En gammel formodning falder, hvilket gør sfærer meget mere komplicerede | Quanta Magasinet

I begyndelsen af ​​juni opstod buzz, da matematikere landede i Londons Heathrow-lufthavn. Deres destination var University of Oxford og en konference i anledning af 65 års fødselsdagen Michael Hopkins, en matematiker ved Harvard University, der havde fungeret som mentor for mange af deltagerne.

Hopkins skabte sig et navn i slutningen af ​​1980'erne for arbejdet med syv formodninger om, at Doug Ravenel fra University of Rochester havde formuleret et årti tidligere. De havde at gøre med teknikker til at bestemme, hvornår to former eller rum, der kunne se forskellige ud, virkelig er ens. Hopkins og hans samarbejdspartnere beviste alle Ravenels formodninger undtagen én, et problem med et tankevækkende, men mystisk navn kaldet teleskopformodningen.

På det tidspunkt lagde Hopkins sit arbejde på Ravenels formodninger til hvile. I årtier bagefter syntes teleskopformodningen næsten umulig at løse.

"Man kunne ikke røre ved sådan en teorem," sagde Hopkins.

Men da matematikere landede i London, var der rygter om, at det var blevet gjort - af en gruppe på fire matematikere med tilknytning til Massachusetts Institute of Technology, hvoraf tre var blevet rådgivet af Hopkins på kandidatskolen. Den yngste af de fire, hedder en kandidatstuderende Ishan Levy, var planlagt til at holde et foredrag på tirsdag, den anden dag af konferencen, som så ud til at være, hvornår et bevis kunne annonceres.

"Jeg havde hørt rygter om, at dette var på vej, og jeg vidste ikke præcis, hvad jeg kunne forvente," sagde Vesna Stojanoska, en matematiker ved University of Illinois, Urbana-Champaign, som deltog i konferencen.

Det stod hurtigt klart, at rygterne var sande. Fra tirsdag og i løbet af de næste tre dage, Levy og hans medforfattere - Robert Burklund, Jeremy Hahn , Tomer Schlank - forklarede for mængden af ​​omkring 200 matematikere, hvordan de havde bevist, at teleskopformodningen var falsk, hvilket gjorde den til den eneste af Ravenels originale formodninger, der ikke var sand.

Afvisningen af ​​teleskopformodningen har vidtrækkende implikationer, men en af ​​de enkleste og mest dybtgående er denne: Det betyder, at i meget høje dimensioner (tænk på en 100-dimensionel kugle), er universet af forskellige former langt mere kompliceret end matematikere forventede.

Kortlægning af kortene

For at klassificere former eller topologiske rum skelner matematikere mellem forskelle, der betyder noget, og dem, der ikke gør. Homotopi teori er et perspektiv, hvorfra man kan foretage disse sondringer. Den betragter en bold og et æg som grundlæggende det samme topologiske rum, fordi man kan bøje og strække det ene ind i det andet uden at rive heller. På samme måde betragter homotopi-teori en bold og et inderrør for at være fundamentalt forskellige, fordi man skal rive et hul i bolden for at deformere den ind i inderrøret.

Homotopi er nyttig til at klassificere topologiske rum - skabe et diagram over alle de former for former, der er mulige. Det er også vigtigt for at forstå noget andet matematikere interesserer sig for: kort mellem rum. Hvis du har to topologiske rum, er en måde at undersøge deres egenskaber på at lede efter funktioner, der konverterer eller kortlægger punkter på det ene til punkter på det andet - indtast et punkt på rum A, få et punkt på rum B som dit output, og gør det for alle punkterne på A.

For at se, hvordan disse kort fungerer, og hvorfor de belyser egenskaberne for de involverede rum, skal du starte med en cirkel. Kort det nu til den todimensionelle kugle, som er overfladen af ​​en kugle. Der er uendeligt mange måder at gøre dette på. Hvis du forestiller dig kuglen som Jordens overflade, kan du f.eks. placere din cirkel på en hvilken som helst breddegrad. Fra homotopi-teoriens perspektiv er de alle ækvivalente eller homotopiske, fordi de alle kan skrumpe ned til et punkt ved nord- eller sydpolen.

Kort derefter cirklen på den todimensionelle overflade af et indre rør (en torus med et hul). Igen er der uendeligt mange måder at gøre dette på, og de fleste er homotopiske. Men ikke dem alle. Du kan placere en cirkel vandret eller lodret omkring torusen, og ingen af ​​dem kan glat deformeres til den anden. Dette er to (af mange) måder at kortlægge en cirkel på torusen, mens der kun er én måde at kortlægge den på en kugle, hvilket afspejler en grundlæggende forskel mellem de to rum: Torussen har et hul, mens kuglen ikke har noget.

Det er nemt at tælle de måder, vi kan kortlægge fra cirklen til den todimensionelle kugle eller torus. Det er velkendte rum, der er nemme at visualisere. Men at tælle kort er meget sværere, når højere dimensionelle rum er involveret.

Dimensionsforskelle

Hvis to kugler har samme dimension, er der altid uendeligt mange kort imellem dem. Og hvis det rum, du kortlægger fra, er lavere dimensionelt end det rum, du kortlægger til (som i vores eksempel på den endimensionelle cirkel, der er afbildet på en todimensionel kugle), er der altid kun ét kort.

Dels af den grund er det mest interessant at tælle kort, når det rum, du kortlægger fra, har en højere dimension end det rum, du kortlægger til, som når du kortlægger en syvdimensionel kugle på en tredimensionel kugle. I tilfælde som disse er antallet af kort altid begrænset.

"Kortene mellem sfærer generelt har en tendens til at være mere interessante, når kilden har en større dimension," sagde Hahn.

Desuden afhænger antallet af kort kun af forskellen i antallet af dimensioner (når først dimensionerne bliver store nok i forhold til forskellen). Det vil sige, at antallet af kort fra en 73-dimensional kugle til en 53-dimensionel kugle er det samme som antallet af kort fra en 225-dimensionel kugle til en 205-dimensionel kugle, fordi forskellen i dimension i begge tilfælde er 20.

Matematikere vil gerne vide antallet af kort mellem rum af enhver forskel i dimension. De har formået at beregne antallet af kort for næsten alle forskelle i dimension op til 100: Der er 24 kort mellem kugler, når forskellen er 20, og 3,144,960, når den er 23.

Men at beregne antallet af kort for enhver forskel større end 100 opbruger moderne computerkraft. Og samtidig har matematikere ikke opdaget nok mønstre i antallet af kort til at ekstrapolere yderligere. Deres mål er at udfylde en tabel, der specificerer antallet af kort for enhver forskel i dimension, men det mål føles meget langt væk.

"Dette er ikke et spørgsmål, jeg forventer en komplet løsning på i mine børnebørns levetid," sagde Ravenel, der er 76.

Teleskopformodningen giver en forudsigelse om, hvordan antallet af kort vokser, efterhånden som forskellen i dimension øges. Faktisk forudsiger den, at antallet vokser langsomt. Hvis det havde været sandt, ville det have gjort problemet med at udfylde den tabel en lille smule lettere.

Tvivl til vantro

Teleskopformodningen fik sit navn på en usandsynlig måde.

Det startede fra det faktum, at i meget høje dimensioner bryder geometrisk intuition dannet i lavere dimensioner ofte ned, og det er svært at tælle kort mellem kugler. Men da han formulerede sin formodning, forstod Ravenel, at du ikke behøver det. I stedet for at tælle kort mellem sfærer, kan du lave en lettere proxy-tælling af kort mellem sfærer og objekter kaldet teleskoper.

Teleskoper involverer en række kopier af en lukket højere dimensional kurve, hver af dem er en nedskaleret version af den, der kom før den. Rækken af ​​kurver ligner de sammenlåsende rør i et faktisk sammenklappeligt teleskop. "Så bizart som dette teleskop lyder, når du beskriver det, er det faktisk et lettere objekt at håndtere end selve kuglen," sagde Ravenel.

Men stadig kan sfærer kortlægges på teleskoper på mange forskellige måder, og udfordringen er at vide, hvornår disse kort er virkelig forskellige.

For at afgøre, om to rum er homotopiske, kræves en matematisk test kendt som en invariant, som er en beregning baseret på egenskaberne af rummene. Hvis beregningen giver en forskellig værdi for hvert rum, ved du, at de er unikke fra et homotopiperspektiv.

Der er mange slags invarianter, og nogle kan opfatte forskelle, som andre invarianter er blinde for. Teleskopformodningen forudsiger, at en invariant kaldet Morava E-teori (og dens symmetrier) kan perfekt skelne alle kort mellem kugler og teleskoper op til homotopi - det vil sige, hvis Morava E-teori siger, at kortene er forskellige, de er forskellige, og hvis der står, at de er ens, er de ens.

Men i 1989 var Ravenel begyndt at tvivle på, at det var sandt. Hans skepsis fremgik af beregninger, han udførte, som ikke syntes at være i overensstemmelse med formodningen. Men det var først i oktober samme år, da et massivt jordskælv ramte Bay Area, mens han var i Berkeley, at denne tvivl kodificerede sig til fuldgyldig vantro.

"Jeg kom til denne konklusion inden for en dag eller to efter jordskælvet, så jeg kan godt lide at tro, at der skete noget, der fik mig til at tro, at det ikke var sandt," sagde Ravenel.

At modbevise teleskopformodningen ville kræve at finde en mere kraftfuld invariant, der kunne se tingene Morava E-teori kan ikke. I årtier syntes ingen sådan invariant at være tilgængelig, hvilket placerede formodningen uden for rækkevidde. Men fremskridt i de senere år ændrede det - og Burklund, Hahn, Levy og Schlank udnyttede det.

Det eksploderende eksotiske

Deres bevis er afhængig af et sæt værktøjer kaldet algebraisk K-teori, som blev etableret i 1950'erne af Alexander Grothendieck og har udviklet sig hurtigt i løbet af det sidste årti. Det har applikationer på tværs af matematik, herunder i geometri, hvor det har evnen til at overlade en invariant.

De fire forfattere bruger algebraisk K-teori som en gadget: De indtaster Morava E-teori, og deres output er en ny invariant, som de refererer til som den algebraiske K-teori om Moravas faste punkter E-teori. De anvender derefter denne nye invariant på kort fra kugler til teleskoper og beviser, at den kan se kort, som Morava E-teori kan ikke.

Og det er ikke kun, at denne nye invariant ser et par flere kort. Den ser mange flere, endda uendelig mange flere. Så mange flere, at det er rimeligt at sige Morava E-teorien kradsede næsten ikke overfladen, når det kom til at identificere kort fra kugler til teleskoper.

Uendeligt flere kort fra kugler til teleskoper betyder uendeligt flere kort mellem kuglerne selv. Antallet af sådanne kort er begrænset for enhver forskel i dimension, men det nye bevis viser, at antallet vokser hurtigt og ubønhørligt.

At der er så mange kort, peger på en foruroligende geometrisk virkelighed: Der er så mange sfærer.

I 1956 identificerede John Milnor de første eksempler på, hvad der kaldes "eksotiske" sfærer. Disse er rum, der kan deformeres til den faktiske sfære ud fra homotopiens perspektiv, men er forskellige fra sfæren i en bestemt præcis forstand. Eksotiske sfærer eksisterer slet ikke i dimension et, to eller tre, og ingen har opdaget eksempler på dem under dimension syv - den dimension, hvor Milnor først fandt dem. Men efterhånden som dimensionen vokser, eksploderer antallet af eksotiske sfærer. Der er 16,256 i dimension 15 og 523,264 i dimension 19.

Og alligevel, hvor store disse tal end er, betyder afvisningen af ​​teleskopformodningen, at der er mange, mange flere. Afvisningen betyder, at der er flere kort mellem sfærer end forventet, da Ravenel udtalte formodningen, og den eneste måde, du får flere kort på, er ved at have et større udvalg af sfærer at kortlægge imellem.

Der er forskellige former for fremskridt inden for matematik og naturvidenskab. En slags bringer orden i kaos. Men en anden forstærker kaosset ved at fjerne håbefulde antagelser, der ikke var sande. Afvisningen af ​​teleskopformodningen er sådan. Det uddyber geometriens kompleksitet og øger oddsene for, at mange generationer af børnebørn vil komme og gå, før nogen fuldt ud forstår kort mellem sfærer.

"Hver større fremskridt i emnet synes at fortælle os, at svaret er meget mere kompliceret, end vi troede før," sagde Ravenel.