Quanten-Wasserstein-Abstand basierend auf einer Optimierung über trennbare Zustände

Quanten-Wasserstein-Abstand basierend auf einer Optimierung über trennbare Zustände

Zeitstempel: 16. Oktober 2023, 10:35 Uhr
Quellknoten: 2938953

Géza Toth1,2,3,4,5 und József Pitrik5,6,7

1Theoretische Physik, Universität des Baskenlandes UPV/EHU, ES-48080 Bilbao, Spanien
2EHU Quantum Center, Universität des Baskenlandes UPV/EHU, Barrio Sarriena s/n, ES-48940 Leioa, Biskaya, Spanien
3Donostia International Physics Center (DIPC), ES-20080 San Sebastián, Spanien
4IKERBASQUE, Baskische Stiftung für Wissenschaft, ES-48011 Bilbao, Spanien
5Institut für Festkörperphysik und Optik, Wigner Research Center for Physics, HU-1525 Budapest, Ungarn
6Alfréd Rényi Institut für Mathematik, Reáltanoda u. 13-15., HU-1053 Budapest, Ungarn
7Abteilung für Analyse und Operations Research, Institut für Mathematik, Technische und Wirtschaftswissenschaftliche Universität Budapest, Müegyetem rkp. 3., HU-1111 Budapest, Ungarn

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Abstrakt

Wir definieren den Quanten-Wasserstein-Abstand so, dass die Optimierung der Kopplung über bipartite trennbare Zustände und nicht über bipartite Quantenzustände im Allgemeinen durchgeführt wird, und untersuchen seine Eigenschaften. Überraschenderweise stellen wir fest, dass der Selbstabstand mit der Quanten-Fisher-Information zusammenhängt. Wir präsentieren eine Transportkarte, die einem optimalen zweiteiligen trennbaren Zustand entspricht. Wir diskutieren, wie der eingeführte Quanten-Wasserstein-Abstand mit Kriterien zur Erkennung der Quantenverschränkung zusammenhängt. Wir definieren varianzähnliche Größen, die aus der Quanten-Wasserstein-Distanz erhalten werden können, indem wir die Minimierung über Quantenzustände durch eine Maximierung ersetzen. Wir erweitern unsere Ergebnisse auf eine Familie verallgemeinerter Quanten-Fisher-Informationsgrößen.

Ausgewähltes Bild: Geometrische Darstellung des Quanten-Wasserstein-Abstands zwischen einem reinen Zustand $varrho$ und einem gemischten Zustand $sigma$ für $N=1.$ Der Quanten-Wasserstein-Abstand entspricht $1/sqrt2$ mal dem üblichen euklidischen Abstand zwischen $A'$ und $B'.$

Populäre Zusammenfassung

Im Alltag sagt uns die Entfernung zweier Städte, wie viele Kilometer wir von einer zur anderen fahren müssen. Es ist auch möglich zu charakterisieren, wie leicht wir von einer Stadt in die andere gelangen können, indem wir den Kraftstoffverbrauch während unserer Fahrt messen. Letzteres ist insofern aussagekräftiger, als es die Reisekosten im Zusammenhang mit der Topographie der Straße widerspiegelt, also empfindlich auf die zugrunde liegende Metrik reagiert. Stellen wir uns als nächstes vor, dass wir einen Sandhaufen von einem Ort zum anderen bewegen müssen und der neue Haufen möglicherweise eine andere Form hat. Auch in diesem Fall können wir den Aufwand für die Sandbeförderung durch die Transportkosten charakterisieren.

Entfernungen spielen in Mathematik, Physik und Ingenieurwissenschaften eine zentrale Rolle. Ein grundlegendes Problem in der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik besteht darin, nützliche Maße für den Abstand zwischen zwei Wahrscheinlichkeitsverteilungen zu finden. Leider sind viele Vorstellungen über den Abstand zwischen Wahrscheinlichkeitsverteilungen, beispielsweise p(x) und q(x), maximal, wenn sie sich nicht überlappen, dh eine ist immer Null, wenn die andere ungleich Null ist. Dies ist für viele Anwendungen unpraktisch. Um zum Beispiel auf die Sandanalogie zurückzukommen: Zwei sich nicht überlappende Sandhaufen scheinen gleich weit voneinander entfernt zu sein, unabhängig davon, ob ihr Abstand 10 km oder 100 km beträgt. Die optimale Transporttheorie ist eine Möglichkeit, einen alternativen Begriff des Abstands zwischen Wahrscheinlichkeitsverteilungen zu konstruieren, den sogenannten Wasserstein-Abstand. Sie kann nicht maximal sein, selbst wenn sich die Verteilungen nicht überlappen, sie reagiert empfindlich auf die zugrunde liegende Metrik (d. h. die Kosten des Transports) und im Wesentlichen drückt sie den Aufwand aus, den wir benötigen, um eine zur anderen zu bewegen. als wären es Sandhügel.

Kürzlich wurde der Quanten-Wasserstein-Abstand definiert, indem er den klassischen Wasserstein-Abstand verallgemeinert. Es basiert auf der Minimierung einer Kostenfunktion über den Quantenzuständen eines zweiteiligen Quantensystems. Es hat die Eigenschaft, die der oben erwähnten in der Quantenwelt analog ist. Für orthogonale Zustände kann es nicht maximal sein, was beispielsweise nützlich ist, wenn wir einem Algorithmus Quantendaten beibringen müssen.

Wie zu erwarten ist, weist auch die Quanten-Wasserstein-Distanz Eigenschaften auf, die sich stark von denen ihres klassischen Gegenstücks unterscheiden. Wenn wir beispielsweise den Abstand eines Quantenzustands von sich selbst messen, kann dieser ungleich Null sein. Obwohl dies bereits rätselhaft ist, wurde auch festgestellt, dass der Selbstabstand mit der Wigner-Yanase-Skew-Information zusammenhängt, die 1963 vom Nobelpreisträger EP Wigner eingeführt wurde, der wichtige Beiträge zu den Grundlagen der Quantenphysik und MM Yanase geleistet hat.

In unserer Arbeit betrachten wir diesen mysteriösen Befund aus einer noch anderen Richtung. Wir beschränken die oben erwähnte Minimierung auf sogenannte separierbare Zustände. Dies sind die Quantenzustände, die keine Verschränkung enthalten. Wir stellen fest, dass der Selbstabstand zur Quanten-Fisher-Information wird, einer zentralen Größe in der Quantenmetrologie und der Quantenschätztheorie, die beispielsweise in der berühmten Cramer-Rao-Grenze vorkommt. Durch die Untersuchung der Eigenschaften eines solchen Wasserstein-Abstands ebnet unsere Arbeit den Weg, die Theorie des Quanten-Wasserstein-Abstands mit der Theorie der Quantenverschränkung zu verbinden.

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[116] MATLAB. „9.9.0.1524771(r2020b)“. The MathWorks Inc. Natick, Massachusetts (2020).

[117] MOSEK ApS. „Die MOSEK-Optimierungs-Toolbox für das MATLAB-Handbuch. Version 9.0“. (2019). URL: docs.mosek.com/​9.0/​toolbox/​index.html.
https://​/​docs.mosek.com/​9.0/​toolbox/​index.html

[118] J. Löfberg. „YALMIP: Eine Toolbox für Modellierung und Optimierung in MATLAB“. Im Tagungsband der CACSD-Konferenz. Taipeh, Taiwan (2004).

[119] Géza Tóth. „QUBIT4MATLAB V3.0: Ein Programmpaket für Quanteninformationswissenschaft und Quantenoptik für MATLAB“. Berechnen. Physik. Komm. 179, 430–437 (2008).
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[120] Das Paket QUBIT4MATLAB ist unter https://​/​www.mathworks.com/​matlabcentral/​ fileexchange/​8433 und auf der persönlichen Homepage https://​/​gtoth.eu/​qubit4matlab.html verfügbar.
https://​/​www.mathworks.com/​matlabcentral/​fileexchange/​8433

Zitiert von

[1] Laurent Lafleche, „Quantenoptimaler Transport und schwache Topologien“, arXiv: 2306.12944, (2023).

Die obigen Zitate stammen von SAO / NASA ADS (Zuletzt erfolgreich aktualisiert am 2023, 10:16:14 Uhr). Die Liste ist möglicherweise unvollständig, da nicht alle Verlage geeignete und vollständige Zitationsdaten bereitstellen.

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