parissa tehdystä työstä – prosessista, joka Luo myöhemmin Mandelbrot-joukko.

Iterointi on säännön toistuvaa soveltamista. Liitä numero funktioon ja käytä sitten lähtöä seuraavana syötteenä. Jatka sitä ja tarkkaile mitä tapahtuu ajan myötä. Kun jatkat funktiosi iterointia, saamasi luvut voivat nousta nopeasti kohti ääretöntä. Tai ne voidaan vetää kohti tiettyä numeroa, kuten rautaviilat, jotka liikkuvat kohti magneettia. Tai päätyy pomppimaan samojen kahden luvun, kolmen tai tuhannen välillä vakaalla kiertoradalla, jolta he eivät voi koskaan paeta. Tai hyppää numerosta toiseen ilman riimiä tai syytä seuraamalla kaoottista, arvaamatonta polkua.

Ranskan akatemialla ja matemaatikoilla laajemmin oli toinenkin syy olla kiinnostunut iteraatiosta. Prosessilla oli tärkeä rooli dynaamisten järjestelmien tutkimuksessa – järjestelmissä, kuten planeettojen pyöriminen auringon ympäri tai pyörteisen virran virtaus, järjestelmiä, jotka muuttuvat ajan myötä tiettyjen sääntöjen mukaan.

Palkinto inspiroi kahta matemaatikkoa kehittämään kokonaan uuden tutkimusalan.

Ensimmäinen oli Pierre Fatou, joka toisessa elämässä olisi voinut olla laivastomies (perheen perinne), ellei hänen terveytensä olisi ollut huonoa. Sen sijaan hän jatkoi uraa matematiikassa ja tähtitieteessä, ja vuoteen 1915 mennessä hän oli jo osoittanut useita merkittäviä tuloksia analyysissä. Sitten oli Gaston Julia, lupaava nuori matemaatikko, joka syntyi Ranskan miehittämässä Algeriassa, jonka opinnot keskeyttivät ensimmäinen maailmansota ja hänen asevelvollisuutensa Ranskan armeijaan. 22-vuotiaana, saatuaan vakavan vamman pian palveluksensa aloittamisen jälkeen – hän piti nahkahihnaa kasvoillaan loppuelämänsä, sen jälkeen kun lääkärit eivät kyenneet korjaamaan vahinkoa – hän palasi matematiikkaan ja suoritti osan teoksen, jonka hän lähettäisi Akatemiapalkintoon sairaalasängystä.

Palkinto motivoi sekä Fatouta että Juliaa tutkimaan, mitä tapahtuu, kun toistat toimintoja. He työskentelivät itsenäisesti, mutta päätyivät tekemään hyvin samanlaisia ​​löytöjä. Heidän tuloksissaan oli niin paljon päällekkäisyyksiä, että vielä nytkään ei ole aina selvää, kuinka arvosanat jaetaan. (Julia oli ulospäinsuuntautunut ja sai siksi enemmän huomiota. Hän päätyi voittajaksi; Fatou ei edes hakenut.) Tämän työn ansiosta heitä pidetään nykyään monimutkaisen dynamiikan alan perustajina.

"Kompleksi", koska Fatou ja Julia iteroivat kompleksilukujen funktioita – lukuja, jotka yhdistävät tutun reaaliluvun ns. imaginaariluvun kanssa ( i, matemaatikot käyttävät symbolia −1:n neliöjuureen. Vaikka todelliset luvut voidaan asettaa pisteinä viivalle, kompleksiluvut visualisoidaan pisteinä tasossa, kuten:

Fatou ja Julia havaitsivat, että jopa yksinkertaisten monimutkaisten funktioiden iterointi (ei paradoksi matematiikan alalla!) voi johtaa rikkaaseen ja monimutkaiseen käyttäytymiseen lähtöpisteestäsi riippuen. He alkoivat dokumentoida näitä käyttäytymismalleja ja esittää niitä geometrisesti.

Mutta sitten heidän työnsä hämärtyi puolen vuosisadan ajaksi. ”Ihmiset eivät edes tienneet mitä etsiä. Heillä oli rajoituksia siihen, mitä kysymyksiä edes kysyttiin, sanoi Artur Avila, Zürichin yliopiston professori.

Tämä muuttui, kun tietokonegrafiikka tuli täysi-ikäiseksi 1970-luvulla.

Siihen mennessä matemaatikko Benoît Mandelbrot oli saavuttanut maineen akateemisena diletanttina. Hän oli harrastellut monilla eri aloilla taloustieteestä tähtitiedettä työskennellessään IBM:n tutkimuskeskuksessa New Yorkin pohjoispuolella. Kun hänet nimitettiin IBM:n stipendiaattiksi vuonna 1974, hänellä oli entistä enemmän vapautta toteuttaa itsenäisiä projekteja. Hän päätti käyttää keskuksen huomattavaa laskentatehoa monimutkaisen dynamiikan tuomiseen pois lepotilasta.

Aluksi Mandelbrot käytti tietokoneita luodakseen sellaisia ​​muotoja, joita Fatou ja Julia olivat tutkineet. Kuvat koodasivat tietoa siitä, milloin aloituspiste toistuessaan pakenee äärettömyyteen ja milloin se jäisi johonkin muuhun kuvioon. Fatoun ja Julian 60 vuotta aikaisemmat piirustukset olivat näyttäneet ympyröiden ja kolmioiden rykelmiltä – mutta Mandelbrotin tietokoneella luodut kuvat näyttivät lohikäärmeiltä ja perhosilta, kaneista ja katedraaleista ja kukkakaalin päistä, joskus jopa irrotetuilta pölypilviltä. Siihen mennessä Mandelbrot oli jo keksinyt sanan "fraktaali" muodoille, jotka näyttivät samanlaisilta eri mittakaavassa; sana herätti ajatuksen uudenlaisesta geometriasta – jostain pirstoutuneesta, murto-osasta tai katkenneesta.

Hänen tietokoneensa näytöllä näkyvät kuvat – jotka tunnetaan nykyään Julia-sarjoina – olivat eräitä kauneimpia ja monimutkaisimpia esimerkkejä fraktaaleista, joita Mandelbrot oli koskaan nähnyt.

Fatoun ja Julian työ oli keskittynyt kunkin joukon geometriaan ja dynamiikkaan (ja niitä vastaaviin toimintoihin) erikseen. Mutta tietokoneet antoivat Mandelbrotille tavan ajatella kokonaista toimintoperhettä kerralla. Hän pystyi koodaamaan ne kaikki kuvaan, joka tulisi kantamaan hänen nimeään, vaikka edelleen on kiistanalainen, oliko hän todella ensimmäinen, joka löysi sen.

Mandelbrot-joukko käsittelee yksinkertaisimpia yhtälöitä, jotka tekevät silti jotain mielenkiintoista iteroitaessa. Nämä ovat muodon neliöfunktioita f(z) = z² + c. Korjaa arvo c — se voi olla mikä tahansa kompleksiluku. Jos toistat yhtälön alkaen z = 0 ja huomaa, että luomasi luvut pysyvät pieninä (tai rajoitettuina, kuten matemaatikot sanovat), niin c on Mandelbrot-sarjassa. Jos toisaalta toistat ja huomaat, että lopulta numerosi alkavat kasvaa kohti ääretöntä, niin silloin c ei ole Mandelbrot-sarjassa.

On yksinkertaista näyttää nämä arvot c lähellä nollaa ovat sarjassa. Ja se on yhtä yksinkertaista osoittaa, että suuret arvot c eivät ole. Mutta kompleksiluvut ovat nimensä mukaisia: joukon raja on upeasti monimutkainen. Muutoksille ei ole selvää syytä c Pienin määrin pitäisi saada sinut jatkuvasti ylittämään rajaa, mutta kun lähennät sitä, näkyviin tulee loputtomasti yksityiskohtia.

Lisäksi Mandelbrot-sarja toimii kuin Julia-sarjojen kartta, kuten alla olevasta interaktiivisesta kuvasta näkyy. Valitse arvo c Mandelbrotin sarjassa. Vastaava Julia-sarja yhdistetään. Mutta jos jätät Mandelbrot-sarjan, vastaava Julia-sarja irrotetaan pölystä.