Εάν παρακολουθείτε τις μαθηματικές ειδήσεις αυτόν τον μήνα, γνωρίζετε ότι ο 35χρονος θεωρητικός αριθμών James Maynard κέρδισε ένα Μετάλλιο Fields — η υψηλότερη τιμή για έναν μαθηματικό. Στον Maynard αρέσουν οι μαθηματικές ερωτήσεις που «είναι αρκετά απλές για να τις εξηγήσεις σε έναν μαθητή γυμνασίου αλλά αρκετά δύσκολες για να παραγκωνίσουν τους μαθηματικούς για αιώνες». Quanta αναφερθεί, και μία από αυτές τις απλές ερωτήσεις είναι η εξής: Καθώς μετακινείστε κατά μήκος της αριθμητικής γραμμής, πρέπει πάντα να υπάρχουν πρώτοι αριθμοί που να είναι κοντά μεταξύ τους;
Ίσως έχετε παρατηρήσει ότι οι μαθηματικοί έχουν εμμονή με τους πρώτους αριθμούς. Τι τους τραβάει; Ίσως είναι το γεγονός ότι οι πρώτοι αριθμοί ενσωματώνουν μερικές από τις πιο θεμελιώδεις δομές και μυστήρια των μαθηματικών. Οι πρώτοι χαρτογραφούν το σύμπαν του πολλαπλασιασμού επιτρέποντάς μας να ταξινομήσουμε και να κατηγοριοποιήσουμε κάθε αριθμό με μια μοναδική παραγοντοποίηση. Αλλά παρόλο που οι άνθρωποι παίζουν με τους πρώτους από την αυγή του πολλαπλασιασμού, δεν είμαστε ακόμα ακριβώς σίγουροι πού θα εμφανιστούν οι πρώτοι, πόσο απλωμένοι είναι ή πόσο κοντά πρέπει να είναι. Από όσο γνωρίζουμε, οι πρώτοι αριθμοί δεν ακολουθούν κανένα απλό μοτίβο.
Η γοητεία μας με αυτά τα θεμελιώδη αντικείμενα οδήγησε στην εφεύρεση, ή την ανακάλυψη, εκατοντάδων διαφορετικών τύπων πρώτων: πρώτων αριθμών Mersenne (πρώτοι της μορφής 2n − 1), ισορροπημένοι πρώτοι (πρώτοι που είναι ο μέσος όρος δύο γειτονικών πρώτων) και πρώτοι Sophie Germain (πρώτος p τέτοια ώστε 2p + 1 είναι επίσης πρώτος), για να αναφέρουμε μερικά.
Το ενδιαφέρον για αυτούς τους ειδικούς πρώτους αριθμούς προέκυψε από το παιχνίδι με τους αριθμούς και την ανακάλυψη κάτι καινούργιου. Αυτό ισχύει επίσης για τους "ψηφιακά ευαίσθητους πρώτους", μια πρόσφατη προσθήκη στη λίστα που οδήγησε σε μερικά εκπληκτικά αποτελέσματα σχετικά με τις πιο βασικές ερωτήσεις: Πόσο σπάνιοι ή συνηθισμένοι μπορεί να είναι ορισμένα είδη πρώτων;
Για να εκτιμήσουμε αυτήν την ερώτηση, ας ξεκινήσουμε με ένα από τα πρώτα ενδιαφέροντα γεγονότα που μαθαίνει ένας επίδοξος λάτρης των αριθμών: Υπάρχουν άπειροι πρώτοι αριθμοί. Ο Ευκλείδης το απέδειξε πριν από 2,000 χρόνια χρησιμοποιώντας μια από τις πιο διάσημες αποδείξεις σε αντίφαση σε όλη την ιστορία των μαθηματικών. Ξεκίνησε με την υπόθεση ότι υπάρχουν μόνο πεπερασμένα πολλοί πρώτοι και φαντάστηκε όλους n από αυτούς σε μια λίστα:
$latexp_1, p_2, p_3, …, p_n$.
Μετά έκανε κάτι έξυπνο: Σκέφτηκε τον αριθμό $latexq=p_1 φορές p_2 φορές p_3 φορές … φορές p_n+1$.
Σημειώσε ότι q δεν μπορεί να είναι στη λίστα των πρώτων, γιατί είναι μεγαλύτερο από όλα όσα υπάρχουν στη λίστα. Αν λοιπόν υπάρχει μια πεπερασμένη λίστα πρώτων, αυτός ο αριθμός q δεν μπορεί να είναι πρωταρχικός. Αλλα αν q δεν είναι πρώτος, πρέπει να διαιρείται με κάτι άλλο εκτός από τον εαυτό του και 1. Αυτό, με τη σειρά του, σημαίνει ότι q πρέπει να διαιρείται με κάποιον πρώτο στη λίστα, αλλά λόγω του τρόπου q κατασκευάζεται, διαιρώντας q από οτιδήποτε στη λίστα αφήνει ένα υπόλοιπο 1. Έτσι όπως φαίνεται q δεν είναι ούτε πρώτος ούτε διαιρούμενος με κανέναν πρώτο, κάτι που είναι μια αντίφαση που προκύπτει από την υπόθεση ότι υπάρχουν μόνο πεπερασμένα πολλοί πρώτοι. Επομένως, για να αποφευχθεί αυτή η αντίφαση, πρέπει στην πραγματικότητα να υπάρχουν άπειροι πρώτοι.
Δεδομένου ότι υπάρχουν άπειρα πολλά από αυτά, μπορεί να πιστεύετε ότι οι πρώτοι όλων των ειδών είναι εύκολο να βρεθούν, αλλά ένα από τα επόμενα πράγματα που μαθαίνει ένας ντετέκτιβ πρώτων αριθμών είναι πόσο απλοί μπορούν να είναι οι πρώτοι. Ένα απλό αποτέλεσμα σχετικά με τα κενά μεταξύ διαδοχικών πρώτων αριθμών, που ονομάζονται πρώτοι κενά, λέει κάτι αρκετά εκπληκτικό.
Μεταξύ των πρώτων 10 πρώτων αριθμών — 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 και 29 — μπορείτε να δείτε κενά που αποτελούνται από έναν ή περισσότερους σύνθετους αριθμούς (αριθμοί που δεν είναι πρώτοι, όπως 4, 12 ή 27). Μπορείτε να μετρήσετε αυτά τα κενά μετρώντας τους σύνθετους αριθμούς μεταξύ τους: Για παράδειγμα, υπάρχει ένα κενό μεγέθους 0 μεταξύ 2 και 3, ένα κενό μεγέθους 1 μεταξύ 3 και 5 και 5 και 7, κενό μεγέθους 3 μεταξύ 7 και 11, και ούτω καθεξής. Το μεγαλύτερο κενό πρώτου σε αυτήν τη λίστα αποτελείται από τους πέντε σύνθετους αριθμούς — 24, 25, 26, 27 και 28 — μεταξύ 23 και 29.
Τώρα για το απίστευτο αποτέλεσμα: Τα αρχικά κενά μπορεί να είναι αυθαίρετα μεγάλα. Αυτό σημαίνει ότι υπάρχουν διαδοχικοί πρώτοι αριθμοί όσο μακριά μπορείτε να φανταστείτε. Ίσως το ίδιο απίστευτο είναι το πόσο εύκολο είναι να αποδειχθεί αυτό το γεγονός.
Έχουμε ήδη ένα αρχικό κενό μήκους 5 παραπάνω. Θα μπορούσε να υπάρχει ένα μήκους 6; Αντί να ψάχνουμε λίστες πρώτων με την ελπίδα να βρούμε έναν, θα το φτιάξουμε μόνοι μας. Για να το κάνουμε αυτό θα χρησιμοποιήσουμε την παραγοντική συνάρτηση που χρησιμοποιείται στους βασικούς τύπους μέτρησης: Εξ ορισμού, $latexn!=n φορές(n-1) φορές (n-2) φορές … φορές 3 φορές 2 φορές 1$, έτσι για παράδειγμα $ latex3!=3 φορές 2 φορές 1 = 6$ και $latex5!=5 φορές 4 φορές 3 φορές 2 φορές 1=120$.
Τώρα ας χτίσουμε το αρχικό μας χάσμα. Εξετάστε την ακόλουθη ακολουθία διαδοχικών αριθμών:
$latex 7!+2$, $latex7!+3$, $latex 7!+4$, $latex7!+5$, $latex 7!+6$, $latex 7!+7$.
Εφόσον $latex7!=7 φορές 6 φορές 5 φορές 4 φορές 3 φορές2 φορές 1$, ο πρώτος αριθμός στην ακολουθία μας, $latex7!+2$, διαιρείται με το 2, το οποίο μπορείτε να δείτε μετά από λίγη παραγοντοποίηση:
$latex7!+2=7 φορές 6 φορές 5 φορές 4 φορές 3 φορές2 φορές 1+2$
$latex= 2(7 φορές 6 φορές 5 φορές 4 φορές 3 φορές 1+1)$.
Ομοίως, ο δεύτερος αριθμός, $latex7!+3$, διαιρείται με το 3, αφού
$latex7!+3=7 φορές 6 φορές 5 φορές 4 φορές 3 φορές2 φορές 1+3$
$latex= 3(7 φορές 6 φορές 5 φορές 4 φορές2 φορές 1+1)$.
Ομοίως, 7! Το + 4 διαιρείται με το 4, το 7! + 5 επί 5, 7! + 6 επί 6 και 7! + 7 επί 7, που κάνει 7! + 2, 7! + 3, 7! + 4, 7! + 5, 7! + 6, 7! + 7 μια ακολουθία έξι διαδοχικών σύνθετων αριθμών. Έχουμε ένα κύριο κενό τουλάχιστον 6.
Αυτή η στρατηγική είναι εύκολο να γενικευτεί. Η ακολουθία
$latexn!+2$, $latexn!+3$, $latexn!+4$, $latex…$, $latexn!+n$.
είναι μια ακολουθία $latexn-1$ διαδοχικών σύνθετων αριθμών, που σημαίνει ότι, για οποιαδήποτε n, υπάρχει ένα κύριο κενό με μήκος τουλάχιστον $latexn-1$. Αυτό δείχνει ότι υπάρχουν αυθαίρετα μεγάλα κενά πρώτου αριθμού, και έτσι έξω από τη λίστα των φυσικών αριθμών υπάρχουν μέρη όπου οι πλησιέστεροι πρώτοι είναι 100, ή 1,000, ή ακόμα και 1,000,000,000 αριθμοί μεταξύ τους.
Μια κλασική ένταση φαίνεται σε αυτά τα αποτελέσματα. Υπάρχουν άπειροι πρώτοι αριθμοί, ωστόσο διαδοχικοί πρώτοι αριθμοί μπορούν επίσης να απέχουν απείρως. Επιπλέον, υπάρχουν άπειροι διαδοχικοί πρώτοι που είναι κοντά μεταξύ τους. Πριν από περίπου 10 χρόνια, το πρωτοποριακό έργο του Yitang Zhang ξεκίνησε έναν αγώνα δρόμου για να κλείσει το χάσμα και να αποδείξει την εικασία των δίδυμων πρώτων, η οποία υποστηρίζει ότι υπάρχουν άπειρα ζεύγη πρώτων που διαφέρουν μόνο κατά 2. Η εικασία των δίδυμων πρώτων είναι μια από τις πιο διάσημες ανοιχτές ερωτήσεις στα μαθηματικά και ο James Maynard έχει κάνει τη δική του σημαντική συμβολή στην απόδειξη αυτού του άπιαστου αποτελέσματος.
Αυτή η ένταση είναι επίσης παρούσα στα πρόσφατα αποτελέσματα σχετικά με τους λεγόμενους ψηφιακά ευαίσθητους πρώτους. Για να καταλάβετε τι είναι αυτοί οι αριθμοί και πού μπορεί να είναι ή όχι, αφιερώστε λίγο χρόνο για να αναλογιστείτε την ακόλουθη περίεργη ερώτηση: Υπάρχει διψήφιος πρώτος αριθμός που γίνεται πάντα σύνθετος με οποιαδήποτε αλλαγή στο ψηφίο του ενός;
Για να πάρουμε μια αίσθηση της ψηφιακής λιχουδιάς, ας παίξουμε με τον αριθμό 23. Γνωρίζουμε ότι είναι πρώτος, αλλά τι θα συμβεί αν αλλάξετε το ψηφίο του ενός; Λοιπόν, τα 20, 22, 24, 26 και 28 είναι όλα άρτια, και επομένως σύνθετα. Το 21 διαιρείται με το 3, το 25 διαιρείται με το 5 και το 27 διαιρείται με το 9. Μέχρι στιγμής, όλα καλά. Αλλά αν αλλάξετε το ψηφίο ενός σε 9, θα λάβετε 29, που εξακολουθεί να είναι πρώτος. Άρα το 23 δεν είναι το είδος του πρώτου που ψάχνουμε.
Τι γίνεται με το 37; Όπως είδαμε παραπάνω, δεν χρειάζεται να κάνουμε τον κόπο να ελέγξουμε ζυγούς αριθμούς ή αριθμούς που τελειώνουν σε 5, επομένως θα ελέγξουμε απλώς το 31, το 33 και το 39. Εφόσον το 31 είναι επίσης πρώτος, ούτε το 37 λειτουργεί.
Υπάρχει καν τέτοιος αριθμός; Η απάντηση είναι ναι, αλλά πρέπει να πάμε μέχρι το 97 για να το βρούμε: το 97 είναι πρώτος, αλλά το 91 (διαιρείται με το 7), το 93 (διαιρείται με το 3) και το 99 (διαιρείται επίσης με το 3) είναι όλα σύνθετα , μαζί με τους ζυγούς αριθμούς και το 95.
Ένας πρώτος αριθμός είναι "λεπτός" εάν, όταν αλλάζετε ένα από τα ψηφία του σε οτιδήποτε άλλο, χάνει την "πρωτογένεια" του (ή την πρωταρχικότητα, για να χρησιμοποιήσω τον τεχνικό όρο). Μέχρι στιγμής βλέπουμε ότι το 97 είναι ευαίσθητο στο ψηφίο του ενός — αφού η αλλαγή αυτού του ψηφίου παράγει πάντα έναν σύνθετο αριθμό — αλλά το 97 ικανοποιεί τα πλήρη κριτήρια του να είναι ψηφιακά ευαίσθητο; Η απάντηση είναι όχι, γιατί αν αλλάξετε το ψηφίο των δεκάδων σε 1 θα λάβετε 17, έναν πρώτο. (Παρατηρήστε ότι τα 37, 47 και 67 είναι επίσης πρώτοι.)
Στην πραγματικότητα, δεν υπάρχει διψήφιος ψηφιακά ευαίσθητος πρώτος. Ο παρακάτω πίνακας όλων των διψήφιων αριθμών, με τους διψήφιους πρώτους σκιασμένους, δείχνει το γιατί.
Όλοι οι αριθμοί σε οποιαδήποτε δεδομένη σειρά έχουν το ίδιο ψηφίο δεκάδων και όλοι οι αριθμοί σε οποιαδήποτε δεδομένη στήλη έχουν το ίδιο ψηφίο των δεκάδων. Το γεγονός ότι το 97 είναι ο μόνος σκιασμένος αριθμός στη σειρά του αντανακλά το γεγονός ότι είναι λεπτός στο ψηφίο του ενός, αλλά δεν είναι ο μόνος πρώτος στη στήλη του, πράγμα που σημαίνει ότι δεν είναι λεπτός στο ψηφίο των δεκάδων.
Ένας ψηφιακά ευαίσθητος διψήφιος πρώτος θα πρέπει να είναι ο μόνος πρώτος στη σειρά και στη στήλη του. Όπως δείχνει ο πίνακας, δεν υπάρχει τέτοιος διψήφιος πρώτος. Τι γίνεται με έναν ψηφιακά ευαίσθητο τριψήφιο πρώτο; Ακολουθεί ένας παρόμοιος πίνακας που δείχνει τη διάταξη των τριψήφιων πρώτων αριθμών μεταξύ 100 και 199, με τους σύνθετους αριθμούς να παραλείπονται.
Εδώ βλέπουμε ότι το 113 βρίσκεται στη δική του σειρά, πράγμα που σημαίνει ότι είναι ευαίσθητο στο ένα ψηφίο. Αλλά το 113 δεν είναι στη δική του στήλη, επομένως ορισμένες αλλαγές στο ψηφίο των δεκάδων (όπως στο 0 για το 103 ή στο 6 για το 163) παράγουν πρώτους αριθμούς. Δεδομένου ότι κανένας αριθμός δεν εμφανίζεται τόσο στη δική του σειρά όσο και στη στήλη του, γρήγορα βλέπουμε ότι δεν υπάρχει τριψήφιος αριθμός που να είναι εγγυημένος σύνθετος εάν αλλάξετε το ψηφίο του ενός ή το ψηφίο των δεκάδων του. Αυτό σημαίνει ότι δεν μπορεί να υπάρχει τριψήφιος ψηφιακά ευαίσθητος πρώτος. Παρατηρήστε ότι δεν ελέγξαμε καν το ψηφίο των εκατοντάδων. Για να είναι πραγματικά ψηφιακά ευαίσθητος, ένας τριψήφιος αριθμός θα έπρεπε να αποφύγει τους πρώτους σε τρεις κατευθύνσεις σε έναν τρισδιάστατο πίνακα.
Υπάρχουν καν ψηφιακά ευαίσθητοι πρώτοι; Καθώς προχωράτε πιο έξω στην αριθμητική γραμμή, οι πρώτοι τείνουν να γίνονται πιο αραιοί, γεγονός που τους καθιστά λιγότερο πιθανό να διασταυρωθούν στις σειρές και τις στήλες αυτών των πινάκων υψηλών διαστάσεων. Αλλά οι μεγαλύτεροι αριθμοί έχουν περισσότερα ψηφία και κάθε επιπλέον ψηφίο μειώνει την πιθανότητα ο πρώτος να είναι ψηφιακά ευαίσθητος.
Αν συνεχίσετε, θα ανακαλύψετε ότι υπάρχουν ψηφιακά ευαίσθητοι πρώτοι. Το μικρότερο είναι 294,001. Όταν αλλάξετε ένα από τα ψηφία του, ο αριθμός που λαμβάνετε — 794,001, ας πούμε, ή 284,001 — θα είναι σύνθετος. Και υπάρχουν περισσότερα: Τα επόμενα είναι 505,447. 584,141; 604,171; 971,767; και 1,062,599. Στην πραγματικότητα, δεν σταματούν. Ο διάσημος μαθηματικός Paul Erdős απέδειξε ότι υπάρχουν άπειροι ψηφιακά ευαίσθητοι πρώτοι αριθμοί. Και αυτό ήταν μόνο το πρώτο από τα πολλά εκπληκτικά αποτελέσματα σχετικά με αυτούς τους περίεργους αριθμούς.
Για παράδειγμα, ο Erdős δεν απέδειξε απλώς ότι υπάρχουν άπειροι ψηφιακά ευαίσθητοι πρώτοι: Απέδειξε ότι υπάρχουν άπειροι ψηφιακά ευαίσθητοι πρώτοι σε οποιαδήποτε βάση. Έτσι, εάν επιλέξετε να αναπαραστήσετε τους αριθμούς σας σε δυαδικό, τριαδικό ή δεκαεξαδικό, εξακολουθείτε να είστε σίγουροι ότι θα βρείτε άπειρους ψηφιακά ευαίσθητους πρώτους.
Και οι ψηφιακά ευαίσθητοι πρώτοι αριθμοί δεν είναι απλώς άπειροι: Αποτελούν ένα μη μηδενικό ποσοστό όλων των πρώτων αριθμών. Αυτό σημαίνει ότι αν κοιτάξετε την αναλογία του αριθμού των ψηφιακά ευαίσθητων πρώτων προς τον αριθμό των πρώτων συνολικά, αυτό το κλάσμα είναι κάποιος αριθμός μεγαλύτερος από το μηδέν. Σε τεχνικούς όρους, μια «θετική αναλογία» όλων των πρώτων αριθμών είναι ψηφιακά ευαίσθητη, όπως απέδειξε ο Ολυμπιονίκης των Fields Terence Tao το 2010. Οι ίδιοι οι πρώτοι δεν αποτελούν θετική αναλογία όλων των αριθμών, αφού θα βρείτε όλο και λιγότερους πρώτους αριθμούς όσο πιο μακριά πηγαίνετε κατά μήκος της αριθμητικής γραμμής. Ωστόσο, μεταξύ αυτών των πρώτων, θα συνεχίσετε να βρίσκετε ψηφιακά ευαίσθητους πρώτους αρκετά συχνά ώστε να διατηρείται ο λόγος των ευαίσθητων πρώτων προς τους συνολικούς πρώτους πάνω από το μηδέν.
Ίσως η πιο συγκλονιστική ανακάλυψη ήταν η α αποτέλεσμα από το 2020 για μια νέα παραλλαγή αυτών των παράξενων αριθμών. Χαλαρώνοντας την έννοια του τι είναι ένα ψηφίο, οι μαθηματικοί επανασχεδίασαν την αναπαράσταση ενός αριθμού: Αντί να σκεφτούν το 97 από μόνο του, το θεώρησαν ότι έχει αρχικά μηδενικά:
… 0000000097.
Κάθε αρχικό μηδέν μπορεί να θεωρηθεί ως ένα ψηφίο και το ζήτημα της ψηφιακής λιχουδιάς μπορεί να επεκταθεί σε αυτές τις νέες αναπαραστάσεις. Θα μπορούσαν να υπάρχουν «ευρέως ψηφιακά ευαίσθητοι πρώτοι αριθμοί» — πρώτοι αριθμοί που γίνονται πάντα σύνθετοι αν αλλάξετε κάποιο από τα ψηφία, συμπεριλαμβανομένων οποιουδήποτε από αυτά τα αρχικά μηδενικά; Χάρη στη δουλειά των μαθηματικών Michael Filaseta και Jeremiah Southwick, γνωρίζουμε ότι η απάντηση, παραδόξως, είναι ναι. Όχι μόνο υπάρχουν ευρέως ψηφιακά ευαίσθητοι πρώτοι, αλλά υπάρχουν απείρως πολλοί από αυτούς.
Οι πρώτοι αριθμοί σχηματίζουν μια άπειρη σειρά από μαθηματικά παζλ με τα οποία μπορούν να παίξουν επαγγελματίες και λάτρεις. Μπορεί να μην ξετυλίξουμε ποτέ όλα τα μυστήρια τους, αλλά μπορείτε να βασιστείτε στους μαθηματικούς που θα ανακαλύπτουν συνεχώς και θα εφευρίσκουν νέα είδη πρώτων αριθμών για εξερεύνηση.
Ασκήσεις
1. Ποιο είναι το μεγαλύτερο κενό πρώτου αριθμού μεταξύ των πρώτων από το 2 έως το 101;
2. Για να αποδείξει ότι υπάρχουν άπειρα πολλοί πρώτοι, ο Ευκλείδης υποθέτει ότι υπάρχουν πεπερασμένα πολλοί πρώτοι $latexp_1, p_2, p_3, …, p_n$, και στη συνέχεια δείχνει ότι $latexq=p_1 επί p_2 επί p_3 φορές … φορές p_n+1$ isn Δεν διαιρείται με κανέναν πρώτο στη λίστα. Αυτό δεν σημαίνει αυτό q πρέπει να είναι πρωταρχικός;
3. Ένα διάσημο αποτέλεσμα στη θεωρία αριθμών είναι ότι υπάρχει πάντα ένας πρώτος μεταξύ k και 2k (περιεκτικός). Αυτό είναι δύσκολο να αποδειχτεί, αλλά είναι εύκολο να αποδειχθεί ότι υπάρχει πάντα ένα πρωταρχικό μεταξύ k και $latexq=p_1 φορές p_2 φορές p_3 φορές … φορές p_n+1$ (συμπεριλαμβανομένου), όπου οι $latexp_1, p_2, p_3, …, p_n$ είναι όλοι οι πρώτοι μικρότεροι ή ίσοι με k. Απόδειξε το.
4. Μπορείτε να βρείτε τον μικρότερο πρώτο αριθμό που είναι ψηφιακά ευαίσθητος στα ψηφία των μονάδων και των δεκάδων; Αυτό σημαίνει ότι η αλλαγή του ψηφίου των μονάδων ή των δεκάδων θα παράγει πάντα έναν σύνθετο αριθμό. (Μπορεί να θέλετε να γράψετε ένα πρόγραμμα υπολογιστή για να το κάνετε αυτό!)
Πρόβλημα πρόκλησης: Μπορείτε να βρείτε τον μικρότερο πρώτο αριθμό που είναι ψηφιακά ευαίσθητος όταν αναπαρίσταται σε δυαδικό; Θυμηθείτε ότι στο δυαδικό ή στη βάση 2, τα μόνα ψηφία είναι το 0 και το 1 και κάθε τιμή θέσης αντιπροσωπεύει δύναμη 2. Για παράδειγμα, το 8 αντιπροσωπεύεται ως $latex1000_2$, αφού $latex 8=1 επί 2^3 + 0 φορές 2^2 + 0 φορές 2^1 + 0 φορές 2^0$, και το 7 στη βάση 2 είναι $latex111_2$, αφού $latex7=1 φορές2^2 + 1 φορές 2^1 + 1 φορές 2^0$.
Κάντε κλικ για απάντηση 1:
Κάντε κλικ για απάντηση 2:
Όχι. Θεωρήστε τους έξι πρώτους πρώτους: 2, 3, 5, 7, 11 και 13. Σε αυτήν την περίπτωση ο αριθμός q θα ήταν $latex 2 φορές 3 φορές 5 φορές 7 φορές 11 φορές13 + 1 = 30,031 $ . Αυτό δεν διαιρείται με το 2, το 3, το 5, το 7, το 11 ή το 13, αλλά δεν είναι πρώτος: υπολογίζεται ως $latex 30,031 = 59 επί 509 $. Παρατηρήστε ότι έχει πρώτους παράγοντες, αλλά είναι όλοι μεγαλύτεροι από τους πρώτους έξι πρώτους.
Κάντε κλικ για απάντηση 3:
Αν κάποιος από τους δύο k or q είναι πρωταρχικό τελειώσαμε. Αν q δεν είναι πρώτος είναι σύνθετος, που σημαίνει ότι διαιρείται με κάποιον πρώτο αριθμό, αλλά γνωρίζουμε ήδη ότι δεν διαιρείται με κανέναν από τους πρώτους n πρώτοι. Επομένως, πρέπει να διαιρείται με έναν πρώτο μεγαλύτερο από τον πρώτο n πρώτοι, και αφού αυτοί είναι όλοι οι πρώτοι μικρότεροι από k, αυτός ο πρώτος πρέπει να είναι μεγαλύτερος από k. Αλλά αυτή η πρωτιά διχάζει q, επομένως πρέπει να είναι μικρότερο από q, οπότε πρέπει να υπάρχει πρωταρχικό μεταξύ k και q.
Κάντε κλικ για απάντηση 4:
Ο πρώτος πρώτος που ικανοποιεί αυτήν την ιδιότητα είναι 2,459, αφού τα 2,451, 2,453 και 2,457 είναι όλα σύνθετα (ικανοποιούν το κριτήριο των ψηφίων των ευαίσθητων ψηφίων) και 2,409, 2,419, 2,429, 2,439, 2,449, 2,469, 2,479. το κριτήριο των λεπτών δεκάδων). Ωστόσο, το 2,489 δεν είναι ψηφιακά ευαίσθητο, επειδή το 2,499 είναι πρώτο, επομένως αποτυγχάνει μόλις αρχίσετε να εξετάζετε το ψηφίο των εκατοντάδων. (Ευχαριστώ τον μαθηματικό John D. Cook για τη δημοσίευσή του ψηφιακά ευαίσθητος κώδικας Python με αρχική εύρεση.)
Κάντε κλικ για απάντηση στο πρόβλημα πρόκλησης:
Το $latex127=1111111_2$ είναι ψηφιακά ευαίσθητο, αφού $latex 126=1111110_2$, $latex125=1111101_2$, $latex123=1111011_2$, $latex119=1110111$2, $111=1101111,$2,$95,$1011111,$2,$63,$0111111,$2,$XNUMX,$XNUMX,$XNUMX,$XNUMX,$XNUMX,$XNUMX,$XNUMX,$XNUMX,$XNUMX,$XNUMX,$XNUMX,$XNUMX,$XNUMX,$XNUMX =XNUMX_XNUMX$ είναι όλα σύνθετα.
