Kontinuierliche Majorisierung im Quantenphasenraum

Kontinuierliche Majorisierung im Quantenphasenraum

Zeitstempel: 24. Mai 2023, 7:39 Uhr
Quellknoten: 2674950

Zacharie Van Herstraeten1,2, Michael G. Jabbour1,3,4, und Nicolas J. Cerf1

1Zentrum für Quanteninformation und -kommunikation, École polytechnique de Bruxelles, CP 165/59, Université libre de Bruxelles, 1050 Brüssel, Belgien
2Wyant College of Optical Sciences, The University of Arizona, 1630 E. University Blvd., Tucson, AZ 85721, USA
3DAMTP, Zentrum für Mathematische Wissenschaften, Universität Cambridge, Cambridge CB3 0WA, Vereinigtes Königreich
4Fachbereich Physik, Technische Universität Dänemark, 2800 Kongens Lyngby, Dänemark

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Abstrakt

Wir untersuchen die Rolle der Majorisierungstheorie im Quantenphasenraum. Zu diesem Zweck beschränken wir uns auf Quantenzustände mit positiven Wigner-Funktionen und zeigen, dass die kontinuierliche Version der Majorisierungstheorie einen eleganten und sehr natürlichen Ansatz zur Untersuchung der informationstheoretischen Eigenschaften von Wigner-Funktionen im Phasenraum bietet. Nachdem wir alle Gaußschen reinen Zustände als äquivalent im genauen Sinne einer kontinuierlichen Majorisierung identifiziert haben, was im Lichte des Hudson-Theorems verstanden werden kann, vermuten wir eine grundlegende Majorisierungsbeziehung: Jede positive Wigner-Funktion wird durch die Wigner-Funktion eines Gaußschen reinen Zustands (insbesondere) Majorisiert , der bosonische Vakuumzustand oder Grundzustand des harmonischen Oszillators). Folglich ist jede Schur-konkave Funktion der Wigner-Funktion nach unten durch den Wert begrenzt, den sie für den Vakuumzustand annimmt. Dies impliziert wiederum, dass die Wigner-Entropie durch ihren Wert für den Vakuumzustand nach unten begrenzt ist, während das Gegenteil insbesondere nicht zutrifft. Unser Hauptergebnis besteht dann darin, diese grundlegende Majorisierungsbeziehung für eine relevante Teilmenge von Wigner-positiven Quantenzuständen zu beweisen, die Mischungen der drei niedrigsten Eigenzustände des harmonischen Oszillators sind. Darüber hinaus wird die Vermutung auch durch numerische Beweise gestützt. Abschließend diskutieren wir einige Implikationen dieser Vermutung im Kontext entropischer Unsicherheitsrelationen im Phasenraum.

Populäre Zusammenfassung

Das Unschärfeprinzip ist eines der faszinierendsten Phänomene der Quantenphysik. Während es natürlich erscheinen mag, dass Paare messbarer Größen, wie etwa die Position und der Impuls eines Teilchens, gleichzeitig genau vorhergesagt werden könnten, verbietet die Quantenphysik dies tatsächlich für nicht kommutierende Observablen. Heisenberg und Kennard präzisierten dies, indem sie die Varianz jeder messbaren Größe verwendeten, um deren Unsicherheit zu erfassen. Jahre später wurde Heisenbergs Unsicherheitsprinzip neu formuliert, indem man sich der Entropie als geeignetes Mittel zur Quantifizierung der Unsicherheit zuwandte. Hier stellen wir ein noch stärkeres informationstheoretisches Paradigma zum Verständnis der Unsicherheit von Quantenvariablen im Phasenraum vor, nämlich die Theorie der Majorisierung.

Diese mathematische Theorie wurde vor mehr als einem Jahrhundert entwickelt und in zahlreichen Bereichen der Wissenschaft eingesetzt, von der Statistik bis zur Physik. Bemerkenswerterweise wurde es erst vor relativ kurzer Zeit auf die Quantenphysik angewendet, wo es sich als leistungsstarker Ansatz zur Erforschung der Quantenverschränkung erwies. Daher wurde es nie genutzt, um die kontinuierlichen Dichten zu charakterisieren, die Quantenvariablen im Phasenraum beschreiben, also Wigner-Funktionen. Wir zeigen, dass die kontinuierliche Majorisierung hierfür ein geeignetes Instrument ist. Die Hauptaussage unserer Arbeit betrifft die Aussage, dass die Wigner-Funktion des Vakuumzustands einer bosonischen Mode (d. h. des Grundzustands des harmonischen Oszillators) jede andere Wigner-Funktion kontinuierlich-majorisiert, was sie im Sinne der Majorisierung weniger unsicher macht .

Während wir unsere Ergebnisse im Kontext der Quantenoptik darlegen und diskutieren, lassen sie sich auf jedes kanonische Paar übertragen und sollten daher Auswirkungen auf verschiedene Bereiche der Physik haben.

► BibTeX-Daten

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Zitiert von

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