ریاضیات ساده و شگفت انگیز پشت مسابقات گیج کننده | مجله کوانتا

این بازی قهرمانی لیگ ریاضی تخیلی است، جایی که جبرهای آتلانتا با کارولینا کراس محصولات روبرو خواهند شد. دو تیم در این فصل با یکدیگر بازی نکرده‌اند، اما اوایل سال آتلانتا با نتیجه 10 بر 5 بروکلین نیم‌سکتورز را شکست داد و بروکلین کارولینا را با نتیجه 7 بر 3 شکست داد. عنوان را خواهد گرفت؟

خوب، این یک خط فکری است. اگر آتلانتا بروکلین را شکست دهد، آتلانتا بهتر از بروکلین است و اگر بروکلین کارولینا را شکست دهد، بروکلین بهتر از کارولینا است. بنابراین، اگر آتلانتا بهتر از بروکلین و بروکلین بهتر از کارولینا است، آتلانتا باید بهتر از کارولینا باشد و قهرمانی را کسب کند.

اگر بازی‌های رقابتی یا ورزشی انجام می‌دهید، می‌دانید که پیش‌بینی نتیجه یک مسابقه هرگز به این سادگی نیست. اما از نقطه نظر ریاضی محض، این استدلال جذابیتی دارد. از یک ایده مهم در ریاضیات استفاده می کند که به عنوان گذرا شناخته می شود، یک ویژگی آشنا که به ما امکان می دهد رشته هایی از مقایسه ها را در بین روابط بسازیم. گذرا یکی از آن ویژگی های ریاضی است که آنقدر اساسی است که ممکن است متوجه آن نشوید.

مثلاً تساوی اعداد متعدی است. این بدان معناست که اگر بدانیم a = b و b = c، میتوتیم نتیجه بگیریم که a = c. رابطه «بزرگتر از» نیز متعدی است: برای اعداد حقیقی، اگر a > b و b > c، و سپس a > c. وقتی روابط متعدی هستند، می‌توانیم آنها را با هم مقایسه و ترکیب کنیم و ترتیبی از اشیا را ایجاد کنیم. اگر آنا از بنجی بلندتر و بنجی از کارل بلندتر است، می توانیم این سه را بر اساس قدشان مرتب کنیم: A, B, C. گذرا بودن نیز در پس استدلال ساده لوحانه ما قرار دارد که اگر A از ... بهتر است B و B از ... بهتر است C، و سپس A از ... بهتر است C.

گذرا بودن در برابری، همخوانی، تشابه و حتی توازی وجود دارد. این بخشی از تمام ریاضیات اساسی است که انجام می‌دهیم، که وقتی وجود ندارد، آن را از نظر ریاضی جالب می‌کند. هنگامی که تحلیلگران تیم ها را رتبه بندی می کنند، اقتصاددانان ترجیحات مصرف کننده را مطالعه می کنند، یا شهروندان به نامزدهای مورد نظر خود رأی می دهند، فقدان گذرا می تواند به نتایج شگفت انگیزی منجر شود. برای درک بهتر این نوع سیستم‌ها، ریاضی‌دانان بیش از 50 سال است که به مطالعه «تاس‌های ناگذر» می‌پردازند. مقاله اخیر از همکاری ریاضی آنلاین موسوم به پروژه Polymath این درک را ارتقا داده است. برای اینکه بفهمیم ناپذیری چگونه به نظر می رسد و چه احساسی دارد، بیایید لیگی از خودمان تشکیل دهیم و در اطراف بازی کنیم.

در لیگ جدید ریاضی ما، بازیکنان با برگرداندن سکه های سفارشی و مقایسه نتایج به رقابت می پردازند. بیایید بگوییم بازیکن A دارای یک سکه با شماره 10 در یک طرف و عدد 6 در طرف دیگر و بازیکن Bسکه‌ها دارای اعداد 8 و 3 هستند. ما فرض می‌کنیم که سکه‌ها منصفانه هستند - به این معنی که احتمال ظاهر شدن هر طرف هنگام ورق زدن سکه‌ها به یک اندازه است - و اعداد روی سکه‌ها را به این صورت نشان می‌دهیم.

در یک بازی، بازیکنان سکه های خود را برمی گردانند و سکه هرکسی که عدد بیشتری را نشان دهد برنده است. چه کسی کی برنده می شود A نقش B?

البته بستگی داره گاهی A گاهی پیروز خواهد شد B برنده خواهد شد. اما دیدن آن کار سختی نیست A طرفدار پیروزی در برابر است B. چهار راه وجود دارد که بازی می تواند باز شود، و A در سه تای آنها پیروز می شود.

بنابراین در بازی از A در مقابل B, A 75 درصد شانس برنده شدن دارد.

اکنون C می آید و چالش ها B به یک بازی Cسکه یک روی 5 و در طرف دیگر 4 است. باز هم چهار احتمال وجود دارد.

اینجا B و C هر کدام در دو مسابقه از چهار مسابقه پیروز می شوند، بنابراین هر کدام 50 درصد از بازی ها را برنده می شوند. B و C به طور مساوی مطابقت دارند.

حالا، انتظار دارید چه اتفاقی بیفتد A و C بازی؟ خوب، A معمولا می زند Bو B به طور مساوی با C، بنابراین انتظار آن منطقی به نظر می رسد A احتمالاً در برابر آن مورد حمایت قرار خواهد گرفت C.

اما A بیش از مورد علاقه است. A غالب است C، 100٪ برنده شدن.

این ممکن است شگفت‌انگیز به نظر برسد، اما از نظر ریاضی سخت نیست که بفهمیم چرا این اتفاق می‌افتد. Cاعداد در این بین هستند Bاست، بنابراین C هر زمان برنده می شود B عدد پایین آنها را برمیگرداند. ولی Cشماره هر دو در زیر آمده است Aاست، بنابراین C هرگز در آن مسابقه پیروز نخواهم شد این مثال ایده گذر را نقض نمی کند، اما نشان می دهد که ممکن است همه چیز پیچیده تر از این باشد. A > B > C. یک تغییر جزئی در بازی ما نشان می دهد که چقدر می تواند پیچیده تر باشد.

رقبای ما به سرعت از بازی چرخاندن سکه دو طرفه خسته می شوند، زیرا درک کامل آن از نظر ریاضی آسان است (برای جزئیات بیشتر به تمرینات انتهای ستون مراجعه کنید)، بنابراین لیگ تصمیم می گیرد تا به سکه های سه وجهی ارتقا یابد. (یکی از مزایای بازی در لیگ ریاضی خیالی این است که هر چیزی ممکن است.)

در اینجا A و Bسکه های:

چه کسی در یک بازی بین طرفداران A و B? خوب، سه نتیجه برای وجود دارد Aپرتاب سکه و سه برای B، منجر به نه نتیجه احتمالی بازی می شود که به راحتی می توانیم آنها را نمودار کنیم.

با فرض مجدد اینکه همه نتایج به یک اندازه محتمل هستند، A ضربه B در پنج نتیجه از نه نتیجه. این یعنی A تقریباً 5٪ مواقع باید $لاتکس فراکس{9}{55} برنده شود، بنابراین A مورد حمایت قرار می گیرد B.

کمی نسبت به آینده خود احساس ناراحتی می کنند، B چالش ها C به یک بازی Cاعداد در زیر نشان داده شده است. دوست دارید Bشانس؟

باز هم، نه نتیجه ممکن در یک بازی وجود دارد B در مقابل C، بنابراین ما فقط می توانیم آنها را فهرست کنیم.

ما می توانیم آن را ببینیم B در مقابل بسیار خوب به نظر می رسد C. در پنج نتیجه از نه نتیجه ممکن، B برنده می شود. بنابراین B مورد حمایت قرار می گیرد C.

فقیر C حالا باید بازی کند A. با A طرفدار علیه B و B طرفدار علیه C، شانس چه می کند C باید برنده شد؟ همانطور که معلوم است، یک مورد بسیار خوب است.

در پنج نتیجه از نه نتیجه ممکن در اینجا، C ضربه A. این به این معنی است C مورد حمایت قرار می گیرد A، بااینکه Aمورد حمایت قرار می گیرد B و B مورد حمایت قرار می گیرد C.

این نمونه ای از یک سیستم ناگذر است. به عبارت فنی تر، رابطه "محبوب بودن در برابر" در بازی ما گذرا نیست: A مورد حمایت قرار می گیرد Bو B مورد حمایت قرار می گیرد C، اما A لزوماً موافق نیست C.

ما اغلب آن را در ریاضی نمی بینیم، اما این نوع رفتار طرفداران ورزش را شگفت زده نمی کند. اگر جاینت ها عقاب ها را شکست دهند و ایگلز کابوی ها را شکست دهند، باز هم کابوی ها به خوبی می توانند جاینت ها را شکست دهند. عوامل زیادی در نتیجه یک بازی فردی نقش دارند. اگر نوآوری نداشته باشند، تیم ها می توانند با تمرین بهتر شوند یا دچار رکود شوند. بازیکنان می توانند تیم را تغییر دهند. جزئیاتی مانند مکان بازی - در خانه یا خارج از خانه - یا اینکه اخیراً تیم‌ها چگونه بازی کرده‌اند، می‌توانند برنده و بازنده آنها تأثیر بگذارند.

اما این مثال ساده نشان می دهد که دلایل کاملاً ریاضی در پس این نوع ناگذری نیز وجود دارد. و این ملاحظات صرفاً ریاضی چیزی مشترک با محدودیت‌های دنیای واقعی رقابت دارد: تطابق.

در اینجا اعداد برای A, B و C.

وقتی آنها را در کنار هم می‌بینیم، راحت‌تر متوجه می‌شویم که چرا در این موقعیت ناپذیری رخ می‌دهد. با اينكه B طرفدار پیروزی در برابر است C, Cدو عدد متوسط ​​به بالا - 7 و 6 - به آنها برتری می دهد A که B ندارد. بااینکه A مورد حمایت قرار می گیرد B و B مورد حمایت قرار می گیرد C, C برابر A بهتر از B میکند. این شبیه به این است که چگونه یک تیم ورزشی ضعیف ممکن است به خوبی در برابر حریف برتر قرار بگیرد زیرا شیوه بازی آنها برای آن تیم دشوار است یا به این دلیل که یک بازیکن یا مربی به آنها برتری در برابر آن حریف خاص می دهد.

این واقعیت که ورزش غیرقابل انتقال است، بخشی از چیزی است که آنها را سرگرم کننده و قانع کننده می کند. پس از همه، اگر A ضربه B و B ضربه C, C قرار نیست فقط به دلیل گذرا بودن در مواجهه با آنها از دست بدهند A. در رقابت، هر چیزی ممکن است رخ دهد. همانطور که بسیاری از مفسران پس از ناراحتی گفته اند، "به همین دلیل آنها بازی را انجام می دهند."

و به همین دلیل است که ما با ریاضی بازی می کنیم. برای پیدا کردن چیزهای سرگرم کننده، قانع کننده و شگفت انگیز. هر چیزی می تواند رخ دهد.

تمرینات

1. فرض کنید دو بازیکن بازی سکه دو طرفه را انجام می دهند و چهار عدد از دو سکه همه متفاوت هستند. اساساً تنها شش سناریو ممکن برای اینکه چه کسی و هر چند وقت یکبار برنده شود وجود دارد. آنها چه هستند؟

2. در سناریوی بازی سه وجهی که در بالا توضیح داده شد، یک سکه سه وجهی متفاوت برای آن پیدا کنید C به طوری که B همچنان مخالف است C و C همچنان مخالف است A.

3. ثابت کنید که در یک بازی سکه دو طرفه، وجود سه بازیکن غیرممکن است A, B, C به طوری که A مورد حمایت قرار می گیرد B, B مورد حمایت قرار می گیرد Cو C مورد حمایت قرار می گیرد A.

اصلاح: ژانویه 26، 2024
دو رقمی که قبلاً منتشر شده بود، تطابق‌های نامناسب بین بازیکنان A در مقابل C و B در مقابل C را نشان می‌داد. ارقام تصحیح شده‌اند.