The Quest to Decode the Mandelbrot Set, Math's Famed Fractal | Quanta Magasinet

I midten af ​​1980'erne, ligesom Walkman-kassetteafspillere og slipsfarvede skjorter, var den buglignende silhuet af Mandelbrot-sættet overalt.

Studerende pudsede det på kollegievægge rundt om i verden. Matematikere modtog hundredvis af breve, ivrige anmodninger om udskrifter af sættet. (Som svar producerede nogle af dem kataloger, komplet med prislister; andre kompilerede dets mest slående træk i bøger.) Flere teknologikyndige fans kunne henvende sig til augustudgaven fra 1985 af Scientific American. På sit omslag udfoldede Mandelbrot-sættet sig i flammende ranker, dets kant flammede; indeni var omhyggelige programmeringsinstruktioner, der beskriver, hvordan læserne kunne generere det ikoniske billede til sig selv.

På det tidspunkt havde disse ranker også udvidet deres rækkevidde langt ud over matematikken, ind i tilsyneladende uafhængige hjørner af hverdagen. Inden for de næste par år ville Mandelbrot-sættet inspirere David Hockneys nyeste malerier og flere musikeres nyeste kompositioner - fugalignende stykker i stil med Bach. Det ville dukke op på siderne af John Updikes fiktion og guide, hvordan litteraturkritikeren Hugh Kenner analyserede Ezra Pounds poesi. Det ville blive genstand for psykedeliske hallucinationer og for en populær dokumentar fortalt af den store sci-fi Arthur C. Clarke.

Mandelbrot sættet er en speciel form med en fraktal kontur. Brug en computer til at zoome ind på sættets takkede grænse, og du vil støde på dale af søheste og parader af elefanter, spiralgalakser og neuronlignende filamenter. Uanset hvor dybt du udforsker, vil du altid se næsten-kopier af det originale sæt - en uendelig, svimlende kaskade af selv-lighed.

Denne selvlighed var et kerneelement i James Gleicks bestsellerbog Chaos, som cementerede Mandelbrot-sættets plads i populærkulturen. "Det rummede et univers af ideer," skrev Gleick. "En moderne kunstfilosofi, en retfærdiggørelse af eksperimenters nye rolle i matematik, en måde at bringe komplekse systemer frem for en stor offentlighed."

Mandelbrot-sættet var blevet et symbol. Det repræsenterede behovet for et nyt matematisk sprog, en bedre måde at beskrive den fraktale natur af verden omkring os. Det illustrerede, hvordan dyb forviklinger kan opstå fra de enkleste regler - ligesom livet selv. ("Det er derfor et ægte budskab om håb," John Hubbard, en af ​​de første matematikere til at studere sættet, sagde i en video fra 1989, "at muligvis biologi virkelig kan forstås på samme måde, som disse billeder kan forstås.") I Mandelbrot-sættet levede orden og kaos i harmoni; determinisme og fri vilje kunne forenes. En matematiker huskede, at han snublede over sættet som teenager og så det som en metafor for den komplicerede grænse mellem sandhed og løgn.

Mandelbrot-sættet var overalt, indtil det ikke var det.

Inden for et årti så det ud til at forsvinde. Matematikere gik videre til andre fag, og offentligheden gik videre til andre symboler. I dag, kun 40 år efter dens opdagelse, er fraktalen blevet en kliché, grænseoverskridende kitsch.

Men en håndfuld matematikere har nægtet at lade være. De har viet deres liv til at afsløre hemmelighederne bag Mandelbrot-sættet. Nu tror de, at de endelig er på nippet til virkelig at forstå det.

Deres historie er en historie om udforskning, om eksperimenter - og om hvordan teknologi former selve den måde, vi tænker på, og de spørgsmål, vi stiller om verden.

Dusørjægerne

I oktober 2023 samledes 20 matematikere fra hele verden i en squat murstensbygning på det, der engang var en dansk militær forskningsbase. Basen, der blev bygget i slutningen af ​​1800-tallet midt i skoven, lå gemt væk på en fjord på nordvestkysten af ​​Danmarks mest folkerige ø. En gammel torpedo bevogtede indgangen. Sort-hvide fotos, der forestiller flådeofficerer i uniform, både opstillet ved en dok, og ubådsprøver i gang, prydede væggene. I tre dage, mens en hård vind piskede vandet uden for vinduerne til frådende hvide hætter, sad gruppen igennem en række samtaler, de fleste af to matematikere fra Stony Brook University i New York: Misha Lyubich , Dima Dudko.

I værkstedets publikum var nogle af Mandelbrot-sættets mest uforfærdede opdagelsesrejsende. Nær fronten sad Mitsuhiro Shishikura fra Kyoto University, som i 1990'erne beviste, at sættets grænse er så kompliceret, som den overhovedet kan være. Et par pladser over var Hiroyuki Inou, som sammen med Shishikura udviklede vigtige teknikker til at studere en særlig højprofileret region i Mandelbrot-sættet. I sidste række var Ulv Jung, skaberen af ​​Mandel, matematikeres go-to-software til interaktiv undersøgelse af Mandelbrot-sættet. Også tilstede Arnaud Chéritat fra universitetet i Toulouse, Carsten Petersen fra Roskilde Universitet (som organiserede workshoppen), og flere andre, der havde ydet store bidrag til matematikeres forståelse af Mandelbrot-sættet.

Og ved tavlen stod Lyubich, verdens førende ekspert på emnet, og Dudko, en af ​​hans nærmeste samarbejdspartnere. Sammen med matematikerne Jeremy Kahn , Alex Kapiamba, har de arbejdet på at bevise en langvarig formodning om Mandelbrot-sættets geometriske struktur. Den formodning, kendt som MLC, er den sidste forhindring i den årtier lange søgen efter at karakterisere fraktalen, for at tæmme dens sammenfiltrede vildmark.

Ved at bygge og skærpe et kraftfuldt sæt værktøjer har matematikere kæmpet med kontrol over geometrien af ​​"næsten alt i Mandelbrot-sættet," sagde Caroline Davis fra Indiana University - bortset fra nogle få resterende tilfælde. "Misha og Dima og Jeremy og Alex er som dusørjægere, der forsøger at opspore disse sidste."

Lyubich og Dudko var i Danmark for at opdatere andre matematikere om de seneste fremskridt i retning af at bevise MLC, og de teknikker, de havde udviklet til at gøre det. I de sidste 20 år har forskere samlet sig her til workshops dedikeret til at udpakke resultater og metoder inden for kompleks analyse, den matematiske undersøgelse af den slags tal og funktioner, der bruges til at generere Mandelbrot-sættet.

Det var et usædvanligt setup: Matematikerne spiste alle deres måltider sammen og snakkede og grinede over øl til de små timer. Da de endelig besluttede sig for at gå i seng, trak de sig tilbage til køjesenge eller tremmesenge i små værelser, de delte på anden sal i anlægget. (Ved vores ankomst fik vi besked på at gribe lagner og pudebetræk fra en bunke og tage dem ovenpå for at rede vores senge.) I nogle år trodser konferencegæster en svømmetur i det kolde vand; oftere vandrer de gennem skoven. Men for det meste er der intet at gøre undtagen matematik.

Typisk, fortalte en af ​​deltagerne, at workshoppen tiltrækker mange yngre matematikere. Men det var ikke tilfældet denne gang - måske fordi det var midt i semesteret, eller, spekulerede han, på grund af hvor svært emnet var. Han indrømmede, at han i det øjeblik følte sig en smule skræmt over udsigten til at holde en tale foran så mange af feltets store.

Men i betragtning af at de fleste matematikere inden for det bredere område af kompleks analyse ikke længere arbejder direkte på Mandelbrot-sættet, hvorfor så dedikere en hel workshop til MLC?

Mandelbrot-sættet er mere end en fraktal, og ikke kun i metaforisk forstand. Det fungerer som en slags masterkatalog over dynamiske systemer - over alle de forskellige måder et punkt kan bevæge sig gennem rummet ifølge en simpel regel. For at forstå dette masterkatalog skal man gennemse mange forskellige matematiske landskaber. Mandelbrot-sættet er dybt relateret ikke kun til dynamik, men også til talteori, topologi, algebraisk geometri, gruppeteori og endda fysik. "Det interagerer med resten af ​​matematikken på en smuk måde," sagde Sabyasachi Mukherjee fra Tata Institute of Fundamental Research i Indien.

For at gøre fremskridt med MLC har matematikere været nødt til at udvikle et sofistikeret sæt teknikker - hvad Chéritat kalder "en stærk filosofi." Disse værktøjer har fået stor opmærksomhed. I dag udgør de en central søjle i studiet af dynamiske systemer mere bredt. De har vist sig at være afgørende for at løse en lang række andre problemer - problemer, der ikke har noget at gøre med Mandelbrot-sættet. Og de har forvandlet MLC fra et nichespørgsmål til en af ​​feltets dybeste og vigtigste åbne formodninger.

Lyubich, matematikeren uden tvivl mest ansvarlig for at forme denne "filosofi" til dens nuværende form, står højt og lige og taler stille. Når andre matematikere på workshoppen henvender sig til ham for at diskutere et koncept eller stille et spørgsmål, lukker han øjnene og lytter opmærksomt med rynkede øjenbryn. Han svarer forsigtigt med russisk accent.

Men han er også hurtig til at bryde ud i høj, varm latter og lave skæve vittigheder. Han er generøs med sin tid og råd. Han har "virkelig næret en del generationer af matematikere," sagde Mukherjee, en af ​​Lyubichs tidligere postdocs og en hyppig samarbejdspartner. Som han fortæller det, bruger enhver, der er interesseret i studiet af kompleks dynamik, noget tid på Stony Brook og lærer af Lyubich. "Misha har denne vision om, hvordan vi skal gå til et bestemt projekt, eller hvad vi skal se på næste gang," sagde Mukherjee. "Han har dette store billede i tankerne. Og det deler han gerne med folk.”

For første gang føler Lyubich, at han er i stand til at se det store billede i sin helhed.

Priskæmperne

Mandelbrot-sættet begyndte med en præmie.

I 1915, motiveret af de seneste fremskridt i studiet af funktioner, annoncerede det franske videnskabsakademi en konkurrence: Om tre år ville det tilbyde en 3,000 francs hovedpræmie for arbejdet med iterationsprocessen - selve processen, der ville senere generere Mandelbrot sættet.

Iteration er den gentagne anvendelse af en regel. Sæt et tal i en funktion, og brug derefter output som dit næste input. Bliv ved med det, og observer, hvad der sker over tid. Når du fortsætter med at iterere din funktion, kan de tal, du får, hurtigt stige mod det uendelige. Eller de kan blive trukket mod et nummer i særdeleshed, som jernspåner, der bevæger sig mod en magnet. Eller ender med at hoppe mellem de samme to tal, eller tre eller tusinde, i en stabil bane, som de aldrig kan undslippe. Eller hop fra et nummer til et andet uden rim eller grund, og følg en kaotisk, uforudsigelig vej.

Det Franske Akademi, og matematikere mere bredt, havde en anden grund til at være interesseret i iteration. Processen spillede en vigtig rolle i studiet af dynamiske systemer - systemer som rotation af planeter omkring solen eller strømmen af ​​en turbulent strøm, systemer, der ændrer sig over tid i henhold til et bestemt sæt regler.

Prisen inspirerede to matematikere til at udvikle et helt nyt fagområde.

Først var Pierre Fatou, som i et andet liv kunne have været en flådemand (en familietradition), hvis det ikke var for hans dårlige helbred. Han forfulgte i stedet en karriere inden for matematik og astronomi, og i 1915 havde han allerede bevist flere store resultater i analyse. Så var der Gaston Julia, en lovende ung matematiker født i det franskbesatte Algeriet, hvis studier blev afbrudt af Første Verdenskrig og hans indkaldelse til den franske hær. I en alder af 22, efter at have lidt en alvorlig skade kort efter påbegyndelsen af ​​sin tjeneste - han ville bære en læderrem i ansigtet resten af ​​sit liv, efter at lægerne ikke var i stand til at reparere skaden - vendte han tilbage til matematikken og lavede nogle af det værk, han ville indsende til Akademiprisen fra en hospitalsseng.

Prisen motiverede både Fatou og Julia til at studere, hvad der sker, når du gentager funktioner. De arbejdede uafhængigt, men endte med at gøre meget lignende opdagelser. Der var så meget overlap i deres resultater, at selv nu er det ikke altid klart, hvordan man tildeler kredit. (Julia var mere udadvendt og fik derfor mere opmærksomhed. Han endte med at vinde prisen; Fatou ansøgte ikke engang.) På grund af dette arbejde betragtes de to nu som grundlæggerne af feltet for kompleks dynamik.

"Kompleks", fordi Fatou og Julia itererede funktioner af komplekse tal - tal, der kombinerer et velkendt reelt tal med et såkaldt imaginært tal (et multiplum af i, symbolet matematikere bruger til at betegne kvadratroden af ​​−1). Mens reelle tal kan lægges ud som punkter på en linje, visualiseres komplekse tal som punkter på et plan, sådan:

Fatou og Julia fandt ud af, at gentagelse af selv simple komplekse funktioner (ikke et paradoks i matematikkens område!) kunne føre til rig og kompliceret adfærd, afhængigt af dit udgangspunkt. De begyndte at dokumentere denne adfærd og at repræsentere dem geometrisk.

Men så forsvandt deres arbejde i uklarhed i et halvt århundrede. "Folk vidste ikke engang, hvad de skulle kigge efter. De var begrænset med hensyn til, hvilke spørgsmål de overhovedet kunne stille,” sagde Artur Avila, professor ved universitetet i Zürich.

Dette ændrede sig, da computergrafik blev myndig i 1970'erne.

På det tidspunkt havde matematikeren Benoît Mandelbrot fået ry som akademisk dilettant. Han havde beskæftiget sig med mange forskellige områder, fra økonomi til astronomi, alt mens han arbejdede på IBM's forskningscenter nord for New York City. Da han blev udnævnt til IBM-stipendiat i 1974, havde han endnu mere frihed til at forfølge selvstændige projekter. Han besluttede at anvende centrets betydelige computerkraft til at bringe kompleks dynamik ud af dvalen.

Først brugte Mandelbrot computerne til at generere den slags former, som Fatou og Julia havde studeret. Billederne kodede information om, hvornår et udgangspunkt, når det blev gentaget, ville flygte til det uendelige, og hvornår det ville blive fanget i et andet mønster. Fatou og Julias tegninger fra 60 år tidligere havde lignet klynger af cirkler og trekanter - men de computergenererede billeder, som Mandelbrot lavede, lignede drager og sommerfugle, kaniner og katedraler og hoveder af blomkål, nogle gange endda afbrudte støvskyer. På det tidspunkt havde Mandelbrot allerede opfundet ordet "fractal" for former, der lignede ens i forskellige skalaer; ordet fremkaldte forestillingen om en ny slags geometri - noget fragmenteret, fraktioneret eller brudt.

Billederne, der dukkede op på hans computerskærm - i dag kendt som Julia-sæt - var nogle af de smukkeste og mest komplicerede eksempler på fraktaler, som Mandelbrot nogensinde havde set.

Fatou og Julias arbejde havde fokuseret på geometrien og dynamikken i hvert af disse sæt (og deres tilsvarende funktioner) individuelt. Men computere gav Mandelbrot en måde at tænke på en hel familie af funktioner på én gang. Han kunne indkode dem alle i det billede, der ville komme til at bære hans navn, selvom det stadig er et spørgsmål om debat, om han faktisk var den første til at opdage det.

Mandelbrot-sættet omhandler de enkleste ligninger, der stadig gør noget interessant, når de gentages. Disse er kvadratiske funktioner af formen f(z) = z² + c. Ret en værdi på c - det kan være et hvilket som helst komplekst tal. Hvis du gentager ligningen startende med z = 0 og find ud af, at de tal, du genererer, forbliver små (eller afgrænsede, som matematikere siger), så c er i Mandelbrot sættet. Hvis du på den anden side itererer og finder ud af, at dine tal til sidst begynder at vokse mod det uendelige, så c er ikke i Mandelbrot-sættet.

Det er ligetil at vise, at værdier af c tæt på nul er i sættet. Og det er ligeledes ligetil at vise, at store værdier af c er det ikke. Men komplekse tal lever op til deres navn: Sættets grænse er storslået indviklet. Der er ingen åbenlys grund til at ændre sig c med små mængder burde få dig til at blive ved med at krydse grænsen, men når du zoomer ind på det, dukker der uendelige mængder af detaljer op.

Derudover fungerer Mandelbrot-sættet som et kort over Julia-sæt, som det kan ses i den interaktive figur nedenfor. Vælg en værdi på c i Mandelbrot-sættet. Det tilsvarende Julia-sæt vil blive tilsluttet. Men hvis du forlader Mandelbrot-sættet, vil det tilsvarende Julia-sæt blive afbrudt støv.