Jos olet seurannut matematiikan uutisia tässä kuussa, tiedät, että 35-vuotias numeroteoreetikko James Maynard voitti Kenttämitali — matemaatikon korkein kunnianosoitus. Maynard pitää matemaattisista kysymyksistä, jotka "ovat riittävän yksinkertaisia selittää lukiooppilaalle, mutta riittävän vaikeita tyrkyttää matemaatikot vuosisatojen ajan". Quanta raportoitu, ja yksi niistä yksinkertaisista kysymyksistä on tämä: Kun siirryt ulos numeroviivaa pitkin, pitääkö aina olla lähellä toisiaan olevia alkulukuja?
Olet ehkä huomannut, että matemaatikot ovat pakkomielle alkulukuihin. Mikä heitä vetää puoleensa? Ehkä se johtuu siitä, että alkuluvut ilmentävät joitain matematiikan perusrakenteita ja mysteereitä. Alkuluvut kartoittavat kertolaskujen universumin antamalla meille mahdollisuuden luokitella ja luokitella jokainen luku ainutlaatuisella tekijöillä. Mutta vaikka ihmiset ovat leikkineet alkuluvuilla kertolaskujen kynnyksellä, emme vieläkään ole tarkalleen varmoja, missä alkuluvut ilmestyvät, kuinka hajallaan ne ovat tai kuinka lähellä niiden täytyy olla. Sikäli kuin tiedämme, alkuluvut eivät noudata yksinkertaista kaavaa.
Kiinnostuksemme näihin perusobjekteihin on johtanut satojen erityyppisten alkulukujen keksimiseen tai löytämiseen: Mersennen alkuluvut (muodon 2 alkuluvutn − 1), tasapainotetut alkuluvut (alkuluvut, jotka ovat kahden vierekkäisen alkuluvun keskiarvo) ja Sophie Germainin alkuluvut (alkuluku p niin että 2p + 1 on myös alkuluku), muutamia mainitakseni.
Kiinnostus näitä erikoisalkulukuja kohtaan sai alkunsa numeroiden pelaamisesta ja uuden löytämisestä. Tämä pätee myös "digitaalisesti herkkään alkulukuihin", äskettäiseen lisäykseen luetteloon, joka on johtanut yllättäviin tuloksiin alkeellisimmista kysymyksistä: Kuinka harvinaisia tai yleisiä tietynlaiset alkuluvut voivat olla?
Ymmärtääksemme tätä kysymystä, aloitetaan yhdestä ensimmäisistä kiehtovista tosiseikoista, jotka pyrkivä numeroharrastaja oppii: Alkulukuja on äärettömän monta. Eukleides todisti tämän 2,000 vuotta sitten käyttämällä yhtä kuuluisimmista ristiriitatodistuksista koko matematiikan historiassa. Hän aloitti olettamalla, että alkulukuja on vain äärellisen monta ja kuvitteli kaikki n niistä luettelossa:
$latexp_1, p_2, p_3, …, p_n$.
Sitten hän teki jotain fiksua: Hän ajatteli lukua $latexq=p_1 kertaa p_2 kertaa p_3 kertaa … kertaa p_n+1$.
Huomaa, että q ei voi olla alkulukujen luettelossa, koska se on suurempi kuin kaikki luettelossa olevat. Jos siis on olemassa äärellinen alkulukuluettelo, tämä luku q ei voi olla ensisijainen. Mutta jos q ei ole alkuluku, sen on oltava jaollinen jollain muulla kuin itsellään ja luvulla 1. Tämä puolestaan tarkoittaa sitä q täytyy olla jaollinen jollakin listan alkuluvulla, mutta tavan vuoksi q on rakennettu, jakaa q mitä tahansa luettelossa jättää jäljelle 1. Joten ilmeisesti q ei ole alkuluku eikä jaollinen millään alkuluvulla, mikä on ristiriita, joka johtuu olettamalla, että alkulukuja on vain äärellisen monta. Siksi tämän ristiriidan välttämiseksi alkulukuja on itse asiassa oltava äärettömän monta.
Kun otetaan huomioon, että niitä on äärettömän paljon, voisi luulla, että kaikenlaisia alkulukuja on helppo löytää, mutta yksi seuraavista asioista, jonka alkulukuetsivä oppii, on se, kuinka alkuluvut voivat jakautua. Yksinkertainen tulos peräkkäisten alkulukujen välisistä välilyönneistä, joita kutsutaan alkulukuaukoiksi, kertoo jotain varsin yllättävää.
Ensimmäisen 10 alkuluvun joukossa – 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 ja 29 – näet aukkoja, jotka koostuvat yhdestä tai useammasta yhdistelmäluvusta (lukuja, jotka eivät ole alkulukuja, kuten 4, 12 tai 27). Voit mitata nämä raot laskemalla yhdistelmäluvut niiden väliltä: Esimerkiksi koon 0 väli on 2 ja 3 välillä, koon 1 rako sekä 3 ja 5 että 5 ja 7 välissä, koon 3 väli 7 välissä. ja 11 ja niin edelleen. Tämän luettelon suurin alkuluku koostuu viidestä yhdistelmäluvusta - 24, 25, 26, 27 ja 28 - välillä 23 ja 29.
Nyt uskomattomaan tulokseen: Prime-välit voivat olla mielivaltaisen pitkiä. Tämä tarkoittaa, että on olemassa peräkkäisiä alkulukuja niin kaukana toisistaan kuin voit kuvitella. Ehkä aivan yhtä uskomatonta on, kuinka helppoa tämä tosiasia on todistaa.
Meillä on jo 5 pituinen prime-rako yllä. Voisiko olla pituus 6? Sen sijaan, että etsisimme alkulukuluetteloita sellaisen löytämisen toivossa, rakennamme sen itse. Tätä varten käytämme peruslaskentakaavoissa käytettyä tekijäfunktiota: Määritelmän mukaan $lateksi!=n kertaa(n-1) kertaa (n-2) kertaa … kertaa 3 kertaa 2 kertaa 1$, joten esimerkiksi $ lateksi3!=3 kertaa 2 kertaa 1 = 6$ ja $lateksi5!=5 kertaa 4 kertaa 3 kertaa 2 kertaa 1=120$.
Rakennetaan nyt ensisijainen aukko. Harkitse seuraavaa peräkkäisten numeroiden sarjaa:
$lateksi 7!+2$, $lateksi7!+3$, $lateksi 7!+4$, $lateksi7!+5$, $lateksi 7!+6$, $lateksi 7!+7$.
Koska $latex7!=7 kertaa 6 kertaa 5 kertaa 4 kertaa 3 kertaa 2 kertaa 1$, jonossamme ensimmäinen luku, $latex7!+2$, on jaollinen kahdella, mikä näkyy pienen faktoroinnin jälkeen:
$lateksi7!+2=7 kertaa 6 kertaa 5 kertaa 4 kertaa 3 kertaa 2 kertaa 1+2$
$lateksi= 2(7 kertaa 6 kertaa 5 kertaa 4 kertaa 3 kertaa 1+1)$.
Samoin toinen luku, $latex7!+3$, on jaollinen 3:lla, koska
$lateksi7!+3=7 kertaa 6 kertaa 5 kertaa 4 kertaa 3 kertaa 2 kertaa 1+3$
$lateksi= 3(7 kertaa 6 kertaa 5 kertaa 4 kertaa 2 kertaa 1+1)$.
Samoin 7! + 4 on jaollinen luvulla 4, 7! + 5 x 5, 7! + 6 x 6 ja 7! + 7 x 7, mikä tekee 7! + 2, 7! + 3, 7! + 4, 7! + 5, 7! + 6, 7! + 7 kuuden peräkkäisen yhdistelmäluvun sarja. Meillä on vähintään 6 prime-rako.
Tämä strategia on helppo yleistää. Järjestys
$lateksi!+2$, $lateksi!+3$, $lateksi!+4$, $lateksi…$, $lateksi!+n$.
on $latexn-1$ peräkkäisten yhdistelmälukujen sarja, mikä tarkoittaa, että millä tahansa n, on alkurako, jonka pituus on vähintään $latexn-1$. Tämä osoittaa, että on mielivaltaisen pitkiä alkulukuaukkoja, joten luonnollisten lukujen listalla on paikkoja, joissa lähimmät alkuluvut ovat 100 tai 1,000 1,000,000,000 tai jopa XNUMX XNUMX XNUMX XNUMX numeron päässä toisistaan.
Näissä tuloksissa näkyy klassinen jännitys. Alkulukuja on äärettömän monta, mutta myös peräkkäiset alkuluvut voivat olla äärettömän kaukana toisistaan. Lisäksi on äärettömän monta peräkkäistä alkulukua, jotka ovat lähellä toisiaan. Noin 10 vuotta sitten Yitang Zhangin uraauurtava työ käynnisti kilpailun kuilun sulkemiseksi ja kaksoisalkulukuoletuksen todistamiseksi, mikä väittää, että on äärettömän monta alkulukuparia, jotka eroavat vain kahdella. kuuluisia matematiikan avoimia kysymyksiä, ja James Maynard on tehnyt oman merkittävän panoksensa tämän vaikeasti havaittavan tuloksen todistamiseen.
Tämä jännite näkyy myös viimeaikaisissa tuloksissa niin sanotuista digitaalisesti herkistä alkuluvuista. Saadaksesi käsityksen siitä, mitä nämä luvut ovat ja missä ne voivat olla tai eivät, pohdi hetki seuraavaa outoa kysymystä: Onko olemassa kaksinumeroista alkulukua, josta tulee aina yhdistelmä, kun sen yksinumero muuttuu?
Saadaksesi tunteen digitaalisesta herkkusta, leikitään numerolla 23. Tiedämme, että se on ensiluokkainen, mutta mitä tapahtuu, jos muutat sen ykkösiä? No, 20, 22, 24, 26 ja 28 ovat kaikki parillisia ja siten yhdistettyjä; 21 on jaollinen 3:lla, 25 on jaollinen 5:llä ja 27 on jaollinen 9:llä. Toistaiseksi kaikki hyvin. Mutta jos muutat ykköset 9:ksi, saat 29, joka on silti alkuluku. Joten 23 ei ole etsimämme ensiluokkainen.
Entä 37? Kuten yllä näimme, meidän ei tarvitse vaivautua tarkistamaan parillisia tai viiteen päättyviä lukuja, joten tarkistamme vain 5, 31 ja 33. Koska 39 on myös alkuluku, 31 ei myöskään toimi.
Onko sellaista numeroa edes olemassa? Vastaus on kyllä, mutta meidän on mentävä aina 97:ään löytääksemme sen: 97 on alkuluku, mutta 91 (jaollinen 7:llä), 93 (jaollinen 3:lla) ja 99 (myös jaollinen 3:lla) ovat kaikki yhdistelmälukuja. , parillisten lukujen ja 95:n kanssa.
Alkuluku on "herkkä", jos kun muutat jonkin sen numeroista joksikin muuksi, se menettää "alkulukunsa" (tai ensisijaisuutensa, jos käytetään teknistä termiä). Toistaiseksi olemme nähneet, että 97 on herkkä ykkösnumeroissa – koska tämän numeron muuttaminen tuottaa aina yhdistelmäluvun – mutta täyttääkö 97 kaikki digitaalisen herkkyyden kriteerit? Vastaus on ei, koska jos muutat kymmenluvun luvuksi 1, saat 17, alkuluvun. (Huomaa, että 37, 47 ja 67 ovat myös alkulukuja.)
Itse asiassa ei ole olemassa kaksinumeroista digitaalisesti herkkää alkulukua. Seuraava taulukko kaikista kaksinumeroisista luvuista, joissa kaksinumeroiset alkuluvut on varjostettu, osoittaa miksi.
Kaikilla minkä tahansa rivin numeroilla on sama kymmennumero, ja kaikissa tietyn sarakkeen numeroissa on samat ykköset. Se, että 97 on rivin ainoa varjostettu luku, kuvastaa sitä, että se on herkkä ykkösnumeroissa, mutta se ei ole ainoa alkuluku sarakkeessa, mikä tarkoittaa, että se ei ole herkkä kymmenissä numeroissa.
Digitaalisesti herkän kaksinumeroisen alkuluvun pitäisi olla rivin ja sarakkeen ainoa alkuluku. Kuten taulukko osoittaa, tällaista kaksinumeroista alkulukua ei ole olemassa. Entä digitaalisesti herkkä kolminumeroinen alkuluku? Tässä on samanlainen taulukko, joka näyttää kolminumeroisten alkulukujen asettelun välillä 100 ja 199, mutta yhdistelmäluvut on jätetty pois.
Tässä näemme, että 113 on omalla rivillään, mikä tarkoittaa, että se on herkkä ykkösnumerossa. Mutta 113 ei ole omassa sarakkeessaan, joten jotkut muutokset kymmenissä numeroissa (kuten 0:ksi 103:lle tai 6:ksi 163:lle) tuottavat alkulukuja. Koska numeroa ei näy sekä omalla rivillään että omalla sarakkeella, huomaamme nopeasti, ettei ole olemassa kolminumeroista lukua, joka on taatusti yhdistetty, jos muutat sen ykköstä tai kymmennumeroa. Tämä tarkoittaa, että kolminumeroista digitaalisesti herkkää alkulukua ei voi olla. Huomaa, että emme edes tarkistaneet satoja. Ollakseen todella digitaalisesti herkkä, kolminumeroisen luvun on vältettävä alkulukuja kolmessa suunnassa kolmiulotteisessa taulukossa.
Onko digitaalisesti herkkiä alkulukuja edes olemassa? Kun siirryt pidemmälle lukurivillä, alkuluvut harvenevat, mikä tekee niistä epätodennäköisempiä risteämään näiden korkean ulottuvuuden taulukoiden riveillä ja sarakkeilla. Mutta suuremmissa luvuissa on enemmän numeroita, ja jokainen ylimääräinen numero vähentää todennäköisyyttä, että alkuluku on digitaalisesti herkkä.
Jos jatkat, huomaat, että digitaalisesti herkkiä alkulukuja on olemassa. Pienin on 294,001 794,001. Kun muutat yhtä sen numeroista, saamasi numero - esimerkiksi 284,001 505,447 tai 584,141 604,171 - on yhdistetty. Ja on muitakin: Seuraavat ovat 971,767 1,062,599; XNUMX XNUMX; XNUMX XNUMX; XNUMX XNUMX; ja XNUMX XNUMX XNUMX. Itse asiassa ne eivät lopu. Kuuluisa matemaatikko Paul Erdős osoitti, että digitaalisesti herkkiä alkulukuja on äärettömän monta. Ja tämä oli vain ensimmäinen monista yllättävistä tuloksista näistä omituisista numeroista.
Esimerkiksi Erdős ei vain osoittanut, että digitaalisesti herkkiä alkulukuja on äärettömän monta: Hän osoitti, että missä tahansa kannassa on äärettömän monta digitaalisesti herkkää alkulukua. Joten jos päätät esittää numerosi binääri-, kolmi- tai heksadesimaalimuodossa, löydät silti taatusti äärettömän monta digitaalisesti herkkää alkulukua.
Ja digitaalisesti herkät alkuluvut eivät ole vain äärettömiä: ne muodostavat nollasta poikkeavan prosenttiosuuden kaikista alkuluvuista. Tämä tarkoittaa, että jos tarkastellaan digitaalisesti herkkien alkulukujen suhdetta alkulukujen kokonaismäärään, tämä murtoluku on jokin luku suurempi kuin nolla. Teknisesti "positiivinen osuus" kaikista alkuluvuista on digitaalisesti herkkiä, kuten Fields-mitalisti Terence Tao todisti vuonna 2010. Alkuluvut eivät itsessään muodosta positiivista osuutta kaikista luvuista, koska alkulukuja tulee yhä vähemmän. mitä kauempana menet numeroviivaa pitkin. Silti näiden alkulukujen joukosta löydät edelleen digitaalisesti herkkiä alkulukuja tarpeeksi usein, jotta herkkien alkulukujen suhde kokonaisalkulukuihin pysyy nollan yläpuolella.
Ehkä järkyttävin löytö oli a tulos vuodelta 2020 näiden outojen lukujen uudesta muunnelmasta. Hyökkäämällä käsitystä siitä, mikä numero on, matemaatikot kuvittelivat luvun esityksen uudelleen: Sen sijaan, että ajattelisivat 97:ää itsestään, he sen sijaan ajattelivat, että siinä on etunollia:
… 0000000097.
Jokaista etunollaa voidaan pitää numerona, ja kysymys digitaalisesta herkkyydestä voidaan laajentaa näihin uusiin esityksiin. Voisiko olla olemassa "laajasti digitaalisesti herkkiä alkulukuja" – alkulukuja, joista tulee aina yhdistelmä, jos muutat mitä tahansa numeroa, mukaan lukien kaikki johtavat nollat? Matemaatikkojen Michael Filasetan ja Jeremiah Southwickin työn ansiosta tiedämme, että vastaus on yllättäen kyllä. Digitaalisesti herkkiä alkulukuja ei ole vain laajalti, vaan niitä on äärettömän paljon.
Alkuluvut muodostavat loputtoman joukon matemaattisia pulmia ammattilaisten ja harrastajien leikkiä varten. Emme ehkä koskaan paljasta kaikkia heidän mysteereitään, mutta voit luottaa siihen, että matemaatikot löytävät ja keksivät jatkuvasti uudenlaisia alkulukuja tutkittavaksi.
Harjoitukset
1. Mikä on suurin alkulukuero alkulukujen välillä 2:sta 101:een?
2. Todistaakseen, että alkulukuja on äärettömän monta, Euclid olettaa, että alkulukuja $latexp_1, p_2, p_3, …, p_n$ on äärettömän monta, ja osoittaa sitten, että $latexq=p_1 kertaa p_2 kertaa p_3 kertaa … kertaa p_n+1$ ei ole ei ole jaollinen millään listan alkuluvulla. Eikö tämä tarkoita sitä q täytyy olla prime?
3. Lukuteorian kuuluisa tulos on, että välillä on aina alkuluku k ja 2k (mukaan lukien). Tätä on vaikea todistaa, mutta on helppo todistaa, että välillä on aina ensisijainen k ja $latexq=p_1 kertaa p_2 kertaa p_3 kertaa … kertaa p_n+1$ (mukaan lukien), missä $latexp_1, p_2, p_3, …, p_n$ ovat kaikki alkuluvut, jotka ovat pienempiä tai yhtä suuria kuin k. Todista se.
4. Löydätkö pienimmän alkuluvun, joka on digitaalisesti herkkä ykkös- ja kymmennumeroisina? Tämä tarkoittaa, että ykkösten tai kymmenien numeroiden muuttaminen tuottaa aina yhdistelmäluvun. (Haluat ehkä kirjoittaa tietokoneohjelman tätä varten!)
Haasteongelma: Löydätkö pienimmän alkuluvun, joka on digitaalisesti herkkä, kun se esitetään binäärimuodossa? Muista, että binäärissä eli kantaluvussa 2 ainoat numerot ovat 0 ja 1, ja jokainen paikkaarvo edustaa 2:n potenssia. Esimerkiksi 8 esitetään muodossa $latex1000_2$, koska $lateksi 8 = 1 kertaa 2^3 + 0 kertaa 2^2 + 0 kertaa 2^1 + 0 kertaa 2^0$, ja 7 perusosassa 2 on $latex111_2$, koska $latex7=1 kertaa2^2 + 1 kertaa 2^1 + 1 kertaa 2^0$.
Napsauta saadaksesi vastauksen 1:
Napsauta saadaksesi vastauksen 2:
Ei. Tarkastellaan kuutta ensimmäistä alkulukua: 2, 3, 5, 7, 11 ja 13. Tässä tapauksessa luku q olisi $lateksi 2 kertaa 3 kertaa 5 kertaa 7 kertaa 11 kertaa 13 + 1 = 30,031 2 $ . Tämä ei ole jaollinen 3:lla, 5:lla, 7:llä, 11:llä, 13:llä tai 30,031:lla, mutta se ei ole alkuluku: se lasketaan seuraavasti: $lateksi 59 509 = XNUMX kertaa XNUMX $. Huomaa, että sillä on alkulukuja, mutta ne ovat kaikki suurempia kuin kuusi ensimmäistä alkulukua.
Napsauta saadaksesi vastauksen 3:
Jos joko k or q on parasta, että olemme valmiita. Jos q ei ole alkuluku, se on yhdistelmä, mikä tarkoittaa, että se on jaollinen jollain alkuluvulla, mutta tiedämme jo, että se ei ole jaollinen millään ensimmäisistä n alkuluvut. Siksi sen on oltava jaollinen alkuluvulla, joka on suurempi kuin ensimmäinen n alkuluvut, ja koska nämä ovat kaikki alkuluvut pienempiä kuin k, tämän alkuluvun on oltava suurempi kuin k. Mutta tämä prime jakaa q, joten sen on oltava pienempi kuin q, joten välillä on oltava alkuluku k ja q.
Napsauta saadaksesi vastauksen 4:
Ensimmäinen alkuluku, joka täyttää tämän ominaisuuden, on 2,459 2,451, koska 2,453 2,457, 2,409 2,419 ja 2,429 2,439 ovat kaikki yhdistelmäarvot (täyttävät herkät numerot) ja 2,449 2,469, 2,479 2,489, 2,499 2,459, 2,659 XNUMX, XNUMX, XNUMX, XNUMX, XNUMX ( XNUMX, XNUMX XNUMX XNUMX XNUMX XNUMX herkkä kymmennumeroinen kriteeri). Silti XNUMX XNUMX ei ole digitaalisesti herkkä, koska XNUMX XNUMX on prime, joten se epäonnistuu, kun alat harkita satoja. (Kiitos matemaatikko John D. Cookille hänen julkaisemisestaan digitaalisesti herkkä ensisijainen Python-koodi.)
Napsauta vastausta haasteongelmaan:
$latex127=1111111_2$ on digitaalisesti herkkä, koska $lateksi 126=1111110_2$, $latex125=1111101_2$, $latex123=1111011_2$, $latex119=1110111_2$, $latex111=1101111$2$95$1011111 =2_63$ ovat kaikki yhdistelmämuotoja.
